Prinsip Pemodelan

6.1. Prinsip Pemodelan

Ketika kita menganalisis data dengan menggunakan metode statistika, kita hampir selalu menekankan asumsi yang dikenakan terhadap data yang di analisis. Asumsi-asumsi itu dapat meliputi hubungan antara peubah, mau-

UNEJ

pun sebaran dari galat (error). Namun, mungkin tidak semua kita menyadari bahwa saat itu sebenarnya kita sedang menerapkan suatu pemodelan (dalam

hal ini pemodelan statistik) dalam memecahkan persoalan yang dihadapi Daftar Isi maupun membuat suatu kesimpulan tentang masalah yang dihadapi. Ketika

kita berbicara model atau pemodelan dalam bidang matematika atau sta- Judul tistika, mungkin pikiran kita membayangkan materi matematika yang su-

dah merupakan tingkat lanjut (advanced mathematics) yang membutuhkan

pemahaman kalkulus lanjut maupun persamaan diferensial. Pemodelan, baik disadari atau tidak, implisit atau eksplisit, sebenarnya selalu dilakukan pada

Hal. 159 dari saat kita menggunakan matematika (atau khususnya statistika) dalam me- 234 mecahkan masalah dalam kehidupanm riil. Bahkan, sejak kita belum men-

jadi mahasiswa, yaitu ketika di SLTP/SMU kita menyelesaikan soal bentuk Cari Halaman cerita (words problem), kita juga sebenarnya menerapkan pemodelan mate-

matika. Demikian juga ketika kita menyelesaikan aplikasi sistim persamaan

Kembali

linier dalah kehidupan sehari- hari. Definisi 6.1 (Prinsip Pemodelan). Model matematika dari suatu masalah

Layar Penuh

adalah rumusan masalah dalam bentuk persamaan matematika Definisi 6.2. Pemodelan matematika adalah proses menerjemahkan masa- Tutup

lah dalam bahasa umum ke dalam bahasa atau persamaan matematika

Keluar

Sebagai ilustrasi, berikut disampaikan contoh soal penerapan sistim per- samaan linier dan langkah- langkah penyelesaian yang dianjurkan.

Contoh 6.1. Seorang ibu membeli 3 kilogram salak dan 2 kilogram anggur. Ibu terse-

UNEJ

but harus membayar sebesar Rp 17 000,- Sedangkan ibu lain yang membeli

3 kilogram salak dan 5 kilogram anggur harus membayar Rp 29.000,-. Jika pedagang memberlakukan harga yang tetap terhadap kedua ibu- ibu tadi, Daftar Isi

berapa harga perkilogram salak dan harga perkilogram anggur? Selanjutnya berapa harga yang harus dibayar jika seseorang membeli x kg salak dan y kg

Judul

anggur? Untuk menjawab persoalan di atas dianjurkan untuk menempuh langkah-

langkah berikut, yang mungkin hanya dilakukan secara implisit.

1. Kita misalkan bilangan yang ingin kita cari (dalam hal ini harga satu

Hal. 160 dari 234

kilogram salak dan harga satu kilogram anggur) masing- masing se- bagai a dan b. Kita membuat persamaan matematika dari persoalan dalam bentuk cerita tadi. Disini sebenarnya kita sedang membuat mo- Cari Halaman

del matematika suatu persoalan. Untuk soal di atas model matematika yang kita peroleh adalah

Kembali

3a + 2b = 1700

3a + 5b = 29000

Layar Penuh

2. Kita menyelesaikan persamaan matematika di atas dengan teori mate-

matika yang kita miliki. Dengan metode Tutup eleminasi dan substitusi balik kita memperoleh a = 3000 dan b = 4000.

Keluar

3. Mensubsitusikan secara serempak nilai a dan b yang diperoleh ke sis- tim persamaan yang dimiliki untuk memeriksa apakah hasil yang kita peroleh benar atau tidak.

4. Menyimpulkan bahwa harga satu kilogram salak adalah Rp 3000 dan

UNEJ

harga satu kilogram anggur adalah Rp 4000. Jadi harga x kg salak dan y kg anggur adalah

Daftar Isi

H = 3000x + 4000y

Judul

Jadi dapat dipahami bahwa pemodelan atau menerjemahkan masalah sehari-hari ke persamaan matematika merupakan bagian yang sangat pen-

ting dalam menyelesaikan persoalan sehari- hari dengan menggunakan ma- tematika. Pentingnya pemodelan dalam matematika juga dinyatakan oleh

Hal. 161 dari 234

Prof. J. Neyman, yang dikutip dari Meyer, sebagai berikut: Whenever we use mathematics in order to study some observational

Cari Halaman

phenomena we must essentially begin by building a mathematical mo- del (deterministic or probabilistic) for these phenomena. Of necessity, the model must simplify matters and certain details must be ignored.

Kembali

The success of the model depends on whether or not the details ignored are really unimportant in the development of the phenomena studied. The solution of mathematical problems may be correct and yet be in

Layar Penuh

considerable disagreement with the observed data simply because the underlying assumptions made are not warranted. It is usually quite difficult to state with certainty, whether or not a given mathematical

model is adequate before some observational data are obtained. In Tutup order to check the validity of the model, we must deduce a number of

Keluar Keluar

UNEJ

baikan. Keberhasilan model bergantung pada apakah rincian yang diabaikan benar- benar tidak penting dalam pengembangan fenom- ena yang dipelajari. Biasanya sangat sulit untuk menyatakan dengan

Daftar Isi

pasti, apakah suatu model matematika adalah tepat atau tidak se- belum diperoleh data pengamatan. Dalam rangka memeriksa validi- tas model, kita harus menurunkan sejumlah konsekuensi (dalil) dari

Judul

model kita dan membandingkan hasil dugaan teoritis dengan penga-

matan] (Meyer [ 16 ]).

Pembuatan model dari suatu persoalan adalah ibarat pembuatan peta suatu wilayah. Dalam proses pembuatan peta, mesti ada penyederhanaan,

Hal. 162 dari 234

yaitu mengabaikan rincian hal-hal yang tidak menjadi kepentingan. Sangat jelaslah bahwa peta yang baik adalah peta yang sederhana namun memuat secara akurat informasi yang diperlukan. Peta yang terlalu rinci, dalam hal Cari Halaman tertentu menjasdi tidak komunikatif, karena terlalu banyak informasi yang tidak diperlukan. Sementara, di lain pihak, peta yang terlalu sederhana

Kembali

yang mengabaikan informasi yang penting, dapat menjerumuskan pemba- canya kepada sasaran yang keliru. Demikian juga, dalam menyelesaikan

Layar Penuh

persoalan dengan menggunakan matematika, biasanya kita selalu memulai dengan model yang paling sederhana yang berarti banyak informasi yang di- abaikan. Karenanya penyelesaian persoalan secara matematis ini, mungkin Tutup

benar tapi tidak bermanfaat dan tidak bermakna, karena model yang diban-

Keluar Keluar

UNEJ

kondidi riil di lapangan. Pada Contoh 1.1, sebenarnya setelah diperoleh kesimpulan akhir tentang harga barang, hasil tersebut perlu diperiksa atau

Daftar Isi

dicocokkan dengan keadaan riil dilapangan dengan mengambil beberapa in- formasi yang lain, apakah temuan tersebut berlaku, menyimpang sedikit atau

banyak. Sehingga kita bisa mengambil langkah apakah model yang kita pakai Judul perlu diperbaiki atau tidak. Pada Contoh 1.1, ada asumsi yang dikenakan

dalam persoalan tersebut yaitu pedangang diasumsikan mengenakan harga

yang tetap kepada semua pembeli. Ini berarti peubah harga dianggap meru- pakan peubah tetap yang tidak bersifat acak. Dengan demikian mengambil

Hal. 163 dari 234

dua pembeli sudah cukup untuk mementukan atau menghitung harga dua komuditas (anggur dan salak).

Cari Halaman

Persoalan akan menjadi lebih kompleks apabila dalam kenyataan di la- pangan pedagang mengenakan harga yang berbeda-beda kepada pembeli dan

sangat boleh jadi kenyataan inilah yang banyak terjadi di lapangan, terutama Kembali di pasar-pasar tradisional. Dalam kondisi ini ada kemungkinan dari bebe-

rapa pembeli diperoleh informasi (data) yang berbeda- beda misalnya dari 10 Layar Penuh

pembeli diperoleh informasi seperti pada Tabel 6.1 yang berupa data fiktif. Kedua sifat alami dari gejala ini menuntut pemodelan yang berbeda. Pe- Tutup

modelan yang pertama yang tidak memperhitungkan adanya sebaran harga

Keluar

Tabel 6.1: Tabel jumlah (kg) salak dan anggur dan harga yang dibayar Nomor

Jumlah

Kg Jumlah

Kg Jumlah

Pembeli Salak (X 1 )

Anggur (X 2 ) Harga dalam

Rupiah (H)

3 Daftar Isi 3 2 17 000

Hal. 164 dari 234

Cari Halaman

disebut pemodelan deterministik (matematika). Dalam pemodelan ini peubah yang diamati dianggap tetap (fixed) dan tidak memiliki sebaran

Kembali

sehingga hubungan yang diperoleh merupakan hubungan matematika yang bersifat fungsional murni (misalnya, y = f (x)). Pemodelan yang kedua, men-

Layar Penuh

ganggap peubah harga berubah- ubah dengan sebaran tertentu (misalnya, normal). Pemodelan ini disebut pemodelan stokastik (statistika). Hu- bungan yang diperoleh selain mengandung komponen fungsional, juga men- Tutup

gandung adanya galat yang merupakan peubah acak yang berdistribusi de-

Keluar Keluar

e, dengan e adalah peubah acak/ random yang berdistribusi normal, misal- nya. Fungsi f dan sebaran e biasanya bergantung kepada suatu konstanta yang belum diketahui yang disebut parameter. Parameter inilah yang bi- asanya menjadi fokus kepentingan dalam pemodelan statistika. Dalam con-

UNEJ

toh di atas X 1 ,X 2 dan Y disebut variabel/ peubah yang diketahui dari data sedangkan α dan β adalah parameter yang akan dicari). Sehingga persamaan

Daftar Isi

matematika yang sekarang harus diselesaikan adalah h=β Judul 1 x 1 +β 2 x 2 + ǫ.

Selanjutnya dengan mengenakan beberapa pembatasan atau asumsi, dalam

statistika, diperoleh berbagai variasi model. Asumsi yang paling sederhana yang juga menghasilkan model yang paling sederhana adalah bahwa e i berdis-

Hal. 165 dari tribusi identik dan independen. Model-Statistika Linier membahas berbagai 234 alternatif model serta penyelesaiannya. Dengan prosedur stokastik meng-

hasilkan persamaan yang berupa dugaan harga ( ˆ H)

Cari Halaman

ˆh = 3001, 73x 1 + 3968, 40x 2

Kembali

dengan 3001,732 disebut penduga β 1 atau ˆ β 1 yaitu dugaan harga 1 kg salak

dan 3968,40 disebut ˆ β 2 yaitu digaan harga 1 kg anggur.

Layar Penuh

Tutup

Keluar