 cos    2 cos    0 sektor yang dibuang

 1  cos   1  2 cos    0 sektor yang dibuang

 2  r  10     2  10

cos    1 cos  

   atau   Misal : R = jari – jari alas kerucut

2  R  20   10 

 Karena 0    , maka agar kapasitas

Misal : t = tinggi kerucut pancuran maksimum  

3 2 t 2  10 R

2 y 2  1x     

P alas  2 5 2

P sisi alas  2 x

Tinggi 2  y  1x 

Volume kerucut :

V  2  Rt

Luas trapezium :

2 50   2 100 4     4    L /  0 

Titik kritis :

Nilai

 yang memaksimumkan V, diperoleh

 1  x    2 x   0 dari / V  0

29  1   2 1  3  g 1

f  1 

 g  1

2  g  1  3

2 2 4. D.

 x 

 2    2  x  2  x  3 

1 2  3 2 Karena 0    2  , mak  yang

g  x    x  x  6   2 x  1 

memaksimumkan volume kerucut

adalah 2   2  2  2

2 x  2 x  12  x  x  6

5. E.

Uji Kompetensi Akhir BAB 4

A. Pilihan Ganda

3 2 1 3 2 2  2  x  x  3 x  2 x

f  x  x  8 x  5 x  2

f  x  t   f x

lim

 f  x  0 2

 , 3 x  16 x  5  0  0 x   1

 3 x x 1   5   0 3 x  2  0   3 x  2

1 x   atau x   5

6. B.

2. A.

f  x x  2  7 

Gradient kurva bernilai nol :

dy

 x

 x  6  2 x  7 6

dx

2 3 5  x  5   2

 36 x 2 x  7 2 x  1 

2  1  2 x  10 1  0 , x 

3. B.

f  x 

g  x

4 x  11  0

f  1 f  1  1

29  x  2 x  3  g x

f  x 

2  g  x

7. A.

y      

 1 dy

 g  1   1  0

g  1 dx

 4 x  1   3 x  4  11. A.

2  0 y 2  10 x   p  2  x  2  4 x  1 

12 x  6 x

dy

 20 x  p  2

2  0 dx

Abis titik balik :

20 x p  2  0

6 x  0 atau 2 x  1  0 20

1 Abis titik balik = ordinat titik balik x  0 atau x 

2 x  3 3 20 40 20 y 

   p  8  p  10   0

2  3 dx

p  8 atau p   10

2 d y dy

2  x  x  3   x   2 2 

12. A.

dx dx

2 sec x  tan x  1  sin x 

6 2 x 3 f  x

 1   sec x  tan x 

1  sin x  2

2 2  1  sin x 

2 cos x  1  sin x  2 

 1  sin x 2

   1  sin x  2   cos x 

f  x 

1  sin x 

cos x  1  sin x   cos x  1  sin x 

9. D.

1  sin x  1  sin x   2  1  sin x 

dy

2 cos x x

x   1  sin x 

2 dx 1 2 1  sin 2

2 cos x

2 cos x  1  sin x  1  sin x

dx

2 2  3 dy   d y 

2 x  2  

3 y 2  ax  bx  c

Kurva y dilalui

dan garis

singgung y pada x  1 sejajar sumbu x, berarti x  1 adalah titik balik atau

10. C.

dy 

0 utnuk x  1

y  ax x  ax 4 dx

Perubahan y terhadap x

 3 ax  2 bx  0 , untuk x  1 dy  5

3 2 a 

1 b 2  1  0

a  ax 4

3 a b 2  0

3a

2 100 5 a

1 , 0   a   1  b   1  c  0 2 y a  4  

3  2 b  1

 a  b  c  0  1

3 a  Maka :

5 a 2 a  2 b atau a  b

  c  0 salah satu titik kurva adalah  1 , 4

0 , 5  a  0  b  0  c  5 a  b  4 1 

c 2  5 

Substitusi nilai c pada (1)

2 2 2 a b  4  2  2

10  2 16. C.

Substitusi nilai a : b    2   3 Gradient garis tangent :

m untuk x  2 adalah :

m 2  3 

14. B.

3 y 2  ax  bx  9 x  5

dx Untuk x  2  y  3 dy

Persamaan garis normal : x  1   12 dx

3 a  1 b 2  1  9  12 4

3 a b 2  3 …..(1)

4 y  12   x  2

4 y x  14  0

2  0 untuk x  1 dx

17. C.

6 ax b 2  0 , untuk x  1 2

6 a  1 b 2  0

y  2 x  kx  1

6 Garis normal kurva y pada titik a b 2  0 …..(2)   1 , 2 

Proses eliminasi : Sejajar garis 3 y x  9

6 a b 2  0 1

2 2 2 a 2 b   

1 Garis normal y // , maka L m normal   10

3 Gradient garis tangent pada kurva y :

15. B. / m  y  4 x  k

a 4  bx y 

,  1 , 4 m normal tegak lurus terhadap 2 m

Maka

Gradien garis singung :

4   1  k   1

a  b  x  h  4  a  bx 4 

m  lim

Persamaan garis singgung pada titik  1 , 4 k   3  4  1

adalah y  4  0

18. A.

Untuk x  3  y   5  3  3  2

y  x  3 x  2 Persamaan garis singgung : Titik – titik staioner pada y ditentukan

1  2 dy

y  2   5  3  3 x  3 

3  x x 1   1   0 12 y  24  x  3 x  1 dan x   1 x y 12  21  0

x 3  1  y  

3 23. E.

x   1  y    1  3  1  2  4 2

g  x  3 x  4  sin 2 x

 Titik – titik stasioner y   1 , 0 dan

g 2  x  6 3 x  4  sin 2 x   3 x  4  2 cos 2  x  1 , 4   2  3 x  4   3 sin 2 x   3 x  4  cos 2 x 

  6 x  8   3 sin 2 x   3 x  4  cos 2 x 

24 y  4  0 x Titik minimum dicapai saat / y  0

27   0 Panjang PQRS  3 x x

Lebar PQRS  y  8  x

27 3 x  8

2  0  27 x  8  0 L PQRS 8 x  

x Luas maksimum dicapai untuk :

3 8 x 2  0

x   y  27    2 2  27

Luas maksimum PQRS :

L PQRS  4  4  16 satuan luas

20. C.

2 g 2 

x  sin  x  2 x 

g  x  2  sin  x  2 x    cos x  2 x    2 x  2 

2 2 25. A.

  2 x  2  sin  2  x  2 x  

2 R  x  1  4 x

 2  x  1  sin  2 x  4 x 

R  x 

Untuk x  0  R  x  0

21. B.

 x  sin  3 x  2 

R  x selalu turun

3 2 2 f / 

x  4 sin  3 x  2  cos 3 x  2   6 x

Untuk x  0  R  x tidak bernilai riil

 x 

 3 x  2 sin 6  4

2 2  2 12 x sin

Pada interval

 20  x   6

R  x selalu turun

Min R  x dicapai pada x   6 y 1  

22. A.

5  x  3 , absis 3 R   6  1  4  6  5

Max R  x dicapai pada

x /   20

R   20   1  4   20   9 6 6

23 / y  13

3  2 2 x  6 x Gradien garis singgung :

29. A.

m 2  y  6 x  12 x 3 at at

2 y  M tegak lurus 2 l : 4 x  24 y  1  0 1  t 1t 

l : y    x  , maka

1 2 1  dx 3 a 1  t

dt  1  t

6 2 x x 12   6 dy

 x x 2  1   0 dt  1  t

2 at

x  1   0  x  1 , y   4 dy dy dt

Persamaan garis singgung :

dx dt dx

 1  t

2 2 2 at

6 x y  2

 1  t 3 a  1  t

27. D.

2 at

3 a  1  t 3 1  t

f  x 

sin x

sin x  cos x

cos x  sin x  cos x   sin x cos x  sin x

sin x  cos x 2

8 x y 

cos 2

x  sin 2

y  8 x , titik A  4 , 2

x  y  x  y  6  2

x  y  x  y  6  2  x

 1  31. B. x  y 

 2  x  y  6  1  y   1

 2  Tangki air terbuka, alas persegi Misal : x  panjang sisi alas

t  tinggi

V t x   8 

2 x  y  6 Pemakaian plat besi :

Untuk titik  2 , 1 :

L  x  4 xt

 1 Agar pemakaian plat minimum :

2 2 x  32

l y  21

Luas bidang cetak :

3 3 LB  p . l

x  16 atau x  2 2

   14   y  21 

32. A.

Persamaan parabola :

y  4  x LB  2   14 y  294

Titik singgung g pada kurva : A  a , b

14 y   296

Gradien garis singgung :

Luas maksimu jika Lb  0 m y   2

Maka garis g memenuhi :

y   2 ax  2 a   4  a 

2  14  y  3 y  3

y   2 ax  a  4

2 x  2

diperoleh B    , 0  , C   0 , a  4 

L OBC      a  4 

Maka : x y 

Agar luas minimu, nilai :

 3 2  2 (dalam puluh ribu rupiah)

 a  1   a  4   0 Biaya minimum diperoleh untuk /  0

4 8 2 2 . x 000   400  x  20

 Biaya minimum perhari :

B  5  20  160 

Luas kertas  2m

 Rp 400 . 000

x  panjang kertas y  lebar kertas

35. C.

Maka : xy  2  x 

y   a  2  x  x  5 ax

p  panjang bidang cetak Nilai minimum  27 untuk x  3 l  lebar bidang cetak

27   a  2  3  3  5 a  3

p  x  14   14 3

 a  4 a  4   15 a  9  27  0

 a  4 a  4   5 a  12  0 x  5

3 a a 17  24  0 x  4  3 a a 8   3   0 xy  4 y  x  5

8 xy  x  4 y  5

a  atau a  3

36. C.

f  x  x  sin 3 x

f  x 

 x  x  1 4 x  1   4 x  5   1

f  x 

u 2  x  g  f  x   x  1   2 

x  sin x 3 

u  x  2 x  sin 3 x  1  3 cos 3 x 

 2 x  6 x cos 3 x  2 sin 3 x 

6 39. B. sin 3 x cos 3  3

f  x  2 x  1   54 x  10

2 x  2 sin 3 x  6 x cos 3 x 

3 2 sin 6 x / f 

x  6 2 x  1   54

f  x  0

Grafik fungsi turun jika /

37. C.

y 2 x  4 l : y x  3 6 

2 x  1   54  0

2 x  1   54

Gradient garis singgung y :

m tegak lurus m L  1 2 x  1  3 atau 2 x  1   3

2 Jadi, grafik fungsi akan turun pada selang Persamaan garis singgungnya :

1 15 x    y  

40. D.

y  ax  2x pada titik  1 , a  2 

15 1  y      x  Gradien garis singgung :

m 2  y  3 ax  4 x

17 y x   m tegak lurus m L , L : x y 2  4

4 Persamaan garis singgung ini memotong

sumbu y jika x  0 2 2 Maka : m  2 , untuk x  1

17 2 17 3 a 

38. B.

Titik  1 , a  2   1 , 0

Persamaan garis singgungnya :

f   x  3   3  

2 x y  2  0

f  x 

Misal : y  f  x

B. Bentuk Uraian

2. 2 4. y x x  

2 L 2  rs  x  4 x  4  2 x  4 x

x  1  3  1  8  1  4   1

m OA 

L  S  s  a  s  b  s  c  minumum

S  s  a  s  b  s  c  minimum

m  m OA m gradien garis singgung

maka????? Di titik A

 Jadi, OA adalah garis normal kurva

2  cos x 3 

3. lim   

y x x   2  dititik A

 x , y  2 x  xy  3 y

 sin x  sin x  x cos x  3 sin x

 lim

 2 x  x  5  x   3 5  x 

Nilai maksimum dicapai untuk x  dan

4 x 4 cos x

24 x sin x  36 x cos x  12 x sin x 

sin x  x cos x

 lim

x  0 24 sin x  24 x cos x  72 x cos x  2 3 36 3 x sin x  12 x cos x  4 x cos x 

35 15  15  x sin x

4  4   4  sin x  x cos x

 lim 2 2 . 450  525  x 675  0

 162 , 5 16 3 16 4 x cos x  x sin x

24 sin x  96 cos x  72 x sin x  24 sin x  96 cos x  72 x sin x 

Uji Akhir Semester 2

Dari (1) dan (2) :

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan

1. B.

x  3  x  1 

P  3  27  18  3 a  b  3  4 –1

3 a b   10 …..(1)

P 2  

1   1  2  a  b   1  4 x  x  2   x  2  x  1 

 a  b   2 .....(2)

Dari (1) dan (2) :

6. B.

x  2  x  1 

f  3   1

P   2   8  8  2 a  b f   1  2   16  2  2    4   16 g  3  2

g   1   5

2. D.

x  1  x  1 

h  3  f  3 . g 3

P   1  2  a  3  5  b  6   1  5

h   1  f   1 . g  1

 a  b  5 .....(1)

P  1  2  a  3  5  b  6  1  5  2   5   10

x  Dari (1) dan (2)

a b  7 …..(2)

S  x 

x 2  8

7. C.

x  3  x  1 

3. A.

f  2  11  2 a  b  11 .....(1)

P  3  15  3  7  52

f   1  5   a  b  5 .....(2)

P   1  15   1  7   8

Dari (1) dan (2)

P  1  6

 x dibagi  x  1  sisa

 2 ax  b  2 x  7 x  1  

x  1  x  1 

Sisa

Sisa  ax  b

4. A.

P   1   8   a  b   8

f   1  2  2  P  1  2  0

P  1  6 

f  x  2 x  2 x  3 x  x  2

0 Sisa x 7  1

f  x  x  1  x  2   2 x  1 

x  3  x  1 

x  3  81  27  9 m  3  n  0

9 m n   57

3 x   1

9. D.

g  x 

x x 2  5  0  , .  

5 x   1

g  3 

3 3 3   14. D.     

  3  a

3 3 3 f  x  2   3 x  8  f  x  3 x  2

      15  1 x  2

f  x 

10. B.

f  

3  x 4 

f  x  

 x 4 

2 2 g  x 

 g  x 

 2 x  8 x  16  4 x  16  3

h  x  x  2 x  1  h  x x  1

11. C.

g  f  x   2 f  x  3 f  x  6  18 x  15  8 h  0  1

  f  3   h  g   

32  12  6  18 x 2  15 x  8  1  1  1  1 1  1 

50  18 x  15 x  8  3 

18 x 2 x 15  42  0   1 h  0  1

6 x 2 x 5  14  0

 6 x  7  x  2   0 15. A.

x   2  f  g   x  f  g  x   4 x  3

12. E.

2 g 2  x  29  x  4  4 x  3

f  x  

 g  x  1   4 x

5 x  20  16 x  24

g 2 

11 x  44

g  x  1  2 x

g   2   3  g  x  1  2 x

 f  x  g    4  7 . 4  8   4 g   3  1  2   3  5

h  x 

h  x  f 

h  x 

2  2  1 2 x  8

f  g  x  

h  x 

g  f   x 

17. A.

y  2  2  log  x  5 

g  f  x   g   

2  3 x  1  5 x  2  y  2   2  log  x  5 

2 y 3  4 y  4  2  log 

22. A.

Biaya x hari  f  x

 10 x  1 . 000 x  33 . 000

y 2 y 4  2

 1 x 2  4 x  2 Biaya minimum  f  x  0

f  x  3  5

20 x  1 . 000  0 x  50

18. B.

f  50  10  2 . 500   1 . 000  50  33 . 000

g  f  x   f  g  y   g  y  f x

f  x  x  12 x  36 x  17

3 2 Luas  s  6 st  432

f  x naik  f  x  0 t 

432  s

3 x x 24  36  0 3

2 432 s  s

x x 8  12  0 V  s t 

 6 x  6  x  2   0 2

432  3 s

s  12 x  2 atau x  6

34. B.

20. D.

3 2 f  x  2 sin  x    cos x   

f  x  8 x  12 x  6 x  1  54 x  10

     8 x  12 x  48 x  9 f    2 sin    cos   

f  x turun  f  x  0

24 x  24 x  48  0  2 . 

2 2 x x  2  0

 x  2  x  1   0 25. C.

 x  0

Tidak pernah naik : / f

x 2 x 10  24  0

x  6  x  4   0

 sin x   sin x   1  cos x   cos x

f  x 

sin x 

1 1 1 Volume 1  

40  2 x  25  2 x  x

 3 x  10  x  25   0

x  25

27. D.

1 Jarak 

5 5  m 2  2

m 2  y  3 ax  4 x

2 2 a 3 . 1  4 . 1

Persamaan garis :

f / x  4 sin 3

2 x  3  cos 2 x  3  2 d 

 4 sin  2 x  3  sin 2 x  3  cos 2 x  3  2 

2  4  8   8  2  2  y 

y 2  2 4 sin 2

2 x  3  sin 4 x  6 

2  4  8   2  y 

29. D.

16 AC  10 cos 60  5 y  4

BC  10 sin 60  53 2

Luas max   5  5 3 34. A.

2 3   b  b

30. D.

PQ    1  t  2   1  t  t   t  t

10 t  2 Luas maks  ab 3  3 PQ  0 

2 5 t  2 t  2 35. A.

10 t  2  0  t  0 , 2

4 x  3  4 x  1    2 x  3 x  5 4

f  x 

31. A.

m 2  2 8 2 x  4 x  17

36. E.

2 V 3   r t  1 L  1 . 000 cm

y x  1  1

L 2  2  r  2  rt

4 3  r  2 . 000

r   500   

B. Evaluasi Pengertian dan Penguasaan

 Materi.

 2 1. P  x  ax  bx  500 c

P  1  10  a  b  c  10 …..(1) P  2  20  8 a  4 b  c  20 …..(2)

37. E.

P  3  30  27 a  9 b  c  30 …..(3)

f / x  6 x cos 3 x 2  

3 x 2 3 cos 2  2 x      sin x 2     2 x

Dari (1) dan (2) :

 7 a  3 b   10 …..(4)

2 2  cos x      

 6 x cos  x     2 2 

Dari (2) dan (3) :

 19 a  5 b   10  …..(5) 

 3 x sin x  

Dari (4) dan (5) :

38. C.

sin 2 x  1 sin 2 x  1 11 11

lim

4 3  2 cos x  1 

2  lim 

Dari (1) :

x  4 3 cos 2 x

P  x   x  x 

10 3 60 2 60 lim 

P  12   12  12    780

P  8     8    8   820

P  12 P  8  780  820

 Menggunakan invers 2 2

 25 x  10 x  16 x  24 x  3  

 5 x 2 10 x

Persamaan :

3  2 lim 

2       2    5  0 (dikalikan 27) 

9 x  34 x  3 

 3   25 x 2 10 x

2 x  3 x  18 x  135  0 

16 x 2 24 x

3. f  x x 2  3 5.

f  x 

g  x 

g  x 

x  3 Menggunakan kesebangunan :

f f  g f  g   h  x  3  

L OBC  ab

f  f    g  f    g  h  x    

minimium : L OBC  0 

Agar / L

 f f  g f   

 1  1     1  7 h  x  5  

 

 h  x  3  

2 2 a a 12  0

7 h  x  5

1 1  h  x  3  3    

  

  

 7 h  x  5

7  h  x  3  3    5 OBC

 . 6 . 8  24

 7 h  x  h 5  x  3  3    3

2 

49 h  x  35  21 h  x  63  10 h  x  30

2 h  x  6 2

7 h  x  5  3 h  x  9  6 h  x  18  x  2 x  7

2 h  x  6

80 h  x  58 2

4 h  x  14

80 h   2  58 2    2  2   2  7

4 h   2  14

80 h   2  58  28 h   2  89

52 h   2  156

h   2  3

1  cos 2 x  2 sin x

4. lim

3 cos x  sin x  1

2 2 sin 2 x  2 cos x

 lim

x   3 sin x  cos x