Goal Programming LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Goal Programming

Dalam memformulasikan dan solusi persoalan dalam program linier, proses pemodelannya difokuskan pada tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Sehingga para pembuat keputusan berusaha agar berbagai tujuan perusahaan menjadi satu tujuan tunggal. Padahal dalam berbagai proses pembuatan keputusan dalam dunia nyata, pengintegrasian berbagai tujuan menjadi sebuah tujuan tunggal saja sebenarnya tidak selalu tepat. Misalnya suatu perusahaan tidak sekedar bertujuan memaksimumkan keuntungan saja, tetapi secara bersamaan juga bertujuan untuk menjaga kestabilan penggunaan tenaga kerja, meningkatkan pangsa pasar atau membatasi peningkatan harga jual. Untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan untuk melibatkan berbagai tujuan digunakan teknik goal programming. Goal programming merupakan suatu metode yang melibatkan berbagai tujuan yang bahkan saling konflik ke dalam proses formulasinya, berikut prioritas tujuannya. Formulasi goal programming pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming. Perbedaan antara goal programming dan linear programming adalah terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam linear programming fungsi tujuaannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam goal programming semua tujuan digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekpresikan tujuan itu dalam bentuk suatu kendala constraint, memasukkan suatu variabel simpangan variable deviation dalam kendala untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan. Dalam linear programming tujuannya bisa maksimasi atau minimasi, sementara dalam goal programming tujuannya adalah meminumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan tertentu. sehingga hal ini berarti semua masalah goal programming adalah masalah minimasi. Karena penyimpangan- Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. penyimpangan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, goal programming dapat menangani tujuan yang saling konflik. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya dapat ditentukan, dan proses penyelesaian goal programming dapat berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas yang lebih rendah. Jika linear programming berusaha mengidentifikasi solusi optimum dari suatu himpunan solusi yang layak, goal programming ingin meminumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan dengan mempertimbangkan hirarki prioritas. Secara matematis goal programming dapat dituliskan situasi sebagai berikut: x 1 , x 2, ..., x n = variabel keputusan m = banyaknya tujuan yg dipertimbangkan c jk = koefisien x j j= 1, 2, 3, ..., n pada fungsi objektif dalam setiap tujuan-k k=1, 2, 3, ..., m, b k = target untuk tujuan-k. Solusi untuk persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati target-target yang telah menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi penyimpangan maka penyimpangan-penyimpangan itu minimum. n j j j b x c 1 1 1 n j j b x c 1 2 2 . . . . . . n j k j jk b x c 1 Karena tidak mungkin dapat mencapai seluruh target, maka perlu didefinisikan sebuah fungsi objektif menyeluruh untuk goal programming yang kompromistis dengan tujuan mencapai berbagai target. Dengan asumsi bahwa penyimpangan itu bisa bernilai positif dan negatif, maka fungsi objektif menyeluruh untuk persoalan goal programming dapat ditulis sebagai berikut: 7 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. m k n j k j jk b x c Z 1 1 min Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai preferensi atau fungsi pencapaian achievement function terbatas kepada penyimpangan target. Dengan membuat variabel baru pada fungsi obyektif yang dapat didefinisikan sebagai: n j k j jk k b x c d 1 , untuk k = 1, 2, ..., m Seghingga fungsi objektif goal programming menjadi: m k k d Z 1 min Karena d k bisa bernilai positif atau negatif, maka variabel ini dapat diganti dengan dua variabel non negatif baru, sehingga d k = d k + - d k - , dimana d k + dan d k - ≥0. k k k k k d d d d d d k + dan d k - merupakan variabel penyimpangan deviational variables yang merepresentasikan tingkat pencapaian melebihi target over achievement dan pencapaian di bawah target under achievement. Secara bersamaan, tidak mungkin terjadi kelebihan target, maka berlaku hubungan: d k + x d k - = 0. Formula umum goal progaramming dapat dituliskan sebagai berikut: m k k k d d Z 1 min kendala: n j k k k j jk b d d x c 1 , k j d x Dalam formulasi goal progamming ini setiap target dimasukkan dalam kendala-kendala dalam persamaan. Fungsi kendala semacam ini disebut sebagai kendala tujuan goal constraint, di mana di dalam persamaannya telah melibatkan variabel deviasi, d k + dan d k - dimana dalam program linier kedua peubah tersebut adalah slek dan surplus. Sehingga yang dinilai dan dianalisis dalam goal programming bukanlah tingkat kegiatannya, tetapi deviasi dari tujuan, sasaran atau target yang ditimbulkan oleh adanya nilai penyelesaian tersebut. Dalam mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target tidak dapat diperoleh secara 8 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah dari peubah deviasional atau kedua-duanya akan menjadi nol. Pada beberapa situasi, deviasi penyimpangan dari suatu target tertentu menjadi lebih penting bagi pembuat keputusan dibanding penyimpangan target lainnya. Demikian pula, pada sebuah target tertentu, bisa saja penyimpangannya jauh lebih penting dari penyimpangan target lainnya dengan arah yang berlawanan. Pada situasi seperti ini, maka bisa dimasukkan bobot yang berbeda differential weight, w k + dan w k - pada setiap penyimpangannya: m k k k k k d w d w Z 1 min kendala: n j k k k j jk b d d x c 1 , _ k j d x Contoh: Sebuah perusahaan perabot rumah tangga yang bergerak dalam bidang produksi mabel, memiliki dua produk yang paling disenangi, yaitu perabot tipe I dibuat dengan bahan kayu jati dan perabot tipe II dibuat dengan kayu meranti. Perabot tipe I Perabot tipe II Waktu departemen I 4 jam 3 jam Waktu departemen II 2 jam 1 jam Dengan tersedia 240 jam kerja pada departemen I tiap minggunya dan 100 jam kerja pada departemen II. Keutungan bersih perabot tipe I adalah Rp 50.000set, sedangkan perabot tipe II adalah Rp 70.000set. Pemilik perusahaan menginginkan untuk mendapatkan keuntungan sebesar Rp 700.000 dari seluruh tipe dengan jumlah perabot tipe I ingin dijual 7 set, dan penjualan tipe II ditargetkan harus terjual sebanyak 9 set. Penyelesaian: Andaikan : x 1 = Perabot tipe I 9 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. x 2 = Perabot tipe II Dari kasus di atas dapat dirumuskan dengan menambahkan tiga peubah deviasional, di mana untuk setiap tujuan atau target harus memiliki pasangan deviasi plus dan deviasi minus. dengan: d 1 - = jumlah Rp di mana target keuntungan yang ditetapkan tidak tercapai atau di bawah target. d 1 + = jumlah Rp dimana target keuntungan yang ditetapkan melebihi target yang ditentukan. d 2 - = jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan tidak mencapai target. d 2 + = jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan melebihi target. d 3 - = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan tidak mencapai target. d 3 + = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan melebihi target. Maka model persoalan di atas menjadi: Minimumkan 3 2 1 d d d Z kendala: 000 . 700 000 . 70 000 . 50 _ 1 1 2 1 d d x x x 2 + d 2 + - d 2 - = 9 x 1 + d 3 + - d 3 - = 7 4x 1 + 3x 2 ≤ 240 2x 1 + x 2 ≤ 100 dan x 1 , x 2 , d 1 - , d 1 + , d 2 - , d 2 + , d 3 - , d 3 + ≥ 0 Pada masalah perusahaan tersebut pemilik perusahaan telah memiliki target yang ingin dicapai yaitu keuntungan yaitu sebesar Rp 700.000, dengan penjualan tipe mebel yang telah diterapkan. Untuk itu sang pemilik mengurutkan atau memberi prioritas terhadap target yang ingin dicapainya. No Target Prioritas 1 Mengahasilkan total keuntungan paling sedikit 1 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. Rp 700.000,00 2 Penjualan x 2 minimal 9 unit 2 3 Penjualan x 1 minimal 7 unit 3 Maka formulasi goal programming kasus di atas dapat ditulis dengan: 1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 min : 50 70 700 9 7 4 3 240 2 100 , , 0; 1, 2, 3 i i i Z P d P d P d kendala x x d d x d d x d d x x s x x s x d s i Dengan metode simplex, formulasi dapat diselesaikan sebagai berikut: Tabel 1. Tabel Awal. C b C j P 1 P 2 P 3 XB Basic Variabel x 1 x 2 d 1 - d 1 + D 2 - d 2 + d 3 - d 3 + s 1 S 2 s 1 4 3 1 240 s 2 2 1 3 1 100 P 1 d 1 - 50 70 1 -1 700 P 2 d 2 - 1 1 -1 9 P 3 d 3 - 1 1 -1 7 P 3 z j 1 1 -1 7 C j -z j -1 1 P 2 z j 1 1 -1 9 C j -z j -1 1 P 1 z j 50 70 1 -1 700 C j -z j -50 -70 -1 11 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. Keterangan: Sel z j pada kolom dengan c j =P i diberi nilai =1. Contoh: Pada P 3 , baris z j untuk kolom d 3 - dengan koefisien c j = P 3 diberi nilai =1. Pengerjaan dilakukan mulai dari Prioritas-1: 1. kolom kunci adalah kolom x 2 , ditentukan: Max {c j - z j }0. Kolom ini adalah negatif terbesar adalah = -70 menjadi variabel masuk. 2. Baris kunci ditentukan dengan Min { = XBa j } Maka untuk baris: a. s 1 = 80 3 240 b. s 2 100 1 100 c. 1 700 10 70 d d. 2 9 9 1 d e. 3 7 ~ d diabaikan Tabel 2. iterasi 1 C b C j P 1 P 2 P 3 XB Basic Variabel x 1 X 2 d 1 - d 1 + d 2 - d 2 + d 3 - d 3 + s 1 s 2 s 1 4 -3 3 1 204 s 2 2 -1 1 1 91 P 1 d 1 - 50 1 -1 -70 70 70 P 2 x 2 1 1 -1 9 P 3 d 3 - 1 1 -1 7 P 3 z j 1 1 -1 7 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. c j -z j -1 1 P 2 z j c j -z j 1 P 1 z j 50 1 -1 -70 70 70 c j -z j -50 -1 70 -70 Keterangan : 1. kolom kunci adalah kolom d 2 + , ditentukan: Max {c j -z j 0. Kolom ini negatif terbesar adalah -70 menjadi variabel masuk. 2. Baris kunci ditentukan dengan Min { = XBa j }. Maka untuk baris: a. 68 3 204 1 s b. 91 1 91 2 s c. 1 70 70 _ 1 d leaving variable d. 9 1 9 2 x diabaikan e. 3 7 d diabaikan Tabel 3. Iterasi 2 C b C j P 1 P 2 P 3 XB Basic Variabel x 1 x 2 d 1 - d 1 + d 2 - d 2 + d 3 - d 3 + s 1 s 2 s 1 137 - 370 370 1 201 s 2 97 - 170 170 1 91 P 1 d 2 + 57 170 - 170 -1 1 1 13 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. P 2 x 2 57 1 170 -70 -1 10 P 3 d 3 - 1 1 -1 7 P 3 z j 1 1 1 7 C j -z j -1 P 2 z j C j -z j 1 P 1 z j C j -z j 1 Keterangan: Pada tabel 3 ini telah optimal untuk prioritas 1 dan prioritas 2. Karena keduanya telah memenuhi syarat j j z c 1. kolom kunci adalah kolom x 1 , ditentukan : Max {c j -z j 0}. Kolom ini negatif terbesar dengan -1 sehingga x 1 menjadi variabel masuk. 2. Baris kun ci ditentukan dengan Min { =XBa j } Maka untuk baris: a. s 1 = ,.. 108 7 13 201 b. s 2 = 70 7 9 90 c. d 2 + = 5 7 7 5 1 leaving variable d. x 2 = 14 7 5 10 e. d 3 - = 7 1 7 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. Tabel 4. Iterasi- 3. C b C j P 1 P 2 P 3 XB Basic Variabel x 1 x 2 d 1 - d 1 + d 2 - d 2 + d 3 - d 3 + s 1 s 2 S 1 - 225 225 135 - 135 1 9925 S 2 - 125 125 95 -95 1 4415 P 1 X 1 1 150 - 150 -75 75 75 P 2 X 2 1 1 -1 9 P 3 D 3 - - 150 150 75 -75 1 -1 285 P 3 z j - 150 150 75 -75 1 1 285 C j -z j 150 - 150 -75 75 P 2 z j C j -z j 1 P 1 z j C j -z j 1 Keterangan: 1. kolom kunci adalah kolom d 2 - , ditentukan : Max {c j -z j 0}. Kolom ini negatif terbesar dengan -75 sehingga d 2 - menjadi variabel masuk. 2. Baris kunci ditentukan dengan Min { =XBa j } Maka untuk baris: a. s 1 = ,.. 76 5 13 : 5 992 b. s 2 = 49 5 9 : 5 441 c. x 1 = 1 5 7 : 5 7 diabaikan d. x 2 = 9 1 9 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. c. d 3 - = 4 5 7 : 5 28 leaving variable Tabel 5. Iterasi 4 C b C j P 1 P 2 P 3 XB Basic Variabel x 1 x 2 d 1 - d 1 + d 2 - d 2 + d 3 - d 3 + s 1 s 2 S 1 - 991400 991400 -131400 1 197 S 2 - 471400 471400 -91400 1 81 P 1 X 1 1 7200 -7200 1200 7 P 2 X 2 1 1280 -1280 -528 528 5 P 3 D 2 - -1280 1280 1 -1 528 -528 4 P 3 z j 1 1 C j -z j P 2 z j C j -z j P 1 z j C j -z j Pada iterasi 4 ini telah optimal untuk Prioritas-3, karena . j j z c Solusi optimal menunjukkan bahwa: x 1 = 7 dan x 2 = 5. a. s 1 adalah slack variabel untuk departemen type I = 197 jam. Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 240 – 4x7jam + 5x3jam =197 jam b. s 2 adalah slack variabel untuk departemen II = 81 jam. Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 100 – 2 x 7jam + 5 jam = 81 jam. c. d 2 - adalah pencapaian di bawah target underavhievement target dengan penjualan tipe II = 4. Dimana: jumlah tipe II – jumlah target penjualan yang ditetapkan = 5 – 9 = -4. underachievement target. Sehingga pada Prioritas -2 mengalami pencapaian dibawah target penjualan sebesar 4 unit untuk tipe II, tetapi pencapaian target keuntungan sebesar Rp 16 Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009. 700.000,00 rupiah telah tercapai dan penjualan untuk tipe I Prioritas-3 minimal 7 telah tercapai. Dalam kasus tidak pasti pada goal programming, terdapat perbedaan yaitu andaikan koefisien c ij , i = 1, ..., k; j = 1, ..., n mungkin dapat berubah-ubah, mempengaruhi hasil yang dicapai goal dalam daerah negatif. Koefisien variabel ke- j dalam kendala ke- i akan diambil dari nilai asumsi ij c i = 1, ..., k; j = 1, ..., n. Tetapi juga mungkin akan terjadi pengambilan nilai dari interval ij ij c c , , i = 1, ..., k; j = 1, ..., n. Dan andaikan ij ij c i = 1, ..., k; j = 1, ..., n.

2.2 Optimisasi Robust