2.5 Grup
Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grup.Grup terdiri dari himpunan simbol dan sebuah operasi biner
∗. Sebuah grup harus memenuhi kondisi seperti yang diberikan oleh definsi 2.2.
Definisi 2.2 Sebuah grup G,
∗ dengan G adalah himpunan simbol, dan ∗ adalah sebuah operator biner yang memenuhi kondisi berikut ini :
1. ∀ a, b ∈ G : a ∗ b ∈ G Closure.
2. ∀ a, b, c ∈ G : a ∗ b ∗ c ∈ G : a ∗ b ∗ c Asosiatif.
3. ∃ yang unik e ∈ G : ∀ a ∈ G : a ∗ e = e ∗ a = a. Elemen e disebut elemen
identitas. 4.
∀ a ∈ G : ∃
1
a
∈ G : a ∗
1
a
=
1
a
∗ a = e Invers.
Grup yang operator ∗ bersifat komutatif yaitu ∀ a, b ∈ G : a ∗ b = b ∗ a
disebut Grup Abel.
2.6 Ring
Ring adalah struktur aljabar yang memiliki 2 operator untuk satu himpunan simbol. Untuk dapat disebut ring 2 operator itu harus memenuhi kondisi seperti yang disebut
pada definisi 2.3.
Definisi 2.3 Ring Sebuah ring adalah satu himpunan simbol R dan dua operasi :
+ disebut penjumlahan dan
× disebut perkalian yang memenuhi kondisi berikut ini : 1.
R dengan operasi + adalah grup Abel. Notasi 0 dipakai untuk merepresentasikan identitas penjumlahan.
2. Operasi × memenuhi aksioma closure, asosiatif, dan identitas. Identitas untuk
perkalian dinotasikan sebagai 1.
Universitas Sumatera Utara
3. ∀ a, b ∈ R : a × b = b × a Komutatif.
4. ∀ a, b, c ∈ R : a × b + c = a × b +a × c Distributif.
2.7 Field
Struktur aljabar field merupakan pengkhususan terhadap struktur aljabar ring. Kondisi operator untuk field adalah kondisi operator untuk ring dengan tambahan operator
perkalian x memiliki invers untuk semua simbol yang bukan identitas penjumlahan 0. Secara formal sebuah field didefinisikan oleh definisi 2.4.
Definisi 2.4
Jika elemen non-zero yang bukan identitas penjumlahan membentuk sebuah grup dengan operasi perkalian maka ring itu disebut field.
2.8 Finite Field
Finite field atau dikenal juga sebagai Galois field untuk menghormati Evariste Galois adalah field yang jumlah elemennya terbatas.
2.8.1 Finite Field Bilangan Prima GFp
Kategori