FUNÇÕES INVERSAS; FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1.5 FUNÇÕES INVERSAS; FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Na linguagem do dia-a-dia, o termo “inverter” tem a conotação de virar em sentido contrário. Por exemplo, em Meteorologia, uma inversão térmica é uma troca das propriedades de temperaturas usuais das camadas atmosféricas e, em Música, uma inversão melódica troca um intervalo ascendente pelo correspondente intervalo descendente. Em Matemática, o termo inverter é utilizado para descrever uma função que troca de volta o que uma outra função faz, ou seja, cada uma desfaz o efeito da outra. Nesta seção discutiremos essa idéia matemática fundamental. Em particular, introduziremos as funções trigonométricas inversas para atacar o problema de recuperar um ângulo que possa ter produzido um certo valor de uma função trigonométrica.

■ FUNÇÕES INVERSAS

A idéia de resolver uma equação y = ƒ(x) para x como uma função de y, digamos x = g (y), é uma das idéias mais importantes na Matemática. Às vezes, resolver essa equação é um pro- cesso simples; por exemplo, usando álgebra básica, a equação

y=x 3 + 1 y = f(x)

52 Cálculo

y y =x 3 +1

pode ser resolvida para x como uma função de y:

3 x= y−1 x = g(y) y =x +1

A primeira equação é melhor para calcular y se x for conhecido, e a segunda é melhor para

calcular x se y for conhecido (Figura 1. 5.1).

Nosso interesse fundamental nesta seção é identifi car relações que possam existir entre as funções ƒ e g, quando uma função y = ƒ(x) for expressa como x = g(y), ou ao contrário.

g(y) = y−1 . Quando essas fun- ções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra, ou seja:

Por exemplo, consideremos as funções ƒ(x) = x 3 +1e

3 3 y 3 (x 3 x = √ y –1

g(f (x)) =

f (x) − 1 =

+ 1) − 1 = x

3 3 3 f (g(y)) = [g(y)] +1=( y−1) +1=y (1)

Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma terminolo-

gia específi ca para elas.

x = 3 √ y –1

1.5.1 DEFINIÇÃO Se as funções ƒ e g satisfazem as duas condições

g (ƒ(x)) = x para todo x no domínio de ƒ ƒ(g(y)) = y para todo y no domínio de g

Figura 1.5.1

dizemos que ƒ e g são funções inversas uma da outra, ou então, que ƒ é uma inversa de g

e g é uma inversa de ƒ.

Pode ser mostrado (Exercício 34) que se uma função ƒ tem uma inversa, então essa inversa é única. Assim, se uma função ƒ tem uma inversa, temos o direito de falar “da” inversa

ADVERTÊNCIA

Se f é uma função, então o −1 −1 no sím-

de ƒ, e passamos a denotá-la pelo símbolo ƒ −1 .

bolo f sempre denota a inversa e nunca um expoente, ou seja:

f (x) nunca signifi ca

−1 1 䉴

Exemplo 1

As contas feitas em (1) mostram que

g(y) = y−1 é a inversa de ƒ (x) =

f(x)

x + 1. Assim, podemos escrever g em notação de inversa como

−1

f 3 (y) = y−1

e podemos escrever as equações na Defi nição 1.5.1 como

f −1 (ƒ(x)) = x para cada x no domínio de f

f (ƒ −1 (y)) = y para cada y no domínio de f −1 (2)

Referimo-nos a essas equações como as equações do cancelamento de ƒ e ƒ −1 . 䉳

■ MUDANÇA DA VARIÁVEL INDEPENDENTE

As fórmulas em (2) usam x como a variável independente para ƒ e y como a variável independente para ƒ −1 . Embora muitas vezes seja conveniente utilizar variáveis diferentes para ƒeƒ −1 , freqüentemente é desejável utilizar a mesma variável independente para ambas. Por exemplo, se quisermos esboçar os gráfi cos de ƒ e de ƒ −1 juntos no mesmo sistema de coordenadas xy, utilizaremos a mesma variável independente x e a mesma variável depen-

dente y para ambas as funções. Assim, para esboçar o gráfi co das funções ƒ(x) = x 3 p +1e

(y) = 3 y−1 do Exemplo 1 no mesmo sistema de coordenadas xy, trocamos a vari- ável independente y para x, usamos y como a variável dependente de ambas as funções, e

f −1

traçamos o gráfi co das equações

3 e √ 3 y=x +1 y= x−1

54 Cálculo

DEMONSTRAÇÃO Substituindo y = ƒ(x) em x = g(y) dá x = g(ƒ(x)), que confi rma a primeira equação da Defi nição 1.5.1, e substituindo x = g(y) em y = ƒ(x) dá y = ƒ(g(y)), que confi rma a segunda equação da Defi nição 1.5.1.

O Teorema 1.5.2 nos dá o seguinte procedimento para encontrar a inversa de uma função.

Um Procedimento para Encontrar a Inversa de uma Função f

Passo 1. Escreva a equação y = f(x). Passo 2. Se possível, resolva essa equação em x como função de y.

Passo 3. A equação resultante será x = ƒ −1 (y), que fornece uma fórmula para ƒ −1

Uma maneira alternativa de obter

com va-

uma fórmula para f −1 (x) com x como

riável independente y.

variável independente é inverter os papéis de x e de y logo no início e en-

Passo 4. Se y for aceitável como variável independente da função inversa, estamos feitos;

tão resolver a equação x = f (y) para y

se quisermos ter x como variável independente, precisamos trocar x com y na

como função de x.

equação x = ƒ −1 (y) para obter y = ƒ −1 (x).

√ Exemplo 4 Encontre uma fórmula para a inversa de f (x) = 3x − 2 com variável independente x e dê o domínio de ƒ −1 .

Solução Seguindo o procedimento dado acima, começamos escrevendo

√ y= 3x − 2

Em seguida, resolvemos essa equação para x como função de y: y 2 = 3x − 2

x= 1

3 (y 2 + 2)

Como queremos que a variável independente seja x, trocamos x e y na última equação para obter a fórmula

f −1

3 (x + 2) (5) Sabemos de (4) que o domínio de ƒ −1 é a imagem de ƒ. Em geral, isso não precisa ser igual

1 2 (x) =

−1 ao domínio natural da fórmula para ƒ . De fato, nesse exemplo, o domínio natural de (5) é dado por ( − ∞ ,+ ∞ ), enquanto a imagem de

−1 f (x) = 3x − 2 é [0, + ∞ especifi car o domínio de ƒ ). Assim, se quisermos , devemos dá-lo explicitamente reescrevendo (5) como

■ EXISTÊNCIA DE FUNÇÃO INVERSA

O procedimento que acabamos de dar para encontrar a inversa de uma função foi baseado na resolução da equação y = ƒ(x) para x como função de y. Esse procedimento pode falhar por duas razões: a função ƒ pode não ter uma inversa, ou tem uma inversa mas a equação y = ƒ(x) não pode ser resolvida explicitamente para x como função de y. Assim, é importante estabelecer condições que garantam a existência de uma inversa, mesmo se não for possível encontrá-la explicitamente.

Se uma função ƒ tem uma inversa, então ela deve associar saídas distintas a entradas distintas. Por exemplo, a função ƒ(x) = x 2 não pode ter uma inversa porque associa o mes-

mo valor a x = 2 e a x = 2 −2, a saber, ƒ(2) = ƒ(−2) = 4. Assim, se ƒ(x) = x tivesse uma in- −1 versa, então a equação ƒ(2) = 4 implicaria que ƒ (4) = 2 e a equação ƒ(

−2) = 4 implicaria

que ƒ −1 (4) =

−2. Mas isso é impossível, porque ƒ −1 (4) não pode ter dois valores diferentes. Uma outra maneira de ver que ƒ(x) = x 2 não tem inversa é tentar encontrar uma inversa resolvendo a equação y = x 2 para x como função de y. Imediatamente nos deparamos com

a equação x=± y , que não expressa x como função bem defi nida de y.

Capítulo 1 / Funções

Uma função que associa saídas distintas a entradas distintas é denominada injetora ou, então, invertível. Pelo que acabamos de discutir, se uma função tem uma inversa, então ela deve ser injetora. A recíproca também é verdadeira, e estabelecemos o seguinte teorema:

1.5.3 TEOREMA Uma função tem uma inversa se, e somente se, f é injetora. Algebricamente, isso signifi ca que uma função é injetora se, e somente se, ƒ(x 1 ) ≠ ƒ(x 2 )

sempre que x 1 ≠x 2 ; geometricamente, uma função é injetora se, e somente se, o gráfi co de y = ƒ(x) é cortado, no máximo, uma única vez por qualquer reta horizontal (Figura 1.5.3). Essa última afi rmação, junto com o Teorema 1.5.3, produz o seguinte teste geométrico para determinar se uma função tem uma inversa.

Injetora, uma vez que Não é injetora, uma vez que ƒ(x 1 ) ≠ ƒ(x 2 ) se x 1 ≠x 2 ƒ(x 1 ) = ƒ(x 2 )ex 1 ≠x 2

Figura 1.5.3

1.5.4 TEOREMA (O Teste da Reta Horizontal) Uma função tem uma inversa se, e so-

mente se, seu gráfi co é cortado, no máximo, uma única vez por qualquer reta horizontal.

䉴 Exemplo 5

Use o teste da reta horizontal para mostrar que ƒ(x) = x 2 não tem uma inversa, mas que ƒ(x) = x 3 tem.

Solução

A Figura 1.5.4 mostra uma reta horizontal que corta o gráfi co de y = x 2 mais de uma vez, de modo que ƒ(x) = x 2 não é invertível. A Figura 1.5.5 mostra que o gráfi co de y = x 3 é cortado, no máximo, uma única vez por qualquer reta horizontal, de modo que ƒ(x) = x 3 é

3 −1 invertível. [Lembre do Exemplo 2 que a inversa de ƒ(x) = x 1/3 éƒ (x) = x .] 䉳

y =x 3

y =x 2

Figura 1.5.4

Figura 1.5.5

56 Cálculo

4 䉴 Exemplo 6

Explique por que a função cujo gráfi co está na Figura1.5.6 tem uma inversa

3 e obtenha ƒ −1 (3).

2 Solução

A função ƒ tem uma inversa uma vez que seu gráfi co passa pelo teste da reta hori-

1 zontal. Para calcular ƒ

−1 (3), consideramos ƒ −1

(3) como aquele número x para o qual ƒ(x) = 3.

−1 A partir do gráfi co, vemos que ƒ(2) = 3; logo, ƒ (3) = 2. 䉳

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Figura 1.5.6

■ FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES SÃO INVERTÍVEIS

Uma função cujo gráfi co está sempre crescendo quando percorrido da esquerda para a direita

na Figura 1.5.5 é um exemplo de uma função crescente.

A função f(x) = x 3

é denominada função crescente e uma função cujo gráfi co está sempre decrescendo quando

Dê um exemplo de uma função de-

percorrido da esquerda para a direita é denominada função decrescente. Se x 1 ex 2 são pontos

crescente e calcule sua inversa.

do domínio de ƒ, então ƒ é crescente se

ƒ(x 1 ) < ƒ(x 2 ) sempre que x 1 <x 2

e ƒ é decrescente se ƒ(x 1 ) > ƒ(x 2 ) sempre que x 1 <x 2

(Figura 1.5.7). É geometricamente evidente que funções crescentes e decrescentes passam no teste da reta horizontal e, portanto, são invertíveis.

b ■ GRÁFICO DAS FUNÇÕES INVERSAS

a Nosso próximo objetivo é explorar a relação entre os gráfi cos de ƒ e ƒ −1 . Com esse propósito,

Os pontos (a, b) e (b, a) são

será desejável usar x como a variável independente para ambas as funções, para podermos

refl exões por y = x

comparar os gráfi cos de y = ƒ(x) e y = ƒ −1 (x).

Figura 1.5.8

Se (a, b) for um ponto no gráfi co y = ƒ(x), então b = ƒ(a). Isso é equivalente à afi rmativa

de que a = ƒ −1 (b), a qual signifi ca que (b, a) é um ponto no gráfi co de y = ƒ −1 (x). Em resumo, inverter as coordenadas de um ponto no gráfi co de ƒ produz um ponto no gráfi co de ƒ −1 y . Analo-

y =f –1 (x)

gamente, inverter as coordenadas de um ponto no gráfi co de ƒ −1 produz um ponto no gráfi co de ƒ

(b, a)

y =x

(verifi que). Contudo, o efeito geométrico de inverter as coordenadas de um ponto é refl etir aquele ponto pela reta y = x (Figura 1.5.8), portanto os gráfi cos de y = ƒ(x) e y = ƒ −1 (x) são refl exões

y = f (x)

um do outro em relação a essa reta (Figura 1.5.9). Em resumo, temos o seguinte resultado:

(a, b)

1.5.5 TEOREMA Se ƒ tiver uma inversa, então os gráfi cos de y = ƒ(x) e y = ƒ −1 (x) são

refl exões um do outro em relação à reta y = x; isto é, cada um é a imagem espelhada do outro em relação àquela reta.

Figura 1.5.9

57 䉴 Exemplo 7

Capítulo 1 / Funções

A Figura 1.5.10 mostra os gráfi cos das funções inversas discutidas nos Exemplos 2 e 4. 䉳

■ RESTRINGINDO DOMÍNIOS PARA A INVERTIBILIDADE

Se uma função g é obtida a partir de uma função ƒ pela imposição de restrições sobre o domí- nio de ƒ, então dizemos que g é uma restrição de f. Assim, por exemplo, a função

g (x) = x 3 , x ≥0

é uma restrição da função ƒ(x) = x 3 . Mais precisamente, dizemos que g é uma restrição de x ao intervalo [0, + ∞ ).

Às vezes é possível criar uma função invertível a partir de uma função que não é invertí- vel pela restrição apropriada do domínio. Por exemplo, já vimos que ƒ(x) = x 2 não é invertível. Contudo, considere as funções restritas

1 (x) = x , x ≥ 0eƒ 2 (x) = x , x ≤0

A união dos gráfi cos dessas duas funções é o gráfi co completo de ƒ(x) = x 2 (Figura 1.5.11). Cada uma dessas funções restritas é injetora (portanto invertível), pois seu gráfi co passa no teste da linha horizontal. Como ilustra a Figura 1.5.12, suas inversas são

f 1 −1

(x) = x e f 2 −1 (x) = − x

y =x 2 ,x≤0 y

y =x 2 ,x≥0

■ FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Um problema comum em Trigonometria é obter um ângulo x a partir de um valor conhecido

de sen x, de cos x ou de alguma outra função trigonométrica. Lembre-se de que problemas

58 Cálculo

desse tipo envolvem o cálculo de “funções arco”, tais como arc sen x, arc cos x e assim por diante. Vamos terminar esta seção estudando essas funções arco do ponto de vista de funções inversas gerais.

As seis funções trigonométricas básicas não têm inversas pois seus gráfi cos se repetem periodicamente e, portanto, não passam no teste da reta horizontal. Para evitar esse problema, restringimos os domínios das funções trigonométricas para obter funções injetoras e depois defi nir as “funções trigonométricas inversas” como as inversas dessas funções restritas. A

Se o leitor encontrar dificuldades para visualizar a correspondência

parte superior da Figura 1.5.13 mostra como impor essas restrições a sen x, cos x, tg x e sec x,

entre as partes superior e inferior

e a parte inferior mostra o gráfi co correspondente das funções inversas

da Figura 1.5.13, deve lembrar que uma refl exão pela reta y = x transfor-

arc sen x , arc cos x, arc tg x, arc sec x

ma retas verticais em retas horizon-

(que também poderiam ser denotadas por sen −1 x , cos −1 x , tg −1 x , sec −1 x , prática que não será

tais e vice-versa, convertendo cortes

adotada aqui). As inversas de cotg x e de cossec x são de menor importância e não serão con-

com o eixo x em cortes com o eixo y e vice-versa.

sideradas nos exercícios.

6 c I C ^ –1 6 c i –1

y = sec x ^≤x≤6

0≤x≤ c, x ≠ 6 y

0≤x≤ c ^<x<6

As defi nições formais seguintes resumem a discussão precedente.

1.5.6 DEFINIÇÃO A função arco seno, denotada por arc sen, é defi nida como sendo a

inversa da função seno restrita

sen x , −π/2 ≤ x ≤ π/2

1.5.7 DEFINIÇÃO A função arco cosseno, denotada por arc cos, é defi nida como sendo

a inversa da função cosseno restrita cos x , 0≤x≤π

Capítulo 1 / Funções

1.5.8 DEFINIÇÃO A função arco tangente, denotada por arc tg, é defi nida como sendo

a inversa da função tangente restrita tg x , −π/2 < x < π/2

1.5.9 DEFINIÇÃO *

A função arco secante, denotada por arc sec, é defi nida como sendo

a inversa da função secante restrita sec x , 0≤x≤π com

A Tabela 1.5.1 resume as propriedades básicas das funções trigonométricas inversas que vimos. O leitor deve confi rmar que os domínios e imagens listados nessa tabela são con- sistentes com os gráfi cos mostrados na Figura 1.5.13.

Tabela 1.5.1

FUNÇÃO

DOMÍNIO

IMAGEM

RELAÇÕES BÁSICAS

arc sen

[–p/2, p/2]

arc sen(sen x) = x se –p/2 ≤ x ≤ p/2 sen(arc sen x) = x se −1 ≤ x ≤ 1

arc cos(cos x) = x se 0 ≤ x ≤ p cos(arc cos x) = x se −1 ≤ x ≤ 1

arc tg

(–p/2, p/2)

arc tg(tg x) = x se –p/2 < x < p/2 tg(arc tg x) = x se −∞ < x < +∞

arc sec

(– ∞ , –1] 傼 [1, + ∞ ) [0, p/2) 傼 (p/2, p] arc sec(sec x) = x se 0 ≤ x ≤ p, x ≠ p/2 sec(arc sec x) = x se |x| ≥1

■ CALCULANDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Um problema comum em Trigonometria é encontrar um ângulo cujo seno seja conhecido. Por

1 exemplo, podemos querer encontrar um ângulo x medido em radianos, tal que

e, mais geralmente, para um dado valor de y no intervalo −1 ≤ y ≤ 1 podemos querer resolver

a equação sen x = y (7)

Figura 1.5.14

Como sen x repete-se periodicamente, tais equações têm uma infi nidade de soluções para x; entretanto, se resolvermos essa equação como

x = arc sen y

então isolamos a solução específi ca que está no intervalo [ −π/2, π/2], uma vez que essa é a variação da inversa do seno. Por exemplo, a Figura 1.5.14 mostra quatro soluções da Equação (6), isto é, −11π/6, −7π/6, π/6 e 5π/6. Uma delas, π/6, é a solução no intervalo [−π/2, π/2],

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

logo

Use o manual de seu recurso com- 1 arc sen

putacional para determinar como calcular inversas de senos, cossenos e tangentes e então confi rme a Equação (8) numericamente, mostrando que

* Não há um acordo universal sobre a defi nição de arc sec x, e alguns matemáticos preferem restringir o domínio de sec x de tal forma que 0 ≤ x < π/2 ou π ≤ x < 3π/2, defi nição usada em algumas edições anteriores deste livro. Cada defi nição tem vantagens e

arc sen 0,5 ≈ 0,523598775598... desvantagens, mas mudamos para a defi nição corrente por estar de acordo com a convenção usada pelos programas Mathematica, ≈ π/6

Maple

e Derive.

60 Cálculo

Em geral, se considerarmos x = arc sen y como um ângulo medido em radianos cujo seno é y, então a restrição −π/2 ≤ x ≤ π/2 impõe a exigência geométrica de que o ângulo x em posição padrão esteja no primeiro ou no quarto quadrantes, ou em um dos eixos adjacentes a esses quadrantes.

䉴 Exemplo 8

Encontre os valores exatos de

(a) arc sen ( 1/ 2)

(b) arc sen ( −1)

por inspeção e confi rme numericamente seus resultados, usando um recurso computacional.

Solução (a) Como arc sen ( 1/

2 ) > 0, podemos ver x = arc sen ( 1/ 2) como aquele ângu- √ √

2 ) = π/4. √ Podemos confi rmar isso com um recurso computacional, mostrando que arc sen ( 1/

lo no primeiro quadrante tal que sen θ = 1/ 2. Assim, arc sen ( 1/

Se x = arc cos y for visto como um ân- gulo medido em radianos cujo cosseno

Solução (b) Como arc sen ( −1) < 0, podemos ver x = arc sen (−1) como aquele ângulo

é y, em qual quadrante pode estar x ?

no quarto quadrante (ou um eixo adjacente) tal que sen x = −1. Assim, arc sen (−1) = −π/2.

Responda a mesma questão para

Podemos confi rmar isso com um recurso computacional, mostrando que arc sen ( −1) ≈

x = arc tg y e x = arc sec y.

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

A maioria das calculadoras não tem um método direto para calcular a inversa da secante. Em tal situação, a identidade

arc sec x = arc cos (1/x) (9)

é útil (Exercício 50). Use essa fórmula para mostrar que arc sec (2,25) ≈ 1,11 e arc sec ( −2,25) ≈ 2,03

Se você tiver um recurso computacional (tal como um CAS) que possa achar arc sec x diretamente, use-o para conferir esses valores.

■ IDENTIDADES PARA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Se interpretamos arc sen x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se esse ângu- lo for não-negativo, então podemos representar arc sen x geometricamente como um ângulo em um triângulo retângulo no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo

de arc sen x, comprimento x (Figura 1.5.15a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente ao √ ângulo arc sen x tem comprimento

1−x 2 . Além disso, o ângulo oposto a arc sen x é arc cos x, uma vez que o cosseno daquele ângulo é x (Figura 1.5.15b). Esse triângulo motiva várias

identidades úteis, envolvendo funções trigonométricas inversas que valem para −1 ≤ x ≤ 1. Por exemplo:

arc sen x + arc cos x=

cos (arc sen x)

= 2 1−x (11)

2 sen (arc cos x) = 1−x (12)

tg (arc sen x) =

2 1−x

Analogamente, arc tg x e arc sec x podem ser representadas como ângulos dos triângulos

Não se ganha nada memorizando essas identidades; o importante é

retângulos mostrados na Figura 1.5.15c e 1.5.15d (verifi que). Esses triângulos revelam mais

compreender o método que foi usado

identidades úteis, por exemplo:

para obtê-las.

2 sec (arc tg x) = 1+x (14)

sen (arc sec x)

(x ≥ 1) (15)

Capítulo 1 / Funções

A técnica do triângulo nem sempre produz a forma mais geral de uma identidade. Por exemplo, no Exercício 62 pedi- mos para o leitor deduzir a seguinte extensão da Fórmula (15) que é válida tanto para x ≤ −1 quanto para x ≥ 1:

x sen (arc sec x) 2 = −1

(|x| ≥ 1) (16)

|x|

A partir da Figura 1.5.13, observe que as inversas do seno e da tangente são funções ímpares; isto é:

arc sen (–x) = − arc sen x e arc tg ( −x) = −arc tg x (17-18)

䉴 Exemplo 9

A Figura 1.5.16 mostra um gráfi co gerado por computador da função y = arc sen (sen x). Poder-se-ia pensar que esse gráfi co deva ser a reta y = x, uma vez que arc sen (sen x) = x. Por que isso não acontece?

Solução

A relação arc sen (sen x) = x é válida no intervalo −π/2 ≤ x ≤ π/2; logo, podemos di- zer, com certeza, que os gráfi cos de y = arc sen (sen x) e y = x coincidem nesse intervalo (o que é confi rmado pela Figura 1.5.16). Contudo, fora desse intervalo, a relação arc sen (sen x) = x não precisa ser válida. Por exemplo, se x estiver no intervalo π/2 ≤ x ≤ 3π/2, então a quantidade x − π estará no intervalo −π/2 ≤ x ≤ π/2. Assim:

arc sen [sen (x − π)] = x − π

Dessa forma, usando a identidade sen (x − π) = − sen x e o fato de que arc sen é uma função ímpar, podemos expressar arc sen (sen x) como

arc sen (sen x) = arc sen[ −sen(x − π)] = −arc sen[sen(x − π)] = −(x − π) Isso mostra que no intervalo π/2 ≤ x ≤ 3π/2, o gráfi co de y = arc sen (sen x) coincide com a reta y= − (x − π), que tem inclinação −1 e um corte no eixo x em x = π, o que está de acordo com

a Figura 1.5.16. 䉳

Figura 1.5.16

62 Cálculo ✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.5 (Ver página 65 para respostas.)

1. Em cada parte, determine se a função ƒ é injetora. 4. Em cada parte, determine o valor exato sem utilizar recursos (a) ƒ(t) é o número de pessoas na fi la de um cinema no instan-

computacionais.

te de tempo t.

(a) arc sen ( −1) = __________

(b) ƒ(x) é a temperatura máxima medida (arredondada até o

(b) arc tg (1) = __________

° C mais próximo) em uma cidade no x-ésimo dia do ano.

(d) arc cos 1

2. Um estudante digita um número em uma calculadora, toma

(e) arc sec ( −2) = __________

o dobro, soma 8 ao resultado, divide por 2, subtrai 3 do quo- 5. Em cada parte, determine o valor exato sem utilizar recursos ciente e então toma o cubo da diferença. Se o número resul-

tante for x, então o número original digitado pelo estudante

computacionais.

foi ________. (a) arc sen (sen π/7) = __________ 3. Se (3,

−2) é um ponto no gráfi co de uma função ƒ ímpar inver- (b) arc sen (sen 5π/7) = __________ tível, então __________ e __________ são pontos no gráfi co

(d) arc cos (cos 12π/7) = __________

EXERCÍCIOS 1.5

Recurso Gráfi co 1. Em (a)-(d), determine se ƒ e g são funções inversas.

(a) Existem algumas horas do dia que não podem ocorrer (a)

1 em uma tal confi guração? Explique.

f (x) = 4x, g(x) = 4 x (b) ƒ(x) = 3x + 1, g(x) = 3x f g −1

(b) Como é afetada sua resposta a (a) se ƒ deve ser uma √

3 3 função invertível?

(c)

f (x) = x − 2, g(x) = x +2

ponta do ponteiro dos minutos que parou no gráfi co de 2. Verifi que suas respostas para o Exercício 1 com um recurso

(d) f (x) = x , g(x) = 4 x

gráfi co computacional, determinando se os gráfi cos de ƒ e g

são refl exões um do outro em relação à reta y = x. A fi gura abaixo mostra o gráfi co de uma função ƒ sobre seu domínio −8 ≤ x ≤ 8. Explique por que ƒ tem uma

7. (a)

−1 3. Em cada parte, use o teste da reta horizontal para determinar se inversa e use o gráfi co para encontrar ƒ (2), ƒ −1

( −1) e a função ƒ é injetora.

−1 (a) ƒ(x) = 3x + 2 (b) f(x) = x−1 (b) Encontre o domínio e a imagem de ƒ . (c) 3 ƒ(x) = |x| (d) ƒ(x) = x

(e) 2 ƒ(x) = x − 2x + 2 (f) ƒ(x) = sen x

4. Em cada parte, gere o gráfi co da função ƒ com um recurso grá- fi co computacional, e determine se ƒ é injetora.

(a) x ƒ(x) = x 3 − 3x + 2 (b) ƒ(x) = x 3 − 3x 2 + 3x −1 0

ENFOCANDO CONCEITOS -1

5. Em cada parte, determine se a função ƒ defi nida pela tabela -2

é injetora.

Figura Ex-7

(a) x

1 2 3 4 5 6 8. (a) Explique por que a função ƒ, cujo gráfi co está na fi gura f (x) –2

–1 0 1 2 3 abaixo, não tem inversa em seu domínio −3 ≤ x ≤ 4. (b) Subdivida o domínio em três intervalos adjacentes so-

(b) bre cada um dos quais a função ƒ tem uma inversa. x

f (x) 4 –7

6. A face de um relógio quebrado caiu inteira no plano xy com

o centro do relógio na origem e as 3 horas na direção do 4 eixo x positivo. Quando o relógio quebrou, a ponta do pon-

teiro das horas parou no gráfi co de y = ƒ(x), onde ƒ é uma

Figura Ex-8

função que satisfaz ƒ(0) = 0.

Capítulo 1 / Funções

28. Seja ƒ(x) = ax 2 + bx + c, a > 0. Encontre ƒ −1 se o domínio de ƒ

9-17

Encontre uma fórmula para ƒ −1 (x).

for restrito a (a) x ≥ − b/(2a)

(b) x ≤ − b/(2a) 9. ƒ(x) = 7x −6

10. f(x) = x+1

x−1 3 29. Seja ƒ(x) = 2x + 5x + 3. Encontre x se ƒ −1 (x) = 1. 3 11. ƒ(x) = 3x √

x 3 30. Seja f(x) = 2 . Encontre x se ƒ √ −1 (x) = 2. 3 x 13. f(x) = 2x − 1

−5 12. f(x) = 5 4x + 2

+1 31. Prove que se a 2 + bc ≠ 0, então o gráfi co de

14. ƒ (x) = 5/(x 2 + 1), x ≥0 ax + b

15. ƒ(x) = 3 / x 2 ,x < 0 16.

x≤0 f (x) = x 2 , cx − a x>

f (x) =

0 é simétrico em relação à reta y = x.

17. f(x) = 1/x,

x≥2

32. (a) Prove que se ƒ e g forem injetoras, então a composição

(f ◦ g) também o é.

18. Obtenha uma fórmula para p −1 (x), dado que (b) Prove que se ƒ e g forem injetoras, então

3 p 2 (x) = x − 3x + 3x −1

(f ◦ g) −1 =g −1 ◦f −1 33. Esboce o gráfi co de uma função que é injetora em (

−1 − ∞ ,+ ∞ 19-23 ), em- Encontre uma fórmula para ƒ (x) e dê o domínio de bora não crescente em ( ∞ ,+ ∞ ) e não decrescente em ( ∞ ,+ ∞ ). ƒ −1

34. Prove que uma função injetora ƒ não pode ter duas inversas 19. ƒ(x) = (x + 2) 4

,x ≥0 √

diferentes.

35. Dado que θ = arc tg 4 3 θ, 20. f(x) = x + 3 21. f (x) = −

3 − 2x

cos θ, cotg θ, sec θ e cossec θ.

22. ƒ(x) = 3x 2 + 5x −2, x ≥ 0 36. Sabendo que θ = arc sec 2,6, encontre o valor exato de sen θ, 23. ƒ(x) = x

− 5x 2 , x ≥1

cos θ, tg θ, cotg θ e cossec θ.

37. Para quais valores de x é verdade que: (a) arc cos (cos x ) = x (b) cos (arc cos x )=x

ENFOCANDO CONCEITOS

peratura em Fahrenheit F como uma função da temperatura 38-39 Encontre o valor exato da quantidade dada. em Celsius C.

3 3 (a) Encontre uma fórmula para a função inversa. arc sen − 4 39. sen 2 arc cos 5 (b) Descreva o signifi cado da função inversa.

40-41 Complete a identidade usando o método do triângulo (c) Encontre o domínio e a imagem da função inversa.

(Figura 1.5.15).

25. (a) Um metro é aproximadamente 6,214 × 10 −4 milhas. En- contre uma fórmula y = ƒ(x) que expresse o compri-

(b) tg (arc cos x) = ? mento x em metros como uma função de mesmo com-

40. (a) sen (arc cos x) = ?

(d) sen (arc tg x) = ? primento y em milhas.

(b) tg (arc cos x) = ? (b) Encontre uma fórmula para a função inversa de ƒ.

41. (a) cos (arc tg x) = ?

(d) cotg (arc sec x) = ? (c) Em termos práticos, o que signifi ca a fórmula x = ƒ −1 (y)? 42. (a) Use um recurso gráfi co computacional ajustado para medir

26. Seja ƒ(x) = x 2 , x > 1 e g(x) = √ x . radianos para fazer tabelas dos valores de y = arc sen x e y = arc cos x para x = −1; − 0,8; −0,6;...; 0; 0,2;...; 1. Arre-

(a) Mostre que ƒ(g(x)) = x, x >1 e g(ƒ(x)) = x, x > 1. donde sua resposta para duas casas decimais. (b) Mostre que ƒ e g não são inversas uma da outra provan-

(b) Plote os pontos obtidos em (a) e use-os para esboçar os gráfi - do que os gráfi cos dessas funções não são refl exões um

cos de y = arc sen x e y = arc cos x. Confi rme que seus esbo- do outro em relação à reta y = x.

ços estão de acordo com aquele da Figura 1.5.13 (c) As partes (a) e (b) se contradizem? Explique.

− x)/(1 − x) é a sua própria in- arc sen x e y = arc cos x; confi rme que os gráfi cos estão de acordo com aqueles da Figura 1.5.13.

versa. (b) O que o resultado de (a) diz sobre o gráfi co de ƒ?

43. Em cada parte, esboce o gráfi co e verifi que seu trabalho com um recurso gráfi co computacional.

(a) y= arc sen 2x (b) y= arc tg 1 2 x

64 Cálculo

44-46 Use um recurso computacional para aproximar a solução 49. (a) Esboce os gráfi cos de arc cotg x e arc cossec x. da equação. Quando forem usados radianos, expresse sua res-

(b) Obtenha o domínio e a imagem de arc cotg x e de arc posta com quatro casas decimais; quando forem usados graus,

cossec x.

expresse-a até o décimo de grau mais próximo. [Nota: Em cada parte, a solução não está na imagem da função trigonométrica

50. Mostre que

w that

inversa pertinente.]

arc tg (1 x), /

se x > 0

(a) arc cotg x =

π + arc tg (1 x), se x < 0 / 44. (a) sen x = 0,37, π/2 < x < π

|x| ≥ 1 45. (a) cos x = − 0,85, π < x < 3π/2

(b) sen θ= − 0,61, 180° < θ < 270° (b) arc sec x = arc cos , s e

s −90° < θ < 0° |x| ≥ 1 46. (a) tg x = 3,16, −π < x < −π/2

e (b) cos θ = 0,23,

(c)

arc cossec x = arc sen x

51. A maioria das calculadoras científi cas tem teclas somente para (b) tg θ= − 0,45, 90° < θ < 180° os valores de arc sen x, arc cos x e arc tg x. As fórmulas no

Exercício 50 mostram como uma calculadora pode ser usada

ENFOCANDO CONCEITOS

para obter os valores de arc cotg x, arc sec x, arc cossec x para valores positivos de x. Use essas fórmulas e uma calculadora

47. (a) Use um recurso computacional para calcular o valor de arc sen (arc sen 0,25) e arc sen

para encontrar os valores numéricos para cada uma das funções (arc sen 0,9) e explique o trigonométricas inversas seguintes. Expresse suas respostas em

que pode estar acontecendo no segundo cálculo. graus, arredondados para o décimo de grau mais próximo. (b) Para quais valores de x no intervalo −1 ≤ x ≤ 1 seu re-

(a) arc cotg 0,7 (b) arc sec 1,2 (c) arc cossec 2,3 curso computacional produz um valor real para a fun-

ção arc sen(arc sen x) ? 52. Um satélite de observação terrestre tem sensores de horizonte que podem medir o ângulo θ mostrado na fi gura abaixo. Seja R

48. Um jogador de futebol chuta uma bola com uma velocidade o raio da Terra (suposta esférica) e h a distância entre o satélite inicial de 14 m/s em um ângulo θ com o plano horizontal

e a superfície da Terra.

(ver fi gura abaixo). A bola cai no chão a uma distância de

18 m depois do chute. Se a resistência do ar for desprezada,

(a) Mostre que θ=

então a bola terá uma trajetória parabólica e o alcance hori-

R+h

zontal R será dado por (b) Obtenha θ até o grau mais próximo para um satélite que v 2 está a 10. 000 km da superfície (use R = 6.378 km).

sen 2θ

onde v é a velocidade inicial da bola e g é a aceleração da

gravidade. Usando g = 9,8 m/s 2 , aproxime dois valores de

θ, até o grau mais próximo, segundo os quais a bola poderia h ter sido chutada. Qual ângulo resultaria em um tempo me-

nor de permanência no ar? Por quê?

Terra

Figura Ex-52

53. O número de horas de claridade em um dado dia e em um dado ponto na superfície terrestre depende da latitude λ do ponto, do

ângulo γ através do qual a Terra moveu-se em seu plano orbital, durante o período de tempo a partir do equinócio do outono (21

de março), e do ângulo de inclinação ø do eixo de rotação da Terra, medido a partir da eclíptica para o norte (ø ≈ 23,45°) .

Figura Ex-48

O número de horas de claridade h pode ser aproximado pela fórmula

49-50 ⎧ A função arc cotg x é defi nida como sendo a inversa da fun-

D≥1 ção cotangente restrita

15 arc sen D, ⎪ |D| < 1 cotg x, 0 < x<π

h= 2 12 +

D ≤ −1 e a função arc cossec x é defi nida como sendo a inversa da função

onde

cossecante restrita sen φ sen γ tg λ

cossec x, − π/2 < x < π/2, x ≠ 0 2 2 1− sen φ sen γ Use essas defi nições em todos os exercícios subseqüentes que en-

e arc sen D é medido em graus. Dado que Fairbanks, no Alaska, volverem essas funções.

está localizada à latitude de λ = 65°N e também que γ = 90° em 20 de junho e γ = 270° em 20 de dezembro, aproxime

Capítulo 1 / Funções

(a) o número máximo de horas de claridade em Fairbanks com quando a base do míssil estiver b pés acima das lentes da câme- uma casa decimal;

ra o ângulo θ subentendido nas lentes pelo míssil é

x (b) o número mínimo de horas de claridade em Fairbanks com

− arc cot uma casa decimal.

θ = arc cot

a+b

Fonte: Este problema foi adaptado de TEAM, A Path to Applied Mathema-

tics . The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1985.

54. A lei dos cossenos afi rma que

c 2 =a 2 +b 2 − 2ab cos θ u

onde a, b e c são os comprimentos dos lados de um triângulo e ␪ é o ângulo formado pelos lados a e b. Obtenha θ, até o grau

mais próximo, para o triângulo com a = 2, b = 3 e c = 4.

Câmera

Rampa de lançamento

Figura Ex-56

55. Um avião está voando a uma altura constante de 3.000 pés acima da água, a uma velocidade de 400 pés/s. O piloto deve sol-

57. Prove:

tar um pacote de sobrevivência que deve cair na água em um

(a) arc sen ( −x) = − arc sen x

ponto P conhecido. Se a resistência do ar for desprezada, então

(b) arc tg ( −x) = − arc tg x

o pacote irá seguir uma trajetória parabólica, cuja equação em

58. Prove:

relação ao sistema de coordenadas na fi gura abaixo é

(a) arc cos ( −x) = π − arc cos x

x y = 3000 − 2 2 (b) arc sec (

−x) = − arc sec x

59. Prove: onde g é a aceleração da gravidade e v é a velocidade do 2 x

avião. Usando g = 32 pés/s , encontre o ângulo θ da “linha

2 (|x| < 1) de visão” até o grau mais próximo que resultará no pacote

(a) arc sen x = arc tg

1−x

atingindo o alvo. x (b) arc cos

Trajetória parabólica do objeto

arc tg x + arc tg y = arc tg x+y

3.000 pés

1 − xy desde que − π /2 < arc tg x + arc tg y < π / 2. [Sugestão: Use uma

Linha de visão

identidade para tg ( α + ß).]

61. Use o resultado do Exercício 60 para mostrar que 56. Uma câmera está posicionada a x pés da base de uma ram-

Figura Ex-55

(a) arc tg 1 2 1 + arc tg 3 = π/4

pa de lançamento de mísseis (ver fi gura a seguir). Se o míssil

(b) 2 arc tg 1 3 1 + arc tg 7 = π/4

de comprimento a pés for lançado verticalmente, mostre que 62. Use as identidades (9) e (12) para obter a identidade (16).

✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.5

() 1. (a) não é injetora (b) não é injetora (c) é injetora

3. ( −2, 3); (2, −3) 4. (a) −π/2 (b) π/4 (c) π/3 (d) π/3 (e) 2π/3 5. (a) π/7 (b) 2π/7 (c) π/6 (d) 2π/7

2. √ 3 x−1

FUNÇÕES INVERSAS; FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1.5 FUNÇÕES INVERSAS; FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS