■ MODELOS MATEMÁTICOS

Um modelo matemático de uma lei física é uma descrição dessa lei na linguagem da Mate- mática. Tais modelos tornam possível a utilização de métodos matemáticos para dedução de resultados sobre o mundo físico que não sejam evidentes ou que nunca tenham sido observa- dos. Por exemplo, a possibilidade de colocar um satélite artifi cial em órbita ao redor da Terra foi deduzida matematicamente a partir do modelo de Mecânica formulado por Isaac Newton, praticamente 200 anos antes do lançamento do Sputnik, e Albert Einstein (1879-1955) for- mulou, em 1915, um modelo relativístico da Mecânica que explicou o avanço no periélio do planeta Mercúrio, que não foi confi rmado por medições físicas até 1967.

Em uma situação de modelagem típica, um cientista deseja obter uma relação matemá- tica entre duas variáveis x e y usando um conjunto de n pares ordenados de medições

(x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ), (x 3 ,y 3 ), . . . , (x n ,y n ) (1) que estabelecem uma relação entre valores correspondentes das variáveis. Distinguimos entre

dois tipos de fenômenos físicos: os fenômenos determinísticos, em que cada valor de x determina um valor de y, e os fenômenos probabilísticos, em que não é determinado de maneira única o valor de y associado a um valor específi co de x. Por exemplo, se y é a quantidade de alongamento que uma força x provoca em uma mola, então cada valor de x determina um úni- co y e, portanto, constitui um modelo determinístico. Por outro lado, se y é o peso de uma pessoa cuja altura é x, então y não está determinado de maneira única por x, já que pessoas com mesma altura podem ter pesos diferentes. Mesmo assim, existe uma “correlação” entre peso e altura, que faz com que seja mais provável que uma pessoa alta pese mais, portanto, isso é um fenômeno probabilístico. Vamos nos ocupar unicamente de fenômenos determinísticos.

Em um modelo determinístico, a variável y é uma função da variável x, e o objetivo é encontrar uma fórmula y = ƒ(x) que melhor descreva os dados. Uma maneira de modelar um conjunto de dados determinísticos é procurar uma função ƒ, denominada função interpolado- ra, cujo gráfi co passe por todos os pontos de dados. Embora as funções interpoladoras sejam apropriadas em certas situações, elas não dão conta de maneira adequada de erros de medi-

Capítulo 1 / Funções

ção. Por exemplo, suponha que a relação entre x e y seja sabidamente linear, mas que os dados obtidos por instrumentos de medição com limitações de precisão e por variações aleatórias nas condições experimentais sejam os fornecidos na Figura 1.7.1a. Poderíamos usar um apli- cativo para encontrar um polinômio de grau 10 cujo gráfi co passa precisamente por todos os pontos de dados (Figura 1.7.1b). Contudo, um tal modelo polinomial não consegue transmitir

a relação de linearidade subjacente aos dados. Uma abordagem melhor é procurar uma equa- ção linear y = mx + b cujo gráfi co descreva melhor a relação linear entre os dados, mesmo que esse gráfi co não passe por todos (ou qualquer um) dos pontos de dados (Figura 1.7.1c).

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