Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit

5. Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit

dengan memanfaatkan teorema dan penjelasan-penjelasan pada bagian sebelumnya.

a. Limit fungsi � untuk menuju nilai tertentu ( → , ∈ �)

1) Substitusi langsung pada fungsinya. Misalkan ingin ditentukan hasil lim � . Jika

tidak m�n�mui ha�il jan��al

dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

limitnya adalah . Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinuan fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila fungsinya tidak kontinu maka cara ini tidak bisa digunakan. Jadi perlu kehati- hatian, walaupun

ada tetapi belum tentu berlaku lim �=

Bedakan dengan contoh berikut

Tidak boleh dilanjutkan dengan cara tersebut karena memuat bentuk tak tentu .

d. Diberikan fungsi �={ − ,

= , tetapi lim −

Jelas bahwa

− = . Jadi tidak berlaku lim → = −

walaupun

ada yaitu 0.

Modul PKB Guru Matematika SMA

2) Pada bentuk rasional umumnya dapat disederhanakan. Cara ini sesungguhnya sekedar mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain

sehingga mempunyai faktor yang sama di pembilang dan penyebut. Faktor yang sama ini selanjutnya dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut. Faktor yang sama ini dapat pula hasil dari memfaktorkan pembilang Contoh :

3) Substitusi memuat bentuk dengan ≠ . Jika suatu limit dengan substitusi memuat bentuk

dengan ≠ , umumnya tidak mempunyai limit. Namun demikian, ada banyak kasus pula walaupun memuat bentuk d�n�an ≠ tetapi limitnya ada. Cara seperti ini sebenarnya

hanya memanfaatkan kebiasaan orang (si pembuat soal) menghindari bentuk . Contoh :

a . T�ntukan lim − −

Jawab: Bila � = disubstitusikan ke dalam fungsi maka

diperoleh − − = − yaitu memuat bentuk dengan ≠ . Oleh karena

itu lim

− − tidak ada. Sebagai gambaran untuk memperjelas grafik dari fungsi tersebut adalah

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

Gambar 10 Ketidakadaan limit

lim −

Jadi

− − tidak ada

b . lim

→2 (�−− �−) Perhatikan bahwa limit tersebut memuat

dengan ≠ yaitu

22− − 2−2 = − yang memuat bentuk

dan

Meskipun memuat bentuk 2 dan , namun limitnya ada yaitu

Mengapa meskipun fungsi di atas memuat bentuk dengan ≠ tetapi limitnya ada? Jawabannya adalah karena bentuk tersebut pada hakekatnya

adalah bentuk ∞ − ∞ (lihat strategi berikutnya).

4) Substitusi memuat bentuk . Jika dengan substitusi memuat bentuk maka nilai limit dapat ditentukan

dengan menyederhanakan bentuknya atau menggunakan t�o��ma L hopital (lihat sifat limit) hanya pada bentuk yang memuat tersebut. Cara ini sebenarnya hanya menggabungkan sifat-sifat limit. Perlu dicatat disini bahwa

penggunaan teorema tersebut, hanya sebatas penggunaan dulu, karena

Modul PKB Guru Matematika SMA

pembahasan teorema belum diberikan. Sebagai gambaran, mengingat sifat 1 dan sifat 6 maka

lim → √� +

√lim � + lim �−=

Perhatikan bahwa teorema L hopital dapat digunakan untuk bagian lim

saja, tidak perlu mulai dari lim √� +

Contoh : a).

memuat bentuk karena − − − = . Jadi penyelesaiannya dapat menggunkan 2 cara yaitu:

lim −

(i). lim

(ii). − lim ( − )′

memuat bentuk hanya pada bagian

jelasnya bentuk tersebut adalah √+�−

Perhatikan bagian dari lim yang memuat bentuk yaitu

√+�− sehingga hanya bentuk ini yang perlu t�o��ma L hopital .

Jadi lim −2 ′ √

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

Hal ini dapat dilakukan mengingat sifat limit

b. Limit fungsi � untuk menuju tak hingga (limits at infinity)

1) Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞ umumnya diselesaikan melalui cara mengalikan dengan sekawannya Contoh 6.5:

a . lim �−√� 2 − � = lim �−√� 2

Modul PKB Guru Matematika SMA

= lim [pembilang dan penyebut

2) Limit fungsi yang memuat bentuk ∞

Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ dengan pembilang dan penyebut suatu

polinomial, perlu memperhatikan • Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka tidak punya limit

• Pangkat tertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel pembilang maka nilai limitnya nol

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

• Pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien

variabel tertinggi dari pembilang dan penyebut

Perhatikan bahwa suku dengan variabel pangkat tertinggi pembilang adalah � . Karena di dalam akar maka untuk keperluan menghitung

limit, suku tersebut dapat dipandan� ��ba�ai √ � (menghilangkan suku −� 2 + � − 5). Tetapi sebenarnya tidak demikian (lihat latihan).

Sehingga pengerjaan dapat disederhanakan sebagai