: Identitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat Maksimum/Minimum Fungsi Trigonometri

KP 4 : Identitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat Maksimum/Minimum Fungsi Trigonometri

A. Tujuan

Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta menggunakan sifat maksimum/minimum fungsi untuk penyelesaian masalah

B. Indikator Pencapaian Kompetensi

- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya - Menyederhanakan bentuk trigonometri - Menerapkan identitas trigonometri dalam penyelesaian masalah - Menjelaskan aturan sinus dan cosinus - Menggunakan sifat maksimum/minimum fungsi untuk penyelesaian masalah

C. Uraian Materi

1. Identitas Trigonometri

Seperti kita ketahui sebelumnya bahwa

°= √, °= ° = √ . Ini berakibat bahwa

Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya berlaku untuk sudut – sudut tertentu atau berlaku untuk sebarang sudut?

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

Perhatikan gambar berikut.

ry

Gambar 53 Segitiga siku – siku

Dari rumus perbandingan trigonometri diperoleh

� = �, � Akibatnya diperoleh,

Analog dengan cara yang sama diperoleh

Selanjutnya diperhatikan,

Akibatnya diperoleh

Perhatikan Gambar 53, dengan Dalil Pythagoras diperoleh

Bentuk di atas disebut identitas trigonometri.

Modul PKB Guru Matematika SMA

2. Aturan Sinus pada Segitiga Diperhatikan segitiga

berikut.

Gambar 54 Segitiga ABC dengan tinggi h

Dengan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut , diperoleh

= ℎ atau ℎ=∙

untuk sudut diperoleh

= ℎ atau ℎ=∙

Akibatnya diperoleh hubungan,

atau

Analog dengan cara tersebut diperoleh aturan Sinus, yaitu

Contoh Tentukan nilai .

Gambar 55 Segitiga lancip

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

Jawab : Dengan aturan Sinus,

3. Aturan Cosinus pada Segitiga Diperhatikan gambar berikut

Gambar 56 Segitiga ABC dengan tinggi h

Dengan rumus perbadingan trigonometri pada segitiga , diperoleh

Selanjutnya , diperhatikan ∆

, diperoleh panjang

dan panjang

Modul PKB Guru Matematika SMA

Akibatnya, dengan Dalil Pythagoras diproleh =

Akibatnya diperoleh aturan Cosinus

Analog dengan cara yang sama diperoleh aturan Cosinus untuk sisi/sudut yang lainnya, yaitu

Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisinya.

Analog dengan cara yang sama diperoleh

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

Contoh soal:

Diketahui segitiga

= , dan = 5. Tentukan besar sudut .

, dengan panjang

4. Luas Segitiga

a. Diketahui dua sisi dan satu sudut pada sebuah segitiga) Perhatikan kembali Gambar 32. Panjang ℎ = . sin . Akibatnya,

Jadi, diperoleh luas segitiga

Catatan : sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh sisi – sisi yang panjangnya dan .

Selanjutnya analog dengan cara yang sama diperoleh rumus luas segitiga

Modul PKB Guru Matematika SMA

Contoh soal

Tentukan luas segitiga berikut.

Gambar 57 Segitiga dengan salah satu sudutnya ° Jawab

Diperhatikan bahwa, diketahui dua sisi, dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut, maka,

=∙ ∙ ∙ �in ° =∙ ∙ ∙

= Jadi, luas segitiga tersebut adalah 110 satuan luas.

b. Diketahui satu sisi dan dua sudut Diperhatikan kembali Gambar 32. Dari rumus aturan Sinus

Dengan rumus luas segitiga sebelumnya (yang diketahui dua sisi dan satu sudut) diperoleh

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

∙ + Ingat kembali bahwa :

i. Jumlah sudut dalam segitiga

°, jadi + + = . Akibatnya, =

ii. Dengan rumus sudut berelasi dengan

Selanjutnya, analog dengan cara yang sama didapat rumus luas segitiga

Contoh soal Tentukan luas segitiga

jika diketahui ∠= °, ∠ = °, dan =

Modul PKB Guru Matematika SMA

=√ Jadi luas segitiga

adalah

5. Formula Cosinus, Sinus, dan Tangent Sudut Rangkap

a. Bentuk

Dengan formula penjumlahan =

Jadi, =

b. Bentuk

Dengan formula penjumlahan

Jadi

Selanjutnya, mengingat,

maka diperoleh

dan

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

c. Bentuk tan Dengan formula penjumlahan

Contoh soal Jika

� = ,5, maka tentukan

Jawab. Diketahui

6. Mengubah Bentuk Perkalian ke Penjumlahan atau Selisih

Dari rumus penjumlahan dua sudut yang telah dibahas, kita dapat menurunkan menjadi rumus baru. Diperhatikan

Jadi diperoleh

− Selanjutnya, dengan cara yang sama diperoleh

Modul PKB Guru Matematika SMA

Contoh Hitunglah

7. Nilai Maksimum atau Minimum pada Fungsi Trigonometri Menurut identitas trigonometri jelas bahwa

Contoh Diberikan �=∙

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

Dari sini dapat dikatakan bahwa nilai maksimum � adalah 4 untuk � = ° dan nilai minimum � adalah (– 4) untuk � = – ° karena − °, ° ϵ[ −

°, °] dengan [−

°] adalah domain dari fungsi.

D. Aktivitas Pembelajaran

Aktivias pembelajaran di kelompokkan dalam dua kegiatan, yaitu kegiatan in-service learning (IN) dan on-service learning (ON). Kegiatan IN yang dimaksud adalah kegiatan yang dilakukan pada saat pelatihan, sedangkan kegiatan ON adalah kegiatan yang dilakukan setelah selesai pelatihan atau kegiatan yang dilaksanakan di tempat kerja masing-masing

KEGIATAN IN: LK. 30 : Pembuktian

Lengkapilah titik – titik di bawah ini! Perhatikan segiempat

berikut.

Akan dibuktikan,jika ∠

= �,maka Luas segiempat

adalah

Perhatikan segitiga PRS. Luas segitiga PRS sama dengan luas segitiga POS ditambah dengan luas segitiga ROS.

Modul PKB Guru Matematika SMA

Mencari luas segitiga POS.

Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut �, diperoleh

Selanjutnya mencari luas segitiga ROS. Perhatikan bahwa sudut POS dan sudut ROS saling berpelurus, maka

Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut

Ingat, bahwa +

, sehingga diperoleh

=⋯ Selanjutnya perhatikan segitiga PQR. Luas segitiga PQR sama dengan luas

ΔP

segitiga POQ ditambah dengan luas segitiga QOS.

Mencari luas segitiga POQ.

Perhatikan bahwa sudut POQ dan sudut ROS saling bertolak belakang, akibatnya

Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut

Mencari luas segitiga QOR.

Perhatikan bahwa sudut QOR dan sudut POS saling bertolak belakang, akibatnya

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

Dengan rumus luas segitiga (diketahui dua sisi dan satu sudut) terhadap sudut

Ingat, bahwa

= , sehingga diperoleh

ΔPQR =⋯

Selanjutnya, perhatikan bahwa luas segieempat PQRS sama dengan luas segitiga PRS ditambah dengan luas segitiga PQR.

PQRS = ΔPRS + ΔPQR =⋯ =⋯

Diperhatikan bahwa

, jadi

PQRS =⋯

KEGIATAN ON: LK. 31 : Penyusunan Soal HOT

Pelajari kembali uraian meteri dan pelajari juga buku atau sumber bacaan lain yang membicarakan tentang penyusunan soal yang terstandar maupun kategori HOT (High Order Thingking). Setelah itu buatlah soal yang terstandar dan soal kategori HOT berkaitan dengan identitas trigonometri serta sifat maksimum/minimum fungsi trigonoimetri.

Prosedur kerja dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

1. Pelajari kisi-kisi yang dikeluarkan oleh Kementrian Pendidikan dan Kebudayan berkaitan dengan UN/USBN

Modul PKB Guru Matematika SMA

2. Buatlah kisi-kisi soal UN/USBN pada lingkup materi yang dipalajari sesuai format berikut. (Sesuaikan dengan kurikulum yang berlaku di sekolah anda)

No.

Bentuk Kompetensi Dasar

Bahan

Indikator Urut

3. Berdasarkan kisi-kisi diatas, buatlah soal UN/USBN pada lingkup materi yang dipelajari pada modul ini.

4. Kembangkan soal-soal yang sesuai dengan konsep HOTs.

5. Kembangkan soal Pilhan Ganda (PG)

6. Kembangkan soal uraian Format yang digunakan dapat memakai contoh berikut.

KARTU SOAL

Jenjang

: Sekolah Menengah Atas

Mata Pelajaran

: Pengetahuan dan Pemahaman

Materi : Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi Trigonometri

Bentuk Soal

: Pilihan Ganda

BAGIAN SOAL DISINI

Kunci Jawaban

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

E. Latihan

°, maka hitunglah

2 � sudut lancip, maka tentukan nilai dari

3. Pada segitiga

4. Dua kapal dan berjarak 5 . Kapal letaknya pada arah °

dari dan kapal ,

° dari . Jika kapal letaknya pada arah 5°

dari , maka tentukan jarak kapal dari kapal .

5. Hitunglah luas segitiga

jika diketahui ∠= °, = , dan

6. Diberikan segitiga

dengan

Hitunglah co� .

7. Hitunglah nilai dari

8. Diberikan fungsi

� untuk ° � °. Tentukan

nilai maksimum dan nilai minimum fungsi � tersebut.

9. Diberikan fungsi �=−

� untuk ° � °.. Cari nilai

maksimum dan nilai minimum fungsi � tersebut.

10. Diketahui fungsi �=

, untuk

°. Cari nilai

maksimum dan nilai minimum dari fungsi � tersebut.

Modul PKB Guru Matematika SMA

F. Rangkuman

• Identitas Trigonmetri

• Aturan Sinus pada Segitiga

• Aturan Cosinus

Sedangkan untuk menentukan besar sudut dalam segitiga

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

• Luas Segitiga

1. Diketahui dua sisi dan satu sudut pada sebuah segitiga

Catatan : sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh sisi – sisi yang panjangnya dan .

2. Diketahui satu sisi dan satu sudut

• Sifat Cosinus, Sinus, dan Tangen untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

• Formula Cosinus, Sinus dan Tangen SudutRangkap

− tan

Modul PKB Guru Matematika SMA

• Mengubah Bentuk Perkalian ke Penjumlahan

• Mengubah Bentuk Penjumlahan dan Selisih ke Perkalian

• Nilai Maksimum dan Minimum pada Fungsi Trigonometri

Untuk setiap sudut � berlaku

Selanjutnya, diberikan

� = ∙ co� � + ∙ �in �

pada suatu domain D. Misalkan adalah suatu sudut dengan ° ° sehingga

termuat di dalam domain maka nilai minimum dan nilai maksimum dari fungsi masing – masing adalah

− dan +

(−√ 2 + 2 ) dan √ 2 + 2 .

Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 4

G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.

Rumus

Jumlah jawaban benar

× % Kriteria

Tingkat penguasaan =

90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup

< 70% = kurang

Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas

BAGIAN I KALKULUS

KP 1:

1. Jawab: Misalkan lim

� = dan juga lim → � = , maka akan berlaku untuk setiap > terdapat

2 sehingga berlaku | � − | < jika 2 < |� − | < dan |�−|< � jika < |� − | <

dan �

Selanjutnya, pilih = min { , 2 }, maka akan berlaku | − | = |[ − � + � − ]|

Dengan kenyataan | − | < untuk setiap maka | − | = yang berarti = . Jadi limit suatu fungsi itu ada maka pasti tunggal

2. Jawab:

2 < |� − | < dan

Setiap > terdapat dan 2 sehingga berlaku | � − | < jika

2 2 . Selanjutnya, pilih = min { , 2 }, maka akan berlaku

3. Jawab: Tidak harus. Contoh lim

→ √� − = , tetapi limit kiri tidak ada karena domain fungsinya adalah �

4. Jawab:

. si 2 . Karena untuk lim si 2 → = lim →

si 2

2 � → maka � → maka berlaku lim → =

Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas

5. Jawab: Andaikan lim

= . Maka kita dapat ambil = | | + > sehingga berlaku | − | < | | + jika < |�| < untuk suatu > . Sementara itu untuk |�| <

maka dipenuhi | | + < | |. Sehingga dengan memilih ∗ = min{ , | | + } maka berlaku

Terjadi suatu kontradiksi karena tidak mungkin | | + < | | + . Jadi pengandaian salah, yang berarti lim tidak ada

KP 2:

1. Jawab: Misalkan � = � maka

2. Jawab: Tidak pasti. Contoh = − dan = − , jelas bahwa − < − tetapi garis

singgung bergradien = − lebih datar

Modul PKB Guru Matematika SMA

3. Jawab: Salah satu contoh adalah � = |�|. Fungsi ini tidak mempunyai garis singgung di

� = , dengan sendirinya tidak ada gradien garis singgung di titik tersebut

4. Jawab: Misalkan = � maka � =

5. Jawab: Karena yang diminta adalah luas daerah di batasi hanya satu kurva, maka kita harus

berhati-hati terhadap posisi kurvanya. Dalam hal ini kita akan menghitung bagian- bagiannya yaitu

Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas

= Jadi luas daerah yang dimaksud adalah + 2 =

6. Jawab: Titik potong � = � + dan � = � 2 − adalah − , dan , . Jadi luas daerahnya adalah

BAGIAN 2 TIGONOMETRI KP 1:

° atau 2� , sudut keliling ° atau

3. a. sudut pusat

° atau 2�

° °− atau − 2 �

b. sudut pusat

, sudut keliling

a�ctan � = . Berarti tan = �. Akibatnya tan �

6. Misalkan

2 = 2 − + = a�ctan +

tan � . Terbukti

7. Misalkan co� = �, maka a�cco� � = dan juga berlaku �in

− =� Jadi dipenuhi a�c�in � =

− a�cco� �. Dari sini diperoleh a�cco� � =

− a�c�in �

Modul PKB Guru Matematika SMA

60 o

3. Grafik

Kunci Jawaban Latihan/Kasus/Tugas

8. f maks = √ dan f min = −√

9. f maks = + √5 dan f min = − √5

10. f maks =

dan f min =

Evaluasi

1. Pernyataan yang benar berkaitan dengan lim

� = adalah ....

a. jika � mendekati maka � mendekati

b. jika � mendekati maka � mendekati

c. jika � tidak mendekati maka � tidak mendekati

d. jika � tidak mendekati maka � mendekati

lim 2− adalah ....

2. Hasil dari

3. Nilai si lim −c s

4. Penulisan yang benar berkaitan dengan limit tak hingga adalah ....

a. lim →2 −2 =∞

b. lim tidak terdefinisi

c. lim tidak terdefinisi

d. lim → =∞

Hasil dari lim

Evaluasi

6. Pernyataan yang benar berkaitan dengan turunan fungsi adalah ....

a. konsep turunan fungsi tidak ada hubungannya dengan konsep limit fungsi

b. gradien garis singgung tidak ada hubungannya dengan turunan suatu fungsi

′ � = lim +ℎ − selalau ada jika

c. dalam kaitannya dengan turunan

� suatu fungsi kontinu

= lim +ℎ − jika limitnya

d. gradien garis singgung di titi adalah

ada

7. Perhatikan grafik di bawah ini

Gradien garis singgung paling besar nilainya di titik ...

8. Hasil dari ∫ � √� + � adalah ....

Modul PKB Guru Matematika SMA

9. Hasil dari ∫

co� � � adalah ....

10. Luas daerah yang dibatasi kurva −� 2 dan � − adalah ....

11. Hasil dari in

12. Bentuk cs ekuivalen dengan bentuk ....

°. Nilai minimum dan maksimum dari fungsi � adalah ....

13. Diketahui fungsi � = �in � + co� � untuk

Evaluasi

14. Diberikan segitiga

dengan ∠= °, =

, dan = .

Luas segitiga tersebut adalah ....

a. 12

b. 16

c. 24

d. 42

15. Diketahui fungsi �=

, untuk

°� °. Nilai

minimum dari fungsi � tersebut adalah ....

a. 1

b.

c.

d. √−

Penutup

Pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) merupakan keniscayaan bagi guru karena telah diamanatkan dalam undang-undang. Oleh karena itu pemerintah wajib menyediakan sarana atau wahana bagi guru untuk mengembangkan keprofesian dirinya, disamping guru juga harus secara aktif mencari dan mungkin menciptakan kegiatan dalam rangaka pengembangan keprofesiannya. Harapannya, mdul ini dapat digunakan untuk keduanya yaitu sebagai sarana fasilitasi PKB guru maupun sebagai bahan yang dapat dimanfaatkan guru untuk belajar terus secara mandiri.

Penyempurnaan modul ini akan terus diupayakan. Oleh karena itu saran dan masukan dari berbagai pihak sangat diharapkan untuk perbaikan di masa mendatang.

Penutup

Daftar Pustaka

[1] Andreescu, T., Gelca, M., 2009. Mathematical Olympiad Challenges Second

Edition, Boston : Birkhauser

[2] Ayres, Frank Jr., dan Moyer, Robert E., 1999. Schaum’s Outline of Theory and

Problem in Trigonometry. New York : Mc-Graw Hill Inc

[3] Gelfand, I. M. , Saul, M. , 2001.Trigonometry. Boston : Birkhauser

[4] Larsson, R. , Hostetler, R., 2007. Trigonometry 7 th Edition. Boston : Houghton

Mifflin Company

[5] Paul A. Foerester. 2005. Calculus: Concepts and Applications, California: Key

Curriculum Press

[6] Robert Wrede & Murray Spiegel. 2010. Advanced Calculus 3 rd . New York:

McGraw-Hill Companies

[7] Ron Larson. 2006. Calculus 3 rd . California: Key Curriculum Press

[8] Ron Larson. 2006. Discovering Advanced Algebra: An Investigation Approach.

California: Key Curriculum Press

[9] Silverman, R.A. 1985. Calculus with Analytic Geometry. New Jersey : Prentice –

Hall Inc

[10] Sukino. 2007. Matematika untuk SMA kelas X 1B. Jakarta : Erlangga

[11] Sukino. 2007. Matematika untuk SMA kelas XI 2A. Jakarta : Erlangga

Daftar Pustaka

Glosarium

A. Bagian Kalkulus:

Definisi Formal

Definisi formal adalah definisi yang dalam penyajiannya menggunakan simbol dan ekspresi matematika

Fungsi Gradien Garis Singgung

Diberikan fungsi � . Turunan dari � dilambangkan dengan ′ � adalah hasil dari

jika limit tersebut ada. Karena

pada hakekatnya adalah suatu nilai

gradien garis singgung fungsi di �, maka ′ � dapat dipahami sebagai fungsi gradien garis singung dari . Berkaitan dengan notasi, ada beberapa literatur menyajikan

′ � sebagai [ � ]′ atau

Kontinu

Dalam bahasa sederhana, kontinu berarti tidak putus. Sedangkan pengertian dalam fungsi sebagai berikut. Fungsi � dikatakan kontinu di jika lim

� dan

dua-duanya ada dan berlaku lim

Mendekati

Mendekati disini dimaknai menuju sampai sedekatnya tetapi tidak sampai sama dengan yang dituju.

Substitusi

Substitusi sama arti dengan menggantikan atau memasukkan. Misalnya substitusi � = + ke + � = 5 berarti mengganti � dengan + .

Glosarium

Modul PKB Guru Matematika SMA

B. Bagian Trigonometri

Asimtot : Asimtot dari suatu fungsi : → adalah garis yang tidak pernah dipotong oleh fungsi

Derajat : Salah satu ukuran sudut yang dinotasikan

dengan ° " yang memenuhi ° =

putaran

Fungsi bijektif : Diberikan fungsi : → . Fungsi f disebut fungsi bijektif jika memenuhi dua kondisi yaitu

1. Jika

maka =

2. Untuk setiap

∈ maka terdapat ∈

sedemikian sehingga =

Fungsi periodik : Fungsi : → disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real positif sedemikian sehingga

�+ = � , untuk setiap � ∈

Fungsi invers : Diberikan fungsi : → . Fungsi − disebut fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika

) = dan − ( � ) = � , untuk setiap � ∈ , dan untuk setiap ∈

Juring : Daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua

jari – jari dan sebuah busur

Sistem koordinat Cartesius : Suatu sistem koordinat yang menggunakan dua garis lurus yang saling tegak lurus dan berarah dalam menentukan kedudukan suatu titik pada bidang. Di mana dua garis yang dimaksud adalah sumbu � dan sumbu

, serta perpotongan kedua titik itu adalah titik asal. Sistem koordinat ini juga bisa digunakan untuk koordinat 3 dimensi ( �, , )

Sistem koordinat polar

: Sistem koordinat polar adalah sistem

koordinat dua dimensi yang terdiri dari satu titik tetap , yang disebut titik asal dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal , yang disebut sumbu polar

Radian : Salah satu ukuran sudut yang dinotasikan

dengan " dan memenuhi ≈5,°

Sudut : Perputaran suatu garis tertentu ke garis tertentu lainnya terhadap pusat putaran.

Glosarium

Trigonometri

: Salah satu cabang ilmu pengetahuan yang

mengkaji tentang sudut dan fungsinya

Lampiran 1

Jawaban Evaluasi

Lampiran

Lampiran 2

I. Daftar Rumus dan Sifat Turunan

10. ^� = ln

11. ln |�| =

12. lo� � =

13. �in � = co� �

14. co� � = − �in �

15. tan � = ��c 2 �

16. c�c � = − c�c � cot �

17. ��c � = ��c � tan �

18. cot � = − c�c 2 �

19. �in − �=

20. co� − �=

Modul PKB Guru Matematika SMA

21. tan − �=

22. c�c − �=−

23. ��c − �=

24. cot − �=−

25. �inh � = co�h �

26. co�h � = �inh �

27. tanh � = ��ch 2 �

28. c�ch � = − c�ch � coth �

29. ��ch � = − ��ch � tanh �

30. coth � = − c�ch 2 �

31. �inh − �=

32. co�h − �=

33. tanh − �=

34. c�ch − �=−

35. ��ch − �=−

II. Daftar Rumus dan Hasil Integral

Bentuk Dasar

Lampiran

Modul PKB Guru Matematika SMA

Bentuk √+,>

Lampiran

Bentuk √−,>

Modul PKB Guru Matematika SMA

Bentuk √−,>

Lampiran

Bentuk +

Modul PKB Guru Matematika SMA

Bentuk Trigonometri

Lampiran

Modul PKB Guru Matematika SMA

Lampiran

Invers Trigonometri

Modul PKB Guru Matematika SMA

Eksponen dan Logaritma

Bentuk Hiperbolik

Lampiran

Bentuk √

Modul PKB Guru Matematika SMA

116.

117.

118.

119.

120.

177