■ SINAIS REPRESENTANDO PONTOS NA ESCALA E GRADE DE RETAS

20 Cálculo

Solução (d)

A janela na Figura 1.2.9d mostra todos os principais aspectos do gráfi co sem muito desperdício de espaço. Entretanto, não oferece uma visão clara das raízes. Para obter uma visão mais próxima das raízes, precisamos abandonar a idéia de mostrar todos os princi- pais aspectos do gráfi co e escolher as janelas que focalizem as raízes.

Solução (e)

A janela 1.2.9e expõe muito pouco do gráfi co, porém mostra claramente que a

raiz no intervalo [1, 2] é aproximadamente 1,3. 䉳

xScl = 1, yScl = 1

xScl = 1, yScl = 1

xScl = 1, yScl = 20

xScl = 1, yScl = 20

xScl = 0,1; yScl = 0,1

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

Há situações nas quais queremos determinar a janela de inspeção, escolhendo o intervalo x para a ja- nela e permitindo que o recurso gráfi co determine um intervalo y , o qual compreende os valores máximo

e mínimo da função sobre o intervalo x . A maioria dos recursos gráfi cos fornece algum método para fazer isso, assim, verifi que nas instruções para descobrir como fazê-lo. Permitir que o recurso gráfi co determine o intervalo y

da janela elimina muito da adivinhação do problema, como aquela na parte (b)

do exemplo precedente.

■ FAZENDO ZOOM

O processo de aumentar ou diminuir o tamanho da janela de inspeção é denominado fazer o zoom. Ao reduzir o tamanho da janela, vemos menos do gráfi co como um todo, mas mui- tos detalhes da parte mostrada; isso é denominado fazer o zoom para dentro. Ao contrário, aumentando o tamanho da janela, mais vemos o gráfi co como um todo, porém, com menos detalhes da parte mostrada; isso é denominado fazer o zoom para fora. Muitas calculado- ras fornecem um menu para os dois tipos de zoom por fatores fi xo. Por exemplo, em algumas delas o efeito total de ampliação ou redução é controlado atribuindo-se valores a dois fatores

de zoom, xFact e yFact. Se x Fact = 10 e yFact = 5

então, cada vez que um comando de zoom é executado, a janela de inspeção é ampliada ou reduzida por um fator de 10 na direção x e um fator de 5 na direção y. Com programas de computador, como o Mathematica e o Maple, o zoom é controlado ajustando-se diretamente os intervalos x e y; contudo, há maneiras de automatizar isso através de programação.

Capítulo 1 / Funções

■ COMPRESSÃO

A ampliação da janela de inspeção de um gráfi co tem o efeito geométrico de compressão, pois uma maior parte do gráfi co é espremida na tela da calculadora. Se a compressão for muito grande, então podem-se perder detalhes do gráfi co. Dessa forma, a escolha da janela de inspeção depende, freqüentemente, do que queremos ver: mais do gráfi co ou mais do detalhe.

A Figura 1.2.10 mostra duas vistas da equação

5 y =x (x − 2)

xScl = 1, yScl = 500 (a)

Na parte (a) da fi gura, o intervalo y é muito grande, resultando em uma compressão vertical que obscurece os detalhes nos arredores do eixo x. Na parte (b), o intervalo y é muito menor,

e conseqüentemente vemos mais detalhes nas vizinhanças do eixo x, porém menos do gráfi co na direção y.

䉴 Exemplo 5

A função f (x) = x + 0,01 sen(50πx) é a soma de 1 f (x) = x , cujo gráfi co é a reta y = x, e 2 f (x) = 0,01 sen(50πx) , cujo gráfi co é uma curva senoidal de amplitude 0,01

e período 2π/50π = 0,04. Isso sugere que o gráfi co de ƒ(x) segue o padrão geral da reta y = x,

mas com altos e baixos resultantes da contribuição das ondulações senoidais, como vemos na

parte (c) da Figura 1.2.11. Gere os quatro gráfi cos mostrados na Figura 1.2.11 e explique por

xScl = 1, yScl = 1

que as oscilações são visíveis somente na parte (c). Solução Para gerar os quatro gráfi cos, inicialmente devemos colocar o recurso gráfi co no

Figura 1.2.10

modo radiano.* Como as janelas de partes sucessivas do exemplo são de tamanho decrescen- te, com fator de 10, os leitores que utilizarem calculadoras podem fi xar o fator de zoom em 10 unidades em ambas as direções x e y.

(a) Na Figura 1.2.11a, o gráfi co parece ser uma reta, pois a compressão vertical escon-

de as pequenas oscilações senoidais (sua amplitude é apenas 0,01). (b) Na Figura 1.2.11b, começam a aparecer pequenos altos e baixos na reta, pois há

menos compressão vertical. (c) Na Figura 1.2.11c, as oscilações começam a fi car evidentes, pois a escala vertical é

mais compatível com a amplitude das oscilações (d) Na Figura 1.2.11d, o gráfi co parece ser uma reta, pois vemos o zoom de uma porção

muito pequena da curva. 䉳

[– 0,01; 0,01] × [– 0,01; 0,01] xScl = 1, yScl = 1

xScl = 0,1; yScl = 0,1

xScl = 0,01; yScl = 0,01

xScl = 0,001; yScl = 0,001

* Neste livro seguimos a convenção de que ângulos são medidos em radianos, a não ser que a medida em graus esteja especifi cada.

22 Cálculo ■ DISTORÇÃO NA PROPORÇÃO DA APARÊNCIA

A Figura 1.2.12a mostra um círculo de raio 5 e duas retas perpendiculares, esboçado em uma janela de [ −10, 10] × [−10, 10] com xScl = 1 e yScl = 1. Entretanto, o círculo está distorcido

e as retas não aparentam ser perpendiculares, pois a calculadora não usou o mesmo compri- mento para 1 unidade no eixo x e 1 unidade no eixo y. (Compare o espaçamento entre os sinais sobre os eixos.) Isso é denominado distorção na proporção da aparência. Muitas calculadoras têm um menu para corrigir automaticamente a distorção ajustando adequadamente a janela de inspeção. Por exemplo, algumas calculadoras fazem a correção da janela [ −10, 10] × [−10, 10] mudando-a para

[ −16,9970674487; 16,9970674487] × [−10, 10] (Figura 1.2.12b). Em programas como o Mathematica e o Maple, a distorção na proporção

da aparência é controlada pelo ajuste das dimensões físicas da janela de inspeção na tela do computador, em vez de alterar os intervalos x e y da janela.

xScl = 1, yScl = 1

xScl = 1, yScl = 1

■ ERRO DE AMOSTRAGEM

A janela de inspeção de um recurso gráfi co é composta de uma grade retangular de pequenos blocos retangulares denominados pixels. Para imagens em preto e branco, cada pixel tem dois

63 estados, um ativo (ou escuro) e o outro desativado (ou claro). Um gráfi co é formado ativando

pixels

pixels apropriados para exibir a forma da curva. Em uma certa calculadora bem conhecida, a grade de pixels consiste em 63 linhas de 127 pixels cada (Figura 1.2.13), caso em que dize- mos que a janela tem uma resolução de 127 × 63 (pixels por linha vezes o número de linhas).

Uma resolução típica em tela de computador é de 1024 × 768. Quanto maior a resolução, mais lisos parecem ser os gráfi cos na tela.

127 pixels

Uma janela de inspeção de 63 linhas de 127 pixels

O procedimento utilizado por um recurso gráfi co para gerar um gráfi co é semelhante ao de esboçar uma curva à mão: quando digitamos uma equação e escolhemos uma janela, o

Figura 1.2.13

recurso gráfi co seleciona as coordenadas x de certos pixels (sendo que essa escolha depende

da janela que está sendo usada) e calcula as correspondentes coordenadas y. Em seguida, o recurso ativa os pixels cujas coordenadas mais se aproximam dos pontos calculados e utiliza

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

um algoritmo predeterminado para ativar pixels intermediários adicionais para criar o forma-

to da curva. Esse processo não é perfeito e é possível que alguma janela produza uma falsa

Se o leitor dispuser de uma calcula-

dora gráfi ca, leia o manual para des-

impressão a respeito da forma do gráfi co, em geral por características importantes do gráfi co

cobrir sua resolução.

estarem ocorrendo entre os pontos calculados. Isso é denominado erro de amostragem. Por exemplo, a Figura 1.2.14 mostra o gráfi co de y = cos(10πx) gerado por uma certa calculadora bem conhecida em quatro janelas distintas. (A calculadora do leitor pode produzir resultados diferentes.) O gráfi co da parte (a) tem o formato correto, mas os outros três não, devido a erros

de amostragem:

• Na parte (b), ocorre que os pixels exibidos caem justamente nos picos da curva do cosseno, dando a impressão falsa de que o gráfi co é uma reta horizontal.

• Na parte (c), os pixels exibidos caem em pontos sucessivamente mais elevados do

gráfi co. • Na parte (d), os pixels exibidos caem em um certo padrão regular que cria mais uma

impressão falsa da forma do gráfi co.

Capítulo 1 / Funções

[–6, 6] × [–1, 1] xScl = 0,5; yScl = 0,5

xScl = 1, yScl = 0,5

xScl = 1, yScl = 0,5

xScl = 1, yScl = 0,5

A Figura 1.2.14 sugere que, para os gráfi cos trigonométricos com oscilações rápidas, restringir o intervalo x a poucos períodos provavelmente irá produzir representações mais precisas da forma do gráfi co.

■ LACUNAS FALSAS

Algumas vezes, gráfi cos contínuos aparentam ter lacunas quando gerados em uma calcula- dora. Essas lacunas falsas costumam surgir quando o gráfi co aumenta tão rapidamente que o espaço vertical se abre entre pixels sucessivos.

A Figura 1.2.15 mostra o gráfi co do semicírculo y= 9−x 2 em duas ja- nelas de inspeção. Embora esse semicírculo tenha cortes no eixo x nos pontos x = ±3, a parte (a) da fi gura mostra lacunas falsas nesses pontos, pois não há pixels com coordenadas x iguais

Exemplo 6

a ±3 na janela escolhida. Na parte (b) não ocorrem lacunas, pois existem pixels com coorde-

nadas x de ±3 na janela usada. 䉳

xScl = 1, yScl = 1 xScl = 1, yScl = 1

xScl = 1, yScl = 1

y = 1/(x − 1) com segmentos de retas falsos (a)

■ SEGMENTOS DE RETA FALSOS

Além de criar lacunas falsas em gráfi cos contínuos, as calculadoras podem errar na direção

4 oposta colocando segmentos de reta falsos nas lacunas de curvas descontínuas.

䉴 Exemplo 7

A Figura 1.2.16a mostra o gráfi co de y = 1/(x − 1) na janela default de uma

5 calculadora. Embora o gráfi co aparente conter segmentos de reta verticais próximos de x = 1, estes não deviam estar lá. Realmente, há uma lacuna na curva em x = 1, uma vez que uma di-

visão por zero ocorre nesse ponto (Figura 1.2.16b). 䉳

− 1) ■ ERROS DE OMISSÃO

Aspecto real da curva y = 1/(x

A maioria dos recursos gráfi cos usa logaritmos para avaliar as funções com expoentes fracio-

(b)

nários como

f (x) = x

= x . Contudo, como os logaritmos estão defi nidos somente para

Figura 1.2.16

os números positivos, muitos recursos gráfi cos omitem partes dos gráfi cos de funções com ex-

24 Cálculo

poentes fracionários. Por exemplo, uma calculadora faz o gráfi co de y = x 2/3 como o da Figura 1.2.17a, quando o gráfi co real é o da Figura 1.2.17b. (Para uma maneira de contornar isso, veja a discussão que precede o Exercício 29.)

DOMÍNIO DA TECNOLOGIA

1 2 3 4 Determine se seu recurso gráfi co pro-

-4 -3 -2 -1

duz o gráfi co completo de y = x 2/3 para

xScl = 1, yScl = 1

valores positivos e negativos de x.

■ QUAL É A VERDADEIRA FORMA DE UM GRÁFICO?

Embora os recursos gráfi cos sejam ferramentas poderosas na geração rápida de gráfi cos, eles podem produzir gráfi cos enganosos devido à compressão, ao erro de amostragem, a lacunas falsas e a segmentos de reta falsos. Em resumo, os recursos gráfi cos podem sugerir as formas dos gráfi cos mas não estabelecê-las com certeza . Assim, quanto mais você souber sobre os gráfi cos das funções que está gerando, mais fácil será escolher uma boa janela de inspeção e maior será sua habilidade de julgar quão razoáveis são os gráfi cos produzidos por seu recurso gráfi co.