Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit
5. Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit
dengan memanfaatkan teorema dan penjelasan-penjelasan pada bagian sebelumnya.
a. Limit fungsi � untuk menuju nilai tertentu ( → , ∈ �)
1) Substitusi langsung pada fungsinya. Misalkan ingin ditentukan hasil lim � . Jika
tidak m�n�mui ha�il jan��al
dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai
Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1
limitnya adalah . Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinuan fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila fungsinya tidak kontinu maka cara ini tidak bisa digunakan. Jadi perlu kehati- hatian, walaupun
ada tetapi belum tentu berlaku lim �=
Bedakan dengan contoh berikut
Tidak boleh dilanjutkan dengan cara tersebut karena memuat bentuk tak tentu .
d. Diberikan fungsi �={ − ,
= , tetapi lim −
Jelas bahwa
− = . Jadi tidak berlaku lim → = −
walaupun
ada yaitu 0.
Modul PKB Guru Matematika SMA
2) Pada bentuk rasional umumnya dapat disederhanakan. Cara ini sesungguhnya sekedar mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain
sehingga mempunyai faktor yang sama di pembilang dan penyebut. Faktor yang sama ini selanjutnya dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut. Faktor yang sama ini dapat pula hasil dari memfaktorkan pembilang Contoh :
3) Substitusi memuat bentuk dengan ≠ . Jika suatu limit dengan substitusi memuat bentuk
dengan ≠ , umumnya tidak mempunyai limit. Namun demikian, ada banyak kasus pula walaupun memuat bentuk d�n�an ≠ tetapi limitnya ada. Cara seperti ini sebenarnya
hanya memanfaatkan kebiasaan orang (si pembuat soal) menghindari bentuk . Contoh :
a . T�ntukan lim − −
Jawab: Bila � = disubstitusikan ke dalam fungsi maka
diperoleh − − = − yaitu memuat bentuk dengan ≠ . Oleh karena
itu lim
− − tidak ada. Sebagai gambaran untuk memperjelas grafik dari fungsi tersebut adalah
Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1
Gambar 10 Ketidakadaan limit
lim −
Jadi
− − tidak ada
b . lim
→2 (�−− �−) Perhatikan bahwa limit tersebut memuat
dengan ≠ yaitu
22− − 2−2 = − yang memuat bentuk
dan
Meskipun memuat bentuk 2 dan , namun limitnya ada yaitu
Mengapa meskipun fungsi di atas memuat bentuk dengan ≠ tetapi limitnya ada? Jawabannya adalah karena bentuk tersebut pada hakekatnya
adalah bentuk ∞ − ∞ (lihat strategi berikutnya).
4) Substitusi memuat bentuk . Jika dengan substitusi memuat bentuk maka nilai limit dapat ditentukan
dengan menyederhanakan bentuknya atau menggunakan t�o��ma L hopital (lihat sifat limit) hanya pada bentuk yang memuat tersebut. Cara ini sebenarnya hanya menggabungkan sifat-sifat limit. Perlu dicatat disini bahwa
penggunaan teorema tersebut, hanya sebatas penggunaan dulu, karena
Modul PKB Guru Matematika SMA
pembahasan teorema belum diberikan. Sebagai gambaran, mengingat sifat 1 dan sifat 6 maka
lim → √� +
√lim � + lim �−=
Perhatikan bahwa teorema L hopital dapat digunakan untuk bagian lim
saja, tidak perlu mulai dari lim √� +
Contoh : a).
memuat bentuk karena − − − = . Jadi penyelesaiannya dapat menggunkan 2 cara yaitu:
lim −
(i). lim
(ii). − lim ( − )′
memuat bentuk hanya pada bagian
jelasnya bentuk tersebut adalah √+�−
Perhatikan bagian dari lim yang memuat bentuk yaitu
√+�− sehingga hanya bentuk ini yang perlu t�o��ma L hopital .
Jadi lim −2 ′ √
Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1
Hal ini dapat dilakukan mengingat sifat limit
b. Limit fungsi � untuk menuju tak hingga (limits at infinity)
1) Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞ umumnya diselesaikan melalui cara mengalikan dengan sekawannya Contoh 6.5:
a . lim �−√� 2 − � = lim �−√� 2
Modul PKB Guru Matematika SMA
= lim [pembilang dan penyebut
2) Limit fungsi yang memuat bentuk ∞
Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ dengan pembilang dan penyebut suatu
polinomial, perlu memperhatikan • Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka tidak punya limit
• Pangkat tertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel pembilang maka nilai limitnya nol
Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1
• Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien
variabel tertinggi dari pembilang dan penyebut
Perhatikan bahwa suku dengan variabel pangkat tertinggi pembilang adalah � . Karena di dalam akar maka untuk keperluan menghitung
limit, suku tersebut dapat dipandan� ��ba�ai √ � (menghilangkan suku −� 2 + � − 5). Tetapi sebenarnya tidak demikian (lihat latihan).
Sehingga pengerjaan dapat disederhanakan sebagai