ANTON Howard Calculo 8ed VolI Liberado C (1)

1.1 FUNÇÕES

Nesta seção defi niremos e desenvolveremos o conceito de “função”, que é o objeto matemático básico utilizado por cientistas e matemáticos para descrever relações entre quantidades variáveis. As funções desempenham um papel central no Cálculo e em suas aplicações.

■ DEFINIÇÃO DE UMA FUNÇÃO

Muitas leis científi cas e muitos princípios de Engenharia descrevem como uma quantida-

de depende de outra. Em 1673, essa idéia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o termo função para indicar a dependência de uma quantidade em relação a uma outra, conforme a defi nição a seguir.

1.1.1 DEFINIÇÃO Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x.

Quatro maneiras usuais de representar funções são:

• Numericamente com tabelas

• Geometricamente com gráfi cos

• Algebricamente com fórmulas

• Verbalmente

2 Cálculo

Tabela 1.1.1

O método de representação muitas vezes depende de como surgiu a função. Por exemplo:

VELOCIDADES DE QUALIFICAÇÃO NAS 500 MILHAS DE INDIANÁPOLIS

A Tabela 1.1.1 mostra a velocidade de qualifi cação S para a pole na corrida de 500

VELOCIDADE S

milhas de Indianápolis como uma função do ano t. Há exatamente um valor de S para

ANO t (milhas/hora)

cada valor de t.

A Figura 1.1.1 é um registro gráfi co de um terremoto feito por um sismógrafo. O grá-

fi co descreve a defl exão D da agulha do sismógrafo como uma função do tempo T de-

corrido desde o instante em que o abalo deixou o epicentro do terremoto. Há exata-

mente um valor de D para cada valor de T.

• Algumas das mais conhecidas funções surgem de fórmulas; por exemplo, a fórmula

C = 2 πr expressa o comprimento da circunferência C de um círculo como uma fun-

ção do raio r do círculo. Há exatamente um valor de C para cada valor de r.

1996 • 233,100 Algumas vezes, as funções são descritas em palavras. Por exemplo, a Lei da Gravi- 1997

tação Universal de Isaac Newton é, freqüentemente, enunciada da seguinte forma: A

força gravitacional de atração entre dois corpos no Universo é diretamente propor-

cion al ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da dis-

tância entre eles. Esta é a descrição verbal da fórmula:

na qual F é a força de atração, m 1 em 2 são as massas, r é a distância entre os corpos

e G é uma constante. Se as massas são constantes, então a descrição verbal defi ne F como uma função de r. Há exatamente um valor de F para cada valor de r.

D Tempo do

Chegada das

Chegada das

tremor de ondas P

ondas S

terra 9,4

Ondas de superfície

11,8 minutos minutos

Tempo em minutos 0 10 20 30 40 50 60 70 80 T

Figura 1.1.1

f Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler (pronuncia-se “oiler”)

Programa

de concebeu a idéia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo,

Computador Entrada x

trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específi cas, gráfi cos ou tabelas. Para entender

Saída y

a idéia de Euler, pense numa função como sendo um programa de computador que toma uma entrada x , opera com ela de alguma forma e produz exatamente uma saída y. O programa de

Figura 1.1.2

computador é um objeto por si só, assim podemos dar-lhe um nome, digamos ƒ. Dessa forma,

a função ƒ (o programa de computador) associa uma única saída y a cada entrada x (Figura

1.1.2). Isso sugere a defi nição seguinte.

1.1.2 DEFINIÇÃO Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada

(libras) 125 W 100

entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ

75 de x”).

Peso

10 15 20 25 30 Nessa defi nição, o termo única signifi ca “exatamente uma”. Assim, uma função não

Idade A (anos)

pode produzir duas saídas diferentes com a mesma entrada. Por exemplo, a Figura 1.1.3

Figura 1.1.3

mostra um gráfi co de dispersão de pesos versus idade para uma amostra aleatória de 100

Capítulo 1 / Funções

estudantes universitários. Esse gráfi co de dispersão não descreve o peso W como uma fun- ção da idade A, pois há alguns valores de A com mais de um valor correspondente de W. Isso é esperado, uma vez que duas pessoas com a mesma idade não têm, necessariamente, o mesmo peso.

■ VARIÁVEIS INDEPENDENTES E DEPENDENTES

Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada valor de f em x, ou imagem

de x por f. Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra, digamos y, e escre- vemos

y = f(x)

Essa equação expressa y como uma função de x; a variável x é denominada variável independen- te ou argumento de f, e a variável y é denominada variável dependente de f. Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre para variar, mas, uma vez dado um valor específi co para x , o valor correspondente de y está determinado. Por enquanto, consideramos apenas funções em que as variáveis independente e dependente são números reais, caso em que dizemos que f é uma função real de uma variável real. Adiante consideraremos outros tipos de funções.

Tabela 1.1.2

0 1 2 3 䉴 Exemplo 1

A Tabela 1.1.2 descreve a relação funcional y = f(x) em que

y 3 4 −1

6 ƒ(0) = 3 ƒ associa y = 3 a x = 0 ƒ(1) = 4 ƒ associa y = 4 a x = 1

ƒ(2) = −1 ƒ associa y = −1 a x = 2 ƒ(3) = 6 ƒ associa y = 6 a x = 3 䉳

䉴 Exemplo 2

A equação

2 y = 3x − 4x + 2 está na forma y = f(x) em que a função f é dada pela fórmula

f (x) = 3x 2 − 4x + 2

Leonhard Euler (1707-1783) Euler foi, provavel- vezes) e acredita-se que muito de seu trabalho tenha sido per- mente, o mais prolífi co de todos os matemáticos. Foi

dido. É particularmente espantoso que nos últimos 17 anos dito que “Euler fazia matemática tão facilmente quan-

de sua vida, quando mais produziu, estava cego! A memória to a maioria dos homens respira”. Ele nasceu em Ba-

impecável de Euler era fenomenal. Mais cedo em sua vida, sel, Suíça, e era fi lho de um ministro protestante, o

memorizou a Eneida de Virgílio e, com 70 anos, era capaz qual, por sua vez, já estudara Matemática. O gênio de

de recitar a obra inteira. Além disso, podia dar a primeira e Euler se desenvolveu cedo. Ele freqüentou a Universidade de

a última sentença de cada página do livro memorizado. Sua Basel e, aos 16 anos, O bteve simultaneamente os títulos de

habilidade em resolver problemas de cabeça era inacreditável. Bacharel em Artes e Mestre em Filosofi a. Enquanto estava em

Ele solucionava de cabeça grandes problemas do movimento Basel, teve a sorte de ser orientado um dia por semana pelo

lunar que frustravam Isaac Newton e, em certa ocasião, fez notável matemático Johann Bernoulli. Sob a pressão do pai,

um complicado cálculo de cabeça para encerrar uma discus- começou a estudar Teologia. Contudo, o fascínio pela Mate-

são entre dois estudantes, cujos cálculos diferiam na qüinqua- mática era muito grande e, aos 18 anos, começou a pesquisar.

gésima casa decimal.

Não obstante, a infl uência do pai era muito forte e seus estu- A partir de Leibniz e Newton, os resultados em Mate- dos teológicos persistiram, e assim por toda a vida Euler foi

mática se desenvolveram rápida e desordenadamente. O gênio profundamente religioso e simples. Em períodos diferentes,

de Euler deu uma coerência à paisagem Matemática. Ele foi lecionou na Academia de Ciências de São Petersburgo (Rús-

o primeiro matemático a trazer toda a força do Cálculo para sia), na Universidade de Basel e na Academia de Ciências de

resolver problemas da Física. Ele fez contribuições importan- Berlim. A energia e a capacidade de trabalho de Euler eram

tes a virtualmente todos os ramos da Matemática bem como à praticamente ilimitadas. Seus trabalhos acumulados formam

teoria da óptica, dos movimentos planetários, da eletricidade, mais de 100 volumes in-quarto (folha de papel dobrada duas

do magnetismo e da mecânica geral.

4 Cálculo

Para cada entrada x, a saída correspondente y é obtida substituindo x nessa fórmula.

2 f( 0) = 3(0) − 4(0) + 2 = 2 ƒ associa y = 2 a x = 0

2 f (−1,7) = 3(−1,7) − 4(−1,7) + 2 = 17,47 ƒ associa y = 17,47 a x = −1,7

√ y=8−4 2 a x

■ GRÁFICOS DE FUNÇÕES

Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais, então o gráfi co de ƒ no plano xy é defi nido como sendo o gráfi co da equação y = ƒ(x). Por exemplo, o gráfi co da fun- ção ƒ(x)= x é o gráfi co da equação y = x que aparece na Figura 1.1.4. Essa fi gura também mostra os gráfi cos de algumas outras funções básicas, possivelmente conhecidos. Na próxima seção, vamos discutir técnicas para a construção de gráfi cos de funções usando computadores e calculadoras.

Como √x é imaginário para valo-

res negativos de x, não há pontos no

√ -3 gráfi co de y = x na região em que

-5-4-3-2-1 0 1 2345

Os gráfi cos podem fornecer informação visual importante sobre uma função. Por exemplo, como o gráfi co de uma função f no plano xy é o gráfi co da equação y = f(x), os pontos do gráfi co

são da forma (x, f(x)), ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfi co de f é o valor de f na co- ordenada x correspondente (Figura 1.1.5). Os valores de x para os quais f(x) = 0 são as coorde- nadas x dos pontos nos quais o gráfi co de f intersecta o eixo x (Figura 1.1.6). Esses valores são

(x, f (x)) f (x)

denominados zeros de f, raízes de f(x) = 0 ou pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.

y = f (x)

■ O TESTE DA RETA VERTICAL

Nem toda curva no plano xy é o gráfi co de uma função. Por exemplo, considere a curva na

Figura 1.1.5 A coordenada y

de um

Figura 1.1.7, que é cortada em dois pontos distintos (a, b) e (a, c) por uma reta vertical. Essa

ponto no gráfi co de y = f(x) é o valor

de f na coordenada x correspondente.

curva não pode ser o gráfi co de y = ƒ(x), qualquer que seja a função ƒ; pois senão teríamos

ƒ (a) = beƒ (a) = c

Capítulo 1 / Funções

o que é impossível, uma vez que ƒ não pode atribuir dois valores diferentes para a. Assim,

y = f (x)

não existe uma função ƒ cujo gráfi co seja a curva dada. Isso ilustra o seguinte resultado geral, denominado teste da reta vertical.

1.1.3 TESTE DA RETA VERTICAL Uma curva no plano xy é o gráfi co de alguma função

x 1 0 x 2 x 3 ƒ se e somente se nenhuma reta vertical intersecta a curva mais de uma vez.

Figura 1.1.6 f tem zeros em x 1 , 0,

x 2 ex 3 .

䉴 Exemplo 3

O gráfi co da equação

(1) é um círculo de raio 5, centrado na origem, e assim existem retas verticais que cortam o grá-

2 2 x +y = 25

fi co mais de uma vez. Isso também pode ser visto algebricamente resolvendo (3) para y em termos de x:

(a, c)

y=± 2 25 − x

Essa equação não defi ne y como uma função de x, pois o lado direito tem “valores múltiplos”

(a, b)

no sentido de que um valor de x no intervalo (

−5, 5) produz dois valores correspondentes de y . Por exemplo, se x = 4, então y = ± 3, assim (4, 3) e (4, −3) são dois pontos do círculo na

Figura 1.1.7 Esta curva não pode ser o gráfi co de uma função.

mesma reta vertical (Figura 1.1.8). Entretanto, se considerarmos o círculo como a união dos dois semicírculos:

2 y= 2 25 − x e y=− 25 − x

Veja no Apêndice G da internet uma revisão sobre círculos.

cada um dos quais defi ne y como uma função de x (Figura 1.1.9). 䉳

Figura 1.1.9 A união dos semicírculos é o círculo completo.

A FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO

Lembre-se de que o valor absoluto ou grandeza de um número real x é defi nido por

x, x≥0 |x| =

−x, x < 0

Símbolos tais como +x e

−x são enga- nosos, uma vez que é tentador con- cluir ser +x positivo e

O efeito de considerar o valor absoluto de um número é tirar fora o sinal menos, se o número

−x negativo. Po- rém, isso não precisa ser assim, pois

for negativo, ou deixá-lo como está, se for não-negativo. Assim,

x pode ser positivo ou negativo. Por exemplo, se x for negativo, digamos x

= −3, então −x = 3 é positivo e +x = −3 é negativo.

Uma discusão mais detalhada das propriedades de valor absoluto é dada no Apêndice

E da internet. Porém, por conveniência, vamos dar o resumo a seguir de suas propriedades algébricas.

6 Cálculo

1.1.4 PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO Se a e b são números reais , então

(a) |−a| = |a|

Um número e seu negativo têm o mesmo valor absoluto.

(b) |ab| = |a| |b|

O valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos.

(c)

O valor absoluto de uma razão é a razão dos valores absolutos.

(d) |a + b| ≤ |a| + |b|

A desigualdade triangular.

5 y y = |x|

4 O gráfi co da função ƒ(x) = |x| pode ser obtido representando separadamente as duas

3 partes da equação

Para x ≥ 0, o gráfi co de y = x é o raio de inclinação 1 com seu ponto fi nal na origem e, para

x < 0, o gráfi co de y = –x é o raio de inclinação −1 também com seu ponto fi nal na origem.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Combinando as duas partes, obtemos o gráfi co em forma de V da Figura 1.1.10.

Figura 1.1.10

Valores absolutos guardam relações importantes com raízes quadradas. Para ver isso, lembre-se de que, pela Álgebra, todo número real positivo x tem duas raízes quadradas, uma

positiva e a outra negativa. Por defi nição, o símbolo x denota a raiz quadrada positiva de x . Para denotar a raiz quadrada negativa, precisamos escrever √ − x . Por exemplo, a raiz qua- √

drada positiva de 9 é

√ 9=3 , enquanto a raiz quadrada negativa é −

9 = −3 . (Não cometa

o erro de escrever

Ao simplifi car as expressões da forma

2 é necessário cuidado, pois nem sempre é

verdade que x 2 =x . Essa equação é correta se x for não-negativo, porém falsa para x nega-

tivo. Por exemplo, se x = −4, então

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

Uma afi rmação que é correta para todos os valores reais de x é

Verifi que (2) usando uma calculadora gráfi ca para mostrar que as equações

√ 2 x x 2 = |x| (2)

y= e y = |x| têm o mesmo gráfi co.

FUNÇÕES DEFINIDAS POR PARTES

A função valor absoluto ƒ(x) = |x| é um exemplo de uma função defi nida por partes, no senti- do de que a fórmula para ƒ muda dependendo do valor de x.

䉴 Exemplo 4

Esboce o gráfi co da função defi nida por partes pela fórmula

Solução

A fórmula para ƒ muda nos pontos x = −1 e x = 1 (denominados pontos de mu-

dança para a fórmula). Um bom procedimento para elaborar os gráfi cos de funções defi nidas

2 por partes é fazê-lo separadamente sobre os intervalos determinados pelos pontos de mu- dança e depois nos próprios pontos. Para a função ƒ deste exemplo, o gráfi co é o segmento

1 da reta horizontal y = 0 sobre o intervalo (−⬁, −1) , o semicírculo √ y= 2 1−x sobre o intervalo ( −1, 1) e o segmento da reta y = x sobre o intervalo ( 1, +⬁) . A fórmula para ƒ es-

pecifi ca que a equação y = 0 se aplica ao ponto de mudança −1 [assim, y = ƒ(−1) = 0] e que

- 2 -1

1 2 a equação y = x se aplica ao ponto de mudança 1 [assim, y = ƒ(1) = 1]. O gráfi co de ƒ está na

Figura 1.1.11

Figura 1.1.11. 䉳

Capítulo 1 / Funções

Na Figura 1.1.11, no ponto de mudança x = 1, a bola sólida está na reta enquanto a bola vazia está no se- micírculo, enfatizando que o ponto está na reta e não no semicírculo. Não há ambigüidade no ponto x = –1, pois as duas partes do gráfi co juntam-se continuamente aí.

䉴 Exemplo 5

Aumentando a velocidade na qual o ar passa sobre a pele de uma pessoa, au- menta também a taxa de evaporação da umidade da pele, produzindo uma sensação de resfria- mento. (Por isso utilizamos ventiladores no verão.) O índice de sensação térmica em um dado instante (defi nido pelo Serviço Nacional de Meteorologia dos EUA) é a temperatura em graus Fahrenheit a uma velocidade de vento de 3 milhas por hora que produziria a mesma sensação de resfriamento sobre a pele exposta que a combinação de temperatura do ar e velocidade do vento no dado instante. Uma fórmula empírica, isto é, baseada em dados experimentais, para o índice

de sensação térmica W a 32°F com uma velocidade do vento de v milhas por hora é

32, 0≤v≤3

W=

55,628 − 22,07v 0,16 , 3<v

Um gráfi co de W(v) gerado por computador é dado na Figura 1.1.12. 䉳

Sensação térmica

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Velocidade v (milhas/h)

Figura 1.1.12 Sensação térmica versus velocidade do vento a 32ºF.

■ DOMÍNIO E IMAGEM

Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então o conjunto de todas as entradas permi- tidas (os valores de x) é denominado domínio de f, e o conjunto de todas as saídas (os valores

de y) que resultam quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f. Por exemplo, se f é a função defi nida pela tabela no Exemplo 1, então o domínio é o conjunto {0, 1, 2, 3} e

a imagem é o conjunto {3, 4, −1, 6}.

Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições sobre as entradas permissíveis de uma função. Por exemplo, se y denota a área de um quadrado de lado x, en- tão essas variáveis estão relacionadas pela equação y = x 2 . Embora essa equação produza um único valor de y para cada número real x, o fato de que os comprimentos devem ser números não-negativos impõe a exigência que x ≥ 0.

Poder-se-ia argumentar que um qua-

Quando uma função está defi nida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode

drado físico não pode ter um lado de comprimento nulo. Contudo, muitas

impor restrições sobre as entradas permissíveis. Por exemplo, se y = 1/x, então x = 0 não é uma entrada válida, pois divisão por zero não está defi nida, e se

y= x , , então valores negativos de

vezes é matematicamente conve-

niente permitir comprimentos iguais a

x não são entradas válidas, pois produzem valores imaginários de y e havíamos concordado em

zero, e assim o faremos neste texto.

considerar somente funções reais de variável real. Em geral, temos a seguinte defi nição.

1.1.5 DEFINIÇÃO Se uma função de variável real a valores reais for defi nida por uma fórmula e se não houver um domínio explicitado, então deve ser entendido que o domínio consiste em todos os números reais para os quais a fórmula dê lugar a um valor real. Isso é denominado domínio natural da função.

8 Cálculo

O domínio e a imagem de uma função f podem ser identifi cados projetando o gráfi co de

y = f(x) sobre os eixos coordenados, como mostra a Figura 1.1.13.

Encontre o domínio natural de

(a) ƒ (x) = x 3 (b) f(x) = 1/[(x − 1)(x − 3)]

Domínio

(c) ƒ (x) = tg x (d) f (x) = x 2 − 5x + 6

Figura 1.1.13 A projeção de y = f(x)

sobre o eixo x é o conjunto de valores x permissíveis para f e a projeção so-

Solução (a)

A função ƒ tem valores reais para todo x real, assim seu domínio natural é o

bre o eixo y é o conjunto de valores y

intervalo ( − ∞ , + ∞ ).

correspondentes.

Solução (b)

A função ƒ tem valores reais para todo x real, exceto x = 1 e x = 3, onde ocor-

rem divisões por zero. Dessa forma, o domínio natural é

3} = (−⬁, 1) ∪ (1, 3) ∪ (3, +⬁) Solução (c) Uma vez que ƒ(x) = tg x = sen x / cos x, a função ƒ tem valores reais exceto

onde cos x = 0, e isso ocorre quando x for um múltiplo inteiro ímpar de π/2. Assim, o domínio natural consiste em todos os números reais, exceto

Veja no Apêndice A uma revisão so- bre trigonometria.

y =x 2 Solução (d)

A função ƒ tem valores reais, exceto quando a expressão dentro do radical for negativa. Assim, o domínio natural consiste em todos os números reais x tais que

x 2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2) ≥ 0

Essa desigualdade é satisfeita se x ≤ 2 ou x ≥ 3 (verifi que), de modo que o domínio natural

de ƒ é (−⬁, 2] ∪ [3, +⬁) 䉳

y y =x 2 ,x≥0

Em alguns casos explicitamos o domínio ao defi nir uma função. Por exemplo, se f(x) = x 2 é a área de um quadrado de lado x, então podemos escrever

f (x) = x 2 , x≥0

para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o conjunto dos números reais não-ne- gativos (Figura 1.1.14).

Figura 1.1.14 ■ O EFEITO DE OPERAÇÕES ALGÉBRICAS SOBRE O DOMÍNIO

Expressões algébricas são, freqüentemente, simplifi cadas cancelando fatores comuns no numerador e no denominador. Entretanto, deve-se tomar cuidado com tais simplifi cações, pois elas podem alterar o domínio.

䉴 Exemplo 7

O domínio natural da função

consiste em todos números reais x, exceto x = 2. Contudo, fatorando o numerador e cance- lando o fator comum ao numerador e ao denominador, obtemos

=x+2 (4)

(x − 2)(x + 2)

f (x) =

x−2

Capítulo 1 / Funções

Como o lado direito de (4) tem um valor de f(2) = 4, mas f(2) não está defi nido em (3),

5 vemos que a simplifi cação algébrica alterou a função. Geometricamente, o gráfi co de (4) é

4 y =x+2

a reta da Figura 1.1.15a, enquanto o gráfi co de (3) é a mesma reta, mas com um buraco em

2 x = 2, já que a função não está defi nida nesse ponto (Figura 1.1.15b). Resumindo, o efeito

geométrico do cancelamento algébrico foi eliminar um buraco do gráfi co original. 䉳

-3-2-1 12345

As alterações no domínio de uma função que resultam de simplifi cações algébricas são,

(a)

às vezes, irrelevantes para o problema que estamos tratando, podendo ser ignoradas. Contu-

do, se o domínio deve ser preservado, devemos impor explicitamente as restrições sobre a

6 função simplifi cada. Por exemplo, se quisermos preservar o domínio da função no Exemplo

5 y x = 2 –4

7, devemos expressar a forma simplifi cada da função como

4 x –2 3

f (x) = x + 2,

-3-2-1 12345

䉴 Exemplo 8

Encontre o domínio e a imagem de

(b)

(a)

f (x) = 2 + x−1 (b) f (x) = (x + 1)/(x − 1)

Figura 1.1.15

Solução (a) Como nenhum domínio foi explicitado, o domínio de ƒ é o domínio na- √ tural [1, + ∞ ). À medida que x varia sobre o intervalo [1, + ∞ ), o valor de x−1 varia

); assim, o valor de f (x) = 2 + x−1 varia sobre o intervalo 5 y =2+ √ x –1

sobre o intervalo [0, + ∞

[2, + ∞ ), que é a imagem de ƒ. O domínio e a imagem estão destacados nos eixos x e y

4 da Figura 1.1.16.

1 Solução (b)

A função ƒ dada está defi nida para todos os x reais, exceto x = 1; assim, o do-

mínio natural de ƒ é

Figura 1.1.16

Para determinar a imagem, é conveniente introduzir uma variável dependente

3 Embora o conjunto de valores possíveis de y não seja imediatamente evidente dessa equação,

2 o gráfi co de (5), que aparece na Figura 1.1.17, sugere que a imagem de ƒ consiste em todos y,

1 exceto os y reais = 1. Para ver isso, vamos resolver (5) para x em termos de y:

Agora fi ca evidente pelo segundo membro da equação que y = 1 não está na imagem; caso contrário, teríamos uma divisão por zero. Nenhum outro valor de y é excluído por essa equa- ção; dessa forma, a imagem da função ƒ é

, que está de

acordo com o resultado obtido grafi camente. 䉳

■ O DOMÍNIO E A IMAGEM EM PROBLEMAS APLICADOS

Em aplicações, considerações físicas freqüentemente impõem restrições sobre o domínio e a imagem de uma função.

10 Cálculo

䉴 Exemplo 9

Uma caixinha aberta é feita de pedaços de papelão com 16 por 30 cm, cor- tando fora quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando para cima os lados (Figura 1.1.18a).

(a) Seja V o volume da caixa que resulta quando os quadrados tiverem lados de compri- mento x. Determine uma fórmula para V como uma função de x.

(b) Encontre o domínio de V. (c) Use o gráfi co de V dado na Figura 1.1.18c para estimar a imagem de V. (d) Descreva em palavras o que o gráfi co diz sobre o volume.

Solução (a) Conforme mostra a Figura 1.1.18b, a caixa resultante tem dimensões 16 − 2x por 30 − 2x por x, logo o volume V(x) é dado por

2 V (x) = (16 − 2x)(30 − 2x)x = 480x − 92x 3 + 4x Solução (b) O domínio é o conjunto dos valores de x, enquanto a imagem é o conjunto dos

valores de V. Uma vez que x é uma medida de comprimento, deve ser não-negativa, e uma vez que não podemos cortar quadrados com lados maiores do que 8 cm (por quê?), os valores de x no domínio devem satisfazer

0≤x≤8

Solução (c)

A partir do gráfi co de V versus x na Figura 1.1.18c, estimamos que os valores

de V na imagem satisfazem 0 ≤ V ≤ 725

Note que se trata de uma aproximação. Mais adiante mostraremos como determinar exata- mente a imagem.

Solução (d) O gráfi co nos mostra que a caixa com volume máximo ocorre para um valor

de x entre 3 e 4 cm e que o volume máximo é de aproximadamente 725 cm 3 . Além disso, o volume decresce em direção a zero quando x se aproxima de 0 ou 8. 䉳

400 da caixa (cm

olume V 100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lado x do quadrado cortado (cm)

Nas aplicações que envolvem tempo, as fórmulas para as funções são, freqüentemente, expressas em termos de uma variável t, cujo valor inicial é considerado como sendo t = 0.

䉴 Exemplo 10 Às 8h05min da manhã, um carro é detectado a uma velocidade de 30 m/s por um radar que está posicionado no acostamento de uma estrada reta. Supondo que o carro

mantenha uma velocidade constante entre 8h05min e 8h06min da manhã, determine uma fun- ção D(t) que expresse a distância percorrida pelo carro durante esse intervalo de tempo, como uma função do tempo t.

Capítulo 1 / Funções

Rastreamento pelo radar 1800

Solução Seria incômodo usar como variável t o tempo em horas; assim, vamos medir o

(m) 1500

tempo decorrido em segundos, começando com t = 0 às 8h05min e terminando com t = 60 às

D 1200

8h06min. Em cada instante, a distância percorrida (em metros) é igual à velocidade do carro

(em metros por segundo) multiplicada pelo tempo decorrido (em segundos). Então,

Distância 300

0 10 20 30 40 50 60 D(t ) = 30t,

0 ≤ t ≤ 60

8h05min Tempo t (s) 8h06min

O gráfi co de D versus t está na Figura 1.1.19. 䉳

Figura 1.1.19

■ QUESTÕES DE ESCALAS E DE UNIDADES

Em problemas geométricos nos quais desejamos preservar a “verdadeira” forma de um grá- fi co, é necessário usar unidades de igual comprimento em ambos os eixos. Por exemplo, fa-

zendo o gráfi co de um círculo em um sistema de coordenadas em que a unidade no eixo dos y é menor do que a unidade no eixo dos x, o círculo será achatado verticalmente, resultando em uma elipse (Figura 1.1.20). Também devemos usar unidades iguais quando aplicamos a fórmula da distância:

O círculo está achatado porque 1 d= (x 2 −x 1 ) 2 + (y 2 −y 1 ) unidade no eixo y é menor do que 2

1 unidade no eixo x.

para calcular a distância entre os pontos (x 1 ,y 1 ) e (x 2 ,y 2 ) no plano xy. Porém, há situações nas quais é inconveniente ou impossível apresentar um gráfi co

Figura 1.1.20

usando unidades de igual comprimento. Por exemplo, consideremos a equação

y=x 2

Se quisermos mostrar a parte do gráfi co no intervalo −3 ≤ x ≤ 3, então não há problemas em usar unidades iguais, pois y varia somente entre 0 e 9 naquele intervalo. Entretanto, se quisermos mostrar a parte do gráfi co sobre o intervalo −10 ≤ x ≤ 10, então ocorre um problema em manter unidades de igual comprimento, uma vez que os valores de y variam entre 0 e 100. Nesse caso,

Nas aplicações em que as variáveis sobre os dois eixos têm unidades

a única maneira razoável de mostrar todo o gráfi co sobre o intervalo −10 ≤ x ≤ 10 é comprimir

não-relacionadas (p.ex., centímetros

a unidade de comprimento ao longo do eixo y, conforme ilustrado na Figura 1.1.21.

sobre o eixo y e segundos sobre o eixo x), então nada se obtém reque- rendo que as unidades tenham igual

comprimento; escolha os comprimen- tos que tornem o gráfi co tão claro 9

quanto possível.

✔ EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.1 (Ver página 16 para respostas.)

1. Seja f(x) = √ x + 1 + 4.

2. Os segmentos de retas no plano xy formam letras, conforme (a) O domínio natural de f é __________.

indicado.

(b) f (3) = __________. (c) f (t 2 − 1) = __________. (d) f (x) = 7 se x = __________. (e) A imagem de f é __________.

(a) Se o eixo y é paralelo à letra I, quais das letras representam o gráfi co de y = f(x) para alguma função f ?

12 Cálculo

(b) Se o eixo y é perpendicular à letra I, quais das letras repre-

QUARTA QUINTA SEXTA sentam o gráfi co de y = f(x) para alguma função f?

SEGUNDA TERÇA

25 21 15 19 23 3. Use o gráfi co de y = f(x) em anexo para completar cada item.

MÁXIMA

16 18 14 15 16 (a) O domínio de f é __________. (b) A imagem de f é __________.

MÍNIMA

(a) Suponha que x e y denotem, respectivamente, as previsões de temperaturas máxima e mínima para cada um dos cinco

(c) f ( ( −3) = __________. dias. Será y uma função de x? Se for, dê o domínio e a ima-

(d) f 1 2 = __________.

gem dessa função.

(b) Suponha que x e y denotem, respectivamente, as previsões x = __________.

(e) As soluções de f (x) = − 3 2 são x = __________ e

de temperaturas mínima e máxima para cada um dos cinco

dias. Será y uma função de x? Se for, dê o domínio e a ima-

gem dessa função.

5. Sejam c, l e A o comprimento, a largura e a área de um retângu-

1 2 3 lo, respectivamente, e suponha que a largura do retângulo seja

-2 -1

a metade do comprimento.

(a) Se c é expresso como uma função de l, então c = ______.

(b) Se A é expressa como uma função de c, então A = _____. 4. A tabela a seguir dá a previsão de cinco dias de temperaturas

(c) Se l é expressa como uma função de A, então l = ______. máximas e mínimas em graus Celsius (°C).

EXERCÍCIOS 1.1

Recurso Gráfi co 1. Use o gráfi co abaixo para responder as seguintes questões, fa-

3. Em cada parte da fi gura abaixo, determine se o gráfi co defi ne y zendo aproximações razoáveis onde for necessário.

como uma função de x.

(a) Para quais valores de x vale y = 1?

(b) Para quais valores de x vale y = 3?

(c) Para quais valores de y vale x = 3? (d) Para quais valores de x vale y ≤ 0?

(e) Quais são os valores máximo e mínimo de y e em quais valores de x eles ocorrem?

Figura Ex-3

-3 -3

-2 -1

0 1 2 3 Figura Ex-1

2. Use a tabela abaixo para responder as questões propostas no Exercício 1.

4. Em cada parte, compare os domínios naturais de f e de g. x Tabela Ex-2 2 (a) +x

f (x) =

; g(x) = x

; g(x) = x

x+1

Capítulo 1 / Funções

ENFOCANDO CONCEITOS

(b) Quando a renda média atingiu seu valor mínimo e qual foi a renda média quando isso ocorreu?

5. Use o gráfi co do consumo de cigarros na fi gura abaixo para responder as seguintes questões, fazendo aproximações ra-

(c) A renda média estava diminuindo durante os dois anos zoáveis onde for necessário.

do período entre 1999 e 2001. Ela estava diminuindo mais rapidamente durante o primeiro ou o segundo ano

(a) Quando o consumo anual de cigarros atingiu 3 mil por daquele período? Explique seu raciocínio. adulto pela primeira vez ?

(b) Quando o consumo anual de cigarros por adulto atingiu seu ponto mais alto e qual seu valor ?

Renda Familiar Média nos EUA em Milhares de Dólares Constantes de 2001

(c) A partir do gráfi co, pode-se saber quantos cigarros foram

A 44

consumidos em um dado ano? Se não, quais informações

adicionais você precisaria para fazer essa determinação? 42

(d) Quais os fatores prováveis do aumento do consumo

anual de cigarros por adulto? 39

(e) Quais os fatores prováveis do declínio no consumo

amiliar Média nos EU 37

anual de cigarros por adulto? 36

Renda F

CONSUMO ANUAL DE CIGARROS POR ADULTO - EUA

Começa o marketing maciço

Fonte: U.S. Census Bureau, July 2003

dos cigarros de Fim dos

Figura Ex-7

5.000 Desmobilização Guerra

fi ltro

anúncios

pós-guerra

da Coréia

transmitidos Taxa federal

dobrada

8. Use o gráfi co da renda média do Exercício 7 para respon-

der as seguintes questões, fazendo aproximações razoáveis

Doutrina

da onde for necessário.

Relatórios moderação Grande

iniciais

(a) Qual foi o crescimento anual médio da renda média en-

Não-fumantes

Cigarros depressão vinculando

começam a

tre 1993 e 1999?

2.000 o cigarro ao

exigir direitos

câncer

(b) A renda média cresceu durante o período de seis anos

entre 1993 e 1999. A renda média cresceu mais rapida-

Segunda

Primeiro relatório

Advertências

alternadas

1.000 Guerra

do Departamento

de Saúde

nos maços

mente durante os três primeiros anos ou durante os últi- 0 mos três anos desse período? Explique seu raciocínio.

(c) Considere a afi rmação: “Depois de anos de declínio, a

Fonte: U.S. Department of Health and Human Services.

renda média deste ano foi fi nalmente maior do que a do

Figura Ex-5

ano passado”. Em que ano essa afi rmação estaria correta? 6. Use o gráfi co do consumo de cigarros do Exercício 5 para

√ responder as seguintes questões, fazendo aproximações ra-

9. Encontre f( 0), f (2), f (−2), f(3), f( 2 ) e f(3t). zoáveis onde for necessário. ⎧ ⎨ 1 2 , x> 3 (a) Quando o consumo anual de cigarros caiu para 3 mil

(a) f (x) = 3x − 2 (b) f(x) = x por adulto? ⎩ 2x, x≤3

(b) Entre o ano do primeiro relatório do Departamento de 10. Encontre g( 3), g(−1), g(π), g(−1,1) e g(t 2 Saúde e o ano de 1970, quando foi atingido o mínimo

√ − 1). do consumo anual de cigarros por adulto?

(b) g(x) = (c) O que foi maior, a taxa de crescimento do consumo per

g(x) =

3, x< 1 capita

x−1

de cigarros durante a Segunda Guerra ou a taxa de crescimento entre o fi m da Segunda Guerra e o co-

11-14 Determine o domínio natural da função algebricamente e meço da Guerra da Coréia?

confi rme seu resultado com o gráfi co produzido por seus recursos (d) Há indícios de que o consumo per capita de cigarros vá

de fazer gráfi cos. [Nota: Ajuste seu recurso gráfi co para radianos acabar caindo aos níveis anteriores da Segunda Guerra?

quando se tratar de funções trigonométricas.] 7. O gráfi co a seguir mostra a renda familiar média nos EUA

1 √ (ajustada pela infl ação) entre 1985 e 2001. Use-o para res-

(b) g(x) = x 2 −3 ponder as seguintes questões, fazendo aproximações razoá-

11. (a) f(x) =

x−3

x veis onde for necessário.

(c) G(x) = x 2 − 2x + 5 (d) f(x) = |x| (a) Quando a renda média atingiu seu valor máximo e qual

foi a renda média quando isso ocorreu?

(e) h(x) =

1 − sen x

14 Cálculo

2 20. Use a equação y = 1 + x para responder as seguintes ques- 12. (a) f(x) =

(b) h(x) = x − 3x 5x + 7

tões. x 2 2 (a) Para quais valores de x vale y = 4?

(c) −4

G(x) =

x−4 (d) f(x) = (b) Para quais valores de x vale y = 0?

3 (c) Para quais valores de x vale y (e) ≥ 6? h(x) = 2 − cos x

x+1

(d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo ? Se assim for, √

2 13. (a) f(x) = determine-os. 3 − x (b) g(x) = 4−x (c)

√ h(x) = 3 + x (d)

constante L faz um ângulo θ com sua posição vertical. Expres- (e) H (x) = 3 sen x

G(x) = x 3 +2

21. Conforme mostra a fi gura abaixo, um pêndulo de comprimento

se a altura h como uma função do ângulo θ. √

14. (a) f(x) = 3x − 2 (b) g(x) = 9 − 4x 2 22. Expresse o comprimento L da corda de um círculo com raio de 1 (c) 3

h(x) = √ (d) G(x) = 10 cm como função do ângulo central θ (veja a fi gura abaixo).

3+ x

(e) 2 √ H (x) = sen

ENFOCANDO CONCEITOS 10 cm

15. (a) Se você tivesse uma máquina que pudesse registrar a população mundial continuamente, você esperaria ob- h

ter um gráfi co da população versus o tempo que fosse uma curva contínua (não-interrompida)? Explique o

Figura Ex-21

Figura Ex-22

que poderia causar interrupções na curva. (b) Suponha que um paciente de um hospital receba uma

23-24 Expresse a função na forma por partes, sem usar valores ab- injeção de um antibiótico a cada oito horas e que entre

solutos. [Sugestão: Pode ser útil gerar o gráfi co da função.] as injeções a concentração C de antibiótico na corrente

sangüínea decresce à medida que ele é absorvido pelos tecidos. Como poderia ser o gráfi co de C versus o tem-

(b) g(x) = |x| + |x − 1| po decorrido?

23. (a) f(x) = |x| + 3x + 1

24. (a) f(x) = 3 + |2x − 5| (b) g(x) = 3|x − 2| − |x + 1| 16. (a) Caso você tivesse uma máquina que pudesse medir

25. Conforme mostra a fi gura abaixo, uma caixa aberta deve ser a temperatura de um quarto continuamente por um

construída de uma folha retangular de metal com 8 por 15 cm, período de 24 horas, você esperaria obter um gráfi -

cortando fora quadrados com lados de comprimento x de cada co contínuo (não-quebrado) da temperatura versus o

canto e dobrando os lados.

tempo? Explique seu raciocínio. (a) Expresse o volume V como uma função de x. (b) Se você tivesse um computador que pudesse acompa-

(b) Encontre o domínio de V.

nhar continuamente o número de caixas de cereal nas prateleiras de um supermercado durante uma semana,

(c) Esboce o gráfi co da função V obtida em (a) e estime a ima- você esperaria obter um gráfi co de curva contínua (sem

gem dessa função.

interrupções) do número de caixas versus o tempo? Ex- (d) Com palavras, descreva como o volume V da caixa varia plique seu raciocínio.

com x e discuta como poderiam ser construídas caixas com volumes máximo e mínimo.

17. Um bote balança para cima e para baixo sob a ação de on- das fracas. De repente é atingido por uma onda grande e

afunda. Esboce um gráfi co aproximado da altura do bote x

acima do fundo do mar como uma função do tempo.

8 cm

18. Um copo com café quente está sobre a mesa. Você despeja

leite frio nele e espera por uma hora. Esboce um gráfi co x

aproximado da temperatura do café como uma função do

15 cm

tempo.

19. Use a equação y = x 2 − 6x + 8 para responder as questões. (a) Para quais valores de x vale y = 0? (b) Para quais valores de x vale y = −10?

Figura Ex-25

(c) Para quais valores de x vale y ≥ 0? 26. Repita o Exercício 25 supondo que a caixa seja construída da (d) Terá y um valor mínimo? Um valor máximo? Se assim for,

mesma maneira a partir de uma folha quadrada de metal com determine-os.

6 cm de lado.

Capítulo 1 / Funções

27. Uma fi rma de construções acrescentou uma área retangular de seguir. O campo de futebol tem 108 metros de comprimento mil metros quadrados à sua sede. Três lados da área estão cer-

(incluindo as zonas fi nais) por 48 metros de largura. A pista cados. O lado da sede que é adjacente à área mede 100 me-

consta de duas retas e dois semicírculos. tros e uma parte desse lado é utilizada como o quarto lado da

(a) Mostre que é possível construir a pista de um quarto de área acrescentada. Sejam x e y as dimensões da área retangular,

milha em torno do campo de futebol. [Sugestão: Encontre onde x é medido paralelamente à sede, e L o comprimento da

a menor pista que pode ser construída em torno do campo cerca necessária para essas dimensões.

de futebol.]

(a) Encontre uma fórmula para L em termos de x e y. (b) Seja L o comprimento de uma das partes retas (em metros) (b) Encontre uma fórmula que expresse L somente em termos

e x uma distância (em metros) entre a lateral do campo e a de x.

parte reta da pista. Faça um gráfi co de L versus x. (c) Qual é o domínio da função em (b)?

(c) Use o gráfi co para estimar o valor de x que produz a parte (d) Esboce o gráfi co da função em (b) e estime as dimensões

reta mais curta e então ache exatamente esse valor. da área retangular que minimizem a quantidade de cerca

(d) Use o gráfi co para estimar o comprimento da maior parte necessária.

reta possível e encontre exatamente esse comprimento. 28. Conforme mostra a fi gura abaixo, uma câmara é montada em

um ponto a 900 m da base de lançamento de um foguete. Quan- do lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de eleva- ção da câmera é constantemente ajustado para seguir a base do

48m

foguete. (a) Expresse a altura x como uma função do ângulo de ele-

vação.

108m

(b) Determine o domínio da função em (a).

Figura Ex-30

(c) Gere o gráfi co da função em (a) e use-o para estimar a altura do foguete, quando seu ângulo de elevação for π/4 ≈ 0,7854 radianos. Compare essa estimativa com a altura

31-32 (i) Explique por que a função ƒ tem um ou mais buracos exata. [Sugestão: Numa calculadora gráfi ca, use as carac-

em seu gráfi co e estabeleça os valores de x nos quais esses buracos terísticas trace e zoom, que são úteis.]

ocorrem. (ii) Determine uma função g cujo gráfi co seja idêntico ao

de ƒ, mas sem buracos.

2 Foguete 2 Rocket

(x + 2)(x − 1) x 31. f(x) = + |x| 32. f(x) =

|x| 33. Em 2001, o Serviço Nacional de Meteorologia dos EUA intro-

(x + 2)(x − 1)

duziu um novo índice de sensação térmica (WCT). Para uma dada temperatura externa T em graus Fahrenheit e velocidade

do vento igual a v milhas por hora, o índice de sensação térmi- ca WCT é a temperatura em graus Fahrenheit a uma velocidade

3000 ft 900 m Câmera Camera

Figura Ex-28

de vento de 3 milhas por hora que produziria a mesma sensa- ção de resfriamento sobre a pele exposta que a combinação de temperatura externa T e velocidade do vento v. Utilizando um

29. Uma companhia de sopa deseja fabricar uma lata na forma de modelo mais preciso de resfriamento devido ao vento, a nova um cilindro circular reto que tenha capacidade para 500 cm 3 de fórmula é dada por

líquido. O material para a tampa e a base custa 0,02 centavos/cm 2 ,

2 T,

enquanto o material para a lateral custa 0,01 centavo/cm .

WCT =

0≤v≤3

35,74 + 0,6215T − 35,75v 0,16 + 0,4275T v 0,16 , 3<v

(a) Estime o raio r e a altura h da lata que custa menos para ser fabricada. [Sugestão: Expresse o custo C em termos

onde T é a temperatura em °F, v é a velocidade do vento em de r.]

milhas por hora e WCT é a temperatura equivalente em °F. En- contre o índice de sensação térmica até o grau mais próximo se

(b) Suponha que a tampa e a base de raio r são tiradas de fo-

T = 25°F e

lhas quadradas, cujos lados têm comprimento 2r, e os reta- lhos são descartados. Levando em conta o custo das folhas

(a) v = 3 milhas/hora (b) v = 15 milhas/hora quadradas, você esperaria que o custo da lata de menor

(c) v = 46 milhas/hora

custo seja maior ou menor do que em (a)? Explique.

Fonte: Adaptado de UMAP Module 658, Windchill, de W. Bosch e L. Coob, COMAP, Arlington, MA.

(c) Estime o raio, a altura e o custo da lata em (b) e determine se sua conjectura estava certa.

34-36 Use a fórmula para o índice de sensação térmica descrita no Exercício 33.

30. Um construtor de dependências esportivas quer colocar uma pista de corrida de um quarto de milha − 396 metros − em tor-

34. Encontre a temperatura do ar até o grau mais próximo se o WCT no de um campo de futebol americano, conforme a fi gura a

for de −60ºF e a velocidade do vento for de 48 milhas/h.

16 Cálculo

35. Encontre a temperatura do ar até o grau mais próximo se o WCT 36. Encontre a velocidade do vento até a milha por hora mais próxima for de −10ºF e a velocidade do vento for de 48 milhas/h.

se o WCT for de 5ºF com uma temperatura do ar de 20ºF.

✔ RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 1.1

3 −2, 2] (c) −1 (d) 1 (e) − 3 4 ;− 2 4. (a) sim; domínio: {15, 19, 21, 23, 25}; imagem: {14, 15, 16, 18} (b) não

1. (a) [ −1, + ∞ ) (b) 6 (c) |t| + 4 (d) 8 (e) [4, + ∞ ) 2. (a) M (b) I 3. (a) ( − ∞ , 3] (b) [

5. (a) c = 2l (b) A = c 2 /2 (c) l = √A/2

1.2 GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO CALCULADORAS E RECURSOS COMPUTACIONAIS

Nesta seção discutiremos questões relacionadas à geração de gráfi cos de equações e de funções com recursos gráfi cos (calculadoras gráfi cas e computadores). Como os recursos gráfi cos variam amplamente, é difícil fazer afi rmações gerais sobre eles. Assim, em vários lugares desta seção pediremos ao leitor que localize em seu próprio recurso gráfi co detalhes específi cos sobre como ele opera.

■ CALCULADORAS GRÁFICAS E SISTEMAS ALGÉBRICOS COMPUTACIONAIS

O desenvolvimento de novas tecnologias tem mudado signifi cativamente como e onde mate- máticos, engenheiros e cientistas executam seu trabalho, bem como sua abordagem na solu- ção de problemas. Entre as mais signifi cativas inovações estão os programas designados por Sistemas Algébricos Computacionais (CAS), cujos exemplos mais comuns são o Mathema- tica , o Maple e o Derive. ∗ Os sistemas algébricos computacionais não apenas têm capacidade gráfi ca, mas, como o nome sugere, podem executar muitos dos cálculos simbólicos que ocor- rem na Álgebra, no Cálculo e na Matemática Superior. Por exemplo, é trivial para um CAS executar a fatoração

x 6 + 23x 5 + 147x 4 − 139x 3 − 3464x 2 − 2112x + 23040 = (x + 5) (x − 3) 2 (x + 8) 3

ou a computação numérica exata

A tecnologia também tornou possível gerar, em segundos, gráfi cos de equações e funções, os quais no passado levariam horas para ser produzidos. A Figura 1.2.1 mostra

Gerado pelo Mathematica

Gerado pelo Maple

Gerado por calculadora

Figura 1.2.1

* Mathematica é um produto da Wolfram Research, Inc.; Maple é um produto da Waterloo Maple Software, Inc.; e Derive é um

produto da Soft Warehouse, Inc.

Capítulo 1 / Funções

os gráfi cos da função ƒ(x) = x 4 −x 3 − 2x 2 produzidos com vários recursos gráfi cos; os dois primeiros foram gerados com os programas Mathematica e Maple, e o terceiro com uma calculadora gráfi ca. As calculadoras gráfi cas produzem gráfi cos mais grosseiros do que a maioria dos programas de computador, mas têm a vantagem de ser compactas e portáteis.

■ JANELAS DE INSPEÇÃO

(a, d) (b, d)

Os recursos gráfi cos podem mostrar somente uma parte do plano xy em sua tela; assim, o pri- meiro passo ao fazer o gráfi co de uma equação é determinar qual região retangular do plano xy desejamos ver exposta. Essa região é denominada janela de inspeção (ou retângulo de ins-

peção). Por exemplo, na Figura 1.2.1, a janela de inspeção estende-se sobre o intervalo [ −3, 3] na direção x e [ −4, 4] na direção y. Assim, dizemos que a janela de inspeção é [−3, 3] × [−4, 4] (leia “[ −3, 3] por [−4, 4]”). Em geral, se a janela de inspeção for [a, b] × [c, d], então ela se es- tende entre x = a e x = b na direção x e entre y = c e y = d na direção y. Dizemos que [a, b] é o

[c, d]

(a, c) (b, c)

intervalo x da janela e que [c, d] é o intervalo y da janela (Figura 1.2.2).

[a, b]

Recursos gráfi cos diferentes denotam as janelas de inspeção de formas distintas. Por

A janela [a, b] × [c, d]

exemplo, os dois primeiros gráfi cos na Figura 1.2.1 foram produzidos pelos comandos

Figura 1.2.2

Plot [x^4 – x^3 –2*x^2, {x, –3, 3}, PlotRange –>{–4, 4}] (Mathematica)

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

plot (x^4 – x^3 –2*x^2, x = –3..3, y = –4..4); (Maple)

Use seu próprio recurso computacio- nal para gerar o gráfi co da função

e o último gráfi co foi produzido em uma calculadora gráfi ca, pressionando a tecla GRAPH,

f (x) = x 4 −x 3 − 2x 2 depois dando os seguintes valores às variáveis que determinam os intervalos x e y:

na janela [ −3, 3] × [−4, 4].

x Min = −3, xMax = 3, yMin = −4, yMax = 4

■ SINAIS REPRESENTANDO PONTOS NA ESCALA E GRADE DE RETAS

Para ajudar a localizar pontos visualmente em uma janela de inspeção, os recursos gráfi cos fornecem métodos de representar pontos na escala, (também denominados sinais de escalas) sobre os eixos coordenados ou outras localizações na janela. Em programas como o Mathe-

4 matica e o Maple, há comandos específi cos para designar o espaço entre os sinais na escala,

2 porém, se o usuário não der o espaçamento, então o programa faz uma escolha por default. Por exemplo, nas duas primeiras partes da Figura 1.2.1, os sinais sobre a escala foram esco-

0 lhas por default.

Em algumas calculadoras gráfi cas, o espaçamento entre os sinais sobre a escala é de- terminado por duas variáveis de escala (também denominados fatores de escala), os quais -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 vamos denotar por

Gerado pelo Mathematica

x Scl e yScl

(A notação varia entre calculadoras.) Essas variáveis especifi cam o espaçamento entre os sinais sobre as escalas nas direções x e y, respectivamente. Por exemplo, na terceira parte da Figura 1.2.1, a janela e os sinais sobre as escalas foram especifi cados pelos ajustes

x Min = −3 xMax = 3 y Min = −4 yMax = 4 x Scl = 1

y Scl = 1

Gerado por calculadora gráfi ca

A maioria dos recursos gráfi cos permite variações na disposição e na localização desses si-

Figura 1.2.3

nais. Por exemplo, a Figura 1.2.3 mostra duas variações dos gráfi cos da Figura 1.2.1; a pri- meira foi gerada em um computador usando uma opção de colocar sinais e números sobre os lados da janela, e a segunda foi gerada em uma calculadora usando uma opção de desenhar uma grade de retas simulando papel gráfi co.

18 Cálculo

䉴 Exemplo 1

A Figura 1.2.4 mostra a janela [ −5, 5] × [−5, 5] com os sinais sobre a escala espaçados em 0,5 unidade na direção x e 10 unidades na direção y. Note que não há sinais visíveis na direção y, pois o sinal da origem está coberto pelo eixo x e os demais na direção x caem fora da janela. 䉳

䉴 Exemplo 2

A Figura 1.2.5 mostra a janela [ −10, 10] × [−10, 10] com os sinais sobre

[–5, 5] × [–5, 5] xScl = 0,5; yScl = 10

a escala espaçados em 0,1 unidade nas direções x e y. Nesse caso, os sinais estão tão próxi- mos que criam um efeito de retas mais grossas sobre os eixos cooordenados. Quando isso

Figura 1.2.4

ocorre, em geral aumentamos os fatores de escala para reduzir o número de sinais e torná-los legíveis. 䉳

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

Calculadoras com recursos gráfi cos têm valores por default para a janela e para os fatores de escala. Por exemplo, uma calculadora tem uma janela default de [ −10, 10] × [−10, 10]

e fatores de escala de- fault de x Scl = 1 e y Scl = 1 . Verifi que o manual para determinar os valores default de sua calculadora e como restaurar essa confi guração. Se estiver usando um programa de computador, verifi que o tutorial do mesmo para determinar os comandos que especifi cam o espaçamento entre os sinais sobre as escalas.

■ COMO ESCOLHER UMA JANELA DE INSPEÇÃO

Figura 1.2.5

Quando o gráfi co de uma função se estende indefi nidamente em alguma direção, nenhu- ma janela pode mostrá-lo todo. Em tais casos, a escolha da janela de inspeção pode afetar nossa percepção do gráfi co. Por exemplo, a Figura 1.2.6 mostra um gráfi co gerado em computador de y = 9

−x 2 , e a Figura 1.2.7 mostra quatro vistas desse gráfi co geradas em

uma calculadora.

10 • Na parte (a), o gráfi co cai completamente fora da janela; assim, ela aparece em bran-

y =9–x 2 co (exceto por eixos e sinais). • Na parte (b), o gráfi co está quebrado em duas partes, pois sai e entra na janela.

• Na parte (c), o gráfi co parece uma linha reta, pois focalizamos em um pequeno seg-

mento da curva. • Na parte (d), temos uma visão mais completa da forma do gráfi co, pois a janela com-

5 -1 preende todos os pontos importantes; isto é, o ponto mais alto e as intersecções com

o eixo x. Para uma função cujo gráfi co não se estenda indefi nidamente em ambas as direções x e

Figura 1.2.6

y , o domínio e a imagem da função podem ser usados para obter uma boa janela de inspeção, como mostramos no exemplo seguinte.

Exemplo 3

Use o domínio e a imagem da função f (x) =

12 − 3x 2 para determinar