Limit tak hingga (infinite limits) Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi.
3. Limit tak hingga (infinite limits) Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi.
Selanjutnya amati grafik fungsi �=
seperti gambar berikut.
Gambar 4 Grafik Ketidakadaan limit
Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1
Apabila kita cermati di atas terlihat bahwa untuk � mendekati 2 dari arah kiri maka menuju tak hingga negatif. Tetapi untuk � mendekati 2 dari arah kanan maka menuju tak hingga positip. Kondisi seperti ini menunjukkan bahwa � tidak punya
limit untuk � mendekati 2. Jadi lim tidak ada. Selanjutnya bandingkan dengan
fungsi berikut.
Gambar 5 Limit tak hingga
Perhatikan dengan seksama di atas, tampak bahwa � akan menuju tak hingga positip bila � menuju 0. Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa � tidak
mempunyai limit untuk � mendekati 0. Jadi lim
tidak ada. Dari sini muncul permasalahan, apa yang membedakan ketidakadaan nilai lim ,
−� 2 + , untuk � < . Apakah ketiganya sama? Atau ada perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan sederhana dari ketiganya tampak
lim ℎ � dengan ℎ � = { �
adanya perbedaan. Perhatikan tabel berikut
Tabel 2
Limit Fungsi
Nilai limit fungsi
Keterangan Limit kiri menuju negatif tak hingga
lim
Tidak ada
sedangkan limit kanan menuju (positip)
tak hingga
lim Baik limit kiri maupun limit kanan
Tidak ada
→ � 2 menuju (positip) tak hingga
Modul PKB Guru Matematika SMA
Limit Fungsi
Keterangan lim ℎ�
Nilai limit fungsi
dimana Limit kiri menuju 1 sedangkan limit kanan ℎ� Tidak ada
Bila kita cermati pada bagian keterangan maka ada perbedaan yang nyata dari ketiganya yaitu kondisi yang menyebabkan limit tidak ada. Dari sini kemudian dikembangkan suatu konsep limit tak hingga sebagai berikut.
Suatu limit fungsi dikatakan sebagai limit tak hingga ( infinite limits) jika menuju tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang dimaksud adalah sebagai berikut
Misalkan suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat (boleh juga tidak terdefinisi di ) maka yang dimaksud dengan
lim �=∞
adalah untuk setiap > terdapat > sehingga � > untuk < |� − | < . Demikian pula untuk
lim → � = −∞
artinya untuk setiap < terdapat > sehingga � < untuk < |� − | <
Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas sebelumnya menjadi berbeda sedikit. Sebagai contoh lim . Semula lim tidak
ada, tetapi dengan pendefinisian baru maka kita tulis lim = ∞. Sebagai
gambaran lihat grafik di bawah
Bagian 1 : Kalkulus Kegiatan Pembelajaran 1
Gambar 6 Limit tak hingga
P��hatikan bah�a kita t�lah b��ani m�n��unakan tanda = ∞ setelah ada definisi tersebut. Untuk mempermudah pemahaman perhatikan tabel berikut.
Tabel 3
Limit Fungsi
Nilai limit fungsi
Keterangan Baik limit kiri maupun limit
lim
kanan menuju (positip) tak → � 2 hingga Limit kiri menuju negatif tak
lim
Tidak ada
hingga sedangkan limit kanan
menuju positip tak hingga − Baik limit kiri maupun limit
lim −∞
kanan menuju negatif tak →2 �− 2 hingga
lim ( �→
Limit kiri tidak sama dengan
Tidak ada
limit kanan
P��lu m�njadi p��hatian bah�a tanda �ama d�n�an = pada contoh lim → = ∞, bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana
ketidakadaan limit fungsi tersebut. Ringkasnya, khusus untuk contoh tersebut, nilai fungsi akan menuju tak hingga jika � menuju 0.
Modul PKB Guru Matematika SMA
Secara umum, bila diketahui lim � = ∞ atau lim � = −∞ bukan berarti
limitnya ada di tak hingga atau di negatif tak hingga, namun untuk menggambarkan bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada dengan menunjukkan bahwa nilai fungsi menuju tak hingga atau negatif tak hingga jika � menuju . Contoh
Tentukan limit lim
Jawab:
Perhatikan bahwa untuk � mendekati 1 dari kiri (� → − ) maka menuju negatif tak hingga sedangkan jika � mendekati 1 dari kanan (� → + ) maka menuju positif tak
hingga. Dengan demikian lim tidak ada
Contoh Tentukan limit lim
→ √− Jawab:
� > atau dengan kata lain = {�|� ∈ , � > }. Sehingga limit yang dapat kita selidiki adalah limit kanan.
Perhatikan bahwa �=
terdefinisi untuk
Sedangkan limit kiri tidak dibicarakan. Jadi pemaknaan � → adalah � → + . Jika kita perhatikan dan kita cermati maka nilai
� semakin membesar apabila �
mendekati 1. Jadi lim =∞