2.3.1 Algoritma Simetris
Algoritma ini disebut algoritma konvensional, yaitu algoritma yang menggunakan kunci yang sama pada proses enkripsi dan deskripsinya. Algoritma ini mengharuskan
pengirim dan penerima menyetujui satu kunci tertentu.
Kelompok algoritma simetris adalah OTP, DES, RC2, RC4, RC5, RC6, IDEA, Twofish, Magenta, FEAL, SAFER, LOKI, CAST, Rijndael AES, Blowfish, GOST,
A5 Kasumi dan lain-lain.
Chipertext Plaintext Plaintext
Gambar 2.1 Algoritma simetris
2.3.2 Algoritma Asimetris
Masalah distribusi kunci pada algoritma simestris dapat diatasi dengan metode kriptografi asimetris atau disebut juga dengan kriptografi kunci publik publik key
algorithm. Sebutan asimetris tidak simetris memperlihatkan adanya perbedaan kunci yang digunakan antara proses enkripsi dan deskripsi. Kunci publik digunakan
untuk proses enkripsi data sedangkan proses deskripsi menggunakan kunci yang biasa disebut dengan kunci rahasia private key.
Algoritma yang memakai kunci umum diantaranya adalah Digital Signature Algorithm DSA, RSA, Diffie-Hellman DH, Elliptic Curve Cryptography ECC,
Crytography Quantum dan lain-lain. Enkripsi
Kunci
Deskripsi
Universitas Sumatera Utara
Kunci Publik Kunci Privat
Plaintext Ciphertext
Plaintext
Gambar 2.2 Algoritma asimetris
2.4 Aritmatika Modular
Aritmatika adalah matematika pertambahan dan perkalian dengan kemungkinan operasi inverse pembalikan. Aritmatika modular digunakan agar operasi aritmatika
selalu menghasilkan integer pada lingkup yang sama.
Aritmatika yang banyak digunakan dalam kriptografi adalah apa yang disebut aritmatika modular modular arithmetic. Dalam aritmatika modular, domain yang
digunakan adalah subset dari bilangan bulat dan bersifat finite terbatas, besarnya domain merupakan bilangan bulat. Setiap bilangan mempunyai inverse pertambahan,
dan jika setiap bilangan kecuali 0 mempunyai inverse perkalian maka struktur aritmatika disebut finite field.
Digunakannya aritmatika modular dalam kriptografi adalah karena adanya inverse perkalian terutama jika struktur berupa field dan domain yang bersifat finite.
Karena finite field juga berupa field, konsep gcd tidak ada artinya dalam struktur finite field. Tetapi gcd dengan bilangan bulat yang mempunyai struktur ring banyak
digunakan dalam membahas struktur finite field. Domain dari aritmatika modular adalah
{0,1,2,3,…,n−1}, dimana n adalah besarnya domain. Aritmatika disebut aritmatika modulo n, dengan pertambahan dan perkalian seperti aritmatika biasa jika
menghasilkan bilangan yang termasuk dalam domain. Jika hasil merupakan bilangan diluar domain, maka bilangan harus dikurangi dengan kelipatan n sampai
menghasilkan bilangan dalam domain Enkripsi
Deskripsi
Universitas Sumatera Utara
Operator modular
Operator modular memerlukan 2 masukan yaitu sebuah integer a dan sebuah bilangan positif yang disebut modulus n. Operasi modular mengembalikan r yang merupakan
sisa bagi atas operasi a dibagi n. Notasi operasi modulus diberikan oleh persamaan :
a mod n = r
Kongruen
Hasil operasi modular sembarang bilangan integer a dengan sebuah bilangan integer positif n selalu pada kisaran 0 sampai n
−1. Dengan begitu operasi modular n terhadap sembarang bilangan integer a merupakan pemetaan dari himpunan bilangan integer
ℤ ke himpunan bilangan { , , , ,…,n−1} dinotasikan sebagai ℤ
n
atau dikenal dengan sebagai himpunan residu modular n.
Dua buah integer a dan b disebut kongruen pada modulus n apabila memiliki sisa bagi yang sama, definisi kongruen diberikan oleh 2.1.
Definisi 2.1 Misal a dan b adalah integer dan n adalah integer positif. a
≡ b mod n jika n membagi habis b
– a. Simbol “≡” digunakan untuk menandakan kongruen. Pernyataan a
≡ b mod n dapat dibaca a kongruen dengan b pada modulus n.
Kelas Residu
Sembarang bilangan x ∈ ℤ dapat dipetakan ke satu anggota a pada himpunan residu
modular n ℤ
n
, himpunan ini disebut dengan kelas residu dan dinotasikan dengan [a
]. Contohnya pada operasi modular 5, {…,-8,-3,3,8,13,18,23,…} dapat dipetakan ke 3
∈ ℤ
5
, karena 3 mod 5 = 3, 8 mod 5 = 3, 13 mod 5 = 3, dan seterusnya.
Jadi [3
] = {…,-8,-3,3,8,13,18,23,…} pada modulus 5.
Universitas Sumatera Utara
2.5 Grup
Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grup.Grup terdiri dari himpunan simbol dan sebuah operasi biner
∗. Sebuah grup harus memenuhi kondisi seperti yang diberikan oleh definsi 2.2.
Definisi 2.2 Sebuah grup G,
∗ dengan G adalah himpunan simbol, dan ∗ adalah sebuah operator biner yang memenuhi kondisi berikut ini :
1. ∀ a, b ∈ G : a ∗ b ∈ G Closure.
2. ∀ a, b, c ∈ G : a ∗ b ∗ c ∈ G : a ∗ b ∗ c Asosiatif.
3. ∃ yang unik e ∈ G : ∀ a ∈ G : a ∗ e = e ∗ a = a. Elemen e disebut elemen
identitas. 4.
∀ a ∈ G : ∃
1
a
∈ G : a ∗
1
a
=
1
a
∗ a = e Invers.
Grup yang operator ∗ bersifat komutatif yaitu ∀ a, b ∈ G : a ∗ b = b ∗ a
disebut Grup Abel.
2.6 Ring
Ring adalah struktur aljabar yang memiliki 2 operator untuk satu himpunan simbol. Untuk dapat disebut ring 2 operator itu harus memenuhi kondisi seperti yang disebut
pada definisi 2.3.
Definisi 2.3 Ring Sebuah ring adalah satu himpunan simbol R dan dua operasi :
+ disebut penjumlahan dan
× disebut perkalian yang memenuhi kondisi berikut ini : 1.
R dengan operasi + adalah grup Abel. Notasi 0 dipakai untuk merepresentasikan identitas penjumlahan.
2. Operasi × memenuhi aksioma closure, asosiatif, dan identitas. Identitas untuk
perkalian dinotasikan sebagai 1.
Universitas Sumatera Utara
3. ∀ a, b ∈ R : a × b = b × a Komutatif.
4. ∀ a, b, c ∈ R : a × b + c = a × b +a × c Distributif.
2.7 Field
Struktur aljabar field merupakan pengkhususan terhadap struktur aljabar ring. Kondisi operator untuk field adalah kondisi operator untuk ring dengan tambahan operator
perkalian x memiliki invers untuk semua simbol yang bukan identitas penjumlahan 0. Secara formal sebuah field didefinisikan oleh definisi 2.4.
Definisi 2.4
Jika elemen non-zero yang bukan identitas penjumlahan membentuk sebuah grup dengan operasi perkalian maka ring itu disebut field.
2.8 Finite Field
Finite field atau dikenal juga sebagai Galois field untuk menghormati Evariste Galois adalah field yang jumlah elemennya terbatas.
2.8.1 Finite Field Bilangan Prima GFp
Finite field dengan struktur tersederhana adalah finite field yang nilai order nya adalah bilangan prima dinotasikan dengan GFp. GFp terdiri dari himpunan bilangan Z
p
dengan p bilangan prima yaitu himpunan integer {0, 1, 2, … , � − 1 dan 2 operasi
aritmatika penjumlahan dan perkalian modular p.
Universitas Sumatera Utara
2.8.2 Finite Field dengan Elemen Polinomial GFp
m
Selain GFp yang berbasis bilangan prima p, tipe Galois field lain yang sering dipakai pada sistem kriptografi adalah GFp
m
. GFp
m
berbasis aritmatika modular polinomial fx :
1 1
1
...
n n
n n
f x a x
a x
a x a
Polinomial
f x
disebut dengan irreducible polynomial.
f x
adalah polinomial berderajat n yang koefisiennya adalah pada GFp. Koefisien
i
a
adalah elemen GFp dan
n
a
≠ 0. Karakteristik irreducible polynomial
m x
mirip dengan bilangan prima, yaitu tidak bisa dibagi habis kecuali oleh dirinya sendiri dan 1.
Elemen pada GFp
m
merupakan semua polinomial yang berderajat antara 0 sampai dengan
1 m
dengan koefisien merupakan elemen pada GFp
m
ditulis sebagai
g x
maka
g x
adalah :
1 2
1 2
1
...
n n
n n
g x a
x a
x a x
a
dengan koefisien
i
a
berada pada GFp.
Variabel x dalam gx bersifat tidak ditentukan tapi nilai pangkat i pada x
i
menunjukkan posisi koefisien
i
a
.
Jika p = 2 maka terbentuk GF2
m
yang merupakan struktur aljabar yang sering dipakai di kriptografi karena elemen GF2
m
dapat direpresentasikan secara langsung sebagai nilai biner.
Universitas Sumatera Utara
2.8.3 Aritmatika Modular Polinomial
Kategori