Analisis Regresi dengan R

DASAR-DASAR PEMODELAN STOKASTIK

23 dari 490

Cari Halaman

Analisis regresi sering disebut model statistika (statistical model, yaitu barkaitan dengan mempelajari hubungan fungsional (bukan sekedar

Kembali

hubungan asosiasi) dua peubah atau lebih. Dalam analisis ini satu peubah atau lebih (disebut peubah respon) diuji hubungan fungsion-

Layar Penuh

alnya dengan beberapa peubah lain (disebut peubah penjelas). Bentuk

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

1. dapat menyebutkan hakekat dari pemodelan matematika, khusus-

nya pemodelan statistika; Judul

2. dapat menjelaskan langkah-langkah penyusunan model statistika;

3. dapat menjelaskan langkah-langkah mengestimasi parameter da- lam model statistika;

25 dari 490

4. dapat menjelaskan perkembangan model statistika penting.

Cari Halaman

5. dapat menentukan dan mengeksplorasi paket statistika R terkait dengan analisis regresi

Kembali

Layar Penuh

3. Estimasi Parameter dalam Model Statistika

4. Perkembangan Model Statistika

Judul

5. Tinjauan singkat R

26 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

cahkan persoalan, maupun membuat suatu kesimpulan tentang ma- salah yang dihadapi. Ketika membicarakan model atau pemodelan

dalam bidang matematika atau statistika, mungkin pikiran kita mem- bayangkan materi matematika tingkat lanjut (advanced mathematics)

27 dari yang membutuhkan pemahaman kalkulus lanjut maupun persamaan 490 diferensial. Pemodelan, baik disadari atau tidak, implisit atau ek-

splisit, sebenarnya selalu dilakukan pada saat kita menggunakan ma-

Cari Halaman

tematika (atau khususnya statistika) dalam memecahkan masalah ke- hidupanm riil. Bahkan, sejak di SLTP/SMU penyelesaian soal-soal

Kembali

bentuk cerita (words problem), sebenarnya merupakan aplikasi pemo- delan matematika. Demikian juga aplikasi sistim persamaan linier da-

Layar Penuh

lam kehidupan sehari-hari, sebagian besar merupakan bentuk aplikasi

Definisi 1.2. Pemodelan matematika adalah proses menerjemahkan masalah dalam bahasa umum(sehari-hari) ke dalam bahasa atau per- samaan matematika

Judul

Sebagai ilustrasi, berikut disampaikan contoh soal penerapan

sistim persamaan linier dan langkah- langkah penyelesaian yang di- anjurkan.

28 dari 490

Contoh 1.1. Seorang ibu membeli 3 kilogram salak dan 2 kilogram anggur. Ibu tersebut harus membayar sebesar Rp 17 000,- Sedangkan

Cari Halaman

ibu lain yang membeli 3 kilogram salak dan 5 kilogram anggur harus membayar Rp 29.000,-. Jika pedagang memberlakukan harga tetap

Kembali

terhadap kedua ibu- ibu tadi, berapa harga perkilogram salak dan harga perkilogram anggur? Selanjutnya berapa harga harus dibayar

Layar Penuh

jika seseorang membeli x kg salak dan y kg anggur? jika seseorang membeli x kg salak dan y kg anggur?

sebenarnya kita sedang membuat model matematika suatu per- Judul soalan. Untuk soal di atas model matematika yang diperoleh

◭◭ ◭ ◮ adalah ◮◮

3a + 2b = 1700 (1.1)

3a + 5b = 29000

29 dari 490

2. Kita menyelesaikan persamaan matematika di atas dengan teori matematika yang kita miliki. Dengan metode Cari Halaman eleminasi dan sub-

stitusi balik kita memperoleh a = 3000 dan b = 4000.

Kembali

3. Mensubsitusikan secara serempak nilai a dan b yang diperoleh ke sistim persamaan yang dimiliki untuk memeriksa apakah hasil

Layar Penuh

yang kita peroleh benar atau tidak.

Jadi dapat dipahami bahwa pemodelan atau menerjemahkan masalah sehari-hari ke persamaan matematika merupakan bagian yang

Judul

sangat penting dalam menggunakan matematika untuk menyelesaikan persoalan sehari- hari. Pentingnya pemodelan dalam matematika juga

◭◭ ◭ ◮ dinyatakan oleh Prof. J. Neyman, yang dikutip dari Meyer, sebagai ◮◮ berikut:

30 dari Whenever we use mathematics in order to study some obser- 490 vational phenomena we must essentially begin by building a

mathematical model (deterministic or probabilistic) for these phenomena. Of necessity, the model must simplify matters Cari Halaman

and certain details must be ignored. The success of the model depends on whether or not the details ignored are really unim- portant in the development of the phenomena studied. The Kembali solution of mathematical problems may be correct and yet be in considerable disagreement with the observed data simply because the underlying assumptions made are not warranted.

Layar Penuh

It is usually quite difficult to state with certainty, whether or It is usually quite difficult to state with certainty, whether or

ting dalam pengembangan fenomena yang dipelajari. Biasanya Judul sangat sulit untuk menyatakan dengan pasti, apakah suatu mo-

del matematika adalah tepat atau tidak sebelum diperoleh data ◭◭ ◭ ◮ pengamatan. Dalam rangka memeriksa validitas model, kita ◮◮

harus menurunkan sejumlah konsekuensi (dalil) dari model kita dan membandingkan hasil dugaan teoritis dengan pengamatan]

31 dari (Meyer [ 490 28 ]). Pembuatan model dari suatu persoalan adalah ibarat pembu-

Cari Halaman

atan peta suatu wilayah. Dalam proses pembuatan peta, harus ada penyederhanaan, yaitu mengabaikan rincian hal-hal yang tidak men-

Kembali

jadi kepentingan. Sangat jelaslah bahwa peta yang baik adalah peta yang sederhana namun memuat secara akurat informasi yang diper-

Layar Penuh

lukan. Peta yang terlalu rinci, dalam hal tertentu menjasdi tidak ko- lukan. Peta yang terlalu rinci, dalam hal tertentu menjasdi tidak ko-

Judul

bermakna, karena model yang dibangun tidak sesuai dengan data yang diamati, akibat adanya asumsi penting yang dibuat untuk men-

dasarinya diabaikan. Itulah sebabnya dalam penyelesaian persoalan secara matematika (atau statistika khususnya), biasanya dimulai dari

32 dari model yang sederhana kemudian dikembangkan secara berangsur-angsur 490 ke model yang lebih kompleks yang semakin sesuai dengan kondidi

riil di lapangan. Pada Contoh 1.1, sebenarnya setelah diperoleh kes- Cari Halaman impulan akhir tentang harga barang. Hasil tersebut perlu diperiksa

atau dicocokkan dengan keadaan riil dilapangan dengan mengambil

Kembali

beberapa informasi yang lain, apakah temuan tersebut berlaku, meny- impang sedikit atau banyak. Sehingga kita bisa mengambil langkah

Layar Penuh Layar Penuh

Persoalan akan menjadi lebih kompleks apabila dalam kenyataan Judul di lapangan pedagang mengenakan harga yang berbeda-beda kepada

pembeli dan sangat boleh jadi kenyataan inilah yang banyak terjadi di

lapangan, terutama di pasar-pasar tradisional. Dalam kondisi ini ada kemungkinan dari beberapa pembeli diperoleh informasi (data) yang

33 dari 490

berbeda- beda misalnya dari 10 pembeli diperoleh informasi seperti pada Tabel 1.1 yang berupa data fiktif.

Cari Halaman

Kedua sifat alami dari gejala ini menuntut pemodelan yang ber- beda. Pemodelan yang pertama yang tidak memperhitungkan ada-

Kembali

nya sebaran harga disebut pemodelan deterministik (matematika). Dalam pemodelan ini peubah yang diamati dianggap tetap (fixed)

Layar Penuh

dan tidak memiliki sebaran sehingga hubungan yang diperoleh meru-

Anggur (X 2 ) Harga dalam

Rupiah (H)

Cari Halaman

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

berdistribusi normal, misalnya. Fungsi f dan sebaran e biasanya bergantung kepada suatu konstanta yang belum diketahui yang dise-

but parameter. Parameter inilah yang biasanya menjadi fokus ke-

pentingan dalam pemodelan statistika. Dalam contoh di atas X 1 ,X 2

35 dari dan Y disebut variabel/ peubah yang diketahui dari data sedang- 490 kan α dan β adalah parameter (yang akan dicari nilainya). Dengan

demikian, persamaan matematika yang sekarang harus diselesaikan Cari Halaman adalah

h=β Kembali

1 x 1 +β 2 x 2 + ǫ.

Selanjutnya dengan mengenakan beberapa pembatasan atau asumsi

Layar Penuh

pada ǫ, akan diperoleh berbagai variasi model. Asumsi yang paling

1 + 3968, 40x 2

dengan 3001,732 disebut penduga β Judul

1 atau ˆ β 1 yaitu dugaan harga 1 kg

salak dan 3968,40 disebut ˆ β 2 yaitu dugaan harga 1 kg anggur.

36 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

1. Penentuan model. Langkah ini meliputi:

Judul

(a) menentukan/ mengidentifikasi peubah beserta batas semes-

tanya; (b) menentukan jenis dan derajat fungsi yang dibentuk;

37 dari 490

Penentuan jenis dan derajat fungsi disesuaikan dengan kondisi, tujuan dan sifat permasalahan yang dihadapi. Cari Halaman

2. Menyelesaikan model. Langkah ini meliputi menghitung nilai

Kembali

peubah atau konstanta yang ada pada model dengan menggu- nakan kaidah- kaidah matematika baik secara analitik maupun

Layar Penuh

numerik.

mrograman (kalau menggunakan komputer), maupun kesalahan konsep matematika yang digunakan dalam menyelesaikan model.

Judul

4. Menarik kesimpulan. Selanjutnya hasil yang diperoleh diin- terpretasikan sesuai dengan persoalan riil yang menjadi dasar

pemilihan model.

38 dari 5. Melakukan uji kecocokan. Karena pada umumnya pemo- 490 delan dimulai dari model yang sederhana dengan mengabaikan

hal-halyang kompleks, atau menggunakan asumsi- asumsi secara

Cari Halaman

ketat, maka tidak mustahil hasil yang diperoleh tidak terlalu co- cok dengan kondisi riil di lapangan. Melalui langkah ini seseo-

Kembali

rang mendapat gambaran apakah model yang dipilih sesuai atau perlu menggunakan meningkatkan kompleksitas modelnya de-

Layar Penuh

ngan menambah variabel maupun konstanta dalam model atau ngan menambah variabel maupun konstanta dalam model atau

Judul

pemodelan statistika ada parameter yang menjadi kepentingan dan ada komponen galat yang bersifat acak dan memiliki sebaran ter-

tentu. Langkah-langkah penting yang harus ditempuh dalam pemo- delan stokastik dapat diuraikan seperti berikut ini.

39 dari 490

1. Penentuan model yang meliputi:

Cari Halaman

(a) menentukan/ mengidentifikasi peubah; (b) menentukan parameter yang menjadi kepentingan; Kembali

(c) menentukan hubungan antara parameter dan peubah serta

Layar Penuh

(d) menentukan distribusi komponen acak.

hadapi. Langkah ini meliputi menghitung nilai estimasi titik yang ada pada model dengan menggunakan kaidah- kaidah sta-

Judul

tistika baik secara analitik maupun numerik. ◭◭ ◭ ◮ 3. Menarik kesimpulan/ melakukan uji inferensi. Dalam pe- ◮◮

modelan stokastik, karena peubah yang dihadapi adalah peubah yang bersifat random/ acak maka nilai estimasi titik yang yang

40 dari 490

diperoleh masih harus dilanjutkan dengan perhitugan estimasi interval/selang keyakinan atau dilanjutkan dengan uji signifi-

Cari Halaman

kansi secara statistika:

Kembali

(a) bagaimana besaran kesalahan dari dugaan yang diperoleh, (b) bagaimana sebaran atau rentangan atau interval dari hasil

Layar Penuh

yang diperoleh? yang diperoleh?

Judul

(a) apakah ada kecocokan atau tidak antara asumsi yang di- lakukan dengan kondisi riil data;

(b) apakah perlu melalukan remidi (mentransformasi data se- hingga kondisi yang disyaratkan oleh model terpenuhi) atau

41 dari 490

(c) apakah perlu mencari alternatif model yang lebih cocok.

Cari Halaman

Uji kecocokan ini biasanya dilakukan pada sisa/residu dari peng- gunaan model. Itu sebabnya langkah ini kebanyakan dilakukan

Kembali

sesudah model dipilih. Diagram langkah-langkah pemodelan, khususnya untuk model stokastik/ model statistika, dapat dili-

Layar Penuh

hat pada Gambar 1.1

(Komputasi)

Judul

PEMODELAN MATEMATIKA

interpretasi, generalisasi

Solusi Riil (Kesimpulan)

(Uji Model)

Cari Halaman

Kembali

Gambar 1.1: Diagram Menunjukkan Langkah-langkah dalam Pemo- delan Statistika

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

sifat- sifat dari model tersebut, cara mengestimasi parameter, cara mendiagnosis model serta mengaplikasikan model-model yang ditu-

runkan kedalam suatu paket komputer yang ramah (gampang dipakai dan dipahami) sehingga bisa dipakai oleh para praktisi di lapangan.

43 dari Lebih tegasnya menurut Mendenhall (1979) dikatakan: 490 The statisticians study various inferential procedures, look-

Cari Halaman

ing for the best predictor or decicion-making process for a given situation. Even more important, the statistician pro-

Kembali

vides information concerning the goodness of an inferential procedures. [Para statistisi mempelajari berbagai prose-

Layar Penuh

dur penarikan kesimpulan, mencari penduga terbaik- atau dur penarikan kesimpulan, mencari penduga terbaik- atau

Hal ini sejalan dengan fungsi dan tujuan ilmu statistika itu sendiri se- Judul

bagaimana digambarkan Wackery et al. [ 49 ] bahwa tujuan statistika

◭◭ ◭ ◮ adalah membuat kesimpulan tentang populasi berdasarkan informasi ◮◮ yang diperoleh pada suatu sampel dan untuk memberikan ukuran de-

rajat kecocokan dari kesimpulan itu.

44 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

(j = 0, 1, 2, ..., k) tergantung pada dimensinya) dan biasanya diper- lukan juga mengestimasi parameter dispersi (misalnya, σ, tergantung

Judul

pada model yang dihadapi). Kadang- kadang parameter dispersi ini diasumsikan diketahui. Ada dua metode yang banyak dipakai dalam

◭◭ ◭ ◮ mengestimasi parameter efek tetap dalam model linier yaitu: ◮◮

1. metode kuadrat terkecil (least square method) dan

45 dari 490

2. metode likelihood maksimum (maximum likelihood method).

Cari Halaman

1.3.1. Metode Kuadrat Terkecil

Kembali

Pada dasarnya parameter yang diestimasi adalah parameter dari garis regresi dari model yang mewakili populasi. Hal ini diperoleh berda-

Layar Penuh

sarkan informasi atau sebaran sampel yang dimiliki. Metode kuadrat sarkan informasi atau sebaran sampel yang dimiliki. Metode kuadrat

Judul

1. mengubah persamaan model

y i =x i β +ǫ i menjadi ǫ i =x i β −y i ;

46 dari 2. mencari bentuk kuadrat dan jumlah kuadrat dari galat, yaitu 490 P n

Q=

2 i=1 ǫ i ;

Cari Halaman

3. menghitung penduga parameter dengan mencari minimum dari Q terhadap β j .

Kembali

Dalam statistika, kalau kita membahas maksimum/ minimum suatu fungsi, pada umumnya yang menjadi kepentingan adalah ni-

Layar Penuh

lai peubah atau paremeter yang menyebabkan fungsi itu mencapai

Kalau metode kuadrat terkecil menggunakan pendekatan geometris, maka metode likelihood maksimum menggunakan pendekatan distribusi.

Judul

Dari data yang dimiliki serta asumsi distribusi yang diberlakukan pada data tersebut kita memperoleh fungsi likelihood dari data tersebut.

◭◭ ◭ ◮ Jelasnya langkah tersebut dapat diuraikan sebagai berikut. ◮◮

1. Tentukan likelihood dari data Y 1 ,Y 2 ,···,Y n , yang saling bebas

47 dari dan mempunyai fungsi kepadatan peluang masing- masing, mi- 490 salnya ψ i (θ). Likelihood keseluruhan ini adalah

Fungsi likelihood tidak lain adalah fungsi kepadatan probabilitas darai Y , hanya saja nilai y dianggap diketahui (dari data), tetapi

Layar Penuh

parameternya (θ) yang tidak diketahui.

babkan L maksimum. Selain itu transformasi logaritma juga mem- berikan beberapa keuntunan dalam perhitungan yaitu menghilangkan Judul

exponen dan menyederhanakan produk menjadi jumlah.

1.3.3. Mencari Maksimum dengan Metode Numerik

Cari Halaman

Pada umumnya maksimum suatu fungsi tidak bisa diperoleh secara analitik, oleh karenanya diperlukan pendekatan yang disebut metode

Kembali

numerik. Mencari maksimum/ minimum suatu fungsi F pada dasarnya sama dengan mencari nilai nol atau penyelesaian fungsi f (θ) = F ′ (θ) =

Layar Penuh

dF/dθ. Metode numerik yang biasa dipakai dalam mencari maksimum

2. melakukan iterasi sampai konvergen (sampai kriteria konver- gensi terpenuhi)

dengan f = F ′ .

Cari Halaman

Apabila peubah atau parameternya berdimensi tinggi, maka fungsi turunan pertamanya berupa vektor (D) sedang turunan keduanya

akan berupa matriks yang disebut matriks Hessian (H). Bentuk mul- Kembali tivariat dari Newton- Raphson ini adalah

Layar Penuh

b −1

1 =b 0 −D (b 0 ) H (b 0 ) .

Ada tiga hal penting yang harus diperhatikan dalam mengap- likasikan metode numerik (Newton-Raphson maupun skoring dari Fisher)

yaitu: (i) algoritma yang dipakai (lengkap atau terpartisi), (ii) nilai awal dan (iii) kriteria konvergensi.

50 dari 490

Nilai awal untuk b 0 ditentukan sedemikian sehingga pada saat

itu xb 0 = y, sedangkan kriteria konvergensi bisa menggunakan max

Cari Halaman

0 (|b −3 1 −b | < δ,) untuk δ bilangan positif sangat kecil, misalnya 10 . Jika parameter yng diestimasi terdiri atas beberapa unsur, maka ada

beberapa cara yang ditempuh dalam mengestimasi dengan menggu- Kembali nakan metode Newton-Raphson yaitu seperti berikut ini.

Layar Penuh

1. Mengestimasi secara serempak dengan memperlakukan param- 1. Mengestimasi secara serempak dengan memperlakukan param-

multivariate, tetapi pendugaan vektor satu dengan lainnya di- ◭◭ ◭ ◮ lakukan secara selang-seling. Selang seling dapat dilakukan pada ◮◮

setiap iterasi (nested), atau setelah masing- masing konvergen pada kondisi tertentu(zig-zag). Algoritma seperti ini disebut al-

51 dari 490

goritma terpartisi (partitioned algorithm). Pengelompokan bi- asanya dilakukan berdasarkan parameter regresi (β) dan param-

Cari Halaman

eter dispersi (φ) yang biasanya kedua jenis parameter ini mem- punyai sifat-sifat yang berbeda terutama dilihat dari kecepatan

Kembali

konvergensinya. Pembahasan kedua algoritma di atas (penuh dan terpartisi) dapat

Layar Penuh

dilihat pada Smyth [ 33 ] dan Smyth [ 34 ].

jabar mempelajari bentuk-bentuk kuantitas yang tidak berubah ter- hadap suatu transformasi linier. Teori invarian ini yang mendasari

Judul

perkembangan teori nilai eigen, vektor eigen, matriks determinan, metode dekomposisi dan masih banyak lagi yang lainnya. Salah satu

◭◭ ◭ ◮ contoh dalam statistika kita tahu bahwa korelasi dua peubah acak ◮◮ tidak berubah walaupun peubah- peubah tersebut mengalami trans-

52 dari formasi. 490 Perkembangan model linier dimulai dengan perkembangan ana-

lisis regresi pada abad 19 oleh Pearson perkembangan korelasi segera

Cari Halaman

setelah itu. Teori regresi ini yang menjadi dasar perkembangan teori model linier. Perkembangan model linier tidak bisa dilepaskan dengan

Kembali

perkembangan teori matriks atau aljabar linier. Melalui teori matriks (determinan, invers, perkalian matriks) pembahasan model linier da-

Layar Penuh

pat didekati secara umum (Lihat Statsoft [ 35 ]). Dalam subbab ini pat didekati secara umum (Lihat Statsoft [ 35 ]). Dalam subbab ini

Judul

(klasik), ke model hirarkis tergeneralisir yang saat ini merupakan pe- modelan yang paling terkini. Dalam sub-bab ini diuraikan secara

ringkas perkembangan model linier ditinjau dari segi distribusi dan independensi galatnya.

53 dari 490

1.4.1. Model linier klasik

Cari Halaman

Pemodelan linier memiliki bentuk umum

Layar Penuh

j=0 j=0

Judul

dianggap bahwa sebenarnya ada hubungan yang bersifat tetap yang menentukan harga barang di pasar. Namun, selain itu masih ada lagi

faktor lain yang bersifat acak yang menyebabkan harga barang tadi dalam kenyataannya dari pembeli ke pembeli mungkin menyimpang

54 dari dari fungsi hubungan tadi. Dalam pemodelan statistika/ stokastik, ke- 490 dua komponen ini dipisahkan yaitu yang bersifat tetap dan fungsional

dinotasikan dengan f (x, β), yang bisa disebut sebagai komponen tetap

Cari Halaman

(fixed), sedangkan komponen lainnya, ǫ, yang bersifat acak disebut se- bagai komponen acak (random component) atau dalam hal ini secara

Kembali

khusus disebut komponen galat (error component). Dari segi fungsi hubungan f , bentuk yang paling sederhana adalah hubungan linier,

Layar Penuh

sehingga dari aspek ini model yang paling sederhana yang kita miliki sehingga dari aspek ini model yang paling sederhana yang kita miliki

atau untuk keseluruhan respon dapat dituliskan dalam bentuk

matriks seperti persamaan ( 1.7 ),

Cari Halaman

Y = Xβ + ǫ

Kembali

Asumsi: x i bukan peubah acak dan diukur tanpa galat dan ǫ i in-

dependen dengan ǫ ′

i untuk setiap i 6= i dan masing- masing

Layar Penuh

berdistribusi N (0, σ 2 ).

referensi yang membahas model linier normal ini diantaranya adalah

Neter et al. [ 31 ], Bowerman et al.[ 3 ].

Judul

1.4.2. Model Linier Tercampur

Berdasarkan kenyataan di lapangan banyak ditemukan pengamatan yang menghasilkan respon yang tidak saling independen. Misalnya,

56 dari apabila pada suatu subjek dilakukan pengamatan yang berulang- ulang 490 maka respon yang diperoleh antara satu dengan sebelumnya, atau satu

dengan berikutnya, dapat dipastikan akan saling berkorelasi. Dengan

Cari Halaman

demikian, pengamatan yang diperoleh bukan lagi merupakan hasil pengamatan atau respon tunggal, tetapi merupakan vektor respon.

Kembali

Tentu saja respon seperti ini dapat ditangani dengan metode multi- variat. Namun ada kekhasan dari pengamatan seperti ini, yaitu kore-

Layar Penuh

lasi/ hubungan antara respon satu dengan lainnya biasanya berpola, lasi/ hubungan antara respon satu dengan lainnya biasanya berpola,

Judul

model ini memiliki dua komponen acak yaitu komponen error (ǫ) dan komponen efek acak yang biasanya dinotasikan dengan u. Model ini

biasa disebut model linier tercampur (linear mixed model) yang dapat didefinisikan sebagai berikut.

57 dari 490

Definisi 1.4 (Bentuk dan Asumsi Model Linier Tercampur).

Cari Halaman

2 Asumsi: u ∼ MV N(0, σ 2

1 I) dan ǫ ∼ MV N(0, σ 2 I). u independen

Layar Penuh

dengan ǫ.

try atau seragam. Dengan menggunakan jumlah peubah acak yang berdistribusai normal dan saling independen bisa diperoleh bahwa bentuk ragam-koragam Y , yang identik dengan jenis korelasi uniform,

atau secara umum  Cari Halaman 

Layar Penuh

Model ini mengasumsikan bahwa seiring dengan jarak yang makin jauh, maka korelasi/ hubungan antara respon tersebut semakin kecil.

59 dari 490

Dalam beberapa paket komputer, yang dimodelkan adalah struktur korelasinya, bukan matriks ragam-koragamnya.

Cari Halaman

Model linier tercampur sering juga disebut dengan istilah mo- del linier bertingkat (hierarchical linear model). Istilah bertingkat di-

gunakan karena model ini biasa juga didefinisikan secara bertingkat Kembali seperti berikut ini.

Layar Penuh

Definisi 1.5. Asumsi Model Linier Tercampur/ Bertingkat Definisi 1.5. Asumsi Model Linier Tercampur/ Bertingkat

Judul

Model linier Campuran banyak diaplikasikan untuk data yang berasal dari pengukuran berulang yang dikenal dengan data longitu-

dinal atau repeated meassurement. Referensi yang bisa dijadikan acuan untuk mempelajari model linier bertingkat ini diantaranya adalah Bab

60 dari 4 dari Davidian dan Giltinan [ 490 9 ], Diggle et al. [ 10 ], Laird dan Ware [ 19 ]. Sedangkan untuk model yang lebih umum yaitu termasuk model-

model non-linier dapat dilihat pada Davidian dan Giltinan [ Cari Halaman 9 ]

1.4.3. Kembali Model Linier Tergeneralisir

Kondisi lain yang banyak ditemukan di lapangan yang tidak dapat

Layar Penuh

ditangani langsung oleh model linier klasik adalah adanya kenyataan ditangani langsung oleh model linier klasik adalah adanya kenyataan

Judul

ancuan dalam menafsirkan hasil penelitian oleh karena efek yang di- uji adalah dalam skala logaritma, bukan dalam sekala aslinya. Hal

ini menyebabkan kesimpulan terasa janggal misalnya, ”ada hubungan positif antara log-konsentrasi pemupukan dengan log-panen”. Untuk

61 dari menangani kondisi dimana respon yang ada tidak berdistribusi Nor- 490 mal, tetapi masih saling bebas, maka para statistisi yang dipelopori

oleh Nelder dan Wedderburn [ Cari Halaman 30 ] telah mengembangkan model linier yang dikenal dengan generalized linear model ( GLM ). Model ini di In-

donesai dikenal dengan model linier terampatatau tergeneralisir. Mo-

Kembali

del linier ini menggunakan asumsi bahwa repon memiliki distribusi keluarga ekponensial. Distribusi keluarga eksponensial adalah dis-

Layar Penuh Layar Penuh

1. ada komponen tetap yang disebut prediktor linier ;

Judul

2. respon y i berdistribusi normal dan saling independen dan

3. nilai-tengah y i adalah µ i = j=0 x ij β j .

62 dari 490

Pada model linier tergeneralisir/terampat, hubungan di atas men- galami perubahan atau generalisasi, sebagaimana dalam definisi ber-

ikut: Cari Halaman Definisi 1.6 (Asumsi Model Linier Tergeneralisir). Model linier ter-

Kembali

generalisir adalah model yang mengandung tiga hal yaitu: P Layar Penuh

1. komponen tetap yang disebut prediktor linier η k

i = j=0 x ij β j ;

Ada fungsi hubungan khusus yang disebut fungsi hubungan kanonik atau natural yang berkaitan erat dengan distribusi y. Misalnya, jika

Judul

distribusinya normal maka g() adalah identitas. Dari hal di atas di- katakan bahwa komponen penting dalam model linier tergeneralisir

ada tiga yaitu: (i) adanya prediktor linier,

63 dari 490

(ii) adanya distribusi keluarga eksponensial dan

Cari Halaman

(iii) adanya fungsi-hubungan. Referensi yang umum dijadikan acuan utama mempelajari mo-

Kembali

del linier tergeneralisir ini adalah generalized linear models oleh Mc-

Cullagh dan Nelder [ 24 ], sedangkan sebagai pemula dapat digunakan

Layar Penuh

pengantar yang ditulis oleh Dobson [ 11 ].

menganalisis data semacam ini ada tiga kelompok metode yang banyak dipakai untuk menyelesaikan model linier tercampur tergeneralisir.

Judul

GLMM . Model ini merupakan kombinasi antara LMM dan GLM. Pada model ini, walau komponen galat tidak harus berdistribusi

Normal, tetapi komponen acaknya masih diasumsikan berdis- tribusi Normal dan menggunakan bentuk aditif seperti pada mo-

64 dari 490

del linier tercampur normal. Model linier ini biasa disebut seba- gai Model linier tercampur tergeneralisir (GLMM = Generalized

Cari Halaman

Linear Mixed Model) HGLM Model ini menggunakan bentuk multiplikatif dan komponen

Kembali

acaknya tidak dibatasi dengan distribusi Normal. Model linier ini sering juga disebut Model linier hirarkis/ bertingkat terger-

Layar Penuh

eralisasir (HGLM=Hierarchical Generalized Linear Model). Mo- eralisasir (HGLM=Hierarchical Generalized Linear Model). Mo-

Judul

multivariat dari quasi-likelihood. Manakala tidak ada fungsi like- lihood yang pasti untuk dijadikan acuan, cukup beralasan untuk

◭◭ ◭ ◮ menduga/ mengestimasi dengan menyelesaikan sebuah analogi ◮◮ multivariat dari metode quasi-score yang diperkenalkan Wed-

65 dari derburn [ 490 51 ] dimana kita hanya perlu menentukan bentuk mean atau nilai-tengah(sebagai momen pertama) dan matriks ragam-

koragam (sebagai momen kedua), tanpa perlu mengetahui ben-

Cari Halaman

tuk pasti likelihoodnya. Pembahasan yang lebih detil dapat

dibaca pada Diggle et al. [ 10 ] (Lihat juga Yasi et al. Perkem-

Kembali

bangan dan pembagian model linear dapat diliustrasikan dalam

bentuk bagan seperti pada Gambar 1.2 .

Layar Penuh

Independen?

Dependen (Multi kolinieritas)?

Seleksi Variabel

RKU

LMM/MLC

NLM/MLK

GLM/MLC

GLMM/MLCT GEE

R. BERTATAR STEPWISE

66 dari 490

Var.Laten?

REGRESI

REGRESI

GULUD (RIDGE)

ROBUST

Cari Halaman

SEM Kembali

Faktor emua

ANOVA/MANOVA

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

1 merupakan peubah acak sedangkan X

j dan X j tidak saling bebas

untuk suatu j 6= j ′ , dalam kondisi seperti ini, dikatakan terjadi multi- ◭◭ ◭ ◮ kolinieritas antara peubah bebas X. Tingginya multikolinieritas dapat ◮◮

menyebabkan adanya estimasi parameter tidak teliti. Secara matema-

67 dari tis X 490 ′ j dan X j yang tidak saling bebas, menunjukkan bahwa salah satu kolom matriks X merupakan kombinasi linier linier dari kolom-kolom lainnya yang menyebabkan X tidak dalam rank penuh, sehingga invers

Cari Halaman

matriks X T

X menjadi tidak terdefinisikan. Ada beberapa prosedur atau tehnik untuk menangani masalah multikolinieritas, diantaranya

Kembali

adalah regresi Ridge dan Regresi dengan Komponen Utama (RKU)

(lihat Neter et al[ 31 ]).

Layar Penuh

Tidak jarang juga kumpulan data yang kita miliki, sesungguh- Tidak jarang juga kumpulan data yang kita miliki, sesungguh-

Judul

dummy variable dan dapat dilihat pada Neter et al[ 31 ].

68 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

Cari Halaman

Layar Penuh

Gambar 1.3: Ilustrasi Data dengan pencilan dan kelompok. Data ini Gambar 1.3: Ilustrasi Data dengan pencilan dan kelompok. Data ini

Judul

kelompok model linier. Perkembangan lain dari model statistika tidak mewajibkan ada-

◭◭ ◭ ◮ nya kombinasi linier (η ◮◮

i ), tetapi mengadopsi bentuk yang lebih luas

P p yaitu polinomial atau bentuk aditif, η(x) = α + j=1 f j (x j ). Ter-

masuk dalam model ini adalah GAM (generalized additive models)

70 dari 490

(Hastie dalam Chamber & Hastie [ 5 ], Hastie & Tibsirani [ 14 ]), regresi

lokal (Cleveland et al., dalam Chamber & Hastie [ 5 ], Venables& Ripley

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

(baik dilihat dari jenis sebaran, jenis hubungan serta jumlah peu- bah yang dimuat) serta memilih model yang terbaik; (ii) melengkapi

Judul

hasil analissi data secara numerik dengan visualisasi grafik yang dapat membantu pemahaman dalam menginterpretasi model. Dalam sub-

◭◭ ◭ ◮ bab ini akan dibahas secara singkat beberapa kemampuan R terkait ◮◮ pemodelan statistika atau analisis regresi, diantaranya:

71 dari 490

1. kemampuan umum terkait cara mengaktifkan paket, melihat- dokumentasi paket termasuk contoh penggunaannya;

Cari Halaman

2. kemampuan manipulasi grafik terkait pemeriksaan asumsi mo- del yang dipergunakan dan visualisasi untuk melengkapi hasil Kembali

analisis secara numerik;

Layar Penuh

3. paket-paket R yang terkait dengan berbagai bentuk analisis re- 3. paket-paket R yang terkait dengan berbagai bentuk analisis re-

Judul

baris atau skrip . Hanya sebagian kecil kemampuan R yang dapat dimafaatkan melaui menu grafis GUI (graphical user interface) Ada

dua cara memanfaatkan R melalui CLI.

72 dari 1. Menulis perintah langsung pada Rconsole. Untuk pertintah- 490 perintah singkat yang jarang diulang, biasanya langsung ditulis

pada layar Rconsole. Cari Halaman

2. Menulis skrip secara terpisah. Untuk perintah yang agak pan-

Kembali

jang dan sering diulang (misalnya dalam simulasi), perintah- perintah R ditulis secara tersendiri pada editor skrip. Kumpulan

Layar Penuh

perintah ini selanjutnya dapat dijalankan sebagian atau secara perintah ini selanjutnya dapat dijalankan sebagian atau secara

lisis data tingkat lanjut (advanced statistical analyses), termasuk re- gresi hanya bisa dimanfaatkan melalui pendekatan perintah baris atau

skrip. Hanya sebagian kecil dan yang masih bersifat mendasar yang dapat dimanfaatkan melalui pendekatan menu, misalnya RComman-

73 dari 490

der (lihat Tirta [ 43 ]. Untuk itu, pembaca perlu memahami cara me-

manfaatkan R melalui skrip (Untuk dokumentasi lebih detail dapat

Cari Halaman

dilihat pada Tirta [ 42 ]). Secara umum ada beberapa perintah pen-

ting yang perlu dikuasai untuk dapat memanfaatkan R dengan baik yaitu:(i) cara mengaktifkan paket, (ii) melihat dokumentasi paket, (iii) Kembali

menjalankan contoh pada paket.

Layar Penuh

1. Mengaktifkan paket. Kemampuan R tersusun atas fungsi-fungsi

Misalnya untuk mengaktifkan paket gee, kita dapat memanggil dengan salah satu cara berikut. Judul

library(gee)

require(gee)

74 dari 490

Jika dilakukan akan muncul pesan

Cari Halaman

Loading require package: gee

Kembali

2. Membaca dokumentasi pada paket.Setelah paket diaktifkan, se-

Layar Penuh

lenjutnya dokukmentasinya dapat dipanggil. Berikut adalah lenjutnya dokukmentasinya dapat dipanggil. Berikut adalah

Judul

Setelah perintah tersebut dijalankan, maka akan muncul doku-

mentasi tentang paket gee, diantaranya berisi (i) cara meman- faatkan paket gee,(ii) jenis dan interpretasi keluaran gee, (iii)

75 dari 490

referensi terkait gee, serta (iv) contoh penggunaan gee.

3. Menjalankan contoh-contoh pada paket. Satu paket R dapat Cari Halaman terdiri atas beberapafungsi analisis. untuk menjalankan contoh-

contoh fungsi pada paket dapat ditempuh dua cara. (Paket gee

Kembali

secara kebetulanjuga memuat fungsi analissi yang disebut gee).

Layar Penuh

(a) Dengan melakukan perintah langsung.

4. Menyimpan objek dan memeriksa komponen objek. Hasil perhi- tungan dengan R biasanya disimpan dalam bentuk objek. Kom-

Judul

ponen objek dapat dilihat dengan menggunakan perintah names(nama_objek). nama_objek<-fungsi

names(nama_objek)

76 dari Sebagai contoh komponen objek yang dihasilkan oleh analisis 490 model linier dapat ditujnukkan pada tampilan berikut.

Cari Halaman

lm1<-lm(y~x) names(lm1)

"coefficients" Kembali "residuals" "effects" "rank" "fitted.values" "assign"

"qr"

"df.residual"

"xlevels" "call"

"terms" "model"

Layar Penuh

Berikut adalah perintah dan hasil keluaran yang dilakukan pada objek lm1 di atas.

> print(lm1$coeff)

>print(lm1$call)

77 dari lm(formula = y ~ x) 490

1.6.1. Cari Halaman Aplikasi R untuk Manipulasi Grafik

Selain analisis statistik secara numerik, analisis regresi juga perlu

Kembali

dilengkapi dengan visualisasi data melalui grafik. Visualisasi grafik selain bermanfaat untuk mendapatkan gambaran tentang kondisi data

Layar Penuh

terkait dengan asumsi-asumsi sebaran ( histogram , QQPlot , Boxplot , terkait dengan asumsi-asumsi sebaran ( histogram , QQPlot , Boxplot ,

Judul

[ 42 ] atau Burns [ 4 ]. Berikut adalah beberapa contoh penyajian grafik terkait regresi.

1. Histogram dilengkapi dengan kurva densitas (baik teoritis mau-

78 dari pun emperik). Grafik ini memberikan gambaran secara intuitif 490 kesesuaian sebaran data dengan sebaran teoritis yang menjadi

asumsi (skrip berikut hasilnya terlihat pada Gambar 1.4 ).

Cari Halaman

hist(x,freq=FALSE,ylim=c(0,0.45),

Kembali

main="HISTOGRAM DENGAN KURVA DENSITAS") lines(density(x),lty=4) #densitas emperik

Layar Penuh

lines(sort(x),dnorm(sort(x)))#densitas teoritik lines(sort(x),dnorm(sort(x)))#densitas teoritik

graphics menggambar grafik X-Y

pairs() Judul graphics menggambar Matriks Dia-

gram Pencar

abline()

graphics menggambar garis lurus

yang diketahui konstanta dan gradiennya

79 dari 490

contour()

graphics menggambar kontur

persp()

graphics menggambar boxplot

Cari Halaman

rug()

graphics menggambar sebaran data

pada sumbu

Kembali

qq.plot()

bandingan kuantil

reg.line() Layar Penuh car menggambar garis regresi scatterplot(),

car

menggambar diagram pen- car data menggambar diagram pen- car data

rug(side=1, jitter(x, 5),col="green" ) Judul rug(side=2, jitter(y, 20),col="green" )

◭◭ ◭ ◮ ◮◮ par(mar=c(1,2,5,1))

boxplot(y, axes=F)

80 dari 490

par(mar=c(5,1,1,2)) boxplot(x, horizontal=T, axes=F) Cari Halaman

3. Diagram pencar dilengkapi dengan histogram dan qqplot marjinal

Kembali

(untuk peubah penjelas dan peubah respon). Grafik ini memberikan gambaran secara intuitif kesesuaian sebaran data secara univariate.

Layar Penuh

Grafk dapat disajikan dengan menyisipkan histogram dan qqplot di Grafk dapat disajikan dengan menyisipkan histogram dan qqplot di

Judul

plot(x,y,main="Diagram Pencar (X,Y)") abline(lm(y~x))

◭◭ ◭ ◮ ◮◮ screen(3) hist(y, probability=T,

81 dari 490

main="Histogram Y") lines(density(y), col="red", lwd=2) screen(4)

Cari Halaman

qq.plot(x,main="QQ.norm X")

Kembali

Skrip berikut adalah untuk Layout c(2,1)-c(1,2), untuk Gambar 1.8 ,

yaitu pertama layar dibagi atas 2 baris dan 1 kolom, selanjutnya

Layar Penuh

layar baris kedua dibagi menjadi 1 baris 2 kolom.

main="Histogram Y") lines(density(y), col="red", lwd=2)

Judul

screen(4) qq.plot(x,main="QQ.norm X")

82 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

Judul Density

0 1 2 Cari Halaman

Gambar 1.4: Contoh Histogram dengan Kurva Densitas.Kurva lang- Kembali sung adalah densitas teoritis, kurva putus-putus adalah

densitas emperik data

Layar Penuh

Cari Halaman

Kembali

Gambar 1.5: Contoh Diagram Pencar dengan rug dan boxplot(densitas data)

Layar Penuh

Judul y

−1 55 0 1 2 60 Cari Halaman

norm quantiles

Kembali

Gambar 1.6: Contoh Gabungan Grafik Besar (Diagram Pencar) de- ngan Grafik Mini(Histogram dan QQPlot)

Layar Penuh

Judul y y y y y y

QQ.norm X QQ.norm X QQ.norm X QQ.norm X QQ.norm X QQ.norm X

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Cari Halaman

norm quantiles norm quantiles norm quantiles norm quantiles norm quantiles norm quantiles

Kembali

Gambar 1.7: Contoh Gabungan Grafik dengan pembagian layar (1,2)dan (2,1)

Layar Penuh

Histogram Y

QQ.norm X

0 1 2 Cari Halaman

norm quantiles

Kembali

Gambar 1.8: Contoh Gabungan Grafik dengan pembagian layar (2,1)dan (1,2)

Layar Penuh

Fungsi dan paket

untuk model statistika dalam R

Judul

Fungsi Paket

Penggunaan

lm() stats

regresi/model linier dengan respon

berdistribusi Normal. Paket ini telah terintegrasi dengan R dan sudah da-

88 dari 490

pat dimanfaatkan melalui menu RCom- mander

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh Layar Penuh

lme() lme4 *)

regresi/ model liner tercampur baik un-

Judul

tuk respon berdistribusi keluarga eks- ponensial (termasuk distribusi Normal)

... lmm *)

Berbagai fungsi untuk menangani data dengan respon berdistribusi normal

89 dari tetapi tidak saling bebas dengan pen- 490 dekatan Bayesian dan Markov Chained

Monte Carlo Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh Layar Penuh

gee() gee *)

regresi dengan dengan respon berdis- tribusi Keluarga Eksponensial dan

Judul

tidak saling bebas

geese() geepack

regresi linier dengan dengan respon

berdistribusi Keluarga Eksponensial dan tidak saling bebas. Hampir sama

90 dari dengan gee(), tetapi memiliki alter- 490 natif pemodelan yang lebih luwes ter-

masuk pemodelan koragamnya Cari Halaman gam() gam,

regresi atau model statistika dengan

mgcv

hubungan yang lebih luas termasuk

Kembali

noonlinier dan semiparamerik

nls() stats

estimasi model nonlinier dengan meng-

Layar Penuh

gunakan kuadrat terkecil nonlinier ter- bobot

1. regresi linier klasik sederhana (satu peubah bebas dan satu pe-

ubah penjelas); Judul

2. model linier klasik dengan beberapa peubah poenjelas termasuk

peubah kualitatif;

3. GLM (model linier terampat/ tergeneralisir).

91 dari 490

Selain kemampuan analisis regresi tersebut di atas, manfaat peng-

Cari Halaman

gunaan RComander adalah memudahkan pengguna mengimpor data dari berbagaiformat termasuk format excel yang banyak dipakai kalan-

gan peneliti di Indonesia. Penjelasan rinci RCommander dapat dilihat Kembali

pada Tirta [ 42 ] dan [ 43 ].

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

2. Kepentingan utama dalam analisis model stokastik (analisis re-

gresi) adalah mengestimasi koefisien komponen tetap (parameter regresi).

92 dari 490

3. Metode yang biasa dipakai untuk mengestimasi koefisien regresi adalah metode kuadrat terkecil dan metode kecenderungan mak-

Cari Halaman

simum.

Kembali

4. Analisis model linier (regresi linier) telah berkembang untuk menanganiberbagai kondisi dari komponen acak (bersebaran nor-

Layar Penuh

mal atau tidak, saling bebas atau tidak).

ampat).

7. Berbagai pendekatan telah dikembangkan untuk komponen acak

Judul

yang masih bersebaran keluarga eksponensial tetapi tidak saling bebas, diantaranya adalah GEE, GLMM, dan HGLM.

8. Hampir semua analisis di atas telah tersedia pada paket sta-

93 dari tistika berbasis open source R yang dapat diperoleh secara gratis. 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

model linear tergeneralisir/terampat dapat juga dilacak dengan kata kunci berikut: logit, probit, log-linear.

94 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

3. Sebutkan beberapa macam pemodelan statistika linier yang anda kenal dilihat dari asumsi distribusi dan kebergantungannya.

Judul

4. Sebutkan beberapa macam pemodelan statistika nonlinier yang ◭◭ ◭ ◮ anda kenal. ◮◮

5. Carilah referensi yang terkait dengan pemodelan statistika linier

95 dari 490

baik di perpustakaan maupun di internet. Sebutkan masing- ma- sing lima referensi yang belum terdaftar dalam Daftar Pustaka

Cari Halaman

dari buku ini.

6. Lakukan eksplorasi pada R Kembali (a) buat grafik X-Y (plot(x,y,...) dengan memberi judul

Layar Penuh

utama, label pada sumbu X dan sumbu Y;

(f) sebutkan komponen objek yang dihasilkan dari fungsi lm(); (g) jalankan contoh analisis regresi dengan glm;

Judul

(h) periksa komponen-komponen objek yang dihasilkan oleh fungsi glm.

7. Lakukan eksplorasi pada RCommander:

96 dari 490

(a) panggil salah satu data dari pustaka yang ada; (b) sebutkan grafik yang dapat dibuat melalui menu RCom-

Cari Halaman

mander;. (c) aktifkan plugin terkait demo/animasi statistika;

Kembali

(d) analisis salahsatu data dengan analisi regresi sederhana, se- lanjutnya buat grafik diagnostiknya.

Layar Penuh

Judul

ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

97 dari 490

Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multivariat, Cari Halaman banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan dibahas teori

matriks yang banyak terkait dengan statistika.

Kembali

Layar Penuh

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

3. Kebergantungan linier

4. Bentuk kuadrat dan turunannya

Judul

5. Aplikasi R untuk matriks

99 dari 490

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

A, B, sedangkan unsur-unsurnya bisa berupa bilangan atau huruf ke- cil. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks matriks. Matriks yang memiliki n baris dan m kolom,dikatakan berordo n × m

Judul

dan dinotasikan dengan A n×m = [a ij ]. Dalam hal ini, a ij adalah unsur yang berada pada baris ke i dan kolom ke j dengan i = 1, 2, · · · , n

dan j = 1, 2, 3, · · · , m. Contoh 2.1. Matriks A berikut adalah matriks yang berordo 4 ×3;

100 dari 490

Cari Halaman

A=  1 3 6     7 10 20 

Kembali

Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam sta-

Layar Penuh

tistika diantaranya adalah matriks bujur sangkar, matriks diagonal,

Pada matriks bujur sangkar, unsur unsur yang berada pada baris dan kolom dengan nomor sama disebut diagonal utama (yaitu:

a Judul

ii , i = 1, 2, · · · , n.) Contoh 2.2.

Definisi 2.3. Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsurnya, selain unsur-unsur pada diagonal utamanya, adalah nol, yaitu a

ij Cari Halaman =0 untuk setiap i 6= j.

Contoh 2.3. Kembali  

300 D=  000 

Layar Penuh

Definisi 2.5. Matriks identitas I adalah matriks skalar yang semua

Judul

unsurnya 1 ◭◭ ◭ ◮ Contoh 2.5. ◮◮

Definisi 2.6. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya Cari Halaman adalah 0.

Kembali

Definisi 2.7. Matriks simetris adalah matriks yang unsur-unsurnya simetris terhadap diagonal utama, yaitu a ij =a ji untuk setiap i dan

Layar Penuh

j.

Contoh 2.7.

Judul

Dalam statistika, matriks simetris yang banyak ditemukan adalah ma- triks korelasi (R) dan matriks varians-kovarians atau matriks ragam-

koragam (V). 

12 ···r 1n

σ 1 σ 12 ···σ 1n

103 1 dari r 2 490

 σ 21 σ 2 ···σ 2n R=  

21 1 ···r 2n 

 Cari Halaman ... ... ... ...

r 2n ··· 1 σ n1 σ 2n ···σ n

Kembali

Selain matriks-matriks umum di atas, dalam statistika ada yang disebut matriks desain X. Matriks ini merupakan matriks yang meng-

Layar Penuh

hubungkan parameter β dengan peubah- peubah penjelas X j . Pada

1x n1 x n2 ···x np

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

2.3.1. Operasi uner

Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Ope- Judul rasi yang termasuk uner adalah operasi invers baik untuk penjumlahan

maupun perkalian dan operasi transpos.

Definisi 2.8. Invers penjumlahan suatu matriks A ditulis −A, adalah 105 dari matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur matriks 490

A Contoh 2.8. Cari Halaman

 Kembali   

Jika A =  1 −2

0  , maka −A =  −1

5 Layar Penuh 0 −4 −5 0 4

Jika A =  17  maka A =

24 Judul Hasil 2.1. Jika A adalah matriks simetris, maka A = A T

Definisi 2.10. Invers perkalian suatu matriks A ditulis A −1 , adalah 106 dari matriks yang jika dikalikan dengan A menghasilkan matriks identitas 490

yaitu A.A −1 =A −1 .A = I.

Cari Halaman

2.3.2. Operasi biner

Kembali

Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggunakan P

Q notasi . dan . Untuk itu dalam subbab ini akan dibahas secara

Layar Penuh

sepintas kedua notasi tersebut.

Hasil 2.2. Sifat- sifat operator Sigma adalah

n Judul

1. Jika k adalah suatu konstanta, maka

2. Jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam x i 107 dari maka 490

kf (x i )=k

f (x i ).

i=1 Cari Halaman i=1

3. Jika k ,k adalah konstanta dan f (x )=x 2 1 2 i i +k 1 x i +k 2 , maka

Layar Penuh

i=1

i=1

i=1

2 i=1 kf (x i ) = kf (x 1 ) + kf (x 2 ) + · · · + kf(x n ) = k(f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f(x n ))

2 2 108 dari =x 490

1 +k 1 x 1 +k 2 +···+x n +k 1 x n +k 2

2 =x 2

1 +···+x n +k 1 x 1 +···+k 1 x n +k 2 +···+k 2

{z

Cari Halaman

Kembali i=1

k 1 x i + nk 2

i=1

= Layar Penuh x

i +k 1 x i + nk 2 .

i=1

i=1

Jika operator

merupakan penjumlahan yang berulang, maka

◭◭ ◭ ◮ Q ◮◮ operator untuk perkalian berulang disebut operator

yang didefinisi-

kan seperti berikut ini.

109 dari 490

Definisi 2.12.

Y Cari Halaman

f (x i ) = f (x 1 ) × f(x 2 ) × · · · × f(x i ) × · · · × f(x n ).

i=1 Kembali

Sedangkan sifat-sifat operator dinyatakan dalam hasil berikut. Q Layar Penuh

Hasil 2.3. Sifat- sifat operator

adalah:

2 ❼ jika k Judul

1 ,k 2 adalah konstanta dan f (x i ) = (x i )(k 1 x i )(k 2 ), maka

110 dari Q 490 Pembuktian hasil

di atas analog dengan pembuktian sifat-

P sifat operator .

Cari Halaman

Penjumlahan Matriks

Kembali

Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah ma- triks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut Kon-

Layar Penuh

formabel (conformable) terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriks formabel (conformable) terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriks

Jika ◭◭ ◭ ◮  ◮◮   

3 5 6 8 A=  8 4  dan B =  2 4 ,

111 dari 6 10 490 3 10 maka

 3+6 Cari Halaman 5+8 9 13

A+B=  8+2 4+4 =  10 8 .

9 20 Kembali

Definisi 2.14. Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah de-

Layar Penuh

ngan negatif matriks pengurang, yaitu A − B = A + (−B).

distribusi transpus

Judul

Perkalian matriks

Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks

112 dari yang dapat dikalikan disebut matriks-matriks yang conformable ter- 490 hadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks

juga dapat dikalikan dengan skalar. Cari Halaman

Kembali

Definisi 2.15. Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks

dengan skalar tersebut, yaitu kA = (ka Layar Penuh

ij ).

likan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matriks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks Judul

terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika A m×n B n×p , maka

◭◭ ◭ ◮ C ◮◮ m×p = AB dengan

c ik =a i1 b 1k +a i2 b 2k +···+a in b nk

113 dari X 490

a ij b jk .

j=1

Cari Halaman

Contoh 2.12. Jika Kembali    

Layar Penuh

Hasil 2.5. Sifat-sifat operasi perkalian yang penting di antaranya ada-

114 dari 490

lah:

1. nonkomutatif, yaitu secara umum AB 6= BA; Cari Halaman

2. assosiatif, yaitu (AB)C = A(BC);

Kembali

3. distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu

Layar Penuh

A(B + C) = AB + AC.

tasikan dengan |A| atau det(A), adalah fungsi skalar yang didefinisi- kan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasil kali unsur- un-

sur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsur-unsur yang

Judul

sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi

a i,i+1 +···+a 1n

a i+1,i −

a n+1−i,i −···

115 dari n−1 490 Y

−a 11 a n+2−i,i .

i=2 Cari Halaman

Definisi 2.18. Matriks yang determinannya tidak nol disebut ma- triks nonsinguler, sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut Kembali

matriks singuler.

Layar Penuh

Contoh 2.13.

Judul

Definisi 2.19. Teras(trace) suatu matriks bujur sangkar adalah jum-

◭◭ ◭ ◮ lah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr(A) = ◮◮

Cari Halaman

maka tr(A) = −1 + 3 + 6 = 8. Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers ada-

Layar Penuh

lah sebagai berikut.

−b a Contoh 2.15. Bertikut adalahcontoh matriks bujur sangkar berordo

2 × 2 dan inversnya Judul

117 dari A 490 = =

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh Layar Penuh

◭◭ ◭ ◮ kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut. ◮◮ Definisi 2.21. Rank suatu matriks adalah bilangan yang menun-

118 dari 490

jukkan banyaknya maksimum kolom yang saling bebas linier. Definisi 2.22. Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika Cari Halaman

ranknya sama dengan banyaknya kolom

Kembali

Hasil 2.7. Suatu matriks bujur sangkar akan nonsingular jika mem- punyai rank penuh, sebaliknya akan singular jika tidak mempuyai rank

Layar Penuh

penuh.

karena kolom pertama merupakan 3× kolom ketiga dan karenanya Judul

B adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaian konkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuk

sistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencari apakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidak

119 dari 490

penyelesaian tidak nol. Hasil 2.8. Jika matriks A Cari Halaman

np bukan matriks bujur sangkar (n < p),

paling tidak ada (p − n) kolom yang dapat dinyatakan sebagai kombi- nasi linier dari kolom lainnya. Dengan demikian maka A tidak akan Kembali

mempunyai rank penuh.

Layar Penuh

Contoh 2.17.

ak 1 +b+k 2 + ck 3 +d k 4 = 0, dengan k j adalah kolom ke j, mempun- yai penyelesaian dimana sekalar a, b, c, d tidak semuanya sama dengan

Judul

nol. ◭◭ ◭ ◮ 3a + 4b + c + d = 0 (1) ◮◮

Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan Cari Halaman 2b + −4c = 0 (4) Kembali

2a + 5b + c = 0 (5)

Layar Penuh Layar Penuh

Judul

Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan meng- hasilkan

Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat pa-

Cari Halaman

rametrik, salah satu diantaranya adalah untuk c = 2, maka diperoleh

b = 4, a = −11, d = 15.

Kembali

Dalam statistika, jika X adalah matriks desain yang kolomnya menunjukkan peubah-peubah penjelas dan barisnya merupakan sam-

Layar Penuh

pel, untuk menjamin agar X mempunyai rank penuh, maka banyaknya

Cari Halaman

Kembali

Layar Penuh

 a 21 a 22 ···a n2 x=  x 

···a nn

Judul

◭◭ ◭ ◮ maka Q = x ◮◮ Ax = x

j a ij x i ; merupakan matriks 1 ×1

i=1

j=1

(skalar) yang disebut matriks bentuk kuadrat .

123 dari 490

Matriks A pada umumnya merupakan matriks simetrik, misal- nya matriks korelasi ataupun matriks ragam - koragamnya. Dalam Cari Halaman

statistika

Kembali