Cari Halaman Beberapa Bentuk Khusus

5.1.3. Cari Halaman Beberapa Bentuk Khusus

Kembali

Berikut ini adalah beberapa distribusi yang menjadi anggota keluarga

Layar Penuh

eksponensial.

= exp y log p + (n − y) log(1 − p) + log

Judul

= exp y log

+ n log(1 − p) + log

1−p

= exp ylogit p + n log(1 − p) + log

284 dari 490

Dengan

logit p = log Cari Halaman

1−p

Jadi b(θ) = logit p; c(θ) = n log(1 − p). Dengan mencari turunan Kembali pertama dan kedua masing-masing b(θ) dan c(θ) diperoleh

Layar Penuh

E(Y ) = np dan V ar(Y ) = np(1 − p)

Distribusi Poisson dengan Parameter θ.

Judul

Peubah acak Y yang berdistribusi Poisson mempunyai fungsi kepa-

datan probabilitas

, y = 0, 1, 2, 3, · · · y! Cari Halaman = exp[y log θ − θ − log y!].

Kembali

Pada persamaan ( 5.16 ) b(θ) = log θ, c(θ) = −θ, d(y) = − log y. De-

Layar Penuh

ngan demikian E[Y ] = θ dan Var[Y ] = θ.

Pada persamaan ( 5.17 ) b(θ) = θ/σ 2 , d(y) = y 2 /(2σ 2 ) dan c(θ) =

2 log(2πσ 2 ). Di sini σ adalah parameter nuisan. Jadi,

E[Y ] = θ dan Var[Y ] = σ 2 .

286 dari 490

Distribusi Gamma dengan parameters θ dan skala φ.

Cari Halaman

Peubah acak Y yang berdistribusi Gamma mempunyai fungsi kepa- datan probabilitas

Kembali

θ(yθ) φ−1 e −yθ

Layar Penuh

= exp[−yθ + (φ − 1) log y + φ log θ − log Γ(φ)]. (5.18) = exp[−yθ + (φ − 1) log y + φ log θ − log Γ(φ)]. (5.18)

❼ Distribusi Pareto Judul ◭◭ ◭ ◮ ❼ Distribusi Eksponensial ◮◮

❼ Distribusi Binomial Negatif

287 dari 490

❼ Distribusi Invers Gauss [ 24 , page 22] dan [ 11 , page 34]

Rangkuman beberapa distribusi khusus diberikan pada Tabel

Cari Halaman

5.1 . Karakteristik lain masing-masing distribusi anggota keluarga eks-

ponensial yang penting dapat diragkum pada Tabel 5.2 .

Kembali

Sebagai ilustrasi pada Gambar 5.1 ditunjukkan densitas data de-

ngan distribusi Normal Standar dan Gamma Standar dengan berba-

Layar Penuh

gai nilai-tengah/mean. Gambar menunjukkan bahwa untuk distribusi

µ(θ) = E(Y ; θ)

exp(θ)

link kanonik

θ = η = logit µ θ=η=µ θ = η = log µ θ = η = 1/µ ◭◭ ◭ ◮ ◮◮

Gamma seiring dengan kenaikan nilai-tengah, ragam ikut meningkat,

288 dari 490

sedangkan untuk distribusi normal, ragamnya konstan. Pada Gambar

5.2 ditunjukkan sebaran data dengan hubungan antara X dan Y yang

Cari Halaman

sama tetapi yang satu berdistribusi Normal yang satu berdistribusi Gamma. Terlihat untuk sebaran data Gamma, selain sebarannya lebih

Kembali

lebar dari sebaran normal, semakin ke kanan semakin lebar sebaran data.

Layar Penuh

Cari Halaman

Gambar 5.1: Plot Densitas dari sampel dengan berbagai nilai-tengah Kembali dengan ukuran sampel 100

Layar Penuh

Cari Halaman

Gambar 5.2: Sebaran Data dengan ukuran sampel 100 dengan dis- Kembali tribusi Normal (b) dan Gamma (r)

Layar Penuh

No Nama Jenis

dan Judul Nilai- tengah

◭◭ ◭ ◮ ◮◮ 2 Poisson

1 Binomial diskrit

tidak simetrk

291 dari 490

3 Gamma kontinue 0 < x < ∞

kuadratik

tidak simetrik

4 Cari Halaman Normal kontinue −∞ < x < ∞ bebas simetrik

Kembali

Layar Penuh Layar Penuh

1 ,···,Y i ,···,Y n

) T , e = (e

1 ,···,e n ) , X = suatu

N × p matriks peubah eksplanatori atau sering disebut matriks desain

dan β = (β

1 ,···,β p ) . Lihat Dobson [ 11 , subbab 3.1] dan McCullagh

& Nelder [ 24 , hal. 7].

292 dari 490

Asumsi yang mendasari model ini adalah: e

i ∼ NID(0,σ ), dan

karenanya Y ∼ N(E[Xβ], Iσ 2 ). Asumsi-asumsi ini dapat diuraikan secara lebih terinci seperti berikut ini. Cari Halaman

(i) Y i berdistribusi normal dan saling bebas dengan ragam kon-

Kembali

stan, yaitu Y

i ∼ NID ( x i β ,σ 2 ), dengan x i T adalah peubah

eksplanatori untuk Y i dan sama dengan baris ke-i dari matriks

Layar Penuh

X.

Model linier persamaan ( 5.19 ) dengan asumsi di atas sering disebut

Model Linier Klasik. Model ini telah dibahas pada bab sebelumnya. Judul

5.2.2. Generalisasi Model Linier Klasik ke Model Linier Ter- generalisir

293 dari 490

Dalam Model Linier Tergeneralisir (MLT) atau Generalized Lin- ear Models (GLM), asumsi model lebih longgar dan digeneralisasikan Cari Halaman

dengan cara berikut:

Kembali

(i) Asumsi (i) diperluas untuk memungkinkan Y i mempunyai dis- tribusi yang sama dan saling bebas dari distribusi keluarga

Layar Penuh

eksponensial.

1. komponen distribusi, yaitu y berdistribusi keluarga eksponen-

Judul

sial;

◭◭ ◭ ◮ 2. komponen prediktor linier, yaitu η = x ◮◮ β;

3. fungsi link yaitu fungsi monoton dan diferensiabel g sehingga

294 dari 490

g(µ) = η. Adanya fungsi link memungkinkan prediktor linier memiliki daerah rentang seluruh bilangan riil (−∞ < x < ∞)

Cari Halaman

tetapi respon y memiliki rentang tertentu (misalnya 0 < y < 1 untuk binomial; dan bilangan cacah untuk respon hasil pencac-

ahan (count data). Kembali Diantara fungsi- fungsi link yang dapat digunakan, ada yang

Layar Penuh

disebut fungsi link kanonik yaitu fungsi hubungan yang terjadi pada

(ii) fungsi probit, yaitu

dimana Φ adalah fungsi kumulatif dari distribusi Normal, yaitu 295 dari Z 490

2 Cari Halaman

dan

Kembali

(iii) komplementari ln-ln, yaitu

Layar Penuh

η = log[− log(1 − µ)].

0 2 4 6 Cari Halaman

prediktor

Kembali

Gambar 5.3: Respon dengan Fungsi Hubungan Logit (kurva langsung) dan Probit (kurva putus-putus).

Layar Penuh

Untuk distribusi Normal dan Poisson masing- masing mempun- yai link kanonik identitas dan log. Rangkuman distribusi keluarga eksponensial termasuk fungsi link kanonik untuk tiap-tiap distribusi

Judul

dapat dilihat pada Tabel 5.1 pada buku ini (Lihat juga McCullagh &

Nelder [ 24 , hal. 23]). Rangkuman distribusi dan fungsi link kanonik

dan link lain yang dapat dipergunakan, pada program R akan dibahas pada seksi 5.7 pada halaman 326 .

297 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

1. Metode kuadrat terkecil dalam mengestimasi parameter berkai- tan dengan mencari nilai yang sedekat mungkin dengan nilai

Judul

harapannya[ 2 , section 4.9]. Hal ini biasanya dilakukan dengan meminimalkan jumlah kuadrat kesalahan (galat). Metode ini

sering disebut metode kuadrat terkecil. Sebagai contoh, mi- salkan mencari penduga dari parameter β dari model persamaan

298 dari ( 490 5.19 ), dari Model Linier Normal. Langkah-langkah yang bisa ditempuh, secara umum adalah

Cari Halaman

(a) Mula-mula model persamaan ( 5.19 ) disusun seperti

Kembali

e = y − Xβ.

Layar Penuh

(b) Bentuk kuadrat dari kuadrat kesalahan didefinisikan seba-

(c) Biasanya Q dibobot dengan invers dari matriks ragam - kor-

agam (misalkan V ). Penduga kuadrat terkecil terbobot Judul

b dari β selanjutnya diperoleh dengan meminimalkan

terhadap parameter β, yaitu, menyelesaikan persamaan (un-

299 dari 490

tuk model linier klasik) ∂Q w

= −2X Cari Halaman V (y − Xβ) = O, (5.20) ∂β

atau ekuivalen dengan menyelesaikan Persamaan Nor-

Layar Penuh

(Lihat juga [ 32 , subbab 12.8]).

jika distribusi peubah acaknya diasumsian diketahui [ 6 , Subbab

9.2]. Penduga likelihood maksimum (p.l.m.) dari suatu param- eter θ biasanya dinotasikan dengan ˆ θ dan didefinisikan sebagai

Judul

nilai dari ruang rentang parameter (misalnya Ω) yang memaksi- mumkan fungsi likelihood L(y, θ), yaitu:

θ ∈ Ω adalah p.l.m jika dan hanya jika L(ˆθ) ≥ L(θ), ∀ θ ∈ Ω. ˆ

300 dari 490

Penghitungan ˆ θ dapat dilakukan dalam beberapa langkah ber- ikut: Cari Halaman

(i) Langkah pertama adalah menentukan fungsi dari data y.

Kembali

Ini merupakan fungsi kepadatan bersama dari y, hanya saja dalam hal ini yang menjadi peubah yang tidak diketahui

Layar Penuh

adalah parameter θ, sedangkan y adalah data yang dike- adalah parameter θ, sedangkan y adalah data yang dike-

Judul

2 a. nilai θ sedemikian sehinga dl/dθ = 0 dan d 2 l/dθ < 0; atau

b. Nilai batas dari ruang parameter jika Ω terbatas. 301 dari Persamaan dl/dθ = 0, umumnya tidak dapat diselesaikan secara 490

aljabar ata analitik, oleh karenanya metode iterasi, seperti metode Newton-Raphson, sering diaplikasikan. Cari Halaman