Kunci Publik Kunci Privat
Plaintext Ciphertext
Plaintext
Gambar 2.2 Algoritma asimetris
2.4 Aritmatika Modular
Aritmatika adalah matematika pertambahan dan perkalian dengan kemungkinan operasi inverse pembalikan. Aritmatika modular digunakan agar operasi aritmatika
selalu menghasilkan integer pada lingkup yang sama.
Aritmatika yang banyak digunakan dalam kriptografi adalah apa yang disebut aritmatika modular modular arithmetic. Dalam aritmatika modular, domain yang
digunakan adalah subset dari bilangan bulat dan bersifat finite terbatas, besarnya domain merupakan bilangan bulat. Setiap bilangan mempunyai inverse pertambahan,
dan jika setiap bilangan kecuali 0 mempunyai inverse perkalian maka struktur aritmatika disebut finite field.
Digunakannya aritmatika modular dalam kriptografi adalah karena adanya inverse perkalian terutama jika struktur berupa field dan domain yang bersifat finite.
Karena finite field juga berupa field, konsep gcd tidak ada artinya dalam struktur finite field. Tetapi gcd dengan bilangan bulat yang mempunyai struktur ring banyak
digunakan dalam membahas struktur finite field. Domain dari aritmatika modular adalah
{0,1,2,3,…,n−1}, dimana n adalah besarnya domain. Aritmatika disebut aritmatika modulo n, dengan pertambahan dan perkalian seperti aritmatika biasa jika
menghasilkan bilangan yang termasuk dalam domain. Jika hasil merupakan bilangan diluar domain, maka bilangan harus dikurangi dengan kelipatan n sampai
menghasilkan bilangan dalam domain Enkripsi
Deskripsi
Universitas Sumatera Utara
Operator modular
Operator modular memerlukan 2 masukan yaitu sebuah integer a dan sebuah bilangan positif yang disebut modulus n. Operasi modular mengembalikan r yang merupakan
sisa bagi atas operasi a dibagi n. Notasi operasi modulus diberikan oleh persamaan :
a mod n = r
Kongruen
Hasil operasi modular sembarang bilangan integer a dengan sebuah bilangan integer positif n selalu pada kisaran 0 sampai n
−1. Dengan begitu operasi modular n terhadap sembarang bilangan integer a merupakan pemetaan dari himpunan bilangan integer
ℤ ke himpunan bilangan { , , , ,…,n−1} dinotasikan sebagai ℤ
n
atau dikenal dengan sebagai himpunan residu modular n.
Dua buah integer a dan b disebut kongruen pada modulus n apabila memiliki sisa bagi yang sama, definisi kongruen diberikan oleh 2.1.
Definisi 2.1 Misal a dan b adalah integer dan n adalah integer positif. a
≡ b mod n jika n membagi habis b
– a. Simbol “≡” digunakan untuk menandakan kongruen. Pernyataan a
≡ b mod n dapat dibaca a kongruen dengan b pada modulus n.
Kelas Residu
Sembarang bilangan x ∈ ℤ dapat dipetakan ke satu anggota a pada himpunan residu
modular n ℤ
n
, himpunan ini disebut dengan kelas residu dan dinotasikan dengan [a
]. Contohnya pada operasi modular 5, {…,-8,-3,3,8,13,18,23,…} dapat dipetakan ke 3
∈ ℤ
5
, karena 3 mod 5 = 3, 8 mod 5 = 3, 13 mod 5 = 3, dan seterusnya.
Jadi [3
] = {…,-8,-3,3,8,13,18,23,…} pada modulus 5.
Universitas Sumatera Utara
2.5 Grup
Kategori