merupakan metode yang menggunakan titik-titik pada kurva eliptik. Kunci untuk kriptografi kurva eliptik terletak pada kurva tersebut. Kriptografi kurva eliptik
menggunakan dua kunci yaitu kunci publik dan kunci privat. Kunci publik pada kriptografi kurva eliptik adalah sebuah titik pada kurva eliptik dan kunci privatnya
sebuah angka random. Kunci publik diperoleh dengan melakukan operasi perkalian terhadap kunci privat dengan titik generator G pada kurva eliptik.
Kurva Eliptik adalah sehimpunan solusi yang memenuhi persamaan kubik yang melibatkan dua variabel. Kurva eliptik dapat didefenisikan pada sembarang
medan field. Kurva eliptik yang terdefenisi pada GFp dan GF2
m
dapat dipakai pada sistem kriptografi Hankerson et al., 2003.
2.10.1 Kurva Eliptik pada Bilangan Real
Untuk memperoleh gambaran yang lebih dalam tentang kurva eliptik dibahas terlebih dahulu kurva eliptik pada bilangan real. Definisi kurva eliptik pada bilangan real
diberikan oleh definisi 2.5.
Definisi 2.5 Kurva eliptik pada bilangan real.
Misalkan a,b ∈ ℝ ℝ adalah himpunan bilangan real yang memenuhi
3 2
4 27
a b
. Sebuah kurva eliptik yang yang bersifat non singular adalah himpunan E yang terdiri
dari pasangan x,y ∈ R × R yang memenuhi :
2 3
y x
ax b
bersama dengan titik khusus O yang disebut titik infinity.
Setiap perubahan nilai a dan b akan menghasilkan kurva eliptik yang berbeda. Contohnya kurva eliptik pada saat a = -12 dan b = 13 berbeda dengan kurva eliptik
pada saat a = -10 dan b = 13. Hal ini diperlihatkan oleh gambar 2.3 dan gambar 2.4.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3 Kurva eliptik
2 3
12 13
y x
x
Gambar 2.4 Kurva eliptik
2 3
10 13
y x
x
2.10.2 Grup Abelian pada kurva eliptik
Himpunan solusi
persamaan kurva
eliptik dan
titik infinite,
{ , ,...,
, , }
n n
E x y
x y O
ternyata membentuk grup Abelian dengan sebuah operasi khusus yang disebut operasi penjumlahan menggunakan simbol + dinotasikan
dengan � = E, +. Identitas penjumlahan pada grup � = E, + adalah titik infinity O.
Karena titik infinity O adalah identitas maka P O O P
P untuk semua P ∈ E.
Universitas Sumatera Utara
Jika P,Q ∈ E dengan P adalah titik
1 1
, x y
dan Q adalah titik
2 2
, x y
, maka operasi penjumlahan P dan Q didefinisikan sebagai berikut :
1. Jika P dan Q adalah titik berbeda dengan
1 2
x x
, maka operasi penjumlahan dua titik pada kurva eliptik
P Q
R
. R dapat dicari dengan menemukan garis L yang melalui P dan Q, garis L ini akan berpotongan dengan sebuah
titik dikurva eliptik, titik ini adalah R . R adalah refleksi R
pada sumbu x. Berdasarkan cara ini rumus untuk menghitung
P Q
R
jika
1 2
x x
adalah
1 1
2 2
3 3
, ,
, x y
x y x y
dengan
2 1
2 1
2 3
1 2
3 1
3 1
y y
x x
x x
x y
x x
y
2. Jika
1 2
x x
dan
1 2
y y
atau
Q P
sehingga dapat ditulis R P P
dapat dihitung sebagai berikut:
2 1
1 2
3 1
2 3
1 3
1
3 2
x a
y x
x x
y x
x y
3. Jika
1 2
x x
dan
1 2
y y
atau
Q P
maka menghasilkan titik infinity
P P
O.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.5 Penjumlahan
P Q
R
Gambar 2.6 Penjumlahan
P P
O
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Penjumlahan 2P
R
Jika diperhatikan operasi penjumlahan pada kurva eliptik memiliki sifat-sifat : 1.
Penjumlahan menghasilkan titik yang merupakan anggota E himpunan titik kurva eliptik dan titik infinity. Sifat ini disebut clousure.
2. Penjumlahan bersifat asosiatif, yaitu
P Q
R P
Q R
. 3.
Penjumlahan bersifat komutatif, yaitu
P Q
Q P
. 4.
Terdapat identitas, yaitu titik infinity. 5.
Terdapat invers penjumlahan untuk tiap titik P ∈ E.
Oleh karena itu himpunan titik-titik pada kurva eliptik dan titik infinity beserta operasi penjumlahan membentuk grup Abelian.
2.10.3 Grup Siklik pada Kurva Eliptik
