FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
1.6 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Quando os logaritmos foram introduzidos como uma ferramenta computacional no século XVII, eles forneceram aos cientistas daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os computadores e as calculadoras tenham substituído as tabelas logarítmicas em cálculos numéricos, as funções logarítmicas têm aplicações de longo alcance na Matemática e nas ciências. Nesta seção vamos rever algumas propriedades
de exponenciais e logaritmos e então utilizaremos nosso estudo de funções inversas para desenvolver resultados sobre funções exponenciais e logarítmicas.
66 Cálculo ■ EXPOENTES IRRACIONAIS
Lembre-se da Álgebra, em que as potências inteiras não-nulas de um dado número real não- nulo b são defi nidas por
b n =b×b×···×b
e b −n
n fatores
eb 0 = 1 se n = 0. Além disso, se p/q é um número racional positivo dado em forma irredutível, então
p/q
b = b =( b) p e b −p/q =
b p/q Se b é negativo, então algumas potências fracionárias de b terão valores imaginários, como,
por exemplo, a quantidade
= −2 . Para evitar essa complicação, passamos a supor
em toda esta seção que b > 0, mesmo se isso não for explicitado.
Existem vários métodos para defi nir potências irracionais, tais como
T abela 1.6.1
Uma abordagem consiste em defi nir as potências irracionais de b por meio de aproximações
sucessivas usando potências racionais de b. Por exemplo, para defi nir 2 x π 2 , considere a repre-
sentação decimal de π :
A partir dessa decimal podemos formar uma seqüência de racionais que fi ca cada vez mais
próxima de π , a saber:
e dessa seqüência podemos formar uma seqüência de potências racionais de 2:
Como os expoentes dos termos dessa seqüência se aproximam cada vez mais de π, parece
razoável que os próprios termos também se aproximem sucessivamente de algum número. É esse o número que defi nimos como sendo 2 π . Isso está ilustrado na Tabela 1.6.1, que construí-
mos usando uma calculadora. A tabela sugere que, até a quarta casa decimal, o valor de 2 π é π 2 ≈ 8,8250 (1)
DOMÍNIO DA TECNOLOGIA
Com essa noção de potências irracionais, observamos, sem provar, que as seguintes leis
de exponenciação familiares valem para todos os valores reais de p e de q:
Use uma calculadora para conferir os
resultados da Tabela 1.6.1 e então
confi ra (1) usando a calculadora para
A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma ƒ(x) = b x , em que b > 0, é denominada função exponencial de base b. Alguns exemplos são:
f (x) = 2 x , 1 f (x) = x
f (x) = π
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável. As-
2 sim, funções tais como ƒ(x) = x π e ƒ(x) = x não seriam classifi cadas como funções exponen-
ciais, uma vez que têm uma base variável e um expoente constante.
A Figura 1.6.1 mostra que o gráfi co de y = b x tem uma de três formas gerais, depen- dendo do valor de b. Observe nessa fi gura que o valor de b x cresce com x crescente se b > 1,
decresce com x decrescente se 0 < b < 1, e é constante se b = 1. Todos os gráfi cos passam pelo ponto (0, 1), pois b 0 = 1.
da esquerda para a direita, os valores de b x crescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfi co da direita para a esquerda
Se b > 1, então, à medida que percorremos o gráfi co de y = b x
os valores de b x decrescem em direção a zero, sem nunca atingi-lo. Analogamente, se 0 < b < 1,
então, à medida que percorremos o gráfi co de b x da esquerda para a direita, os valores de b de- crescem em direção a zero, sem nunca atingi-lo, enquanto percorrendo o gráfi co da direita para
a esquerda os valores de b x crescem sem parar.
Capítulo 1 / Funções
Os gráfi cos de alguns membros típicos da família de funções exponenciais aparecem na Figura 1.6.2. Essa fi gura mostra que o gráfi co de y = (1/b) x é a refl exão do gráfi co de y = b x em torno do eixo y. Isso ocorre pois, substituindo x por x −x na equação y = b , obtemos
x y =b = (1/b)
–x
A fi gura também dá a entender que, quanto maior a base b > 1, mais rapidamente a função ƒ(x) = b x cresce para x > 0.
y =b x
y =b x
( ) 2 ( ) 3 ( ) 10 y 10 x 3 x 2 x
1 2 família =b Figura 1.6.1 x Figura 1.6.2 A y (b > 0)
Se b > 0, então ƒ(x) = b x está bem defi nida e tem um valor real para cada valor real de x , de modo que o domínio natural de cada função exponencial é ( − ∞ ,+ ∞ ). Se b > 0 e b ≠ 0,
então, como vimos anteriormente, o gráfi co de y = b x cresce sem parar à medida que o per- corremos em um sentido e decresce em direção a zero, sem nunca atingi-lo, à medida que o
percorremos no outro sentido. Isso implica que a imagem de ƒ(x) = b x é (0, + ∞ ).*
Exemplo 1 x Esboce o gráfi co da função ƒ(x) = 1 −2 e encontre seu domínio e imagem. Solução x Comece com o gráfi co de y = 2 . Refl ita esse gráfi co no eixo x para obter o gráfi - co de y = x −2 , depois translade o gráfi co obtido uma unidade para cima para obter o gráfi co
de y = 1 x −2 (Figura 1.6.3). A reta tracejada na terceira parte da Figura 1.6.3 é uma assínto- ta horizontal do gráfi co. Deve fi car claro a partir do gráfi co que o domínio de ƒ é ( − ∞ ,+ ∞ )
e a imagem é ( − ∞ , 1). 䉳
A FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL
Dentre todas as bases possíveis para as funções exponenciais, há uma em particular que de- sempenha um papel especial no Cálculo. Essa base, denotada pela letra e, é um certo número
O uso da letra e é uma homenagem
irracional cujo valor até a sexta casa decimal é
ao matemático suíço Leonhard Euler (biografi a à página 3), ao qual é credi-
e ≈ 2,718282 (2)
tado o reconhecimento da importân- cia matemática dessa constante.
* Estamos supondo, sem demonstrar, que o gráfi co de y = b x seja uma curva sem quebras, lacunas ou buracos.
68 Cálculo
y y=e x
Essa base é importante no Cálculo porque, como veremos adiante, b = e é a única base para a qual a inclinação da reta tangente* à curva y = b x em qualquer ponto P da curva é igual à co-
Inclinação = 1 ordenada y do ponto P. Assim, por exemplo, a reta tangente a y = e em (0, 1) tem inclinação
igual a 1 (Figura 1.6.4).
A função ƒ(x) = e x é denominada função exponencial natural. Como o número e está
entre 2 e 3, o gráfi co de y = e x se encaixa entre os gráfi cos de y = 2 e de y = 3 , como mostra
a Figura 1.6.5. Para simplifi car a tipografi a, a função exponencial natural também é dada por
x 1 x exp(x), caso em que a relação e 2 =e e deve ser expressa por
Figura 1.6.4 A reta tangente ao gráfi co de y = e x em (0, 1) tem incli-
exp(x 1 +x 2 ) = exp(x 1 ) exp(x 2 )
nação 1.
DOMÍNIO DA TECNOLOGIA
O recurso computacional do leitor deve ter comandos ou teclas para aproximar e e traçar o gráfi co da função exponencial natural. Leia seu manual para ver como fazer isso e use o recurso para confi rmar (2) e gerar os gráfi cos da Figura 1.6.5.
y=e x
A constante e também aparece no contexto do gráfi co da equação
Como mostramos na Figura 1.6.6, y = e é uma assíntota horizontal desse gráfi co. Disso de- corre que o valor de e pode ser aproximado com a precisão desejada calculando (3) para x sufi cientemente grande em valor absoluto (Tabela 1.6.2).
Figura 1.6.5 T abela 1.6.2
APROXIMAÇÕES DE e POR (1 + 1/x) x PARA
VALORES CRESCENTES DE x 6 1+ 1 1 x
4 y= ( 1+ x )
■ FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Lembre-se da Álgebra, em que um logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b ≠ 1, para um valor positivo de x a expressão
log b x
(que se lê: “o logaritmo de x na base b”) denota aquele expoente ao qual devemos elevar b
para obter x. Assim, por exemplo:
Os logaritmos com base 10 são deno-
minados logaritmos comuns e, mui- tas vezes, são escritos sem referên-
log 10 100 = 2, log 10 (1/1000) = −3, log 2 16 = 4,
log b 1 = 0, log b b =1
cia alguma à base. Assim, o símbolo
log x em geral signifi ca log x.
A função ƒ(x) = log b x é denominada função logarítmica de base b.
* A defi nição precisa de reta tangente será discutida adiante. Por enquanto, basta a intuição do leitor.
Capítulo 1 / Funções
As funções logarítmicas também podem ser interpretadas como inversas das funções exponenciais. Para ver isso, observe na Figura 1.6.1 que, se b > 0 e b ≠ 1, então o gráfi co de
ƒ(x) = b x passa no teste da reta horizontal, de modo que b tem uma inversa. Podemos encon- trar uma fórmula para essa inversa com variável independente x resolvendo a equação
y y =b
para y como uma função de x. Mas essa equação afi rma que y é o logaritmo de x na base b, de modo que podemos reescrevê-la como
y = log b x
y y=b x
Assim, estabelecemos o seguinte resultado:
1.6.1 x T EOREMA Se b >0eb ≠ 1, então b e log
b x são funções inversas.
Segue desse teorema que os gráfi cos de y = b e y = log b x são refl exões um do outro pela reta y = x (ver Figura 1.6.7 para o caso em que b > 1). A Figura 1.6.8 mostra o gráfi co
b y = log b x
de y = log b x para vários valores de b. Observe que todos esses gráfi cos passam pelo ponto
1 b (1, 0).
O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é denominado logarit- mo natural, já que a função log
e x é a inversa da função exponencial natural e . É comum
Figura 1.6.7
denotar o logaritmo natural de x por ln x (que costuma ser lido como “ele ene de xis”) em
vez de log e x . Por exemplo:
ln 1 = 0, ln e = 1,
ln 1/e =
−1, ln(e 2 )=2
Em geral,
log 4 x
1 y = ln x se, e somente se, x = e
b x 1 dá uma correspon-
log 10 x x
Como mostramos na Tabela 1.6.3, a relação inversa entre b x e log
dência entre algumas propriedades básicas dessas funções.
T abela 1.6.3
Figura 1.6.8 A família CORRESPONDÊNCIA ENTRE AS PROPRIEDADES DAS y = log b x (b > 1).
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS
PROPRIEDADE DE b x
PROPRIEDADE DE log b x
b 0 =1
log b 1=0
DOMÍNIO DA TECNOLOGIA
b 1 =b
log b b =1
Use seu recurso gráfi co para gerar os
Imagem é (0, + ∞)
Domínio é (0, + ∞)
gráfi cos de y = ln x e de y = log x.
Domínio é ( −∞, +∞)
Imagem é ( −∞, +∞)
Também segue das propriedades de cancelamento de funções inversas [ver (3) na Seção 1.5] que
log x
b (b ) = x para todos os valores reais de x (4)
b log b x = x para x >0
No caso especial em que b = e, essas equações tornam-se ln(e x ) = x para todos os valores reais de x
ln x
e = x para x >0
70 Cálculo
Em outras palavras, as funções b x e log
b x cancelam o efeito uma da outra quando compostas
em qualquer ordem; por exemplo:
RESOLVENDO EQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
As seguintes propriedades algébricas dos logaritmos devem ser familiares de seus estudos anteriores.
1.6.2 T EOREMA (Propriedades Algébricas dos Logaritmos) Se b > 0, b ≠ 0, a > 0, c > 0
e r é um número real qualquer, então: (a) log b (ac) = log b a+ log b c Propriedade do produto (b) log b (a/c) = log b a– log b c Propriedade do quociente
(c) log r
b (a ) = r log b a Propriedade da potência (d) log b (1/c) = – log b c Propriedade do recíproco
Essas propriedades são freqüentemente usadas para expandir um único logaritmo em somas,
As expressões da forma log b (u + v) e
em diferenças e em múltiplos de outros logaritmos e, inversamente, para condensar somas,
log b (u − v) não têm nenhuma simplifi -
diferenças e múltiplos de logaritmos em um único logaritmo. Por exemplo:
cação útil em termos de log b ue log b v .
Em particular,
2 2 x(x + 3) 3 ln x − ln(x − 1) + 2 ln(x + 3) = ln x − ln(x − 1) + ln(x + 3) = ln
x 2 −1 As relações inversas entre as funções logarítmicas e exponenciais fornecem os seguintes
resultados úteis para resolver equações que envolvam a exponencial e o logaritmo natural: y=e x é equivalente a x = ln y se y > 0 e x é qualquer número real. (6)
Em geral, se b > 0 e b ≠ 1, então
y=b x é equivalente a x = log
b y se y > 0 e x é qualquer número real. (7)
Uma equação da forma log b x = k pode ser resolvida para x reescrevendo-a na forma
x x =b , e uma equação da forma b = k pode ser resolvida reescrevendo-a na forma x = log
b k . Alternativamente, a equação b x = k pode ser resolvida tomando um logaritmo qualquer de
ambos lados (mas geralmente log ou ln) e aplicando a parte (c) do Teorema 1.6.2. Essas idéias estão ilustradas no exemplo a seguir.
䉴 Exemplo 2
Encontre x tal que
log x = x 2 (b) ln (x + 1) = 5 (c) 5 =7 Solução (a) Convertendo a equação para a forma exponencial, obtém-se
(a)
x = 10 ≈ 25,95
Solução (b) Convertendo a equação para a forma exponencial, obtém-se
x +1=e 5 ou x = e 5 − 1 ≈ 147,41
Capítulo 1 / Funções
Solução (c) Tomando o logaritmo natural de ambos os lados e usando a propriedade da potência de logaritmos, obtém-se
Um satélite que requer 7 watts de potência para operar em plena capacidade está equipado com uma fonte de potência de radioisótopos cuja saída em watts é dada pela equação
P = 75e −t/125 onde t é o tempo em dias que a fonte é usada. Por quanto tempo o satélite pode operar na ca-
pacidade máxima?
Solução
A potência P decairá para 7 watts quando
7 −t/125 75e
A solução para t é como segue: 7/75 −t/125 = e
ln (7/75) = ln(e −t/125 ) ln (7/75) = −t/125
t = − 125 ln (7/75) ≈ 296,4
logo, o satélite pode operar na capacidade máxima por cerca de 296 dias. 䉳
Aqui está um exemplo mais complicado.
para x.
Solução Multiplicando ambos os lados da equação por 2, temos
–x e –e =2
ou, de forma equivalente,
− e x =2
Multiplicando ambos os lados por e x , temos
x e 2x x − 1 = 2e ou e 2x − 2e −1=0
Isto é, de fato, uma equação quadrática disfarçada, como pode ser visto reescrevendo-a na forma
(e x ) 2 − 2e x – 1=0
e fazendo-se u = e x para obter
2 u − 2u − 1 = 0
Resolvendo para u pela fórmula quadrática, temos
=1± x 2 √ Mas e não pode ser negativa, portanto descartaremos o valor negativo 1 − 2 ; assim,
√ x = ln(1 + 2)≈ 0,881 䉳
72 Cálculo ■ FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE DE LOGARITMOS
Geralmente, as calculadoras científi cas fornecem teclas para calcular logaritmos comuns e naturais, mas não têm tecla para calcular logaritmos em outras bases. Contudo, isso não é uma defi ciência grave porque é possível expressar um logaritmo com uma base qualquer em termos de logaritmos com uma outra base qualquer (ver Exercício 40). Por exemplo, a fórmu- la a seguir expressa um logaritmo com base b em termos de logaritmos naturais:
Podemos deduzir esse resultado fazendo y = log b x, do qual temos b y = x. Tomando o lo- garitmo natural de ambos os lados dessa equação, obtemos y ln b = ln x, a partir do que segue-se (8).
䉴 Exemplo 5
Use uma calculadora para calcular log 2 5 expressando esse logaritmo em
termos de logaritmos naturais.
Solução
A partir de (8), obtemos
■ ESCALAS LOGARÍTMICAS NA CIÊNCIA E NA ENGENHARIA T abela 1.6.4
Os logaritmos são usados na ciência e na Engenharia para tratar com quantidades cujas uni-
b (dB)
I / I 0 dades variam sobre um conjunto excessivamente amplo de valores. Por exemplo, a “altura”
de um som pode ser medido pela sua intensidade I (em watts por metro quadrado), a qual
está relacionada com a energia transmitida pela onda sonora
− quanto maior a intensidade,
maior a energia transmitida e mais alto o som é captado pelo ouvido humano. Contudo,
30 3 10 = 1.000 unidades de intensidade são difícies de controlar porque variam sobre um enorme conjunto 40 4 10 = 10.000
de valores. Por exemplo, o som no limiar da audição humana tem uma intensidade em torno
de 10 −12 W/m , um cochicho abafado tem uma intensidade de cerca de 100 vezes o limiar
da audição, e a turbina de um avião a jato a 50 metros tem uma intensidade de cerca de
12 120 1.000.000.000.000 = 1.012 vezes o limiar da audição. Para ver como os logaritmos podem 10 = 1.000.000.000.000
ser usados para reduzir essa amplitude, observe que se
y = log x então, aumentando x por um fator de 10, adiciona-se 1 unidade a y, uma vez que
log 10x = log 10 + log x = 1 + y Os físicos e os engenheiros aproveitam as vantagens dessa propriedade para medir a intensi-
dade em termos do nível do som β, o qual é defi nido por β = 10 log(I /I 0 )
onde I 2
0 = 10 W/m é a intensidade de referência próxima ao limiar da audição humana. A unidade de β é o decibel (dB), assim denotada em homenagem ao inventor do telefone Alexan-
der Graham Bell. Com essa escala de medida, multiplicando a intensidade I por um fator de
10, adicionam-se 10 dB ao nível de som β (verifi que). Isso resulta em uma escala mais tratável do que a intensidade para medir a altura do som (Tabela 1.6.4). Algumas outras escalas logarít- micas familiares são a escala Richter, usada para medir a intensidade de terremotos, e a escala pH, usada para medir a acidez na Química; ambas serão discutidas nos exercícios.
Pete Townshend, do grupo The Who, sofreu permanente redução da audi- ção, devido ao alto nível de decibéis
䉴 Exemplo 6 Em 1976, o grupo de rock The Who estabeleceu um recorde para a intensi-
da música de sua banda.
dade de som de um show: 120 dB. Por comparação, um martelo pneumático posicionado no
Capítulo 1 / Funções
mesmo lugar do The Who poderia ter produzido um som de 92 dB. Qual é a razão da intensi- dade do som do The Who em relação à intensidade de som de um martelo pneumático?
Solução Sejam I 1 eβ 1 (= 120 dB) a intensidade e o nível do som do The Who, e I 2 eβ 2 (=
92 dB) a intensidade e o nível de som do martelo. Então,
I 1 /I 2 = (I 1 /I 0 )(I 2 /I 0 ) log (I 1 /I 2 ) = log(I 1 /I 0 ) – log(I 2 /I 0 )
10 log(I 1 /I 2 ) = 10 log(I 1 /I 0 ) – 10 log (I 2 /I 0 )
10 log(I 1 /I 2 )=β 1 −β 2 = 120 − 92 = 28 log (I 1 /I 2 ) = 2,8
Logo, I 2,8
1 /I 2 = 10 ≈ 631, o que nos diz que a intensidade do som do The Who era 631 vezes maior do que a de um martelo pneumático! 䉳
■ CRESCIMENTO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICO
Os padrões de crescimento de e x e ln x ilustrados na Tabela 1.6.5 são dignos de ser mencio-
T abela 1.6.5
nados. Ambas as funções crescem quando x cresce, mas seus crescimentos são consideravel-
x e x ln x
mente diferentes
−e x cresce extremamente rápido, enquanto o crescimento de ln x é extrema-
mente vagaroso. Por exemplo, em x = 10 o valor de e x está acima de 22.000, mas em x = 1.000
o valor de ln x nem sequer atinge 7.
Diremos que uma função cresce sem cota com x crescente se os valores de ƒ(x) acabam
excedendo qualquer número positivo M especifi cado (não importa quão grande) à medida que
x cresce sem parar. A Tabela 1.6.5 sugere veementemente que ƒ(x) = e x cresce sem cota, o que
é consistente com o fato de que a imagem dessa função é (0, + ∞ ). De fato, se escolhermos
qualquer número positivo M, então teremos e = M quando x = ln M, e como os valores de e
crescem quando x cresce, teremos
43 e 100 > M se x > ln M 2,69 × 10 4,61 1000
(Figura 1.6.9). Não é evidente a partir da Tabela 1.6.5 se ln x cresce sem cota com x cres- cente, porque os valores crescem muito lentamente, mas sabemos que isso ocorre porque a imagem dessa função é ( − ∞ ,+ ∞ ). Para verifi car isso algebricamente, tomemos um número M positivo qualquer. Temos ln x = M para x = e M
e, como os valores de ln x crescem com x
crescente, resulta
ln M x > M se x > e (Figura 1.6.10).
Figura 1.6.9 O valor de y = e x ex-
Figura 1.6.10 O valor de y = ln x ex-
cederá um valor positivo M arbitrário
cederá um valor positivo M arbitrário M
para x > ln M.
para x > e .
74 Cálculo ✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.6 (Ver página 76 para respostas.)
2 tem domínio _____________ e imagem
4. Resolva cada equação em relação a x.
____________. (a) e x 1 = 2 (b) 10 3x = 1.000.000 2. A função y = ln(1 − x) tem domínio _____________ e imagem
(c) 7e 3x = 56
____________. 5. Resolva cada equação em relação a x. 3. Expresse como uma potência de 4:
(a) ln x= 3 (b) log(x − 1) = 2
(a) 1 (b) 2 (c) 1 16 (d) √
8 (e) 5 (c) 2 log x − log(x + 1) = log 4 − log 3
EXERCÍCIOS 1.6
Recurso Gráfi co 1-2 Simplifi que a expressão sem usar uma calculadora.
13-15 Reescreva a expressão como um único logaritmo. 1. (a) 2/3 (b) ( 2/3 (c) 8 −8 −2/3 −8)
13. 4 log 2 − log 3 + log 16
2. (a) 2 −4 (b) 4 1,5 (c) 9 −0,5
14. 1 2 log x − 3 log(sen 2x) + 2
15. 2 ln(x + 1) + 3 ln x − ln(cos x)
3-4 Use uma calculadora para aproximar a expressão. Arredonde
sua resposta até quatro casas decimais. 16-25 Resolva para x sem usar uma calculadora.
17. log ( √ √
3. (a) 2 1,57 (b) 5 −2,1
19. ln (1/x) = −2 5-6 x Encontre o valor exato da expressão sem usar uma calcu- 20. log
24 (b) 0,6
18. ln (x 2 )=4
3 (3 ) = 7 21. log 5 (5 2x )=8 ladora.
10 (0,001) (b) log 10 (10 )
25. ln (1/x) + ln (2x ) = ln 3
(c) ln(e ) (d) ln( e) 26-31 Resolva para x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.
7-8 Use a calculadora para aproximar a expressão. Arredonde sua resposta até quatro casas decimais.
26. 3 x =2
27. 5 −2x =3
7. (a) log 23,2 3x (b) ln 0,74 28. 3e =5 29. 2e =7 8. (a) log 0,3
– 2x
30. e x − 2xe x = 0 31. xe –x + 2e –x =0 9-10 Use as propriedades de logaritmos do Teorema 1.6.2 para
(b) ln π
32-33 Reescreva a equação dada como uma equação quadrática x reescrever a expressão em termos de r, s e t onde r = ln a, s = ln b
em u, onde u = e ; então resolva para x.
a 3 c ENFOCANDO CONCEITOS
√ 3 c ab 3 34-36 Esboce o gráfi co da equação sem usar um recurso gráfi co 10. (a) ln
−2) (b) x y= 3+e −2 11-12 Expanda o logaritmo em termos de somas, de diferenças e
34. (a) y = 1+ ln(x
1 de múltiplos de logaritmos mais simples. x−1
(b) y= ln |x| –x + 1 √
y = 3 ln x−1 11. (a) log(10x x − 3 ) (b) ln √
(b) 3 √
2 sen 3 x 36. (a) y =1 x −e
37. Use uma calculadora e a fórmula de mudança de base (8) para √ 3
x 2 +1
5 0,6 arredondando até a 12. (a) log
x+2
x 2 +1
encontrar os valores de log 2 7,35 e log
quarta casa decimal.
Capítulo 1 / Funções
47. Se o equipamento no satélite do Exemplo 3 requer 15 watts 38-39 Faça o gráfi co das funções na mesma tela de um recurso para operar corretamente, qual é a duração operacional da fon- gráfi co computacional. [Use a fórmula de mudança de base (8)
te de energia?
quando necessário.] 48. A equação Q = 12e −0,055t dá a massa Q em gramas do potássio
38. ln x, e x , log x x , 10 radioativo 42 que irá restar de uma quantidade inicial após t horas de decaimento radioativo.
39. log 2 x, ln x, log 5 x, log x (a) Quantos gramas havia inicialmente? 40. (a) Deduza a fórmula geral para a mudança de base
(b) Quantos gramas permanecem depois de 4 horas?
(c) Quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a quanti- log a b dade inicial de potássio radioativo 42? (b) Use o resultado de (a) para encontrar o valor exato de
log a x
log b x=
49. A acidez de uma substância é medida pelo valor de seu pH, o (log 2 81)(log 3 32), sem usar uma calculadora.
qual é defi nido pela fórmula
41. Use um recurso gráfi co computacional para estimar onde os pH = − log[H + ] gráfi cos de y = (1,3) x e y = log 1,3 x se intersectam.
onde o símbolo [H + ] denota a concentração de íons de hidro- 42. O défi cit público D dos Estados Unidos, em bilhões de dólares, x
gênio, medida em moles por litro. A água destilada tem um pH foi modelado como D = 0,051517(1,1306727) , onde x é o nú-
igual a 7; uma substância é chamada ácida se tiver pH < 7 e bá- mero de anos a partir de 1900. Com base nesse modelo, quan-
sica se tiver pH > 7. Encontre o pH de cada uma das seguintes do o défi cit atingiu pela primeira vez 1 trilhão de dólares?
substâncias e estabeleça se é ácida ou básica. SUBSTÂNCIA [H ] +
ENFOCANDO CONCEITOS
(a) Sangue arterial 3,9 × 10 −8 mol/L 43. (a) A curva na fi gura anexa é o gráfi co de uma função ex-
6,3 × 10 −5 mol/L ponencial? Explique seu raciocínio.
(b) Tomates
4,0 × 10 −7 mol/L (b) Encontre a equação de uma função exponencial que
(c) Leite
1,2 × 10 −6 mol/L passe pelo ponto (4, 2).
(d) Café
(c) Encontre a equação de uma função exponencial que passe pelo ponto (2, +
50. Use a defi nição de pH do Exercício 49 para encontrar a [H ] da 4 solução que tem pH igual a
(d) Use um recurso computacional para gerar o gráfi co de uma função exponencial que passe pelo ponto (2, 5).
(a) 2, 44
(b) 8, 06
51. A altura percebida β de um som em decibéis (dB) está relacio- nada com sua intensidade I em watts/metro quadrado (W/m 2 )
pela equação
10 log (I / I 0 )
onde I 0 = 10 −12 W/m 2 . Os danos ao ouvido médio ocorrem a par-
Figura Ex-43
tir de 90 dB ou mais. Encontre o nível de decibéis de cada um dos seguintes sons e estabeleça se causará dano à audição.
44. (a) Faça uma conjectura sobre a forma geral do gráfi co de y= log(log x) e esboce o gráfi co dessa equação e de y =
SOM I log x no mesmo sistema de coordenadas.
Avião a jato (a 150 m de distância) 1,0 × 10 2 W/m 2 (b) Confi ra seu trabalho em (a) com um recurso gráfi co
(a)
amplifi cada 2 1,0 W/m computacional.
(b) Música de rock
(c) Liquidifi cador
1,0 × 10 −4 W/m 2
(d) W/m plique ambos os lados da desigualdade 3 > 2 por log 1
45. Encontre o erro na seguinte “prova” de que 2 1
> 1 TV (volume médio a 3 metros
8 4 . Multi-
de distância)
2 para
obter 3 log 1 2 > 2 log 1 52-54 2 Use a defi nição de níveis de decibéis de um som (veja o
Exercício 51).
log 2 > log 2
log 1 > log 1 8 52. Se um som for três vezes tão intenso quanto o outro, quanto 4 1 > maior será seu nível em decibéis? 1
8 4 53. De acordo com uma fonte, o barulho dentro de um carro em movimento está em torno de 70 dB, enquanto um liquidifi cador
46. Prove as quatro propriedades algébricas dos logaritmos do Te- gera 93 dB. Encontre a razão da intensidade do barulho do li- orema 1.6.2.
quidifi cador com a do automóvel.
76 Cálculo
54. Suponha que o nível de decibéis de um eco é 2 (a) 3 Encontre a energia E do terremoto de San Francisco de do nível de decibéis do som original. Se cada eco resulta em outro eco,
1906, que registrou M = 8,2 na escala Richter. quantos ecos serão ouvidos a partir de um som de 120 dB,
(b) Se a energia liberada de um terremoto for 10 vezes a de dado que o ouvido humano médio pode ouvir até no mínimo
outro, quanto maior será a sua magnitude na escala Ri- 10 dB?
chter?
55. Na escala Richter, a magnitude M de um terremoto está rela- 56. Suponha que as magnitudes de dois terremotos difi ram por 1 cionada com a energia liberada E, em joules (J), pela equação
unidade na escala Richter. Encontre a razão entre as energias liberadas pelo terremoto maior em relação ao menor. [Nota:
log E = 4,4 + 1,5 M
Ver o Exercício 55 para a terminologia.]
✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.6
1. 2. 3. (a) 4 0 (b) 4 1/2 (c) 4 −2 (d) 4 (−⬁, +⬁); (0, +⬁) 3/4 (−⬁, 1); (−⬁, +⬁) (e) 4 log 4 5 4. (a) ln 1 2 = − ln 2 (b) 2 (c) ln 2
5. (a) e 3 (b) 101 (c) 2