FUNÇÕES NOVAS A PARTIR DE ANTIGAS
1.3 FUNÇÕES NOVAS A PARTIR DE ANTIGAS
Da mesma forma que números podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados e divididos, produzindo outros números, também funções podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas, produzindo outras funções. Nesta seção, vamos discutir essas operações e algumas outras sem análogos em aritmética ordinária.
■ OPERAÇÕES ARITMÉTICAS SOBRE FUNÇÕES
Duas funções, ƒ e g, podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas de forma natural para formar novas funções ƒ + g, ƒ − g, ƒg e ƒ / g. Por exemplo, ƒ + g é defi nida pela fórmula
( ƒ + g)(x) = ƒ (x) + g(x) (1) que indica que, para cada entrada, o valor de ƒ + g é obtido adicionando-se os valores de f e
g . Por exemplo, se ƒ (x) = x e g(x) = x 2 então,
2 ( ƒ + g)(x) = ƒ (x) + g(x) = x + x
A equação (1) dá uma fórmula para ƒ + g , porém não diz nada sobre o domínio de ƒ + g . En- tretanto, para que o lado direito da equação esteja defi nido, x precisa estar no domínio de ƒ e no domínio de g. Assim, defi nimos o domínio de ƒ + g como sendo a intersecção desses dois
domínios. Mas, geralmente, temos a seguinte defi nição:
1.3.1 DEFINIÇÃO Dadas as funções ƒ e g, defi nimos ( ƒ + g)(x) = ƒ (x) + g(x) ( ƒ − g)(x) = ƒ (x) − g(x) ( ƒ g )(x) = ƒ (x)g(x)
Se f for uma função constante, diga- mos ƒ(x) = c, então o produto de ƒ e g
( ƒ / g)(x) = ƒ (x) / g(x)
será cg. Dessa forma, multiplicar uma
Para as funções ƒ + g, ƒ
− g e ƒg, defi nimos o domínio como sendo a intersecção dos do-
função por uma constante é um caso
mínios de ƒ e g; para a função ƒ / g, defi nimos o domínio como sendo a intersecção dos
particular da multiplicação de duas
funções.
domínios de ƒ e g, excluídos os pontos onde g(x) = 0 (para evitar a divisão por zero).
g(x) = x − 3 Encontre o domínio e a fórmula das funções ƒ + g, ƒ − g, fg, f / g e 7f.
Solução Primeiro, determinaremos as fórmulas para as funções e, depois, os domínios. As fórmulas são:
√ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (1 + x − 2 ) + (x − 3) = x − 2 + x−2 (2)
√ (f − g)(x) = f(x) − g(x) = (1 + x − 2 ) − (x − 3) = 4 − x + x−2 (3)
(f g)(x) = f(x)g(x) = (1 + x − 2 )(x − 3) (4)
√ 1+ x−2
(f /g)(x) = f(x)/g(x) =
x−3
( 7f )(x) = 7f(x) = 7 + 7 x−2 (6)
28 Cálculo
Os domínios de f e g são [2, + ∞ )e( − ∞ ,+ ∞ ), respectivamente (os domínios naturais). Assim, segue da Defi nição 1.3.1 que os domínios de f + g, f − g e fg são a intersecção desses domí- nios, a saber:
[2, +⬁) ∩ (−⬁, +⬁) = [2, +⬁) (7) Além disso, como g(x) = 0 se x = 3, o domínio de f / g é (7) com x = 3 removido, ou seja:
[2, 3) ∪ (3, +⬁) Finalmente, o domínio de 7f é igual ao domínio de f. 䉳
Nesse último exemplo ocorreu que os domínios das funções f + g, f − g, fg e f / g foram os domínios naturais resultantes das fórmulas obtidas para essas funções. Isso nem sempre ocorre, e aqui temos um exemplo.
䉴 Exemplo 2
Mostre que se
√ f (x) = x
, g(x) = x , e h(x) = x, então o domínio de fg
não é igual ao domínio natural de h. Solução O domínio natural de h(x) = x é ( − ∞ ,+ ∞ ). Observe que
√ √ (f g)(x) = x x = x = h(x)
no domínio de fg. O domínio de ambas f e g é [0, + ∞ ), de modo que o domínio de fg é
pela Defi nição 1.3.1. Como os domínios de fg e h são diferentes, não é correto escrever (fg)(x) = x sem incluir a restrição de que essa fórmula só vale para x ≥ 0. 䉳
■ COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
Vamos considerar agora uma operação sobre funções, denominada composição, que não tem análogo direto em aritmética usual. Informalmente, a operação de composição é executada substituindo-se em uma dada função a variável independente por alguma função. Por exem- plo, suponha que
f (x) = x 2 e g(x) = x + 1
Se substituirmos x por g(x) na fórmula de f, obtemos uma nova função:
2 2 f (g(x)) = (g(x)) = (x + 1)
a qual denotamos por f◦g . Assim,
2 2 ( f◦g )(x) = f(g(x)) = (g(x)) = (x + 1) Em geral, temos a seguinte defi nição:
Embora à primeira vista o domínio de
1.3.2 DEFINIÇÃO Dadas as funções ƒ e g, a composição de ƒ e g, denotada por f◦g ,é
ƒog possa parecer complicado, intui-
a função defi nida por
tivamente faz sentido: para computar ƒ(g(x)) , necessita-se de x no domínio
( f◦g )(x) = ƒ(g(x))
de g para computar g(x) e, depois, g (x) no domínio de ƒ para computar
Por defi nição, o domínio de f◦g consiste em todo x no domínio de g para o qual g(x) está
ƒ(g(x)) .
no domínio de ƒ.
Capítulo 1 / Funções
Exemplo 3 2 Seja f(x) = x +3e
g(x) = x . Encontre
(a) (f ◦g)(x)
(b) (g ◦f )(x)
Solução (a)
A fórmula para f(g(x)) é
2 √ x) 2
f (g(x)) = [g(x)] +3=(
+3=x+3
Como o domínio de g é [0, + ∞ ) e o de f é ( − ∞ ,+ ∞ ), o domínio de f◦g consiste em todo x em [0, + ∞ ), de modo que
g(x) = x está em ( − ∞ ,+ ∞ ); assim, o domínio de f◦g é
[0, + ∞ ). Logo, (f ◦ g)(x) = x + 3, x≥0
Solução (b)
A fórmula para g(f(x)) é
g(f (x)) =
f (x) = x 2 +3
Como o domínio de f é ( − ∞ ,+ ∞ ) e o de g é [0, + ∞ ), o domínio de
2 g◦f consiste em todo x em ( − ∞ ,+ ∞ ), de modo que f(x) = x + 3 está em [0, + ∞ ). Assim, o domínio de g◦f é( − ∞ ,+ ∞ ).
Logo,
Note que no Exemplo 3 as funções
f ◦ g e g ◦ f não são a mesma. As- sim, a ordem na qual as funções são
(g ◦ f )(x) = x 2 +3
compostas pode fazer (e geralmente fará) diferença no resultado fi nal.
Não há necessidade de indicar que o domínio é ( − ∞ ,+ ∞ ), pois este é o domínio natural de √
x 2 + 3. 䉳
As composições também podem ser defi nidas para três ou mais funções; por exemplo, (f ◦ g ◦ h)(x) é computada como
(f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x)))
Em outras palavras, primeiro encontramos h(x), depois g(h(x)) e, fi nalmente, ƒ(g(h(x))).
䉴 Exemplo 4
Encontre (f ◦ g ◦ h)(x) se
√ f (x) = x,
g(x) = 1/x, 3 h(x) = x
Solução
3 3 (f ◦ g ◦ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x 3/2 )) = f(1/x )= 3 = 1/x 䉳
■ EXPRESSANDO UMA FUNÇÃO COMO UMA COMPOSIÇÃO
Muitos problemas em Matemática são abordados pela “decomposição” de funções em uma composição de funções mais simples. Por exemplo, considere a função h dada por
2 h (x) = (x + 1)
Para calcular h(x) para um dado valor de x, computaríamos primeiro x + 1 e, então, o quadra- do do resultado. Essas duas operações são executadas pelas funções
g (x) = x + 1 e f(x) = x 2 Podemos expressar h em termos de ƒ e g escrevendo
2 2 h (x) = (x + 1) = [g(x)] = f(g(x)) assim, conseguimos expressar h como a composição h = f◦g .
30 Cálculo
O processo de raciocínio neste exemplo sugere um procedimento geral de decomposi- ção de uma função h em uma composição h = f◦g :
• Pense sobre como poderíamos calcular h(x) para um valor específi co de x, tentando dividir os cálculos em dois passos executados sucessivamente.
A primeira operação no cálculo determinará uma g e a segunda, uma função ƒ.
A fórmula para h pode, então, ser escrita como h(x) = ƒ(g(x)). Para fi ns de descrição, iremos nos referir a g como a “função de dentro” e a ƒ como a
“função de fora” na expressão ƒ(g(x)). A função de dentro executa a primeira operação e a de fora executa a segunda.
䉴 Exemplo 5
− 4) 5 como a composição de duas funções. Solução Para computar h(x) para um dado valor, calcularíamos primeiro x − 4 e, então, ele-
Expresse h(x) = (x
varíamos o resultado à quinta potência. Logo, a função de dentro (primeira operação) é
g (x) = x −4
e a função de fora (segunda operação) é ƒ(x) = x 5 logo, h(x) = ƒ(g(x)). Como verifi cação,
ƒ(g(x)) = [g(x)] 5 = (x
− 4) 5 = h(x) 䉳
Exemplo 6 3 Expresse sen(x ) como uma composição de duas funções. Solução Para computar sen(x 3 ), calcularíamos primeiro x 3 e, então, o seno do resultado;
assim, g(x) = x 3 é a função de dentro e ƒ(x) = sen x, a de fora. Logo, sen(x 3 ) = ƒ(g(x)) g (x) = x 3 e f(x) = sen x 䉳
A Tabela 1.3.1 dá mais exemplos de decomposições de funções em composições.
FUNÇÃO DE DENTRO DE FORA COMPOSIÇÃO
(x 2 + 1) 10 x 2 +1
x 10 (x 2 + 1) 10 = f ( g(x))
sen 3 x
sen x
x 3 sen 3 x = f ( g(x))
tg(x 5 )
x 5 tg x
tg(x 5 ) = f ( g(x))
√ 4 – 3x = f ( g(x))
8+ √x = f (g(x))
1 x +1
x +1
x +1 = f ( g(x))
Capítulo 1 / Funções
Sempre há mais de uma maneira de expressar uma função como uma composição. Por exemplo, aqui es- tão duas maneiras de expressar (x 2 + 1) 10 como composições diferentes daquela da Tabela 1.3.1:
(x 2 + 1) 10 = [(x 2 + 1) 2 ] 5 = f(g(x)) g (x) = (x 2 + 1) 2 e ƒ(x) = x 5 2 10 2 3 (x 10/3 + 1) = [(x + 1) ] = f(g(x)) g (x) = (x 2 + 1) 3 e ƒ(x) = x 10/3
■ FUNÇÕES NOVAS A PARTIR DE ANTIGAS
Venda de Carros em Milhões
34 O restante desta seção será dedicado a considerar o efeito geométrico de efetuar operações
32 básicas com funções. Isso nos permitirá utilizar gráfi cos conhecidos de funções para visu-
alizar ou esboçar gráfi cos de funções relacionadas. Por exemplo, a Figura 1.3.1 mostra os
28 Total
gráfi cos de vendas anuais de carros novos N(t) e usados U(t) ao longo de um certo período.
26 vos
24 No
Esses gráfi cos podem ser usados para construir o gráfi co do total de vendas anuais de carros
T (t) = N(t) + U(t), somando os valores de N(t) e U(t) para cada valor de t. Em geral, o gráfi co
20 Usados
18 de y = ƒ(x) + g(x) pode ser construído a partir dos gráfi cos de y = ƒ(x) e de y = g(x) somando
14 os valores de y correspondentes a cada x.
Na Figura 1.1.4, observe os gráfi cos de
y= x
e y = 1 / x e faça um esbo-
4 ço que mostre a forma geral do gráfi co
y= x + 1/x para x 0.
Solução Para somar os valores de y correspondentes de
√ y= x
e y = 1 / x grafi camente,
Source: Fonte: NADA. NADA.
basta imaginar que eles estão “empilhados” um em cima do outro. Isso dá lugar ao esboço da
Use a técnica do Exemplo 7 para es- boçar o gráfi co da função
Figura 1.3.2 Somando as coordenadas y de √ x
e de 1/x, obtemos a coordenada y de √ x + 1/x .
■ TRANSLAÇÕES
Na Tabela 1.3.2 ilustramos o efeito geométrico sobre o gráfi co de y = ƒ(x) de somar a ƒ ou à sua variável independente x uma constante positiva c, bem como o efeito de subtrair essa constante de ƒ ou de x. Por exemplo, o primeiro resultado na tabela ilustra que somando uma constante positiva c à função ƒ soma c a cada coordenada y de seu gráfi co, com isso transla- dando o gráfi co c unidades para cima. Analogamente, subtraindo c de ƒ translada o gráfi co c unidades para baixo. Por outro lado, se uma constante positiva c é somada a x, então o valor
de y = ƒ(x + c) em x − c é ƒ(x); e como o ponto x − c está c unidades à esquerda de x no eixo x, o gráfi co de y = ƒ(x + c) necessariamente é o de y = ƒ(x) transladado c unidades para a esquer-
da. Analogamente, subtraindo c de x translada o gráfi co c unidades para a direita. Antes de passar aos próximos exemplos, é conveniente rever os gráfi cos das Figuras
1.1.4 e 1.1.10.
32 Cálculo
Tabela 1.3.2
OPERAÇÃO EM Somar uma constante
Subtrair uma constante
Somar uma constante
Subtrair uma constante
y = f(x)
positiva c a f(x)
positiva c de f(x)
positiva c a x
positiva c de x
NOVA EQUAÇÃO y = f(x) + c
y = f(x) −c
y = f(x + c)
y = f(x − c)
Translada o gráfi co de
Translada o gráfi co de
Translada o gráfi co de
Translada o gráfi co de
EFEITO
y = f(x) c unidades para
y = f(x) c unidades para
y = f(x) c unidades para a
y = f(x) c unidades para a
GEOMÉTRICO
Esboce o gráfi co de
(a) y = x−3
(b) y = x+3
Solução O gráfi co da equação
y= x−3 pode ser obtido transladando 3 unidades para a
direita o gráfi co de y= x e o gráfi co de
y= x+3 transladando o de
√ y= x
3 unida-
des para a esquerda (Figura 1.3.3). 䉳
√ 䉴 x Exemplo 9
Esboce o gráfi co de y = | x − 3 | + 2.
Solução O gráfi co pode ser obtido com duas translações: primeiro transladamos 3 uni-
3 dades para a direita o gráfi co de y = |x| para obter o gráfi co de y = |x − 3|, depois translada- mos esse gráfi co 2 unidades para cima para obter o gráfi co de y = |x − 3| + 2 (Figura 1.3.4).
Se for desejado, o mesmo resultado pode ser obtido efetuando as translações em ordem
3 12 inversa: primeiro transladamos 2 unidades para cima o gráfi co de |x| para obter o gráfi co de y = |x| + 2, depois transladamos esse gráfi co 3 unidades para a direita para obter o gráfi co
y =|x|
Exemplo 10 2 Esboce o gráfi co de y = x − 4x + 5. Solução Completando o quadrado dos dois primeiros termos, temos
2 y = (x 2 − 4x + 4) − 4 + 5 = (x − 2) +1
Capítulo 1 / Funções
(ver o Apêndice G da internet para uma revisão dessa técnica). Dessa forma, vemos que o gráfi co pode ser obtido transladando 2 unidades para a direita o gráfi co de y = x 2 devido ao
(x − 2) e 1 unidade para cima devido ao +1 (Figura 1.3.5). 䉳
■ REFLEXÕES
O gráfi co de y = ƒ( −x) é a refl exão do gráfi co de y = ƒ(x) pelo eixo y porque o ponto
(x, y) do gráfi co de ƒ(x) é substituído por ( −x, y). Analogamente, o gráfi co de y = − ƒ(x) é a refl exão do gráfi co de y = ƒ(x) pelo eixo x porque o ponto (x, y) do gráfi co de ƒ(x) é substituído por (x, −y) [a equação y = −ƒ(x) é equivalente a −y = ƒ(x)]. Isso está resumido
y =x 2 – 4x + 5
na Tabela 1.3.3.
Figura 1.3.5
Tabela 1.3.3
OPERAÇÃO EM Substituir x por −x
Multiplicar f(x) por −1
y = f(x)
NOVA EQUAÇÃO y = f( −x)
y = − f(x)
EFEITO Refl ete o gráfi co de y = f(x) pelo
Refl ete o gráfi co de y = f(x) pelo
GEOMÉTRICO
eixo y
eixo x
䉴 Exemplo 11 Esboce o gráfi co de
y=
2 − x. .
Solução O gráfi co pode ser obtido por uma refl exão e por uma translação: primeiro refl e- tir o gráfi co de
√ 3 x √ pelo eixo y para obter o gráfi co de 3
y=
−x 3 √ 3 y= −(x − 2) = 2−x (Figura
y=
, então transladá-lo 2
unidades para a direita para obter o gráfi co da equação
䉴 Exemplo 12 Esboce o gráfi co de y = 4 − |x − 2| . Solução O gráfi co pode ser obtido por uma refl exão e por duas translações: primeiro, trans-
ladar 2 unidades para a direita o gráfi co de y = |x| para obter o gráfi co de y = |x − 2|; depois,
34 Cálculo
refl etir pelo eixo x para obter o gráfi co de y = − |x − 2|; então, transladá-lo 4 unidades para cima para obter o gráfi co da equação y = − |x − 2| + 4 = 4 − |x − 2| (Figura 1.3.7). 䉳
■ ALONGAMENTOS E COMPRESSÕES
Multiplicar ƒ(x) por uma constante positiva c tem o efeito geométrico de alongar o gráfi co de y = ƒ(x) na direção y por um fator de c se c > 1 e de comprimi-lo na direção y por um fator de 1/c se 0 < c < 1. Por exemplo, multiplicar ƒ(x) por 2 dobra cada coordenada y, portanto alonga
Descreva o efeito geométrico de mul- tiplicar uma função f por uma constan-
o gráfi co verticalmente por um fator de 2, enquanto multiplicar por 1 2 corta cada coordenada
te negativa em termos de refl exões,
y pela metade, portanto comprime o gráfi co verticalmente por um fator de 2. Analogamente,
alongamentos e compressões. Qual
multiplicar x por uma constante positiva c tem o efeito geométrico de comprimir o gráfi co
é o efeito geométrico de multiplicar a
de y = ƒ(x) na direção x por um fator de c se c > 1 e de alongá-lo na direção x por um fator de
variável independente de uma função f por uma constante negativa?
1/c se 0 < c < 1. [Se isso parece um pouco ao contrário, pense assim: o valor de 2x varia duas vezes mais rápido do que x, de modo que um ponto que se move ao longo do eixo x a partir
da origem só precisa viajar a metade da distância para que y = ƒ(2x) tenha o mesmo valor que y = ƒ(x), com isso criando uma compressão horizontal do gráfi co.] Tudo isso está resumido na Tabela 1.3.4.
T abela 1.3.4
OPERAÇÃO EM Multiplicar f(x) por c
Multiplicar f(x) por c
Multiplicar x por c
Multiplicar x por c
y = f(x)
y = f(cx) EFEITO Alonga o gráfi co de y = f(x)
NOVA EQUAÇÃO y = cf(x)
y = cf(x)
y = f(cx)
Comprime o gráfi co de y = f(x)
Comprime o gráfi co de y = f(x)
Alonga o gráfi co de y = f(x)
verticalmente por um
verticalmente por um
horizontalmente por um
horizontalmente por um
GEOMÉTRICO
fator de 1/c y
fator de c
fator de 1/c
fator de c
A Figura 1.3.8 ilustra três tipos de simetrias: simetria em relação ao eixo x, simetria em rela- ção ao eixo y e simetria em relação à origem. Como mostra a fi gura, a curva é simétrica em relação ao eixo x se, para cada ponto (x, y) do gráfi co, o ponto (x, −y) também está no gráfi co,
e é simétrica em relação ao eixo y se, para cada ponto (x, y) do gráfi co, o ponto ( −x, y) tam-
Capítulo 1 / Funções
bém está no gráfi co. Uma curva é simétrica em relação à origem se, para cada ponto (x, y) do
gráfi co, o ponto ( −x, −y) também está no gráfi co. (Equivalentemente, a curva é simétrica em relação à origem se permanecer inalterada por uma rotação de 180 o em torno da origem. Isso
(x, y)
sugere o teste de simetria a seguir.)
(x, –y)
1.3.3 TEOREMA (Testes de simetria)
Simetria pelo eixo x
(a) Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, substituindo-se x
por −x em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.
(b) Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, substituindo-se y
(–x, y) (x, y)
por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.
(c) Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, substituindo-se x por −x e y por −y em sua equação, obtém-se uma equação equivalente.
䉴 Exemplo 13 Use o Teorema 1.3.3 para identifi car simetrias no gráfi co de x = y Simetria pelo 2 .
eixo y
Solução Substituindo y por
2 , que simplifi ca para a equação original x = y −y dá x = (−y) 2 .
Assim, o gráfi co é simétrico em relação ao eixo x. O gráfi co não é simétrico em relação
ao eixo y pois substituindo x por
−x dá −x = y 2 , que não é equivalente à equação original x 2 =y . Analogamente, o gráfi co não é simétrico em relação à origem pois substituindo x
(x, y)
2 por 2 −x e y por −y dá −x = (−y) , que simplifi ca para −x = y , que de novo não é equivalente à equação original. Esses resultados são consistentes com o gráfi co de x = y 2 mostrado na
Figura 1.3.9. (–x, –y) 䉳
Simetria pela origem
■ FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Dizemos que uma função ƒ é uma função par se
Figura 1.3.8
ƒ( −x) = ƒ(x) (8)
x =y 2 e uma função ímpar se
ƒ( −x) = −ƒ(x) (9)
Geometricamente, os gráfi cos de funções pares são simétricos em relação ao eixo y, por- que substituindo x por −x na equação y = ƒ(x) dá y = ƒ(−x), que é equivalente à equação original y = ƒ(x) por (8) (ver Figura 1.3.10). Analogamente, segue de (9) que os gráfi - cos de funções ímpares são simétricos em relação à origem (ver Figura 1.3.11). Alguns
Figura 1.3.9
exemplos de funções pares são x 2 ,x 4 ,x 6 e cos x; alguns exemplos de funções ímpares são
Explique por que o gráfi co de uma função não-nula não pode ser simé- trico em relação ao eixo x.
Figura 1.3.10 Este é o gráfico de
Figura 1.3.11 Este é o gráfi co de uma
uma função par, pois f( −x) = f(x).
função ímpar, pois f( −x) = −f(x).
36 Cálculo ✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.3 (Ver página 39 para respostas.)
1. Sejam f(x) = 3 √ x − 2 e g(x) = |x|. Em cada parte, dê a fór-
− 2) 2 pode ser obtido transladando mula para a função e o correspondente domínio.
3. O gráfi co de y = 1 + (x
o gráfi co de y = x 2 para a __________ (esquerda/direita) por (a) ƒ + g: __________ Domínio: __________
__________ unidade(s) e depois transladando o novo gráfi co para __________ (cima/baixo) por _________ unidade(s).
(b) ƒ − g: __________ Domínio: __________
(c) ƒg: __________ Domínio: __________ 4. Seja
(d) ƒ/ g: __________ Domínio: __________ |x + 1|, −2 ≤ x ≤ 0
f (x) =
2. Sejam f(x) = 2 − x
0<x≤2 mula para a composição e o correspondente domínio.
e g(x) = x.. Em cada parte, dê a fór-
|x − 1|,
(a) A letra do alfabeto que mais se parece com o gráfi co de ƒ é (a) f ◦ g: __________ Domínio: __________
(b) g ◦ f: __________ Domínio: __________
(b) ƒ é uma função par?
EXERCÍCIOS 1.3
Recurso Gráfi co
ENFOCANDO CONCEITOS
5-10 Esboce o gráfi co da equação por translação, refl exão, com- 1. O gráfi co de uma função ƒ está na fi gura abaixo. Esboce os 2 pressão e alongamento do gráfi co de y = x de maneira apropriada
gráfi cos das seguintes equações: e, então, use um recurso gráfi co para confi rmar que seu esboço está correto.
(a) y = f(x) − 1 (b) y = f(x − 1)
(c) 1 y= 1 2 f (x) (d) y=f − 2 x
2 1 5. y = −2(x + 1) 2 −3 6. y = 2 (x − 3) +2
2 7. y = x 2 + 6x 8. y = x + 6x − 10
2 1 9. y = 1 + 2x − x 2 10. y = 2 (x − 2x + 3)
2 Esboce o gráfi co da equação por translação, refl exão, com- √ pressão e alongamento do gráfi co de y = x de maneira apro- priada e, então, use um recurso gráfi co para confi rmar que seu es-
11-14
Figura Ex-1
boço está correto.
√ 2. Use o gráfi co do Exercício 1 para esboçar os gráfi cos das
12. y = 1 + x−4 seguintes equações:
11. y = 3 − x+1
14. y = − 3x (a) y = −f(−x) (b) y = f(2 − x)
13. y = 2 x+1
(c) y = 1 − f(2 − x) (d) 1 y=
15-18 Esboce o gráfi co da equação por translação, refl exão, com- 3. O gráfi co de uma função ƒ está na fi gura abaixo. Esboce os
2 f (2x)
pressão e alongamento do gráfi co de y =1/x de maneira apropriada gráfi cos das seguintes equações:
e, então, use um recurso gráfi co para confi rmar que seu esboço está correto.
(a) y = f(x + 1)
(b) y = f(2x)
(c) y = |f(x)|
(d) y = 1 − |f(x)|
19-22 Esboce o gráfi co da equação por translação, refl exão, com- pressão e alongamento do gráfi co de y = |x| de maneira apropriada
Figura Ex-3
e, então, use um recurso gráfi co para confi rmar que seu esboço está correto.
4. Use o gráfi co do Exercício 3 para esboçar o gráfi co da equa- ção y = f(|x|).
19. y = |x + 2| − 2
20. y = 1 − |x − 3|
Capítulo 1 / Funções
39-40 Encontre uma fórmula para f ◦g ◦h. 23-26 Esboce o gráfi co da equação por translação, refl exão, com-
21. y = |2x − 1| + 1
22. y = x 2 − 4x + 4
2 + 1, g(x) = 1 , h(x) = x 39. f(x) = x 3 priada e, então, use um recurso gráfi co para confi rmar que seu es-
pressão e alongamento do gráfi co de y = √ 3 x
de maneira apro-
boço está correto.
40. f(x) = 1 , g(x) = 3 x, h(x) = 3 √
x 23. y = 1 − 2 3 x
√ 3 24. y = 1+x x−2−3
√ 3 √ 25. y = 2 + 3 x+1
41-44 Expresse f como uma composição de duas funções; isto é, 27. (a) Esboce o gráfi co de y = x + |x| adicionando as correspon-
26. y + x−2=0
encontre g e h tais que f = g ◦h. [Nota: Cada exercício tem mais dentes coordenadas y nos gráfi cos de y = x e y = |x|.
de uma solução.]
(b) Expresse a equação y = x + |x| na forma por partes, sem va-
lores absolutos e confi rme que o gráfi co obtido em (a) está 41. (a) f(x) = 2 x + 2 (b) f (x) = |x − 3x + 5| em conformidade com essa equação.
42. (a) f(x) = x + 1 (b) f (x) = x−3 tes coordenadas y nos gráfi cos de y = x e y = 1/x. Use um recur-
2 1 28. Esboce o gráfi co de y = x +(1/x) adicionando as corresponden-
2 so gráfi co para confi rmar que seu esboço está correto. 3 43. (a) f(x) = sen x (b) f (x) = 5 + cos x
29-30 Determine as fórmulas para ƒ + g, ƒ − g, ƒg e ƒ/g e estabe- 2 44. (a) 2 f (x) = 3 sen(x ) (b) f (x) = 3 sen x + 4 sen x leça os domínios das funções.
45-46 29. f(x) = 2 Expresse F como uma composição de três funções; isto é, x − 1, g(x) = x−1 encontre ƒ, g e h tais que F = f ◦g ◦h. [Nota: Cada exercício tem x
30. f(x) = 1
, g(x) = x 31. Sejam f(x) = √
mais de uma solução.]
1+x 2
3 √ x e g(x) = x + 1. Determine
1 + sen(x ) (b) 2 F(x) = 1− 3 x
(a) ƒ(g(2)) (b) g (ƒ(4))
(c) ƒ(ƒ(16))
(b) F(x) = |5 + 2x| 32. Sejam g(x) = π − x 2 e h(x) = cos x. Encontre
(d) g (g(0))
46. (a) F(x) =
1−x 2
(a) g (h(0)) (b) h(g( π/2 ))
ENFOCANDO CONCEITOS
(c) g (g(1)) (d) h(h(π/2)) 47. Use a tabela abaixo para fazer um gráfi co de y = ƒ(g (x)). 33. Seja f(x) = x 2 + 1. Encontre
T abela Ex-47
0 1 2 3 –2 (g) –3 f( √ x) (h) ƒ(3x) 34. Seja g(x) = √ x . Encontre 48. Encontre o domínio de g ◦f para as funções ƒ e g do Exer-
g(x) –1
(a) g (5s + 2) (b) g(√x + 2)
(c) 3g(5x)
cício 47.
1 (d)
(e) g(g(x)) (f) (g(x)) 2 2
− g(x )
49. Esboce o gráfi co de y = ƒ(g(x)) para as funções cujos gráfi - cos estão na fi gura abaixo.
g(x)
(g) 2 g(1/ √ x)
(h) g((x − 1) )
35-38
Determine as fórmulas para f ◦g e g◦f e estabeleça os 3 domínios das compostas.
√ , g(x) = 1−x
35. f(x) = x 2
36. f(x) = 3 x − 3, g(x) = x 2 +3
1+x 37. f(x) = x , g(x) =
38. f(x) = , g(x) =
Figura Ex-49
1+x 2 x
38 Cálculo
50. Esboce o gráfi co de y = g(ƒ(x)) para as funções cujos gráfi -
cos estão no Exercício 49. 51. Use os gráfi cos de ƒ e g do Exercício 49 para estimar as so-
luções das equações ƒ(g(x)) = 0 e g(ƒ(x)) = 0. 52. Use a tabela do Exercício 47 para resolver as equações
ƒ(g(x)) = 0 e g(ƒ(x)) = 0.
(b) 53-56 Encontre
(a)
f (w) − f(x) e f (x + h) − f(x)
w−x
e simplifi que tanto quanto possível. x 53. ƒ(x) = 3x 2 54. ƒ(x) = x −5 2 − 6x
55. ƒ(x) = 1/x
56. ƒ(x) = 1/x 2 Figura Ex-61
57. Classifi que em pares, ímpares ou nenhuma dessas as funções cujos valores estão dados na tabela a seguir.
62. Em cada parte das fi guras abaixo, determine se o gráfi co é si- métrico em relação ao eixo x, ao eixo y, à origem ou nenhum
Tabela Ex-57
desses casos.
58. Complete a tabela da fi gura abaixo, de forma que o gráfi co de y= ƒ(x) (o qual é um mapa de dispersão) seja simétrico em
(b) relação (a) ao eixo y (b) à origem
(a)
Tabela Ex-58
(d) 59. A fi gura abaixo mostra uma parte de um gráfi co. Complete o
(c)
Figura Ex-62
gráfi co de forma que todo ele seja simétrico em relação (a) ao eixo x (b) ao eixo y (c) à origem
63. Em cada parte, classifi que a função como par, ímpar ou ne- 60. A fi gura abaixo mostra uma parte do gráfi co de uma função ƒ.
nhum desses casos.
Complete o gráfi co supondo que 2 (a) 3 ƒ(x) = x (b) ƒ(x) = x (a) ƒ é uma função par
(b) ƒ é uma função ímpar
(c) ƒ(x) = |x| (d) ƒ(x) = x + 1
2 (f) ƒ(x) = 2
1+x 64. Suponha que a função ƒ tenha por domínio todos os números
reais. Determine se cada uma das funções a seguir pode ser
classifi cada como par ou ímpar. Explique.
f (x) + f(−x)
f (x) − f(−x)
(a) g(x) =
(b) h(x) =
Figura Ex-59
Figura Ex-60
2 2 65. Suponha que a função ƒ tenha por domínio todos os números
61. Classifi que as funções cujos gráfi cos estão nas fi guras a seguir reais. Mostre que ƒ pode ser escrita como a soma de uma fun- como pares, ímpares ou nenhum desses casos.
ção par com uma função ímpar. [Sugestão: Ver Exercício 64.]