FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

1.6 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Quando os logaritmos foram introduzidos como uma ferramenta computacional no século XVII, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído as tabelas logarítmicas em cálculos numéricos, as funções logarítmicas têm aplicações de longo alcance na Matemática e nas ciências. Nesta seção vamos rever algumas propriedades

de exponenciais e logaritmos e então utilizaremos nosso estudo de funções inversas para desenvolver resultados sobre funções exponenciais e logarítmicas.

66 Cálculo ■ EXPOENTES IRRACIONAIS

Lembre-se da Álgebra, em que as potências inteiras não-nulas de um dado número real não- nulo b são defi nidas por

b n =b×b×···×b

e b −n

n fatores

eb 0 = 1 se n = 0. Além disso, se p/q é um número racional positivo dado em forma irredutível, então

p/q

b = b =( b) p e b −p/q =

b p/q Se b é negativo, então algumas potências fracionárias de b terão valores imaginários, como,

por exemplo, a quantidade

= −2 . Para evitar essa complicação, passamos a supor

em toda esta seção que b > 0, mesmo se isso não for explicitado.

Existem vários métodos para defi nir potências irracionais, tais como

T abela 1.6.1

Uma abordagem consiste em defi nir as potências irracionais de b por meio de aproximações

sucessivas usando potências racionais de b. Por exemplo, para defi nir 2 x π 2 , considere a repre-

sentação decimal de π :

A partir dessa decimal podemos formar uma seqüência de racionais que fi ca cada vez mais

próxima de π , a saber:

e dessa seqüência podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:

Como os expoentes dos termos dessa seqüência se aproximam cada vez mais de π, parece

razoável que os próprios termos também se aproximem sucessivamente de algum número. É esse o número que defi nimos como sendo 2 π . Isso está ilustrado na Tabela 1.6.1, que construí-

mos usando uma calculadora. A tabela sugere que, até a quarta casa decimal, o valor de 2 π é π 2 ≈ 8,8250 (1)

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

Com essa noção de potências irracionais, observamos, sem provar, que as seguintes leis

de exponenciação familiares valem para todos os valores reais de p e de q:

Use uma calculadora para conferir os

resultados da Tabela 1.6.1 e então

confi ra (1) usando a calculadora para

A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Uma função da forma ƒ(x) = b x , em que b > 0, é denominada função exponencial de base b. Alguns exemplos são:

f (x) = 2 x , 1 f (x) = x

f (x) = π

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. As-

2 sim, funções tais como ƒ(x) = x π e ƒ(x) = x não seriam classifi cadas como funções exponen-

ciais, uma vez que têm uma base variável e um expoente constante.

A Figura 1.6.1 mostra que o gráfi co de y = b x tem uma de três formas gerais, depen- dendo do valor de b. Observe nessa fi gura que o valor de b x cresce com x crescente se b > 1,

decresce com x decrescente se 0 < b < 1, e é constante se b = 1. Todos os gráfi cos passam pelo ponto (0, 1), pois b 0 = 1.

da esquerda para a direita, os valores de b x crescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfi co da direita para a esquerda

Se b > 1, então, à medida que percorremos o gráfi co de y = b x

os valores de b x decrescem em direção a zero, sem nunca atingi-lo. Analogamente, se 0 < b < 1,

então, à medida que percorremos o gráfi co de b x da esquerda para a direita, os valores de b de- crescem em direção a zero, sem nunca atingi-lo, enquanto percorrendo o gráfi co da direita para

a esquerda os valores de b x crescem sem parar.

Capítulo 1 / Funções

Os gráfi cos de alguns membros típicos da família de funções exponenciais aparecem na Figura 1.6.2. Essa fi gura mostra que o gráfi co de y = (1/b) x é a refl exão do gráfi co de y = b x em torno do eixo y. Isso ocorre pois, substituindo x por x −x na equação y = b , obtemos

x y =b = (1/b)

–x

A fi gura também dá a entender que, quanto maior a base b > 1, mais rapidamente a função ƒ(x) = b x cresce para x > 0.

y =b x

y =b x

( ) 2 ( ) 3 ( ) 10 y 10 x 3 x 2 x

1 2 família =b Figura 1.6.1 x Figura 1.6.2 A y (b > 0)

Se b > 0, então ƒ(x) = b x está bem defi nida e tem um valor real para cada valor real de x , de modo que o domínio natural de cada função exponencial é ( − ∞ ,+ ∞ ). Se b > 0 e b ≠ 0,

então, como vimos anteriormente, o gráfi co de y = b x cresce sem parar à medida que o per- corremos em um sentido e decresce em direção a zero, sem nunca atingi-lo, à medida que o

percorremos no outro sentido. Isso implica que a imagem de ƒ(x) = b x é (0, + ∞ ).*

Exemplo 1 x Esboce o gráfi co da função ƒ(x) = 1 −2 e encontre seu domínio e imagem. Solução x Comece com o gráfi co de y = 2 . Refl ita esse gráfi co no eixo x para obter o gráfi - co de y = x −2 , depois translade o gráfi co obtido uma unidade para cima para obter o gráfi co

de y = 1 x −2 (Figura 1.6.3). A reta tracejada na terceira parte da Figura 1.6.3 é uma assínto- ta horizontal do gráfi co. Deve fi car claro a partir do gráfi co que o domínio de ƒ é ( − ∞ ,+ ∞ )

e a imagem é ( − ∞ , 1). 䉳

A FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL

Dentre todas as bases possíveis para as funções exponenciais, há uma em particular que de- sempenha um papel especial no Cálculo. Essa base, denotada pela letra e, é um certo número

O uso da letra e é uma homenagem

irracional cujo valor até a sexta casa decimal é

ao matemático suíço Leonhard Euler (biografi a à página 3), ao qual é credi-

e ≈ 2,718282 (2)

tado o reconhecimento da importân- cia matemática dessa constante.

* Estamos supondo, sem demonstrar, que o gráfi co de y = b x seja uma curva sem quebras, lacunas ou buracos.

68 Cálculo

y y=e x

Essa base é importante no Cálculo porque, como veremos adiante, b = e é a única base para a qual a inclinação da reta tangente* à curva y = b x em qualquer ponto P da curva é igual à co-

Inclinação = 1 ordenada y do ponto P. Assim, por exemplo, a reta tangente a y = e em (0, 1) tem inclinação

igual a 1 (Figura 1.6.4).

A função ƒ(x) = e x é denominada função exponencial natural. Como o número e está

entre 2 e 3, o gráfi co de y = e x se encaixa entre os gráfi cos de y = 2 e de y = 3 , como mostra

a Figura 1.6.5. Para simplifi car a tipografi a, a função exponencial natural também é dada por

x 1 x exp(x), caso em que a relação e 2 =e e deve ser expressa por

Figura 1.6.4 A reta tangente ao gráfi co de y = e x em (0, 1) tem incli-

exp(x 1 +x 2 ) = exp(x 1 ) exp(x 2 )

nação 1.

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

O recurso computacional do leitor deve ter comandos ou teclas para aproximar e e traçar o gráfi co da função exponencial natural. Leia seu manual para ver como fazer isso e use o recurso para confi rmar (2) e gerar os gráfi cos da Figura 1.6.5.

y=e x

A constante e também aparece no contexto do gráfi co da equação

Como mostramos na Figura 1.6.6, y = e é uma assíntota horizontal desse gráfi co. Disso de- corre que o valor de e pode ser aproximado com a precisão desejada calculando (3) para x sufi cientemente grande em valor absoluto (Tabela 1.6.2).

Figura 1.6.5 T abela 1.6.2

APROXIMAÇÕES DE e POR (1 + 1/x) x PARA

VALORES CRESCENTES DE x 6 1+ 1 1 x

4 y= ( 1+ x )

■ FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Lembre-se da Álgebra, em que um logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b ≠ 1, para um valor positivo de x a expressão

log b x

(que se lê: “o logaritmo de x na base b”) denota aquele expoente ao qual devemos elevar b

para obter x. Assim, por exemplo:

Os logaritmos com base 10 são deno-

minados logaritmos comuns e, mui- tas vezes, são escritos sem referên-

log 10 100 = 2, log 10 (1/1000) = −3, log 2 16 = 4,

log b 1 = 0, log b b =1

cia alguma à base. Assim, o símbolo

log x em geral signifi ca log x.

A função ƒ(x) = log b x é denominada função logarítmica de base b.

* A defi nição precisa de reta tangente será discutida adiante. Por enquanto, basta a intuição do leitor.

Capítulo 1 / Funções

As funções logarítmicas também podem ser interpretadas como inversas das funções exponenciais. Para ver isso, observe na Figura 1.6.1 que, se b > 0 e b ≠ 1, então o gráfi co de

ƒ(x) = b x passa no teste da reta horizontal, de modo que b tem uma inversa. Podemos encon- trar uma fórmula para essa inversa com variável independente x resolvendo a equação

y y =b

para y como uma função de x. Mas essa equação afi rma que y é o logaritmo de x na base b, de modo que podemos reescrevê-la como

y = log b x

y y=b x

Assim, estabelecemos o seguinte resultado:

1.6.1 x T EOREMA Se b >0eb ≠ 1, então b e log

b x são funções inversas.

Segue desse teorema que os gráfi cos de y = b e y = log b x são refl exões um do outro pela reta y = x (ver Figura 1.6.7 para o caso em que b > 1). A Figura 1.6.8 mostra o gráfi co

b y = log b x

de y = log b x para vários valores de b. Observe que todos esses gráfi cos passam pelo ponto

1 b (1, 0).

O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é denominado logarit- mo natural, já que a função log

e x é a inversa da função exponencial natural e . É comum

Figura 1.6.7

denotar o logaritmo natural de x por ln x (que costuma ser lido como “ele ene de xis”) em

vez de log e x . Por exemplo:

ln 1 = 0, ln e = 1,

ln 1/e =

−1, ln(e 2 )=2

Em geral,

log 4 x

1 y = ln x se, e somente se, x = e

b x 1 dá uma correspon-

log 10 x x

Como mostramos na Tabela 1.6.3, a relação inversa entre b x e log

dência entre algumas propriedades básicas dessas funções.

T abela 1.6.3

Figura 1.6.8 A família CORRESPONDÊNCIA ENTRE AS PROPRIEDADES DAS y = log b x (b > 1).

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS

PROPRIEDADE DE b x

PROPRIEDADE DE log b x

b 0 =1

log b 1=0

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

b 1 =b

log b b =1

Use seu recurso gráfi co para gerar os

Imagem é (0, + ∞)

Domínio é (0, + ∞)

gráfi cos de y = ln x e de y = log x.

Domínio é ( −∞, +∞)

Imagem é ( −∞, +∞)

Também segue das propriedades de cancelamento de funções inversas [ver (3) na Seção 1.5] que

log x

b (b ) = x para todos os valores reais de x (4)

b log b x = x para x >0

No caso especial em que b = e, essas equações tornam-se ln(e x ) = x para todos os valores reais de x

ln x

e = x para x >0

70 Cálculo

Em outras palavras, as funções b x e log

b x cancelam o efeito uma da outra quando compostas

em qualquer ordem; por exemplo:

RESOLVENDO EQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

As seguintes propriedades algébricas dos logaritmos devem ser familiares de seus estudos anteriores.

1.6.2 T EOREMA (Propriedades Algébricas dos Logaritmos) Se b > 0, b ≠ 0, a > 0, c > 0

e r é um número real qualquer, então: (a) log b (ac) = log b a+ log b c Propriedade do produto (b) log b (a/c) = log b a– log b c Propriedade do quociente

(c) log r

b (a ) = r log b a Propriedade da potência (d) log b (1/c) = – log b c Propriedade do recíproco

Essas propriedades são freqüentemente usadas para expandir um único logaritmo em somas,

As expressões da forma log b (u + v) e

em diferenças e em múltiplos de outros logaritmos e, inversamente, para condensar somas,

log b (u − v) não têm nenhuma simplifi -

diferenças e múltiplos de logaritmos em um único logaritmo. Por exemplo:

cação útil em termos de log b ue log b v .

Em particular,

2 2 x(x + 3) 3 ln x − ln(x − 1) + 2 ln(x + 3) = ln x − ln(x − 1) + ln(x + 3) = ln

x 2 −1 As relações inversas entre as funções logarítmicas e exponenciais fornecem os seguintes

resultados úteis para resolver equações que envolvam a exponencial e o logaritmo natural: y=e x é equivalente a x = ln y se y > 0 e x é qualquer número real. (6)

Em geral, se b > 0 e b ≠ 1, então

y=b x é equivalente a x = log

b y se y > 0 e x é qualquer número real. (7)

Uma equação da forma log b x = k pode ser resolvida para x reescrevendo-a na forma

x x =b , e uma equação da forma b = k pode ser resolvida reescrevendo-a na forma x = log

b k . Alternativamente, a equação b x = k pode ser resolvida tomando um logaritmo qualquer de

ambos lados (mas geralmente log ou ln) e aplicando a parte (c) do Teorema 1.6.2. Essas idéias estão ilustradas no exemplo a seguir.

䉴 Exemplo 2

Encontre x tal que

log x = x 2 (b) ln (x + 1) = 5 (c) 5 =7 Solução (a) Convertendo a equação para a forma exponencial, obtém-se

(a)

x = 10 ≈ 25,95

Solução (b) Convertendo a equação para a forma exponencial, obtém-se

x +1=e 5 ou x = e 5 − 1 ≈ 147,41

Capítulo 1 / Funções

Solução (c) Tomando o logaritmo natural de ambos os lados e usando a propriedade da potência de logaritmos, obtém-se

Um satélite que requer 7 watts de potência para operar em plena capacidade está equipado com uma fonte de potência de radioisótopos cuja saída em watts é dada pela equação

P = 75e −t/125 onde t é o tempo em dias que a fonte é usada. Por quanto tempo o satélite pode operar na ca-

pacidade máxima?

Solução

A potência P decairá para 7 watts quando

7 −t/125 75e

A solução para t é como segue: 7/75 −t/125 = e

ln (7/75) = ln(e −t/125 ) ln (7/75) = −t/125

t = − 125 ln (7/75) ≈ 296,4

logo, o satélite pode operar na capacidade máxima por cerca de 296 dias. 䉳

Aqui está um exemplo mais complicado.

para x.

Solução Multiplicando ambos os lados da equação por 2, temos

–x e –e =2

ou, de forma equivalente,

− e x =2

Multiplicando ambos os lados por e x , temos

x e 2x x − 1 = 2e ou e 2x − 2e −1=0

Isto é, de fato, uma equação quadrática disfarçada, como pode ser visto reescrevendo-a na forma

(e x ) 2 − 2e x – 1=0

e fazendo-se u = e x para obter

2 u − 2u − 1 = 0

Resolvendo para u pela fórmula quadrática, temos

=1± x 2 √ Mas e não pode ser negativa, portanto descartaremos o valor negativo 1 − 2 ; assim,

√ x = ln(1 + 2)≈ 0,881 䉳

72 Cálculo ■ FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE DE LOGARITMOS

Geralmente, as calculadoras científi cas fornecem teclas para calcular logaritmos comuns e naturais, mas não têm tecla para calcular logaritmos em outras bases. Contudo, isso não é uma defi ciência grave porque é possível expressar um logaritmo com uma base qualquer em termos de logaritmos com uma outra base qualquer (ver Exercício 40). Por exemplo, a fórmu- la a seguir expressa um logaritmo com base b em termos de logaritmos naturais:

Podemos deduzir esse resultado fazendo y = log b x, do qual temos b y = x. Tomando o lo- garitmo natural de ambos os lados dessa equação, obtemos y ln b = ln x, a partir do que segue-se (8).

䉴 Exemplo 5

Use uma calculadora para calcular log 2 5 expressando esse logaritmo em

termos de logaritmos naturais.

Solução

A partir de (8), obtemos

■ ESCALAS LOGARÍTMICAS NA CIÊNCIA E NA ENGENHARIA T abela 1.6.4

Os logaritmos são usados na ciência e na Engenharia para tratar com quantidades cujas uni-

b (dB)

I / I 0 dades variam sobre um conjunto excessivamente amplo de valores. Por exemplo, a “altura”

de um som pode ser medido pela sua intensidade I (em watts por metro quadrado), a qual

está relacionada com a energia transmitida pela onda sonora

− quanto maior a intensidade,

maior a energia transmitida e mais alto o som é captado pelo ouvido humano. Contudo,

30 3 10 = 1.000 unidades de intensidade são difícies de controlar porque variam sobre um enorme conjunto 40 4 10 = 10.000

de valores. Por exemplo, o som no limiar da audição humana tem uma intensidade em torno

de 10 −12 W/m , um cochicho abafado tem uma intensidade de cerca de 100 vezes o limiar

da audição, e a turbina de um avião a jato a 50 metros tem uma intensidade de cerca de

12 120 1.000.000.000.000 = 1.012 vezes o limiar da audição. Para ver como os logaritmos podem 10 = 1.000.000.000.000

ser usados para reduzir essa amplitude, observe que se

y = log x então, aumentando x por um fator de 10, adiciona-se 1 unidade a y, uma vez que

log 10x = log 10 + log x = 1 + y Os físicos e os engenheiros aproveitam as vantagens dessa propriedade para medir a intensi-

dade em termos do nível do som β, o qual é defi nido por β = 10 log(I /I 0 )

onde I 2

0 = 10 W/m é a intensidade de referência próxima ao limiar da audição humana. A unidade de β é o decibel (dB), assim denotada em homenagem ao inventor do telefone Alexan-

der Graham Bell. Com essa escala de medida, multiplicando a intensidade I por um fator de

10, adicionam-se 10 dB ao nível de som β (verifi que). Isso resulta em uma escala mais tratável do que a intensidade para medir a altura do som (Tabela 1.6.4). Algumas outras escalas logarít- micas familiares são a escala Richter, usada para medir a intensidade de terremotos, e a escala pH, usada para medir a acidez na Química; ambas serão discutidas nos exercícios.

Pete Townshend, do grupo The Who, sofreu permanente redução da audi- ção, devido ao alto nível de decibéis

䉴 Exemplo 6 Em 1976, o grupo de rock The Who estabeleceu um recorde para a intensi-

da música de sua banda.

dade de som de um show: 120 dB. Por comparação, um martelo pneumático posicionado no

Capítulo 1 / Funções

mesmo lugar do The Who poderia ter produzido um som de 92 dB. Qual é a razão da intensi- dade do som do The Who em relação à intensidade de som de um martelo pneumático?

Solução Sejam I 1 eβ 1 (= 120 dB) a intensidade e o nível do som do The Who, e I 2 eβ 2 (=

92 dB) a intensidade e o nível de som do martelo. Então,

I 1 /I 2 = (I 1 /I 0 )(I 2 /I 0 ) log (I 1 /I 2 ) = log(I 1 /I 0 ) – log(I 2 /I 0 )

10 log(I 1 /I 2 ) = 10 log(I 1 /I 0 ) – 10 log (I 2 /I 0 )

10 log(I 1 /I 2 )=β 1 −β 2 = 120 − 92 = 28 log (I 1 /I 2 ) = 2,8

Logo, I 2,8

1 /I 2 = 10 ≈ 631, o que nos diz que a intensidade do som do The Who era 631 vezes maior do que a de um martelo pneumático! 䉳

■ CRESCIMENTO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICO

Os padrões de crescimento de e x e ln x ilustrados na Tabela 1.6.5 são dignos de ser mencio-

T abela 1.6.5

nados. Ambas as funções crescem quando x cresce, mas seus crescimentos são consideravel-

x e x ln x

mente diferentes

−e x cresce extremamente rápido, enquanto o crescimento de ln x é extrema-

mente vagaroso. Por exemplo, em x = 10 o valor de e x está acima de 22.000, mas em x = 1.000

o valor de ln x nem sequer atinge 7.

Diremos que uma função cresce sem cota com x crescente se os valores de ƒ(x) acabam

excedendo qualquer número positivo M especifi cado (não importa quão grande) à medida que

x cresce sem parar. A Tabela 1.6.5 sugere veementemente que ƒ(x) = e x cresce sem cota, o que

é consistente com o fato de que a imagem dessa função é (0, + ∞ ). De fato, se escolhermos

qualquer número positivo M, então teremos e = M quando x = ln M, e como os valores de e

crescem quando x cresce, teremos

43 e 100 > M se x > ln M 2,69 × 10 4,61 1000

(Figura 1.6.9). Não é evidente a partir da Tabela 1.6.5 se ln x cresce sem cota com x cres- cente, porque os valores crescem muito lentamente, mas sabemos que isso ocorre porque a imagem dessa função é ( − ∞ ,+ ∞ ). Para verifi car isso algebricamente, tomemos um número M positivo qualquer. Temos ln x = M para x = e M

e, como os valores de ln x crescem com x

crescente, resulta

ln M x > M se x > e (Figura 1.6.10).

Figura 1.6.9 O valor de y = e x ex-

Figura 1.6.10 O valor de y = ln x ex-

cederá um valor positivo M arbitrário

cederá um valor positivo M arbitrário M

para x > ln M.

para x > e .

74 Cálculo ✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.6 (Ver página 76 para respostas.)

2 tem domínio _____________ e imagem

4. Resolva cada equação em relação a x.

____________. (a) e x 1 = 2 (b) 10 3x = 1.000.000 2. A função y = ln(1 − x) tem domínio _____________ e imagem

(c) 7e 3x = 56

____________. 5. Resolva cada equação em relação a x. 3. Expresse como uma potência de 4:

(a) ln x= 3 (b) log(x − 1) = 2

(a) 1 (b) 2 (c) 1 16 (d) √

8 (e) 5 (c) 2 log x − log(x + 1) = log 4 − log 3

EXERCÍCIOS 1.6

Recurso Gráfi co 1-2 Simplifi que a expressão sem usar uma calculadora.

13-15 Reescreva a expressão como um único logaritmo. 1. (a) 2/3 (b) ( 2/3 (c) 8 −8 −2/3 −8)

13. 4 log 2 − log 3 + log 16

2. (a) 2 −4 (b) 4 1,5 (c) 9 −0,5

14. 1 2 log x − 3 log(sen 2x) + 2

15. 2 ln(x + 1) + 3 ln x − ln(cos x)

3-4 Use uma calculadora para aproximar a expressão. Arredonde

sua resposta até quatro casas decimais. 16-25 Resolva para x sem usar uma calculadora.

17. log ( √ √

3. (a) 2 1,57 (b) 5 −2,1

19. ln (1/x) = −2 5-6 x Encontre o valor exato da expressão sem usar uma calcu- 20. log

24 (b) 0,6

18. ln (x 2 )=4

3 (3 ) = 7 21. log 5 (5 2x )=8 ladora.

10 (0,001) (b) log 10 (10 )

25. ln (1/x) + ln (2x ) = ln 3

(c) ln(e ) (d) ln( e) 26-31 Resolva para x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.

7-8 Use a calculadora para aproximar a expressão. Arredonde sua resposta até quatro casas decimais.

26. 3 x =2

27. 5 −2x =3

7. (a) log 23,2 3x (b) ln 0,74 28. 3e =5 29. 2e =7 8. (a) log 0,3

– 2x

30. e x − 2xe x = 0 31. xe –x + 2e –x =0 9-10 Use as propriedades de logaritmos do Teorema 1.6.2 para

(b) ln π

32-33 Reescreva a equação dada como uma equação quadrática x reescrever a expressão em termos de r, s e t onde r = ln a, s = ln b

em u, onde u = e ; então resolva para x.

a 3 c ENFOCANDO CONCEITOS

√ 3 c ab 3 34-36 Esboce o gráfi co da equação sem usar um recurso gráfi co 10. (a) ln

−2) (b) x y= 3+e −2 11-12 Expanda o logaritmo em termos de somas, de diferenças e

34. (a) y = 1+ ln(x

1 de múltiplos de logaritmos mais simples. x−1

(b) y= ln |x| –x + 1 √

y = 3 ln x−1 11. (a) log(10x x − 3 ) (b) ln √

(b) 3 √

2 sen 3 x 36. (a) y =1 x −e

37. Use uma calculadora e a fórmula de mudança de base (8) para √ 3

x 2 +1

5 0,6 arredondando até a 12. (a) log

x+2

x 2 +1

encontrar os valores de log 2 7,35 e log

quarta casa decimal.

Capítulo 1 / Funções

47. Se o equipamento no satélite do Exemplo 3 requer 15 watts 38-39 Faça o gráfi co das funções na mesma tela de um recurso para operar corretamente, qual é a duração operacional da fon- gráfi co computacional. [Use a fórmula de mudança de base (8)

te de energia?

quando necessário.] 48. A equação Q = 12e −0,055t dá a massa Q em gramas do potássio

38. ln x, e x , log x x , 10 radioativo 42 que irá restar de uma quantidade inicial após t horas de decaimento radioativo.

39. log 2 x, ln x, log 5 x, log x (a) Quantos gramas havia inicialmente? 40. (a) Deduza a fórmula geral para a mudança de base

(b) Quantos gramas permanecem depois de 4 horas?

(c) Quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a quanti- log a b dade inicial de potássio radioativo 42? (b) Use o resultado de (a) para encontrar o valor exato de

log a x

log b x=

49. A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu pH, o (log 2 81)(log 3 32), sem usar uma calculadora.

qual é defi nido pela fórmula

41. Use um recurso gráfi co computacional para estimar onde os pH = − log[H + ] gráfi cos de y = (1,3) x e y = log 1,3 x se intersectam.

onde o símbolo [H + ] denota a concentração de íons de hidro- 42. O défi cit público D dos Estados Unidos, em bilhões de dólares, x

gênio, medida em moles por litro. A água destilada tem um pH foi modelado como D = 0,051517(1,1306727) , onde x é o nú-

igual a 7; uma substância é chamada ácida se tiver pH < 7 e bá- mero de anos a partir de 1900. Com base nesse modelo, quan-

sica se tiver pH > 7. Encontre o pH de cada uma das seguintes do o défi cit atingiu pela primeira vez 1 trilhão de dólares?

substâncias e estabeleça se é ácida ou básica. SUBSTÂNCIA [H ] +

ENFOCANDO CONCEITOS

(a) Sangue arterial 3,9 × 10 −8 mol/L 43. (a) A curva na fi gura anexa é o gráfi co de uma função ex-

6,3 × 10 −5 mol/L ponencial? Explique seu raciocínio.

(b) Tomates

4,0 × 10 −7 mol/L (b) Encontre a equação de uma função exponencial que

(c) Leite

1,2 × 10 −6 mol/L passe pelo ponto (4, 2).

(d) Café

(c) Encontre a equação de uma função exponencial que passe pelo ponto (2, +

50. Use a defi nição de pH do Exercício 49 para encontrar a [H ] da 4 solução que tem pH igual a

(d) Use um recurso computacional para gerar o gráfi co de uma função exponencial que passe pelo ponto (2, 5).

(a) 2, 44

(b) 8, 06

51. A altura percebida β de um som em decibéis (dB) está relacio- nada com sua intensidade I em watts/metro quadrado (W/m 2 )

pela equação

10 log (I / I 0 )

onde I 0 = 10 −12 W/m 2 . Os danos ao ouvido médio ocorrem a par-

Figura Ex-43

tir de 90 dB ou mais. Encontre o nível de decibéis de cada um dos seguintes sons e estabeleça se causará dano à audição.

44. (a) Faça uma conjectura sobre a forma geral do gráfi co de y= log(log x) e esboce o gráfi co dessa equação e de y =

SOM I log x no mesmo sistema de coordenadas.

Avião a jato (a 150 m de distância) 1,0 × 10 2 W/m 2 (b) Confi ra seu trabalho em (a) com um recurso gráfi co

(a)

amplifi cada 2 1,0 W/m computacional.

(b) Música de rock

(c) Liquidifi cador

1,0 × 10 −4 W/m 2

(d) W/m plique ambos os lados da desigualdade 3 > 2 por log 1

45. Encontre o erro na seguinte “prova” de que 2 1

> 1 TV (volume médio a 3 metros

8 4 . Multi-

de distância)

2 para

obter 3 log 1 2 > 2 log 1 52-54 2 Use a defi nição de níveis de decibéis de um som (veja o

Exercício 51).

log 2 > log 2

log 1 > log 1 8 52. Se um som for três vezes tão intenso quanto o outro, quanto 4 1 > maior será seu nível em decibéis? 1

8 4 53. De acordo com uma fonte, o barulho dentro de um carro em movimento está em torno de 70 dB, enquanto um liquidifi cador

46. Prove as quatro propriedades algébricas dos logaritmos do Te- gera 93 dB. Encontre a razão da intensidade do barulho do li- orema 1.6.2.

quidifi cador com a do automóvel.

76 Cálculo

54. Suponha que o nível de decibéis de um eco é 2 (a) 3 Encontre a energia E do terremoto de San Francisco de do nível de decibéis do som original. Se cada eco resulta em outro eco,

1906, que registrou M = 8,2 na escala Richter. quantos ecos serão ouvidos a partir de um som de 120 dB,

(b) Se a energia liberada de um terremoto for 10 vezes a de dado que o ouvido humano médio pode ouvir até no mínimo

outro, quanto maior será a sua magnitude na escala Ri- 10 dB?

chter?

55. Na escala Richter, a magnitude M de um terremoto está rela- 56. Suponha que as magnitudes de dois terremotos difi ram por 1 cionada com a energia liberada E, em joules (J), pela equação

unidade na escala Richter. Encontre a razão entre as energias liberadas pelo terremoto maior em relação ao menor. [Nota:

log E = 4,4 + 1,5 M

Ver o Exercício 55 para a terminologia.]

✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.6

1. 2. 3. (a) 4 0 (b) 4 1/2 (c) 4 −2 (d) 4 (−⬁, +⬁); (0, +⬁) 3/4 (−⬁, 1); (−⬁, +⬁) (e) 4 log 4 5 4. (a) ln 1 2 = − ln 2 (b) 2 (c) ln 2

5. (a) e 3 (b) 101 (c) 2