: Fungsi Trigonometri, Sudut Berelasi, dan Invers Fungsi Trigonometri
KP 2 : Fungsi Trigonometri, Sudut Berelasi, dan Invers Fungsi Trigonometri
A. Tujuan
Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan konsep enam perbandingan trigonometri, fungsi trigonometri, dan menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi serta dapat menjelaskan konsep invers dari fungsi trigonometri
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Peserta diklat atau pembaca dapat - menjelaskan konsep enam perbandingan trigonometri (fungsi trigonometri) - menghitung nilai perbandingan trigonometri - menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran
dan sudut-sudut berelasi - mengidentifikasi grafik fungsi trigonometri - menjelaskan konsep invers fungsi trigonometri.
C. Uraian Materi
Pada saat kita jalan-jalan ke hutan, kita akan melihat banyak pohon. Pernahkah kita berfikir, berapa tinggi pohon tersebut?.
Gambar 28 Pengamatan sudut pada pohon
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
Lebih lanjut, dapatkah kita mengetahui tinggi pohon tanpa harus mengukurnya langsung? Ketika kita melihat pucuk pohon tersebut, maka dapat kita bayangkan sebuah segitiga siku-siku terbentuk disana, yaitu antara kita, pucuk pohon, dan arah horizontal kita dengan pohon tersebut. Ternyata, tanpa mengukur langsung, kita dapat menentukan tinggi pohon dengan segitiga yang terbentuk dari pohon dan bayangannya. Lebih lanjut, kita akan bahas dalam materi trigonometri berikut, yang selanjutnya bisa kita aplikasikan salah satunya untuk menghitung tinggi pohon.
1. Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut.
Gambar 29 Segitiga siku-siku yang sebangun
Jelas bahwa ∆ABC sebangun dengan ∆ADE, dan ∆AFG. Dari sini berakibat bahwa
Karena perbandingan di atas tetap maka nilai perbandingan di atas hanya bergantung pada ∠
. Dengan kata lain, perbandingan di atas adalah fungsi dari ∠
, bukan fungsi panjang segitiga. Dari uraian di atas, berikut didefinisikan fungsi sinus ∠
atau sin ∠
(dalam hal ini ∠
terletak di kuadran I).
Analog perbandingan
Modul PKB Guru Matematika SMA
didefinisikan sebagai
atau
dan perbandingan
didefinisikan sebagai
atau
Selanjutnya didefinisikan juga fungsi
atau
atau ∠ , dan
atau
2. Sudut Istimewa
a. Sudut 0° Pandang segitiga ABC siku – siku di B dan titik C berimpit dengan titik B. Ini berarti
∠ = ° dan BC = 0, serta AB = AC. Ini berakibat
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
b. Sudut 30°
Perhatikan segitiga siku-siku , diketahui ∠ = °, dan panjang =.
2a 30 30 2a
a C’ a B C
Gambar 30 Segitiga samasisi
maka ∠ = °. Selanjutnya, segitiga
, diperoleh segitiga sama sisi
dicerminkan terhadap garis
= . Perhatikan kembali segitiga siku-siku
’ dengan panjang sisi . Akibatnya panjang sisi
= , dengan Dalil Pythagoras diperoleh
sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.
Modul PKB Guru Matematika SMA
c. Sudut 45°
Diperhatikan segitiga siku-siku sama kaki berikut.
Gambar 31 Segitiga samakaki
Diperoleh sudut dan sama dengan °. Diketahui panjang = , maka =. Dengan Dalil Pythagoras, diperoleh
sehingga, perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut. • sin ° = = √ = √ =√
d. Sudut 60°
Dari penjelasan pada sudut °, dapat ditentukan pula perbandingan trigonometri untuk sudut
°. Diperhatikan Gambar 8, diperoleh perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
e. Sudut ° Dengan cara yang sama dengan sudut °, dalam sistem kuadran sudut ° berada
pada sumbu
= , � = , dan = , untuk ≠ . Perbandingan trigonometri untuk sudut ° adalah sebagai berikut.
3. Sudut Berelasi Dalam sub bab ini berisi cara untuk menentukan atau menghitung nilai-nilai dari
keenam perbandingan trigonometri untuk suatu sudut A yang berada di kuadran I,
II, III, maupun IV. Hal ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau direlasikan dengan suatu sudut � di kuadran I (dengan < � < ° ). Sebagai contoh sudut A=120 ° berelasi dengan sudut � = ° atau � = °, karena = ° +
° atau = ° − °. Relasi dari sudut-sudut ini dalam trigonometri dapat dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan (refleksi) maupun
perputaran (rotasi).
Modul PKB Guru Matematika SMA
a. Sudut berelasi di kuadran I Relasi sudut � dengan
° − � , dengan < � < °
Perhatikan gambar berikut.
a A’(b,a)
y=x
(90 - ) b A(a,b)
Gambar 32 Sudut berelasi di kuadran I
Titik , dicerminkan terhadap garis = � maka diperoleh :
i. Bayangan titik , yaitu
ii. ∠ = �, maka ∠
iii. Panjang =
Berdasarkan gambar tersebut, maka diperoleh:
Tabel 7
Untuk , dan sudut �
Untuk
, dan sudut
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut °−�, yaitu :
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan °−�, berubah menjadi
berubah menjadi , berubah menjadi
berubah menjadi
berubah menjadi
, dan
berubah menjadi .
b. Sudut berelasi di kuadran II Relasi sudut-sudut dalam kuadran II meliputi relasi antara sudut � dengan
°+� atau � dengan
° − � , dengan < � < °.
Relasi sudut � dengan sudut
Perhatikan gambar berikut
A’(-b,a) a
A(a,b)
-b
Gambar 33 Sudut berelasi di kuadran II
Modul PKB Guru Matematika SMA
Diketahui titik , , dengan panjang
, diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh
= , dan ∠
= �. Titik
i. Bayangan titik ∶ −,
ii. ∠ =
iii. Panjang
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan °+�
Tabel 8
Untuk , dan sudut �
Untuk
− , dan sudut
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut °+�, yaitu :
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan °+�, berubah menjadi
berubah menjadi , berubah menjadi
berubah menjadi
berubah menjadi . Selanjutnya karena ° + � berada di kuadran II, maka
berubah menjadi
, dan
bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
dan
c. Relasi sudut � dengan sudut
Perhatikan gambar berikut
A’(-a,b)
(180 - )
b A(a,b)
-a
°−� Diketahui titik
Gambar 34 Relasi sudut � dengan sudut
= �. Titik , dicerminkan terhadap sumbu , maka diperoleh :
, , dengan panjang
= , dan sudut
i. Bayangan titik ∶ −,
ii. ∠
iii. Panjang
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan °−�
Tabel 9
Untuk
, dan sudut � Untuk − , dan sudut °−�
Modul PKB Guru Matematika SMA
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut °−�, yaitu :
d. Sudut berelasi di kuadran III Relasi sudut-sudut dalam kuadran III meliputi relasi antara sudut � dengan
°+ � atau � dengan
° − � , dengan < � < °.
e. Relasi sudut � dengan (180°+�). Perhatikan gambar berikut
y (180 + )
b A(a,b)
-a
a x -b
A’(-a,-b)
Gambar 35 Sudut berelasi di kuadran III
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
Diketahui titik
= �. Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh
, , dengan panjang
= , dan sudut
°, diperoleh
i. Bayangan titik ∶ −,−.
ii. ∠
iii. Panjang
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan °+�.
Tabel 10
Untuk
, dan sudut � Untuk − , − dan sudut °+�
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
Modul PKB Guru Matematika SMA
f. Relasi sudut � dengan sudut
Perhatikan gambar berikut
a A’(b,a)
y=x
(270 - ) b A(a,b)
-b
-a A”(-b,-a)
Gambar 36 Relasi sudut � dengan sudut
Diketahui titik , , dengan panjang
= �. Titik , dicerminkan terhadap garis = �, kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh
= , dan ∠
°, diperoleh
i. Bayangan akhir titik ∶
iii. Panjang
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan sudut
Tabel 11
Untuk , dan sudut �
Untuk
− , − dan sudut
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
°−�, yaitu
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan °−�, berubah menjadi
berubah menjadi , berubah menjadi
berubah menjadi
berubah menjadi . Selanjutnya karena
berubah menjadi
, dan
bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
° − � berada di kuadran III, maka
dan
g. Sudut berelasi di kuadran IV Relasi sudut-sudut dalam kuadran IV meliputi relasi antara sudut � dengan
°+ � , � dengan
° − � , atau � dengan −� dengan < � < °.
h. Relasi sudut � dengan (270°+�). Perhatikan gambar berikut
(270 + ) b A(a,b)
-a A’(b,-a)
Gambar 37 Sudut berelasi di kuadran IV
Modul PKB Guru Matematika SMA
Diketahui titik
= �. Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh
, , dengan panjang
= , dan ∠
°, diperoleh
i. Bayangan titik ∶
iii. Panjang
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan
, dan sudut �
Untuk
, − dan sudut
°+�=− Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut �
dengan sudut
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan °+�, berubah menjadi
berubah menjadi , berubah menjadi
berubah menjadi
berubah menjadi . Selanjutnya karena
berubah menjadi
, dan
bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
° + � berada di kuadran IV, maka
dan
i. Relasi sudut � dengan sudut
Perhatikan gambar berikut
b A(a,b) (360 - )
-b A’(a,-b)
°−� Diketahui titik
Gambar 38 Relasi sudut � dengan sudut
, , dengan panjang
= , dan sudut
= �. Titik
, dicerminkan terhadap sumbu ,
diperoleh :
i. Bayangan titik ∶
iii. Panjang
Modul PKB Guru Matematika SMA
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan °−�.
Tabel 13
Untuk , dan sudut �
Untuk
, − dan sudut
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
j. Relasi sudut � dengan sudut −�). Perhatikan gambar berikut
b A(a,b) O
(- )
-b A’(a,-b)
Gambar 39 Relasi sudut � dengan sudut −� Diketahui titik
= �. Titik , dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh :
, , dengan panjang
= , dan ∠
i. Bayangan titik ∶
iii. Panjang
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut � dan −� .
Tabel 14
Untuk
, dan sudut �
Untuk
, − dan sudut −�
Modul PKB Guru Matematika SMA
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut � dengan sudut −� , yaitu :
k. Sudut yang lebih besar dari
Perbandingan trigonometri untuk sudut > °, dapat dilakukan dengan cara mengubah
° + � , dengan k adalah bilangan asli. Nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang lebih dari
menjadi
° mengikuti aturan berikut
Tentukan nilai dari :
a. 5°
b. ° Jawab :
a. Untuk menentukan nilai dari
5 ° dapat dilakukan dengan beberapa cara
i. Cara I.
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
ii. Cara II.
b. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan beberapa cara
i. Cara I.
ii. Cara II.
4. Invers fungsi trigonometri Sebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers, namun tidak
semua invers tersebut merupakan fungsi. Hanya fungsi yang berkorespondensi satu – satu (bijektif) sajalah yang inversnya merupakan fungsi. Diberikan sebuah fungsi
: A → B. Fungsi invers dari fungsi (dituliskan − ) adalah fungsi yang memenuhi, jika −
� = , untuk setiap � ∈ dan ∈ . Pernyataan tersebut ekuivalen dengan − disebut fungsi invers dari fungsi jika
= �, maka
dan hanya jika ( − ) = dan − ( � ) = � , untuk setiap � ∈ , dan untuk setiap ∈ . Setiap fungsi trigonometri memiliki inversnya, namun tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi �=
2 5°= 2 2 = ° atau
, diperoleh bahwa �. Jelas bahwa − °= , dan
� bukan merupakan fungsi. Namun jika domain dari � dibatasi maka invers fungsi tersebut bisa menjadi fungsi. Misalkan fungsi
2 = 5 °. Dalam hal ini, invers dari � =
� = �in � dengan domain 0 o ≤ � ≤ 90 . Invers
Modul PKB Guru Matematika SMA
dari fungsi � = �in � merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi trigonometri sebagai berikut :
Tabel 15
Fungsi
Invers dari
Catatan: − � tidak sama dengan
Bentuk − � bisa ditulis dengan a�c�in �. Demikian juga untuk yang lainnya, − � ditulis dengan
�. Lebih lanjut penulisan pangkat − , diganti dengan
� dan, tan − � ditulis dengan
didepan fungsi trigonometri.
Selanjutnya, misalkan
= �, maka
� = , sehingga diperoleh
Analog dengan cara yang sama diperoleh
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
Contoh soal Tentukan sudut � pada gambar berikut.
Gambar 40 Segitiga Siku - siku
Jawab :
Dengan rumus perbandingan trigonometri (tangen) diperoleh
atau diperoleh
Catatan : Untuk menentukan nilai arctan dan lainnya bisa menggunakan tabel trigonometri atau menggunakan kalkulator.
D. Aktivitas Pembelajaran
Aktivias pembelajaran di kelompokkan dalam dua kegiatan, yaitu kegiatan in-service learning (IN) dan on-service learning (ON). Kegiatan IN yang dimaksud adalah kegiatan yang dilakukan pada saat pelatihan, sedangkan kegiatan ON adalah kegiatan yang dilakukan setelah selesai pelatihan atau kegiatan yang dilaksanakan di tempat kerja masing-masing
Modul PKB Guru Matematika SMA
KEGIATAN IN: LK. 26 : Invers Fungsi Trigonometri
Untuk lebih memantapkan pemahaman peserta diklat atau pembaca tentang invers fungsi trigonometri, isilah titik – titik di bawah ini untuk menyederhanakan bentuk berikut ini.
Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dapat dilakukan dengan tahapaan berikut.
= �, maka … �=
i. Dimisalkan
�= … diperoleh gambar
ii. Selanjutnya dari
iii. Langkah selanjutnya adalah dengan mencari nilai . Dengan dalil Pythagoras diperoleh:
iv. Selanjutnya dari gambar tersebut, dengan rumus perbandingan sudut diperoleh
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
KEGIATAN ON: LK. 27 : Penyusunan Soal HOT
Pelajari kembali uraian meteri dan pelajari juga buku atau sumber bacaan lain yang membicarakan tentang penyusunan soal yang terstandar maupun kategori HOT (High Order Thingking). Setelah itu buatlah soal yang terstandar dan soal kategori HOT berkaitan dengan fungsi trigonometri dan sudut berelasi.
Prosedur kerja dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.
1. Pelajari kisi-kisi yang dikeluarkan oleh Kementrian Pendidikan dan Kebudayan berkaitan dengan UN/USBN
2. Buatlah kisi-kisi soal UN/USBN pada lingkup materi yang dipalajari sesuai format berikut. (Sesuaikan dengan kurikulum yang berlaku di sekolah anda)
Indikator Urut
Kompetensi Dasar
3. Berdasarkan kisi-kisi diatas, buatlah soal UN/USBN pada lingkup materi yang dipelajari pada modul ini.
4. Kembangkan soal-soal yang sesuai dengan konsep HOTs.
5. Kembangkan soal Pilhan Ganda (PG)
6. Kembangkan soal uraian
Modul PKB Guru Matematika SMA
Format yang digunakan dapat memakai contoh berikut.
KARTU SOAL
Jenjang
: Sekolah Menengah Atas
Mata Pelajaran
: Pengetahuan dan Pemahaman
trigonometri dengan
menggunakan lingkaran satuan
Bentuk Soal
: Pilihan Ganda
BAGIAN SOAL DISINI
Kunci Jawaban
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
E. Latihan
1. 2 Diketahui sudut memenuhi =− dan co� positif, tentukan nilai dari
, dan
2. Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untuk mengukur tinggi sebuah bukit, sepeti tampak pada gambar berikut :
Puncak bukit
A 5 km
Diketahui jarak dari A ke B adalah 5 km. Berapakah tinggi bukit tersebut ?
3. Tentukan nilai-nilai dari
4. Tentukan nilai dari
5. Jika +=
°, buktikan bahwa
6. Buktikan bahwa untuk � > berlaku
7. Buktikan bahwa
8. Tentukan nilai dari
Sederhanakan bentuk
Modul PKB Guru Matematika SMA
F. Rangkuman
1. Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar segitiga siku – siku berikut.
2. Sudut Istimewa �
Tak terdefinisi
� Tak
√ terdefinisi
Bagian 2 : Trigonometri Kegiatan Pembelajaran 2
3. Sudut Berelasi
Berikut beberapa contoh sudut berelasi
G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. Hitung jawaban benar anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus
Jumlah jawaban benar
% Kriteria
Tingkat penguasaan=
90% – 100% = baik sekali 80% – 89% = baik 70% – 79% = cukup
< 70% = kurang