Gambar 2.7 Penjumlahan 2P
R
Jika diperhatikan operasi penjumlahan pada kurva eliptik memiliki sifat-sifat : 1.
Penjumlahan menghasilkan titik yang merupakan anggota E himpunan titik kurva eliptik dan titik infinity. Sifat ini disebut clousure.
2. Penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu
P Q
R P
Q R
. 3.
Penjumlahan bersifat komutatif, yaitu
P Q
Q P
. 4.
Terdapat identitas, yaitu titik infinity. 5.
Terdapat invers penjumlahan untuk tiap titik P ∈ E.
Oleh karena itu himpunan titik-titik pada kurva eliptik dan titik infinity beserta operasi penjumlahan membentuk grup Abelian.
2.10.3 Grup Siklik pada Kurva Eliptik
Titik di kurva eliptik E kecuali titik infinity O dapat bertindak sebagai pembangkit
generator sehingga membentuk grup siklik. Misalnya titik yang dipilih menjadi pembangkit adalah
α maka operasi penjumlahan dapat dikenakan yaitu 2α = α + α dengan aturan penjumlahan pada kurva eliptik dengan titik yang sama menghasilkan
Universitas Sumatera Utara
sebuah titik baru 2 α. Operasi penjumlahan ini dapat dilakukan secara berulang
sehingga mendapatkan 3 α,4α,…n� dengan n� = O sehingga n + 1α = O + α = α .
Order dari titik kurva eliptik adalah bilangan positif integer terkecil n sedemikian sehingga n
� = O.
2.10.4 Kriptografi Kurva Eliptik pada GF 2
m
.
Kurva eliptik dapat didefinisikan pada GF2
m
. GF2
m
merupakan medan terbatas yang elemennya merupakan polinomial yang bisa direpresentasikan sebagai rangkaian
bit. Dengan begitu operasi aritmatika pada GF2
m
dapat diterapkan secara efesien pada sebuah aplikasi komputer. Kurva eliptik pada GF2
m
mempunyai persamaan :
2 3
2
y xy
x ax
b
dengan
2
,
m
a b F
dan b
, bersama titik O yang disebut titik infinity. Parameter x, y, a dan b merupakan polinomial.
Titik-titik kurva eliptik pada GF2
m
dapat ditemukan dengan menggunakan konsep generator untuk polinomial. Elemen GF2
m
dapat direpresentasikan sebagai himpunan
2 2
2
{0,1, , , ...,
}
m
g g g
kemudian dengan aritmatika polinomial dapat ditemukan pasangan x dan y yang merupakan titik pada kurva eliptik.
Contoh 2.3 : Temukan titik kurva eliptik pada GF
3
2 yang menggunakan irreducible polynomial
3
1 f x
x x
dengan persamaan kurva eliptik
3
a g
dan
1 b
g
.
2 3
3 2
1 y
xy x
g x
Universitas Sumatera Utara
Jawab : Jika g adalah generator maka himpunan elemen pada GF
3
2 dapat direpresentasikan sebagai
2 6
{0,1, , ,...,
} g g
g
. Karena
nilai irreducible
polynomial adalah
3
1 f x
x x
maka dapat ditulis
3
1 0 g
g
. Sehingga nilai g lain dapat dihitung sebagai berikut :
Tabel 2.3 Representasi biner dari g
generator representasi biner
generator representasi biner
000 g
3
011 1
001 g
4
110 g
010 g
5
111 g
2
100 g
6
101
Untuk menemukan titik x,y pada kurva eliptik ditetapkan terlebih dahulu sebagai salah satu elemen dari himpunan
2 6
{0,1, , ,...,
} g g
g
. Setelah itu, y dapat dicari sehingga memenuhi:
2 3
3 2
1 y
xy x
g x
Misalnya dipilih
5
x g
. Hal pertama yang dihitung adalah nilai
3 3
2
1 f x
x g x
yaitu
5 3 3
5 2 6
4
1 1
f x g
g g g
g g
Sekarang didapatkan persamaan berikut ini:
2 2
4
y g
y g
Maka nilai yang memenuhi adalah 1
y sebab
2 4
1 g g
dan
4
y g
. Jadi didapatkan titik
5
,1 g
dan
5 4
, g g
. Setelah dilakukan perhitungan untuk semua nilai x yang mungkin didapatkan semua
titik pada kurva eliptik
2 3
3 2
1 y
xy x
g x
pada GF2
3
dengan irreducible polynomial
3 2
1 f x
x x
yaitu:
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.4 Titik kurva eliptik
2 3
3 2
1 y
xy x
g x
pada GF2
3
0,1 0,1
1,g
2
1,g
6
g,g
6
g,g
4
g
2
,1 g
2
,g
6
g
3
,g
2
g
3
,g
5
g
4
,0 g
4
,g
4
g
5
,1 g
5
,g
4
g
6
,g g
6
,g
5
Bersama titik infinity O.
Invers Titik Kurva Eliptik
Invers titik ,
P x y
kurva eliptik pada GF2
m
adalah ,
P x x
y
. Contoh 2.4 :
Temukan invers titik
3 2
, P
g g
pada kurva eliptik pada contoh 2.3. Jawab:
Invers P yaitu P adalah
3 3
2 3
5
, ,
g g g
g g
.
Aturan Penjumlahan Titik
Aturan penjumlahan pada kurva eliptik
2 3
2
y xy
x ax
b
pada GF2
m
memiliki beberapa kasus, yaitu:
1. Jika
1 1
, P
x y
dan
2 2
, Q
x y
dan
1 2
x x
maka
3 3
, R
x y P Q
dapat dihitung sebagai berikut:
2 1
2 1
2 3
1 2
3 1
3 3
1
y y
x x
x x
x a
y x
x x
y
Universitas Sumatera Utara
2. Jika P Q
maka 2
R P
P P
dapat dihitung sebagai berikut:
1 1
1 2
3 2
3 1
3
1 x
y x
x a
y x
x
Contoh 2.5 :
Dengan menggunakan kurva eliptik pada contoh 2.3, jika
3 5
, P
g g
dan
6
, Q
g g
temukan hasil penjumlahan: 1.
P Q
2. 2P
Jawab : Dengan menggunakan aturan penjumlahan titik kurva eliptik pada GF2
m
dapat dihitung, dengan
3 1
x g
,
5 1
y g
,
2
x g
dan
6 2
y g
: 1.
3 3
, R
x y P Q
6 5
3
g g
g g
= g ×
1
1 g
2 3
3 4
3 3
4 4
5 3
x g
g g
g g
y g g
g g
g
Jadi
4 3
3
, , 0
R x y
g
.
2.
3 3
, 2
R x y
P
3 5
3 3
2 5
g g
g g
g g
5 2 5
3 5
3
x g
g g
g
3 2 5
5 3
1 1
y g
g g
Jadi
5
2 ,1
R P
g
.
Universitas Sumatera Utara
2.10.5 Pemasalahan Logaritma Diskrit Kurva Eliptik
