Limit tak hingga (infinite limits) Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi.

3. Limit tak hingga (infinite limits) Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi.

Selanjutnya amati grafik fungsi �=

seperti gambar berikut.

Gambar 4 Grafik Ketidakadaan limit

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

Apabila kita cermati di atas terlihat bahwa untuk � mendekati 2 dari arah kiri maka menuju tak hingga negatif. Tetapi untuk � mendekati 2 dari arah kanan maka menuju tak hingga positip. Kondisi seperti ini menunjukkan bahwa � tidak punya

limit untuk � mendekati 2. Jadi lim tidak ada. Selanjutnya bandingkan dengan

fungsi berikut.

Gambar 5 Limit tak hingga

Perhatikan dengan seksama di atas, tampak bahwa � akan menuju tak hingga positip bila � menuju 0. Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa � tidak

mempunyai limit untuk � mendekati 0. Jadi lim

tidak ada. Dari sini muncul permasalahan, apa yang membedakan ketidakadaan nilai lim ,

−� 2 + , untuk � < . Apakah ketiganya sama? Atau ada perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan sederhana dari ketiganya tampak

lim ℎ � dengan ℎ � = { �

adanya perbedaan. Perhatikan tabel berikut

Tabel 2

Limit Fungsi

Nilai limit fungsi

Keterangan Limit kiri menuju negatif tak hingga

lim

Tidak ada

sedangkan limit kanan menuju (positip)

tak hingga

lim Baik limit kiri maupun limit kanan

Tidak ada

→ � 2 menuju (positip) tak hingga

Modul PKB Guru Matematika SMA

Limit Fungsi

Keterangan lim ℎ�

Nilai limit fungsi

dimana Limit kiri menuju 1 sedangkan limit kanan ℎ� Tidak ada

Bila kita cermati pada bagian keterangan maka ada perbedaan yang nyata dari ketiganya yaitu kondisi yang menyebabkan limit tidak ada. Dari sini kemudian dikembangkan suatu konsep limit tak hingga sebagai berikut.

Suatu limit fungsi dikatakan sebagai limit tak hingga ( infinite limits) jika menuju tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang dimaksud adalah sebagai berikut

Misalkan suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat (boleh juga tidak terdefinisi di ) maka yang dimaksud dengan

lim �=∞

adalah untuk setiap > terdapat > sehingga � > untuk < |� − | < . Demikian pula untuk

lim → � = −∞

artinya untuk setiap < terdapat > sehingga � < untuk < |� − | <

Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas sebelumnya menjadi berbeda sedikit. Sebagai contoh lim . Semula lim tidak

ada, tetapi dengan pendefinisian baru maka kita tulis lim = ∞. Sebagai

gambaran lihat grafik di bawah

Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1

Gambar 6 Limit tak hingga

P��hatikan bah�a kita t�lah b��ani m�n��unakan tanda = ∞ setelah ada definisi tersebut. Untuk mempermudah pemahaman perhatikan tabel berikut.

Tabel 3

Limit Fungsi

Nilai limit fungsi

Keterangan Baik limit kiri maupun limit

lim

kanan menuju (positip) tak → � 2 hingga Limit kiri menuju negatif tak

lim

Tidak ada

hingga sedangkan limit kanan

menuju positip tak hingga − Baik limit kiri maupun limit

lim −∞

kanan menuju negatif tak →2 �− 2 hingga

lim ( �→

Limit kiri tidak sama dengan

Tidak ada

limit kanan

P��lu m�njadi p��hatian bah�a tanda �ama d�n�an = pada contoh lim → = ∞, bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana

ketidakadaan limit fungsi tersebut. Ringkasnya, khusus untuk contoh tersebut, nilai fungsi akan menuju tak hingga jika � menuju 0.

Modul PKB Guru Matematika SMA

Secara umum, bila diketahui lim � = ∞ atau lim � = −∞ bukan berarti

limitnya ada di tak hingga atau di negatif tak hingga, namun untuk menggambarkan bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada dengan menunjukkan bahwa nilai fungsi menuju tak hingga atau negatif tak hingga jika � menuju . Contoh

Tentukan limit lim

Jawab:

Perhatikan bahwa untuk � mendekati 1 dari kiri (� → − ) maka menuju negatif tak hingga sedangkan jika � mendekati 1 dari kanan (� → + ) maka menuju positif tak

hingga. Dengan demikian lim tidak ada

Contoh Tentukan limit lim

→ √− Jawab:

� > atau dengan kata lain = {�|� ∈ , � > }. Sehingga limit yang dapat kita selidiki adalah limit kanan.

Perhatikan bahwa �=

terdefinisi untuk

Sedangkan limit kiri tidak dibicarakan. Jadi pemaknaan � → adalah � → + . Jika kita perhatikan dan kita cermati maka nilai

� semakin membesar apabila �

mendekati 1. Jadi lim =∞