FAMÍLIAS DE FUNÇÕES

1.4 FAMÍLIAS DE FUNÇÕES

As funções são, freqüentemente, agrupadas em famílias de acordo com a forma das fórmulas que as defi nem ou outras características comuns. Nesta seção, vamos discutir algumas das famílias de funções mais básicas.

■ FAMÍLIAS DE CURVAS

O gráfi co de uma função constante ƒ(x) = c é o gráfi co da equação y = c, que é a reta hori-

zontal mostrada na Figura 1.4.1a. Se variarmos c, obteremos um conjunto ou uma família de retas horizontais tais como as da Figura 1.4.1b.

As constantes que variamos para produzir uma família de curvas são denominadas parâ-

(0, c) y =c

metros. Por exemplo, lembre que uma equação da forma y = mx + b representa uma reta de in- clinação m e corte com o eixo y em b. Se mantivermos b fi xo e tratarmos m como um parâmetro,

obteremos uma família de retas cujos membros têm, todos, o mesmo corte em b com o eixo y (Figura 1.4.2a), e se mantivermos m fi xo e tratarmos b como um parâmetro, obteremos uma fa- mília de retas paralelas cujos membros têm, todos, a mesma declividade m (Figura 1.4.2b).

c = –3 c = –4,5

A família y = mx + b

A família y = mx + b

(m fi xo e b variando) (b)

(b fi xo e m variando)

n A FAMÍLIA y = x

Uma função da forma ƒ(x) = x p , onde p é constante, é denominada função potência. Por en- quanto, vamos considerar o caso em que p é um inteiro positivo, digamos p = n. Os gráfi cos das

curvas y = x n para n = 1, 2, 3, 4 e 5 estão na Figura 1.4.3. O primeiro gráfi co é o da reta y = x, cuja inclinação é 1 e passa pela origem, e o segundo é uma parábola que se abre para cima e tem

seu vértice na origem (ver Apêndice G da internet).

y y =x

y =x 2 y

y =x 3 y y =x 4 y y =x 5

xx -1

1 -1 1 -1

1 -1

1 -1

1 -1

Figura 1.4.3

Capítulo 1 / Funções

Para n n ≥ 2, o formato da curva y = x depende de n ser par ou ímpar (Figura 1.4.4):

• Para valores pares de n, as funções ƒ(x) = x n são pares, portanto seus gráfi cos são simétricos em relação ao eixo y. Os gráfi cos têm todos o formato geral da parábo-

la y = x 2 (embora não sejam realmente parábolas se n > 2) e cada gráfi co passa pe- los pontos ( −1, 1) e (1, 1). À medida que n cresce, os gráfi cos fi cam mais e mais achatados no intervalo −1 < x < 1 e mais e mais próximos da vertical nos interva- los x > 1 e x < −1.

• Para valores ímpares de n, as funções ƒ(x) = x n são ímpares, portanto seus gráfi cos são simétricos em relação à origem. Os gráfi cos têm todos o formato geral da cúbica

y =x 3 e cada gráfi co passa pelos pontos (1, 1) e ( −1, −1). À medida que n cresce, os gráfi cos fi cam mais e mais achatados no intervalo −1 < x < 1 e mais e mais próximos

da vertical nos intervalos x > 1 e x < −1.

A família y =x n A família y =x n (n par)

(n ímpar)

Figura 1.4.4

Os efeitos de achatar e de aproximar a vertical podem ser entendidos considerando o que ocorre quando

um número x é elevado a potências mais e mais elevadas: se −1 < x < 1 , então o valor absoluto de x n de-

cresce com n crescente, fazendo com que os gráfi cos nesse intervalo sejam achatados com n crescente

(tente elevar 1 2 1 ou − 2 a potências cada vez mais elevadas). Por outro lado, se x n >1 ou se x< −1 , então o

valor absoluto de x cresce com n crescente, fazendo com que os gráfi cos nesses intervalos se aproximem

da vertical com n crescente (tente elevar 2 ou −2

a potências cada vez mais elevadas).

A FAMÍLIA y = x –n

p Se p é um inteiro negativo, digamos p = tomam a forma –n = n

−n, então as funções potência ƒ(x) = x ƒ(x) = x

1/x . A Figura 1.4.5 mostra os gráfi cos de y = = 1/x e y 1/x 2 . O gráfi co de y = 1/x é denominado uma hipérbole eqüilátera (por razões que serão discutidas adiante). Como mostra a Figura 1.4.5, o formato da curva y =

1/x n depende de n ser par ou ímpar:

• Para valores pares de n, as funções ƒ(x) = 1/x n são pares, portanto seus gráfi cos são si- métricos em relação ao eixo y. Os gráfi cos têm todos o formato geral da curva y = 1/x 2

e cada gráfi co passa pelos pontos ( −1, 1) e (1, 1). À medida que n cresce, os gráfi cos fi cam mais e mais próximos da vertical nos intervalos −1 < x < 0 e 0 < x < 1 e mais e mais achatados nos intervalos x > 1 e x < −1.

42 Cálculo

Para valores ímpares de n, as funções ƒ(x) = 1/x n são ímpares, portanto seus gráfi cos são simétricos em relação à origem. Os gráfi cos têm todos o formato geral da curva

y = 1/x e cada gráfi co passa pelos pontos (1, 1) e ( −1, −1). À medida que n cresce, os

Considerando os valores de 1/x n para

gráfi cos fi cam mais e mais próximos da vertical nos intervalos −1 < x < 0 e 0 < x < 1

um x fi xado com n crescente, explique

por que os gráfi cos fi cam mais acha-

e mais e mais achatados nos intervalos x > 1 e x < −1.

tados ou próximos da vertical para va-

n lores crescentes de n, conforme des-

Tanto para valores pares quanto ímpares de n o gráfi co y = 1/x tem uma quebra na

crito no texto.

origem (denominada descontinuidade), que ocorre por não ser permitido dividir por zero.

A família y = 1/x n

A família y = 1/x n

(n par)

(n ímpar)

Figura 1.4.5

■ PROPORÇÕES INVERSAS

Lembre-se de que uma variável y diz-se inversamente proporcional a uma variável x se hou- ver uma constante positiva k, denominada constante de proporcionalidade, tal que

y=

Uma vez que se supõe k positiva, o gráfi co dessa equação tem a mesma forma básica que y = 1/x, mas é comprimido ou alongado na direção do eixo y. Também deveria ser eviden-

te por (1) que duplicando x multiplicamos y por 1 , e triplicando x multiplicamos y por 2 1 3 ,

e assim por diante.

A equação (1) pode ser expressa como xy = k, que nos diz que o produto de grandezas inversamente proporcionais é uma constante positiva. Essa é uma forma útil de identifi car proporcionalidade inversa em dados experimentais.

䉴 Exemplo 1

A Tabela 1.4.1 mostra alguns dados experimentais.

T abela 1.4.1

(a) Explique por que os dados sugerem que y é inversamente proporcional a x.

DADOS EXPERIMENTAIS

(b) Expresse y como uma função de x.

x 0,8 1 2,5 4 6,25 10 y 6,25 5 2 1,25 0,8 0,5

(c) Faça um gráfi co da função e dos dados juntos para x > 0. Solução Para cada ponto dos dados, temos xy = 5, portanto y é inversamente proporcional a

x e y = 5/x. O gráfi co dessa equação com os pontos dados está na Figura 1.4.6. 䉳

As proporções inversas surgem em várias leis da Física. Por exemplo, a lei de Boyle afi rma que se uma quantidade fi xa de um gás ideal é mantida a uma temperatura constante,

Capítulo 1 / Funções

então é constante o produto da pressão P exercida pelo gás e o volume V que ele ocupa , ou

Isso implica que as variáveis P e V são inversamente proporcionais uma à outra. A Figura

1.4.7 mostra um típico gráfi co de volume versus pressão sob as condições da lei de Boyle. Observe como, dobrando a pressão, reduzimos o volume à metade, como era de se esperar.

Lei de Boyle (P = k/V)

(b)

1 Pressão

0 Volume V y = √x

■ FUNÇÕES POTÊNCIAS COM EXPOENTES NÃO-INTEIROS

y p = –√x Se p = 1/n, onde n é um inteiro positivo, então as funções potências ƒ(x) = x têm a forma

√ x ; e se n = 3, então , √

f (x) = x

1/n

√ n . Em particular, se n = 2, então

f (x) = 3 f (x) = x .

(c)

Os gráfi cos dessas funções estão nas partes (a) e (b) da Figura 1.4.8.

Como cada número real tem uma raiz cúbica, o domínio da função √ 3

Figura 1.4.8

f (x) = x √ é

(−⬁, +⬁) , de modo que o gráfi co de

y= 3 x se estende sobre todo o eixo x. Contrastando

com esse comportamento, o gráfi co de

y= x se estende somente sobre o intervalo [0, +⬁) , pois √ x é um número imaginário para x negativo. Como ilustra a Figura 1. 4.8c, os gráfi cos de

√ y= x

4 2 x √ =y . Em geral, o gráfi co de n

e de

y=− x constituem, respectivamente, as porções superior e inferior da parábola

y= x se estende sobre todo o eixo x se n é ímpar, mas somente

3 y =x 2/3

sobre o intervalo [0, +⬁) se n é par.

2 As funções potência podem ter outros expoentes fracionários. Alguns exemplos são:

2/3 , x 3 f (x) = x f (x) = ,

f (x) = x −7/8 (2)

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4 O gráfi co de ƒ(x) = x 2/3 mostrado na Figura 1.4.9 foi discutido na Seção 1.2. Adiante

Figura 1.4.9

discutiremos expressões envolvendo expoentes irracionais.

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

Leia a nota que precede o Exercício 29 da Seção 1.2 e use um recurso gráfi co para gerar gráfi cos de √ 5 f(x) = x 3 e de f(x) = x −7/8 que exibam todas as suas características signifi cativas.

■ POLINÔMIOS

Um polinômio em x é uma função expressa como uma soma fi nita de termos da forma cx n , onde c é uma constante e n é um inteiro não-negativo. Alguns exemplos de polinômios são:

2 3x √ + 5x − 2, x 2x + 1, 3 ,

0 ), 5x 7 4 (= 4x 4 −x +3

2 A função (x 3 − 4) é também um polinômio, pois pode ser expandida pela fórmula binomial (veja no verso da capa) e expressa, então, como uma soma de termos da forma cx n :

2 3 2 3 2 2 2 4 2 3 6 4 2 (x − 4) = (x ) − 3(x ) ( 4) + 3(x )( ) − (4 )=x − 12x + 48x − 64 (3)

44 Cálculo

Um polinômio geral pode ser escrito em qualquer uma das formas a seguir, dependendo

Uma revisão mais detalhada sobre

se quisermos as potências de x em ordem crescente ou decrescente:

polinômios é apresentada no Apên- dice B.

c 0 1 x+c 2 x 2 +···+c n x +c n

c n x n +c n−1 x n−1 +···+c 1 x+c 0

As constantes c 0 ,c 1 ,c 2 ,..., c n são denominadas coefi cientes do polinômio. Quando um poli- nômio é representado em uma dessas formas, a mais alta potência que ocorre com um coefi - ciente não-nulo é denominada grau do polinômio. Os polinômios constantes não-nulos são

considerados como tendo grau 0, uma vez que podemos escrever c = cx 0 . Os polinômios de grau 1, 2, 3, 4 e 5 são descritos como lineares, quadráticos, cúbicos, quárticos e quínticos, respectivamente. Por exemplo:

2 3 3 5x x − 3x + 1 2x −7 tem grau 1 (linear) tem grau 2 (quadrático) tem grau 3 (cúbico)

8x 4 − 9x 3 √ + 5x −3

3 5 2 3+x 3 +x (x − 4) tem grau 4 (quártico) tem grau 5 (quíntico) tem grau 6 [veja (3)]

O domínio natural de um polinômio em x é ( − ∞ ,+ ∞ ), já que as únicas operações envolvi- das são multiplicações e adições; a imagem depende do polinômio. Já sabemos que os gráfi cos dos polinômios de grau 0 e 1 são retas e que os gráfi cos dos polinômios de grau 2 são parábolas.

A Figura 1.4.10 mostra alguns gráfi cos de polinômios típicos de graus superiores. Discutiremos mais adiante gráfi cos de polinômios em detalhes; por ora, é sufi ciente observar que eles são muito bem-comportados no sentido de não terem descontinuidades ou bicos agudos. Conforme ilustrado na Figura 1.4.10, os gráfi cos dos polinômios durante um certo tempo vão para baixo e para cima como em uma montanha-russa, para depois subir ou cair indefi nidamente, à medida que percorremos a curva em qualquer um dos dois sentidos. Veremos posteriormente que o nú- mero de picos e de vales é determinado pelo grau do polinômio.

■ FUNÇÕES RACIONAIS

Uma função que pode ser expressa como uma razão de dois polinômios é denominada função racional. Se P(x) e Q(x) forem polinômios, então o domínio da função racional

P (x) f (x) = Q(x)

consiste em todos os valores de x tais que Q(x) ≠ 0. Por exemplo, o domínio da função racional

x 2 + 2x f (x) = x 2

consiste em todos os valores de x, exceto x = 1 e x = −1. Seu gráfi co está na Figura 1.4.11, junto com os gráfi cos de duas outras funções racionais típicas.

Os gráfi cos das funções racionais com denominadores não-constantes diferem dos grá- fi cos dos polinômios de algumas formas essenciais:

Capítulo 1 / Funções

• Diferentemente dos polinômios, cujos gráfi cos são curvas contínuas (não-quebra- das), os gráfi cos das funções racionais têm descontinuidades nos pontos onde o de- nominador é zero.

• Diferentemente dos polinômios, as funções racionais podem ter números nos quais não estão defi nidas. Perto desses pontos, muitas funções racionais têm gráfi cos que se aproximam bastante de uma reta vertical, denominada assíntota vertical. Na Figu- ra 1.4.11, essas assíntotas estão representadas por linhas tracejadas.

• Diferentemente dos gráfi cos dos polinômios não-constantes, os quais começam e ter- minam subindo ou descendo indefi nidamente, os gráfi cos de muitas funções racionais podem começar ou terminar cada vez mais perto de uma reta horizontal, denominada assíntota horizontal, quando se percorre a curva em qualquer um dos sentidos. As as- síntotas estão representadas pelas linhas tracejadas horizontais nas duas primeiras par- tes da Figura 1.4.11. Na terceira parte da fi gura, uma assíntota horizontal é o eixo x.

■ FUNÇÕES ALGÉBRICAS

As funções que podem ser construídas com polinômios, aplicando-se um número fi nito de operações algébricas (adição, subtração, divisão e extração de raízes), são denominadas fun- ções algébricas. Alguns exemplos são:

2 + x), 2 f (x) = x (x + 2) Conforme ilustrado na Figura 1.4.12, os gráfi cos das funções algébricas variam amplamente;

assim sendo, é difícil fazer afi rmativas genéricas sobre elas. Mais adiante no livro, vamos de- senvolver métodos gerais do Cálculo que permitem analisar essas funções.

-3 -2 -1

-3 -2 -1 1 -5 -4 -3 -2 -1

y = √ x 2 –4

y =3 3 √x (2 + x)

y =x 2/3 (x + 2) 2

Figura 1.4.12

46 Cálculo

■ AS FAMÍLIAS y = A sen Bx E y = A cos Bx

Muitas aplicações importantes levam às funções trigonométricas do tipo

Neste texto, vamos supor que a va- riável independente de uma função

ƒ(x) = A sen(Bx − C) e g(x) = A cos(Bx − C) (4)

trigonométrica seja dada em radia-

onde A, B e C são constantes não-nulas. Os gráfi cos de tais funções podem ser obtidos alon-

nos, a menos de menção explícita em contrário. Uma revisão de funções tri-

gando, comprimindo, transladando e refl etindo apropriadamente os gráfi cos de y = sen x e y

gonométricas pode ser encontrada no

= cos x. Para ver isso, vamos começar com o caso C = 0 e considerar como os gráfi cos das

Apêndice A.

equações

y = A sen Bx e y = A cos Bx

se relacionam com os gráfi cos de y = sen x e y = cos x. Se A e B forem positivos, então o efeito

da constante A é alongar ou comprimir verticalmente os gráfi cos de y = sen x e y = cos x por um fator A, enquanto o de B é fazer o mesmo, porém horizontalmente por um fator B. Por exemplo, o gráfi co de y = 2 sen 4x pode ser obtido alongando verticalmente o de y = sen x por um fator 2 e comprimindo horizontalmente por um fator 4. (Lembre-se da Seção 1.3, em que vimos que o multiplicador de x alonga quando for menor que 1 e comprime quando maior que 1.) Assim, como mostra a Figura 1.4.13, o gráfi co de y = 2 sen 4x varia entre −2 e 2 e repete-se

a cada 2π/4 = π/2 unidades.

Em geral, se A e B forem números positivos, então os gráfi cos de

y = A sen Bx e y = A cos Bx

oscilam entre −A e A e repetem-se a cada 2π/B unidades. Assim, dizemos que essas funções têm amplitude A e período 2π/B. Além disso, defi nimos a freqüência dessas funções como sendo o recíproco do período, ou seja, B/2π. Se A e B forem negativos, além da compressão

e do alongamento, teremos refl exões dos gráfi cos pelos dois eixos; nesse caso, a amplitude, o período e a freqüência são dados por

|B|

amplitude = |A|, período =

, freqüência =

|B|

䉴 Exemplo 2 Faça um esboço dos seguintes gráfi cos que mostre o período e a ampli- tude.

(a) y = 3 sen 2πx (b) y = −3 cos 0,5x (c) y = 1 + sen x

Solução (a)

A equação é do tipo y = A sen Bx com A = 3 e B = 2π, portanto o gráfi co tem

a forma de uma função seno, mas com amplitude A = 3 e período 2π/B = 2π/2π = 1 (Figura 1.4.14a).

47 Solução (b)

Capítulo 1 / Funções

A equação é do tipo y = A cos Bx com A = −3 e B = 0,5, portanto o gráfi co tem

a forma de uma função cosseno que foi refl etida em torno do eixo x (pois A = −3 é negativa), mas com amplitude |A| = 3 e período 2π/B = 2π/0,5 = 4π (Figura 1.4.14b).

Solução (c) O gráfi co tem a forma de uma função seno que foi transladada uma unidade para cima (Figura 1.4.14c). 䉳

c o Período

Período

■ AS FAMÍLIAS y = A sen(Bx – C) E y = A cos(Bx – C)

Para investigar os gráfi cos das famílias mais gerais

y = A sen(Bx − C) e y = A cos(Bx − C)

será útil reescrevê-las na forma C C

y = A sen B x−

e y = A cos B x− B B

Assim, vemos que os gráfi cos dessas equações podem ser obtidos transladando os gráfi cos de y=

A sen Bx e y = A cos Bx para a esquerda ou para a direita, dependendo do sinal de C/B. Por exemplo, se C/B > 0, então o gráfi co de

y = A sen[B(x − C/B)] = A sen(Bx − C)

pode ser obtido transladando o de y = A sen Bx para a direita em C/B unidades (Figura 1.4.15). Se C/B < 0, o gráfi co de y = A sen(Bx − C) é obtido por translação do gráfi co de y = A sen Bx para a esquerda por |C/B| unidades.

y C /B

Amplitude =A

Encontre a amplitude e o período de

π y = 3 cos 2x + 2

e determine como deveria ser transladado o gráfi co de y = 3 cos 2x para produzir o gráfi co dessa equação. Confi rme seu resultado fazendo o gráfi co da equação em uma calculadora ou computador.

48 Cálculo

3 Solução

A equação pode ser reescrita como

que é do tipo

com A = 3, B = 2 e C/B = −π/4. Segue-se que a amplitude é A = 3, o período é 2π/B = π, e o gráfi co é obtido transladando o gráfi co de y = 3 cos 2x para a esquerda por |C/B| = π/4 unidades (Figura 1.4.16). 䉳

✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.4 (Ver página 51 para respostas.)

1. Considere a família de funções y = x n , onde n é um inteiro. 4. Classifi que cada equação como polinomial, racional, algébrica Os gráfi cos de y = x n são simétricos em relação ao eixo y se

ou não uma função algébrica:

n for __________. Esses gráfi cos são simétricos em relação à

(a) √

√ 4 y= x + 2 (b) y= 3x −x+1

origem se n for __________. O eixo y é uma assíntota vertical x desses gráfi cos se n for __________. 2 (c) +5

y = 5x 3 + cos 4x (d) y= 2x − 7 2. Qual é o domínio natural de um polinômio?

(e) y = 3x 2 + 4x −2

3. Considere a família de funções y = x 1/n , onde n é um inteiro 5. O gráfi co de y = A sen Bx tem amplitude ___________ e é

não-nulo. Encontre o domínio natural dessas funções se n for periódico de período ___________. (a) positivo e par

(b) positivo e ímpar

(c) negativo e par

(d) negativo e ímpar.

EXERCÍCIOS 1.4

Recurso Gráfi co 1. (a) Encontre uma equação para a família de retas cujos mem-

6. Encontre uma equação para a família de retas que passam pela bros têm inclinação m = 3.

intersecção de 5x − 3y + 11 = 0 e 2x − 9y + 7 = 0. (b) Encontre uma equação para o membro da família que pas-

7. O Imposto de Renda dos EUA usa um sistema de depreciação se por ( −1, 3).

linear de 10 anos para determinar o valor de vários itens co- (c) Esboce os gráfi cos de alguns membros da família e mar-

merciais. Isso signifi ca que se supõe que um item tenha valor que-os com suas equações. Inclua a reta da parte (b).

zero no fi nal do décimo ano e que, em tempos intermediá- 2. Encontre uma equação para a família de retas cujos membros

rios, o valor é uma função linear do tempo decorrido. Esboce são perpendiculares àqueles do Exercício 1.

algumas retas de depreciação típicas e explique o signifi cado prático do corte com o eixo y.

3. (a) Encontre uma equação para a família de retas com corte no eixo y igual a b = 2.

8. Encontre todas as retas por (6, −1) para as quais o produto dos (b) Encontre uma equação para o membro da família cujo ân-

cortes nos eixos x e y é 3.

gulo de inclinação é de 135°. (c) Esboce os gráfi cos de alguns membros da família e mar-

que-os com suas equações. Inclua a reta da parte (b).

ENFOCANDO CONCEITOS

4. Encontre uma equação para: 9-10 Estabeleça uma propriedade geométrica comum a todas as (a) a família de retas passando pela origem.

retas da família e esboce cinco das retas. (b) a família de retas com corte no eixo x igual a a = 1.

9. (a) a família y = −x + b

(c) a família de retas que passam pelo ponto (1, −2).

(b) a família y = mx −1

(d) a família de retas paralelas a 2x + 4y = 1.

(c) a família y = m(x + 4) + 2

5. Encontre uma equação para a família de retas tangentes ao cír-

(d) a família x − ky = 1

culo com centro na origem e raio 3.

Capítulo 1 / Funções

Esboce o gráfi co de y = √

10. (a) a família y = b

(b)

x + b para b = ±1, ±2 e ±3 em um único sistema de coordenadas.

(b) a família Ax + 2y + 1 = 0 (c) Esboce alguns membros típicos da família de curvas (c) a família 2x + By + 1 = 0

√ y=a x + b.

(d) a família y − 1 = m(x + 1) 11. Em cada parte, combine a equação com um dos gráfi cos

17-20 Esboce o gráfi co da equação fazendo as transformações dados.

apropriadas no gráfi co de uma função de potência básica. Confi ra (a) √ 5 y= 5 x (b) y = 2x

seu trabalho com um recurso gráfi co.

(c) y= 8 −1/x √

(d) y = x 2 −1

(e) √ 4 √ 5 y= 2 x − 2 (f) y=− x 2 17. (a) y = 2(x + 1) (b) y = −3(x − 2) 3

18. (a) y = 1 − x + 2 (b) y=1− x+2 (c)

√ 3 19. (a) y = √ x + 1 (b) y=1− x−2

Figura Ex-11

21. Esboce o gráfi co de y = x + 2x completando o quadrado e fa- zendo as transformações apropriadas no gráfi co de y = x 2 .

12. A tabela abaixo dá valores aproximados de três funções: uma 22. (a) Use o gráfi co de y = x para ajudar a esboçar o gráfi co √ da forma kx 2 , outra da forma kx –3

e a terceira da forma kx 3/2 .

de y = |x|. (b) Use o gráfi co de y

Identifi que cada uma e estime k em cada caso.

x para ajudar a esboçar o gráfi co

de y

= |x|.

T abela Ex-12

23. Conforme discutido nesta seção, a lei de Boyle estabelece que,

a uma temperatura constante, a pressão P exercida por um gás

está relacionada ao volume V pela equação PV = k. (a) Encontre as unidades apropriadas para a constante k se a

f (x) 640 197 1,08

g (x) 0,0312 0,0684 2,20

pressão (que é força por unidade de área) for em newtons

h (x) 0,250 0,450 6,09

por metro quadrado (N/m 2 ) e o volume em metros cúbicos

(m 3 ).

(b) Encontre k se o gás exercer uma pressão de 20.000 N/m 2 13-14 Esboce o gráfi co da equação para n = 1, 3 e 5 em um siste-

quando o volume é de 1 litro (0,001 m 3 ). ma de coordenadas e para n = 2, 4 e 6 em outro sistema de coorde-

(c) Faça uma tabela que mostre as pressões para volumes de nadas. Confi ra seu trabalho com um recurso gráfi co.

0,25; 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0 litros.

(d) Faça um gráfi co de P versus V. 13. (a) y = −x (b) y = 2x (c) y = (x

–n

− 1) 1/n

24. Um fabricante de recipientes impermeabilizados de papelão 14. (a) y = 2x n (b) y= –n (c) y=

−x 1/n −3(x + 2)

para bebidas quer construí-los na forma de um paralelepí-

pedo fechado com base quadrada e capacidade de 1/10 litro (100cm único sistema de coordenadas. 3 ). Estime as dimensões do recipiente que requer a me-

15. (a) Esboce o gráfi co de y = ax 2 para a = ±1, ±2 e ±3 em um

nor quantidade de material para sua fabricação. único sistema de coordenadas. (c) Esboce alguns membros típicos da família de curvas

(b) Esboce o gráfi co de y = x 2 + b para b = ±1, ±2 e ±3 em um

25-26 Uma variável y se diz ser inversamente proporcional ao y = ax 2 + b.

quadrado de uma variável x se y está relacionada com x por uma

16. (a) 2 Esboce o gráfi co de y = a x para a = ±1, ±2 e ±3 em um equação da forma y = k/x , onde k é uma constante não-nula, de- único sistema de coordenadas.

nominada constante de proporcionalidade. Essa terminologia é usada nestes exercícios.

50 Cálculo

25. De acordo com a lei de Coulomb, a força F de atração entre 28. Encontre uma equação da forma y = k/(x 2 + bx + c) cujo duas cargas pontuais positiva e negativa é inversamente pro-

gráfi co se adeque razoavelmente com o da fi gura abaixo. porcional ao quadrado da distância x entre elas.

Confi ra seu trabalho com um recurso gráfi co. (a) Supondo que a força de atração entre as cargas é de 0,0005

newton quando a distância entre elas é de 0,3 metro, en- y contre a constante de proporcionalidade (com unidades

adequadas). (b) Encontre a força de atração das cargas pontuais quando

elas estiverem 3 metros uma da outra. x

(c) Faça um gráfi co da força versus distância para as duas cargas.

(d) O que acontece com a força se as partículas fi carem cada vez mais perto uma da outra? O que acontece se fi carem

Figura Ex-28

cada vez mais longe uma da outra? 26. Segue a partir da Lei da Gravitação Universal de Newton que

29-30 Encontre uma equação da forma y = D + A sen Bx ou y = D o peso P de um objeto, em relação à Terra, é inversamente pro-

A cos Bx para cada gráfi co.

porcional ao quadrado da distância x entre o objeto e o centro

da Terra, isto é, P = C/x 2 .

(a) Supondo que um satélite meteorológico pese 900 kgf na

superfície da Terra e que ela é uma esfera com raio de 6.400 km, ache a constante C.

(b) Encontre o peso do satélite quando estiver a 1.600 km aci-

ma da superfície da Terra.

-4 (c) Faça um gráfi co do peso do satélite versus sua distância ao centro da Terra.

(b) (d) Há alguma distância do centro da Terra na qual o peso do satélite seja zero? Explique seu raciocínio.

(a)

ENFOCANDO CONCEITOS

27. Combine a equação com seu gráfi co na fi gura a seguir e x determine as equações para as assíntotas verticais e hori-

zontais.

x (a) 2 y= 2 x x−1 (b) y = −x−2

(c)

−x−6

Figura Ex-29

Figura Ex-27

Figura Ex-30

Capítulo 1 / Funções

31. Em cada parte, encontre uma equação para o gráfi co que 33-34 Encontre a amplitude e o período e esboce pelo menos dois

tenha a forma y = y 0 + A sen (Bx − C).

períodos do gráfi co à mão. Confi ra seu trabalho com um recurso

gráfi co.

−1 − 4 sen 2x (b) y = 2 cos(3x − π)

35. Equações da forma

1 ωt+A 2 cos ωt surgem no estudo de vibrações e de outros movimentos perió- dicos.

x =A sen

(a) Use a identidade trigonométrica para senn(α + β) para

c mostrar que a equação pode ser escrita na forma x = A sen(ωt + θ)

(c)

(b) Estabeleça as fórmulas que expressam A e θ em termos das

Figura Ex-31

constantes A 1 ,A 2 e ω. (c) Expresse a equação

32. Nos EUA, as tomadas elétricas padrão fornecem uma corrente 5 x=5 3 sen 2πt + 2 cos 2πt

elétrica senoidal com uma voltagem máxima de V = 120 2 na forma x = A sen(ωt + θ), e use um recurso gráfi co volts (V), a uma freqüência de 60 hertz (Hz). Escreva uma

para confi rmar que ambas as equações têm o mesmo gráfi co. equação que expresse V como uma função do tempo t, supon-

36. Determine o número de soluções de x = 2 sen x, e use um recur- do que V = 0 se t = 0. [Nota: 1 Hz = 1 ciclo por segundo.]

so computacional ou gráfi co para obter um valor aproximado dessas soluções.

✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.4

1. par; ímpar; negativo 2. − ( ∞ , + ∞ ) 3. (a) [0, + ∞ ) (b) ( − ∞ , + ∞ ) (c) (0, + ∞ ) (d) ( − ∞ , 0) ∪ (0, + ∞ ) 4. (a) algébrica (b) polinomial (c) não-algébrica (d) racional (e) racional

5. |A|; 2π/|B|