Pengertian limit fungsi Pernahkah Anda menjumpai seorang guru atau pendidik lainnya mengajarkan limit

1. Pengertian limit fungsi Pernahkah Anda menjumpai seorang guru atau pendidik lainnya mengajarkan limit

fungsi dengan langsung definisi? Biasanya, guru yang mengajarkan limit fungsi dengan langsung definisi akan menyajikan langsung limit menggunakan - (baca: epsilon delta) pada tahap awal pembahasan, yaitu definisi limit fungsi seperti berikut ini.

lim → � = artinya untuk setiap > terdapat > sehingga berlaku | � − | < untuk < |� − | <

Cara seperti ini tidaklah salah, karena sejatinya secara formal limit harus disajikan dalam - seperti pengertian di atas. Namun apakah siswa atau mungkin kita (guru) bisa paham dengan maksud kalimat tersebut? Tentunya ada sebagian paham dan sebagian lain tidak mengerti maksud definisi tersebut. Oleh karena itu untuk memudahkan pemahaman kita mulai dari contoh. Misalkan diberikan

Gambar 1 Pengamatan fungsi

Kemudian amati nilai � pada sumbu- bila � mendekati 2 pada sumbu-�. Pada saat � mendekati 2 perhatikan bahwa � mendekati suatu nilai tertentu. Perlu ditekankan disini bahwa pada waktu � mendekati 2 maka fokus perhatian kita adalah nilai pada ordinat (sumbu- ), jadi bukan fokus pada kurva

�=� 2 +. Mengapa demikian? Karena kurva tersebut hanyalah aturan pemasangan � dan

� , sedangkan fokus kita pada nilai � yang ada pada sumbu- . Demikian juga

Modul PKB Guru Matematika SMA

perlu diingat bahwa mendekati 2 pada contoh ini adalah mendekati dari kiri dan mendekati dari kanan karena fungsi terdefinisi di � < dan di � > (persekitaran 2). Untuk melihat pola yang terjadi perhatikan tabel Tabel 1 berikut.

Mencermati tabel tersebut wajar jika kita akan menyimpulkan bahwa � mendekati 5 untuk � mendekati 2. Dari sini muncul p��tan�aan b��apa nilai

?, atau ha�u�kah

� mendekati 5 jika � mendekati 2 dan kebetulan

= 5? K�n�ataann�a m�man�

= 5. Sebenarnya nilai 5 yang didekati oleh � jika � mendekati 2 tidak ada kaitan dengan nilai

= 5. Bahkan andaikan tidak terdefinisipun � tetap mendekati 5 jika � mendekati 2 (lihat grafik dan tabel di atas). Kondisi seperti ini kita maknai sebagai jika � → maka � → 5 ��ba�ian lit��atu� m�n��anti kata m�nd�kati d�n�an kata m�nuju . Inilah ��b�na�n�a �an�

kemudian ditulis menjadi

lim 2 →2 � + = 5.

Apabila kita dalami lebih lanjut, p�n�un�kapan jika � → maka � → 5 �aitu mendefinisikan limit dengan bahasa verbal belumlah operasional dalam matematika. Mengapa demikian? Misalkan diketahui lim � = dan lim �=,

kemudian kita diminta membuktikan bahwa lim � + � = + , maka kita

akan mengalami kesulitan dalam mengungkapkan buktinya. Oleh karena itu perlu pendefinisian secara formal. Seorang matematikawan Perancis bernama Augustin- Louis Cauchy menyusun definisi tentang limit secara formal yang masih digunakan sampai sekarang sebagai berikut.

Definisi :

> , terdapat  > sedemikian hingga |� – �| <  untuk setiap

Pengertian lim f ( x ) L secara formal adalah bahwa untuk setiap

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

Definisi ini sebenarnya sama dengan mengatakan jika � → maka � → . Selain itu dari definisi tersebut nyata terlihat bahwa kita tidak membicarakan nilai � di atau nilai

tetapi nilai � untuk � disekitar c. Bahkan andaikan tidak terdefinisi di maka tetap limit fungsi tersebut. Sebagai contoh amati grafik berikut.

Gambar 2 Fungsi tidak kontinu

Jelas bahwa fungsi tidak terdefinisi di �= ( tidak terdefinisi), tetapi nilai limitnya ada yaitu 2 atau ditulis dengan lim

Sekarang, amati fungsi yang didefinisikan

Gambar 3 Fungsi tidak ada limit

Modul PKB Guru Matematika SMA

Pada Gambar 3 terlihat bahwa ada dua kasus yang terkait. Pertama, untuk � mendekati 0 dari arah kiri (

�→ − ) maka � mendekati 1, artinya � tidak mendekati 3 dan juga tidak mendekati nilai yang lain. Kedua, untuk � mendekati 0

dari arah kanan ( �→ + ) maka � mendekati 3, tidak mendekati 1 dan juga tidak mendekati nilai yang lain. Dengan keadaan seperti ini, apakah lim

2 + , untuk � {� 2 ada? Atau nilai limitnya ada dua yaitu 1 dan 3? Pertanyaan

−� + , untuk � < ini akan terjawab setelah Anda menyelesaikan soal latihan.