: Identitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat Maksimum/Minimum Fungsi Trigonometri
KP 4 : Identitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat Maksimum/Minimum Fungsi Trigonometri
A. Tujuan
Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta menggunakan sifat maksimum/minimum fungsi untuk penyelesaian masalah
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya - Menyederhanakan bentuk trigonometri - Menerapkan identitas trigonometri dalam penyelesaian masalah - Menjelaskan aturan sinus dan cosinus - Menggunakan sifat maksimum/minimum fungsi untuk penyelesaian masalah
C. Uraian Materi
1. Identitas Trigonometri
Seperti kita ketahui sebelumnya bahwa
°= √, °= ° = √ . Ini berakibat bahwa
Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya berlaku untuk sudut – sudut tertentu atau berlaku untuk sebarang sudut?
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
Perhatikan gambar berikut.
ry
Gambar 53 Segitiga siku – siku
Dari rumus perbandingan trigonometri diperoleh
� = �, � Akibatnya diperoleh,
Analog dengan cara yang sama diperoleh
Selanjutnya diperhatikan,
Akibatnya diperoleh
Perhatikan Gambar 53, dengan Dalil Pythagoras diperoleh
Bentuk di atas disebut identitas trigonometri.
Modul PKB Guru Matematika SMA
2. Aturan Sinus pada Segitiga Diperhatikan segitiga
berikut.
Gambar 54 Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut , diperoleh
= ℎ atau ℎ=∙
untuk sudut diperoleh
= ℎ atau ℎ=∙
Akibatnya diperoleh hubungan,
atau
Analog dengan cara tersebut diperoleh aturan Sinus, yaitu
Contoh Tentukan nilai .
Gambar 55 Segitiga lancip
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
Jawab : Dengan aturan Sinus,
3. Aturan Cosinus pada Segitiga Diperhatikan gambar berikut
Gambar 56 Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbadingan trigonometri pada segitiga , diperoleh
Selanjutnya , diperhatikan ∆
, diperoleh panjang
dan panjang
Modul PKB Guru Matematika SMA
Akibatnya, dengan Dalil Pythagoras diproleh =
Akibatnya diperoleh aturan Cosinus
Analog dengan cara yang sama diperoleh aturan Cosinus untuk sisi/sudut yang lainnya, yaitu
Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisinya.
Analog dengan cara yang sama diperoleh
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
Contoh soal:
Diketahui segitiga
= , dan = 5. Tentukan besar sudut .
, dengan panjang
4. Luas Segitiga
a. Diketahui dua sisi dan satu sudut pada sebuah segitiga) Perhatikan kembali Gambar 32. Panjang ℎ = . sin . Akibatnya,
Jadi, diperoleh luas segitiga
Catatan : sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh sisi – sisi yang panjangnya dan .
Selanjutnya analog dengan cara yang sama diperoleh rumus luas segitiga
Modul PKB Guru Matematika SMA
Contoh soal
Tentukan luas segitiga berikut.
Gambar 57 Segitiga dengan salah satu sudutnya ° Jawab
Diperhatikan bahwa, diketahui dua sisi, dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut, maka,
=∙ ∙ ∙ �in ° =∙ ∙ ∙
= Jadi, luas segitiga tersebut adalah 110 satuan luas.
b. Diketahui satu sisi dan dua sudut Diperhatikan kembali Gambar 32. Dari rumus aturan Sinus
Dengan rumus luas segitiga sebelumnya (yang diketahui dua sisi dan satu sudut) diperoleh
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
∙ + Ingat kembali bahwa :
i. Jumlah sudut dalam segitiga
°, jadi + + = . Akibatnya, =
ii. Dengan rumus sudut berelasi dengan
Selanjutnya, analog dengan cara yang sama didapat rumus luas segitiga
Contoh soal Tentukan luas segitiga
jika diketahui ∠= °, ∠ = °, dan =
Modul PKB Guru Matematika SMA
=√ Jadi luas segitiga
adalah
5. Formula Cosinus, Sinus, dan Tangent Sudut Rangkap
a. Bentuk
Dengan formula penjumlahan =
Jadi, =
b. Bentuk
Dengan formula penjumlahan
Jadi
Selanjutnya, mengingat,
maka diperoleh
dan
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
c. Bentuk tan Dengan formula penjumlahan
Contoh soal Jika
� = ,5, maka tentukan
Jawab. Diketahui
6. Mengubah Bentuk Perkalian ke Penjumlahan atau Selisih
Dari rumus penjumlahan dua sudut yang telah dibahas, kita dapat menurunkan menjadi rumus baru. Diperhatikan
Jadi diperoleh
− Selanjutnya, dengan cara yang sama diperoleh
Modul PKB Guru Matematika SMA
Contoh Hitunglah
7. Nilai Maksimum atau Minimum pada Fungsi Trigonometri Menurut identitas trigonometri jelas bahwa
Contoh Diberikan �=∙
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
Dari sini dapat dikatakan bahwa nilai maksimum � adalah 4 untuk � = ° dan nilai minimum � adalah (– 4) untuk � = – ° karena − °, ° ϵ[ −
°, °] dengan [−
°] adalah domain dari fungsi.
D. Aktivitas Pembelajaran
Aktivias pembelajaran di kelompokkan dalam dua kegiatan, yaitu kegiatan in-service learning (IN) dan on-service learning (ON). Kegiatan IN yang dimaksud adalah kegiatan yang dilakukan pada saat pelatihan, sedangkan kegiatan ON adalah kegiatan yang dilakukan setelah selesai pelatihan atau kegiatan yang dilaksanakan di tempat kerja masing-masing
KEGIATAN IN: LK. 30 : Pembuktian
Lengkapilah titik – titik di bawah ini! Perhatikan segiempat
berikut.
Akan dibuktikan,jika ∠
= �,maka Luas segiempat
adalah
Perhatikan segitiga PRS. Luas segitiga PRS sama dengan luas segitiga POS ditambah dengan luas segitiga ROS.
Modul PKB Guru Matematika SMA
Mencari luas segitiga POS.
Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut �, diperoleh
Selanjutnya mencari luas segitiga ROS. Perhatikan bahwa sudut POS dan sudut ROS saling berpelurus, maka
Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut
Ingat, bahwa +
, sehingga diperoleh
=⋯ Selanjutnya perhatikan segitiga PQR. Luas segitiga PQR sama dengan luas
ΔP
segitiga POQ ditambah dengan luas segitiga QOS.
Mencari luas segitiga POQ.
Perhatikan bahwa sudut POQ dan sudut ROS saling bertolak belakang, akibatnya
Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut
Mencari luas segitiga QOR.
Perhatikan bahwa sudut QOR dan sudut POS saling bertolak belakang, akibatnya
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut
Ingat, bahwa
= , sehingga diperoleh
ΔPQR =⋯
Selanjutnya, perhatikan bahwa luas segieempat PQRS sama dengan luas segitiga PRS ditambah dengan luas segitiga PQR.
PQRS = ΔPRS + ΔPQR =⋯ =⋯
Diperhatikan bahwa
, jadi
PQRS =⋯
KEGIATAN ON: LK. 31 : Penyusunan Soal HOT
Pelajari kembali uraian meteri dan pelajari juga buku atau sumber bacaan lain yang membicarakan tentang penyusunan soal yang terstandar maupun kategori HOT (High Order Thingking). Setelah itu buatlah soal yang terstandar dan soal kategori HOT berkaitan dengan identitas trigonometri serta sifat maksimum/minimum fungsi trigonoimetri.
Prosedur kerja dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.
1. Pelajari kisi-kisi yang dikeluarkan oleh Kementrian Pendidikan dan Kebudayan berkaitan dengan UN/USBN
Modul PKB Guru Matematika SMA
2. Buatlah kisi-kisi soal UN/USBN pada lingkup materi yang dipalajari sesuai format berikut. (Sesuaikan dengan kurikulum yang berlaku di sekolah anda)
No.
Bentuk Kompetensi Dasar
Bahan
Indikator Urut
3. Berdasarkan kisi-kisi diatas, buatlah soal UN/USBN pada lingkup materi yang dipelajari pada modul ini.
4. Kembangkan soal-soal yang sesuai dengan konsep HOTs.
5. Kembangkan soal Pilhan Ganda (PG)
6. Kembangkan soal uraian Format yang digunakan dapat memakai contoh berikut.
KARTU SOAL
Jenjang
: Sekolah Menengah Atas
Mata Pelajaran
: Pengetahuan dan Pemahaman
Materi : Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi Trigonometri
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
BAGIAN SOAL DISINI
Kunci Jawaban
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
E. Latihan
°, maka hitunglah
2 � sudut lancip, maka tentukan nilai dari
3. Pada segitiga
4. Dua kapal dan berjarak 5 . Kapal letaknya pada arah °
dari dan kapal ,
° dari . Jika kapal letaknya pada arah 5°
dari , maka tentukan jarak kapal dari kapal .
5. Hitunglah luas segitiga
jika diketahui ∠= °, = , dan
6. Diberikan segitiga
dengan
Hitunglah co� .
7. Hitunglah nilai dari
8. Diberikan fungsi
� untuk ° � °. Tentukan
nilai maksimum dan nilai minimum fungsi � tersebut.
9. Diberikan fungsi �=−
� untuk ° � °.. Cari nilai
maksimum dan nilai minimum fungsi � tersebut.
10. Diketahui fungsi �=
, untuk
°. Cari nilai
maksimum dan nilai minimum dari fungsi � tersebut.
Modul PKB Guru Matematika SMA
F. Rangkuman
• Identitas Trigonmetri
• Aturan Sinus pada Segitiga
• Aturan Cosinus
Sedangkan untuk menentukan besar sudut dalam segitiga
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
• Luas Segitiga
1. Diketahui dua sisi dan satu sudut pada sebuah segitiga
Catatan : sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh sisi – sisi yang panjangnya dan .
2. Diketahui satu sisi dan satu sudut
• Sifat Cosinus, Sinus, dan Tangen untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
• Formula Cosinus, Sinus dan Tangen SudutRangkap
− tan
Modul PKB Guru Matematika SMA
• Mengubah Bentuk Perkalian ke Penjumlahan
• Mengubah Bentuk Penjumlahan dan Selisih ke Perkalian
• Nilai Maksimum dan Minimum pada Fungsi Trigonometri
Untuk setiap sudut � berlaku
Selanjutnya, diberikan
� = ∙ co� � + ∙ �in �
pada suatu domain D. Misalkan adalah suatu sudut dengan ° ° sehingga
termuat di dalam domain maka nilai minimum dan nilai maksimum dari fungsi masing – masing adalah
− dan +
(−√ 2 + 2 ) dan √ 2 + 2 .
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus
Jumlah jawaban benar
× % Kriteria
Tingkat penguasaan =
90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup
< 70% = kurang
Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas
BAGIAN I KALKULUS
KP 1:
1. Jawab: Misalkan lim
� = dan juga lim → � = , maka akan berlaku untuk setiap > terdapat
2 sehingga berlaku | � − | < jika 2 < |� − | < dan |�−|< � jika < |� − | <
dan �
Selanjutnya, pilih = min { , 2 }, maka akan berlaku | − | = |[ − � + � − ]|
Dengan kenyataan | − | < untuk setiap maka | − | = yang berarti = . Jadi limit suatu fungsi itu ada maka pasti tunggal
2. Jawab:
2 < |� − | < dan
Setiap > terdapat dan 2 sehingga berlaku | � − | < jika
2 2 . Selanjutnya, pilih = min { , 2 }, maka akan berlaku
3. Jawab: Tidak harus. Contoh lim
→ √� − = , tetapi limit kiri tidak ada karena domain fungsinya adalah �
4. Jawab:
. si 2 . Karena untuk lim si 2 → = lim →
si 2
2 � → maka � → maka berlaku lim → =
Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas
5. Jawab: Andaikan lim
= . Maka kita dapat ambil = | | + > sehingga berlaku | − | < | | + jika < |�| < untuk suatu > . Sementara itu untuk |�| <
maka dipenuhi | | + < | |. Sehingga dengan memilih ∗ = min{ , | | + } maka berlaku
Terjadi suatu kontradiksi karena tidak mungkin | | + < | | + . Jadi pengandaian salah, yang berarti lim tidak ada
KP 2:
1. Jawab: Misalkan � = � maka
2. Jawab: Tidak pasti. Contoh = − dan = − , jelas bahwa − < − tetapi garis
singgung bergradien = − lebih datar
Modul PKB Guru Matematika SMA
3. Jawab: Salah satu contoh adalah � = |�|. Fungsi ini tidak mempunyai garis singgung di
� = , dengan sendirinya tidak ada gradien garis singgung di titik tersebut
4. Jawab: Misalkan = � maka � =
5. Jawab: Karena yang diminta adalah luas daerah di batasi hanya satu kurva, maka kita harus
berhati-hati terhadap posisi kurvanya. Dalam hal ini kita akan menghitung bagian- bagiannya yaitu
Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas
= Jadi luas daerah yang dimaksud adalah + 2 =
6. Jawab: Titik potong � = � + dan � = � 2 − adalah − , dan , . Jadi luas daerahnya adalah
BAGIAN 2 TIGONOMETRI KP 1:
° atau 2� , sudut keliling ° atau
3. a. sudut pusat
° atau 2�
° °− atau − 2 �
b. sudut pusat
, sudut keliling
a�ctan � = . Berarti tan = �. Akibatnya tan �
6. Misalkan
2 = 2 − + = a�ctan +
tan � . Terbukti
7. Misalkan co� = �, maka a�cco� � = dan juga berlaku �in
− =� Jadi dipenuhi a�c�in � =
− a�cco� �. Dari sini diperoleh a�cco� � =
− a�c�in �
Modul PKB Guru Matematika SMA
60 o
3. Grafik
Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas
8. f maks = √ dan f min = −√
9. f maks = + √5 dan f min = − √5
10. f maks =
dan f min =
Evaluasi
1. Pernyataan yang benar berkaitan dengan lim
� = adalah ....
a. jika � mendekati maka � mendekati
b. jika � mendekati maka � mendekati
c. jika � tidak mendekati maka � tidak mendekati
d. jika � tidak mendekati maka � mendekati
lim 2− adalah ....
2. Hasil dari
3. Nilai si lim −c s
4. Penulisan yang benar berkaitan dengan limit tak hingga adalah ....
a. lim →2 −2 =∞
b. lim tidak terdefinisi
c. lim tidak terdefinisi
d. lim → =∞
Hasil dari lim
Evaluasi
6. Pernyataan yang benar berkaitan dengan turunan fungsi adalah ....
a. konsep turunan fungsi tidak ada hubungannya dengan konsep limit fungsi
b. gradien garis singgung tidak ada hubungannya dengan turunan suatu fungsi
′ � = lim +ℎ − selalau ada jika
c. dalam kaitannya dengan turunan
� suatu fungsi kontinu
= lim +ℎ − jika limitnya
d. gradien garis singgung di titi adalah
ada
7. Perhatikan grafik di bawah ini
Gradien garis singgung paling besar nilainya di titik ...
8. Hasil dari ∫ � √� + � adalah ....
Modul PKB Guru Matematika SMA
9. Hasil dari ∫
co� � � adalah ....
10. Luas daerah yang dibatasi kurva −� 2 dan � − adalah ....
11. Hasil dari in
12. Bentuk cs ekuivalen dengan bentuk ....
°. Nilai minimum dan maksimum dari fungsi � adalah ....
13. Diketahui fungsi � = �in � + co� � untuk
Evaluasi
14. Diberikan segitiga
dengan ∠= °, =
, dan = .
Luas segitiga tersebut adalah ....
a. 12
b. 16
c. 24
d. 42
15. Diketahui fungsi �=
, untuk
°� °. Nilai
minimum dari fungsi � tersebut adalah ....
a. 1
b.
c.
d. √−
Penutup
Pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) merupakan keniscayaan bagi guru karena telah diamanatkan dalam undang-undang. Oleh karena itu pemerintah wajib menyediakan sarana atau wahana bagi guru untuk mengembangkan keprofesian dirinya, disamping guru juga harus secara aktif mencari dan mungkin menciptakan kegiatan dalam rangaka pengembangan keprofesiannya. Harapannya, mdul ini dapat digunakan untuk keduanya yaitu sebagai sarana fasilitasi PKB guru maupun sebagai bahan yang dapat dimanfaatkan guru untuk belajar terus secara mandiri.
Penyempurnaan modul ini akan terus diupayakan. Oleh karena itu saran dan masukan dari berbagai pihak sangat diharapkan untuk perbaikan di masa mendatang.
Penutup
Daftar Pustaka
[1] Andreescu, T., Gelca, M., 2009. Mathematical Olympiad Challenges Second
Edition, Boston : Birkhauser
[2] Ayres, Frank Jr., dan Moyer, Robert E., 1999. Schaum’s Outline of Theory and
Problem in Trigonometry. New York : Mc-Graw Hill Inc
[3] Gelfand, I. M. , Saul, M. , 2001.Trigonometry. Boston : Birkhauser
[4] Larsson, R. , Hostetler, R., 2007. Trigonometry 7 th Edition. Boston : Houghton
Mifflin Company
[5] Paul A. Foerester. 2005. Calculus: Concepts and Applications, California: Key
Curriculum Press
[6] Robert Wrede & Murray Spiegel. 2010. Advanced Calculus 3 rd . New York:
McGraw-Hill Companies
[7] Ron Larson. 2006. Calculus 3 rd . California: Key Curriculum Press
[8] Ron Larson. 2006. Discovering Advanced Algebra: An Investigation Approach.
California: Key Curriculum Press
[9] Silverman, R.A. 1985. Calculus with Analytic Geometry. New Jersey : Prentice –
Hall Inc
[10] Sukino. 2007. Matematika untuk SMA kelas X 1B. Jakarta : Erlangga
[11] Sukino. 2007. Matematika untuk SMA kelas XI 2A. Jakarta : Erlangga
Daftar Pustaka
Glosarium
A. Bagian Kalkulus:
Definisi Formal
Definisi formal adalah definisi yang dalam penyajiannya menggunakan simbol dan ekspresi matematika
Fungsi Gradien Garis Singgung
Diberikan fungsi � . Turunan dari � dilambangkan dengan ′ � adalah hasil dari
jika limit tersebut ada. Karena
pada hakekatnya adalah suatu nilai
gradien garis singgung fungsi di �, maka ′ � dapat dipahami sebagai fungsi gradien garis singung dari . Berkaitan dengan notasi, ada beberapa literatur menyajikan
′ � sebagai [ � ]′ atau
Kontinu
Dalam bahasa sederhana, kontinu berarti tidak putus. Sedangkan pengertian dalam fungsi sebagai berikut. Fungsi � dikatakan kontinu di jika lim
� dan
dua-duanya ada dan berlaku lim
Mendekati
Mendekati disini dimaknai menuju sampai sedekatnya tetapi tidak sampai sama dengan yang dituju.
Substitusi
Substitusi sama arti dengan menggantikan atau memasukkan. Misalnya substitusi � = + ke + � = 5 berarti mengganti � dengan + .
Glosarium
Modul PKB Guru Matematika SMA
B. Bagian Trigonometri
Asimtot : Asimtot dari suatu fungsi : → adalah garis yang tidak pernah dipotong oleh fungsi
Derajat : Salah satu ukuran sudut yang dinotasikan
dengan ° " yang memenuhi ° =
putaran
Fungsi bijektif : Diberikan fungsi : → . Fungsi f disebut fungsi bijektif jika memenuhi dua kondisi yaitu
1. Jika
maka =
2. Untuk setiap
∈ maka terdapat ∈
sedemikian sehingga =
Fungsi periodik : Fungsi : → disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real positif sedemikian sehingga
�+ = � , untuk setiap � ∈
Fungsi invers : Diberikan fungsi : → . Fungsi − disebut fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika
) = dan − ( � ) = � , untuk setiap � ∈ , dan untuk setiap ∈
Juring : Daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua
jari – jari dan sebuah busur
Sistem koordinat Cartesius : Suatu sistem koordinat yang menggunakan dua garis lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana dua garis yang dimaksud adalah sumbu � dan sumbu
, serta perpotongan kedua titik itu adalah titik asal. Sistem koordinat ini juga bisa digunakan untuk koordinat 3 dimensi ( �, , )
Sistem koordinat polar
: Sistem koordinat polar adalah sistem
koordinat dua dimensi yang terdiri dari satu titik tetap , yang disebut titik asal dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal , yang disebut sumbu polar
Radian : Salah satu ukuran sudut yang dinotasikan
dengan " dan memenuhi ≈5,°
Sudut : Perputaran suatu garis tertentu ke garis tertentu lainnya terhadap pusat putaran.
Glosarium
Trigonometri
: Salah satu cabang ilmu pengetahuan yang
mengkaji tentang sudut dan fungsinya
Lampiran 1
Jawaban Evaluasi
Lampiran
Lampiran 2
I. Daftar Rumus dan Sifat Turunan
10. ^� = ln
11. ln |�| =
12. lo� � =
13. �in � = co� �
14. co� � = − �in �
15. tan � = ��c 2 �
16. c�c � = − c�c � cot �
17. ��c � = ��c � tan �
18. cot � = − c�c 2 �
19. �in − �=
20. co� − �=
Modul PKB Guru Matematika SMA
21. tan − �=
22. c�c − �=−
23. ��c − �=
24. cot − �=−
25. �inh � = co�h �
26. co�h � = �inh �
27. tanh � = ��ch 2 �
28. c�ch � = − c�ch � coth �
29. ��ch � = − ��ch � tanh �
30. coth � = − c�ch 2 �
31. �inh − �=
32. co�h − �=
33. tanh − �=
34. c�ch − �=−
35. ��ch − �=−
II. Daftar Rumus dan Hasil Integral
Bentuk Dasar
Lampiran
Modul PKB Guru Matematika SMA
Bentuk √+,>
Lampiran
Bentuk √−,>
Modul PKB Guru Matematika SMA
Bentuk √−,>
Lampiran
Bentuk +
Modul PKB Guru Matematika SMA
Bentuk Trigonometri
Lampiran
Modul PKB Guru Matematika SMA
Lampiran
Invers Trigonometri
Modul PKB Guru Matematika SMA
Eksponen dan Logaritma
Bentuk Hiperbolik
Lampiran
Bentuk √
Modul PKB Guru Matematika SMA
116.
117.
118.
119.
120.
177