700.000,00 rupiah telah tercapai dan penjualan untuk tipe I Prioritas-3 minimal 7 telah tercapai.
Dalam kasus tidak pasti pada goal programming, terdapat perbedaan yaitu andaikan koefisien c
ij
, i = 1, ..., k; j = 1, ..., n mungkin dapat berubah-ubah, mempengaruhi hasil yang dicapai goal dalam daerah negatif. Koefisien variabel ke-
j dalam kendala ke- i akan diambil dari nilai asumsi
ij
c i = 1, ..., k; j = 1, ..., n. Tetapi juga mungkin akan terjadi pengambilan nilai dari interval
ij ij
c c ,
, i = 1, ..., k; j = 1, ..., n. Dan andaikan
ij ij
c i = 1, ..., k; j = 1, ..., n.
2.2 Optimisasi Robust
Data tidak pasti saat ini banyak dijumpai dalam masalah optimisasi. Misalnya dalam optimisasi rangkaian supply, keaktualan permintaan untuk suatu produk,
keuntungan finansial, keaktualan keperluan material dan lain-lain adalah tidak tepat diketahui dimana keputusan kritis diperlukan untuk diputuskan. Dalam teknik dan
science, data adalah suatu ukuran error, dimana juga merupakan sumber data yang
tidak pasti dalam model optimisasi.
Dalam optimisasi matematika, umumnya diasumsikan bahwa data adalah tepat pasti diketahu. Kemudian dianalisis untuk meminimumkan atau maksimumkan
fungsi objektif dengan : Minimumkan f
x, D
kendala f
i
x, D
i
≥ 0 I
i
Dimana x adalah vektor dari variabel keputusan dan D
i
, }
{ I
i adalah data
yang merupakan bagian masukan dari maslah optimisasi. Ketika parameter dalam fungsi objektif adalah tidak pasti , tidak mungkin
keinginan untuk nilai optimal diperoleh. Bagaimanapun tingkat penyimpangan yang merugikan sering kali menjadi alasan untuk diperhatikan. Banyak model ingin
mengoptimalkan imbal balik tradeoff untuk mendapatkan solusi yang lebih dipercaya dalam mencapai tujuan yang diinginkan.
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Jika parameter tidak pasti menjadi kendala, kemudian diimplementasikan pada solusi, mungkin kendala menjadi ganguan dalam realisasi dari aktualisasi
data. Dalam banyak praktek masalah optimisasi, gangguan pelanggaran kendala akan mempengaruhi ketidakmampuan solusi yang diperoleh.
Metode klasik yang termasuk parameter tidak pasti adalah analisis sensitivitas dan stochastik. Dalam bentuk pendekatannya, penggunanya mengabaikan pengaruh
data yang tidakpasti dalam model mereka dan berikutnya analisis sensitifitas memberikan solusinya. Bagaimanapun analisis sensitifitas hanya alat untuk
menganalisis kebaikan atau kebenaran dari solusi. Dalam pendekatan stochastik untuk memperoleh solusi yang layak dengan menggunakan perubahan pada
kendala. Optimisasi robust memmberikan pendekatan yang berbeda dalam menangani
data yang tidak pasti. Dalam matematika, robust optimisasi adalah suatu metode pendekatan dalam optimisasi yang berhubungan dengan ketidakpastian. Dalam
model optimisasi memiliki dua komponen yang berbeda yaitu komponen struktural dan komponen kontrol. Untuk mendefinisikan kedua komponen tersebut, akan
diperlihatkan dua variabel himpunan sebagai berikut:
1
n
x R , merupakan vektor variabel keputusan yang memiliki nilai optimal
dengan parameter yang tidak pasti yang disebut design variable. Variabel design ini tidak dapat menjadi suatu realisasi data yang
spesifik
2
n
y R
, merupakan
vektor variabel
keputusan kendali
dimana memperhatikan penyesuaian terhadap suatu parameter yang tidak
pasti. Nilai optimal variabel ini bergantung pada realisasi parameter tidak pasti dan nilai optimal dari design variable.
Istilah design variable dan control variable diambil dari analisis fleksibilitas produksi dan proses distribusi. Variabel design menentukan struktur proses dan
ukuran dari modul produksi. Variabel kendali digunakan untuk mengatur cara dan mutu level dari produksi dalam merespon gangguan dalam proses, mengubah
permintaan hasil produksi, dan sebagainya. 18
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
Model optimisasi dapat dituliskan sebagai berikut: Linear Programming
Minimumkan c
T
x + d
T
y 1
2 1
,
n n
y x
R R
kendala: Ax = b
2 Bx + Cy = e,
3 x, y ≥ 0.
4 Persamaan 2 merupakan kendala dalam matematika programming dan
persamaan 3 merupakan kendala kontrol. Untuk medefinisikan masalah optimisasi robust, andaikan terdapat himpunan
scenario = { 1, 2, 3, ..., S}. Dengan tiap skenario s 鉛 yang kemudian dihubungkan pada himpunan {d
s
, B
s
, C
s
, e
s
} untuk koefisien variabel kendali dan peluang skenario p
s
S s
s
p
1
1
. Solusi optimal dari persamaan 1sd4 akan menjadi robust yang optimal jika sisanya
“close” pada optimal untuk beberapa realisasi skenario s
鉛 yang kemudian disebut dengan istilah solusi robust. model robust adalah solusi robust yang mungkin terjadi bila “hampir” layak untuk
beberapa skenario s.
Hal ini tidak mungkin bahwa untuk persamaan 1sd4 akan layak dan optimal untuk semua skenario s
鉛 . Jika sistem tersebut adalah dibangun model substansial redundan , maka hal itu mungkin memperoleh solusi layak dan optimal.
Sebaliknya, suatu model diperlukan untuk memenuhi tindakan imbal-beli tradeoff diantara solusi robust dan model robust.
Andaikan terdapat himpunan { y
1,
y
2
, ..., y
s
} variabel kendali untuk setiap skenario s
鉛 . Andaikan terdapat himpunan { z
1
, z
2
, ... , z
s
} merupakan vektor error dari kendala kontrol pada scenario. Maka dapat diformulasikan robust model
sebagai berikut:
Minimumkan x
1
, y
1
,...,y
s
+ { z
1
, z
2
, ... , z
s
} 5
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
kendala: Ax = b 6
B
s
x + C
s
y
s
+ z
s
= e
s,
untuk semua s 鉛 7
x ≥ 0, y
s
≥ 0, untuk semua s
鉛 8
Dengan mengalikan skenario, fungsi objektif = c
T
x + d
T
y menjadi variabel acak dengan nilai
s
= c
T
x + d
T s
y
s
, dengan probabilitas p
s
. Oleh karena itu, terdapat pilihan tunggal untuk jumlah nilai objektifnya.
Dengan menggunakan nilai rata-rata : . =
s s
s
p
, 9
dimana fungsi tersebut biasanya digunakan dalam formulasi stokastik linear programming. Dalam analisis pada kasus buruk worst model maximin di
definisikan :
s s
max .
, 10
2. 3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming MIP
Andaikan c, l, u merupakan n-vektor, andaikan A merupakan matriks m x n dan b adalah m-vektor.
Minimumkan c
’
x
kendala
Ax ≤ b l ≤ x ≤ u
x
i
鉛 Z
,
i = 1, ..., k 1
Model data yang tidak pasti U: a.
tidak pasti uncertain untuk Matriks A : Andikan N = { 1, 2, ...,
n}. Tiap entry a
ij,
j 鉛 N adalah model independent, simetris dan
dibatasi variabel random tetapi dengan distribusi yang tidak diketahui
~
, N
j a
ij
yang diambil dalam nilai ]
ˆ ,
ˆ [
ij ij
ij ij
a a
a a
.
b. tidak pasti untuk cost vektor c. Tiap entri c
j
, j
鉛
N nilai
diambil dalm [c
j
, c
j
+ d
j
], dimana d
j
mewakili deviasi dari nominal cost koefisien c
j
. 20
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
U ntuk setiap i, terdapat bilangan
i
, i = 0, 1, ..., m yang diambil nilai dalam interval [0,
]
i
J
, dimana J
i
= {j,
} ˆ
ij
a
. diasumsikan bulat, ketika
i,
i = 1,2,...,m tidak harus selalu integer
. Tugas parameter
i
dalam kendala adalah menyesuaikan metode sifat robust terhadap solusi yang konservatif. Terdapat ke-
i kendala dari persoalan nominal
.
i i
b x
a
Andaikan J
i
adalah himpunan koefisien a
ij
, j
鉛
J
i
independent mengambil nilai sesuai pada distribusi simetrik dengan rata- rata sama dengan nilai nominal a
ij
dalam interval ]
ˆ ,
ˆ [
ij ij
ij ij
a a
a a
. Berbicara dengan intuisi, tidak mungkin bahwa semua a
ij
, j
鉛
J
i,
akan diubah. Tujuan hal ini adalah semua kasus mulai dari koefisien
i
diganti, dan satu koefisien a
it
diganti dengan
.
ˆ
it i
i
a
. Dengan kata lain bahwa menetapkan wilayah terlarang dalam perhitungan dan
hanya koefisien himpunan bagian yang digantikan dalam urutan yang menimbulkan solusi yang berlawanan. Kemudian akan dijamin bahwa jika
dilakukan sifat alami maka solusi robust akan layak.
Lemma
Minimumkan
max
j
j S j
c x d
x
kendala:
max ˆ
ˆ
i i
i
j ij
j ij
j i
i i
a x a
x a
x b
j S t
it
i u
x l
i
x
, .
,..., 1
k i
2
Bukti :
Akan ditunjukkan bagaimana kendala 2 menjadi kendala linear.
Diberikan vektor x , didefinisikan :
i
x =
max ˆ
ˆ
i i
i
j S ij
j i
i it
t
a x
a x
3 Sama dengan :
i
x = maksimumkan
i
J j
ij j
ij
z x
a ˆ
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
kendala
i
J j
i ij
z 4
1
ij
z
i
J j
i,
Persamaan ini equivalen
} \
, ,
} {
{
i i
i i
i i
i i
i
S J
t S
J S
t S
dengan fungsi cost
i i
i
S j
t it
i i
j ij
x a
x a
ˆ ˆ
. Maka dual dari persoalan 4 adalah:
Minimumkan
i
J j
i i
ij
z p
kendala
ˆ
i ij
j ij
ij i
z p
x a
p z
i J
j J
j
i i
5
Dari aturan dualitas, karena persamaan 4 feasible dan terbatas untuk semua
i
[0,
]
i
J
, maka dual persamaan 6 juga layak dan terbatas
i
[0,
]
i
J
. Sehingga diperoleh bahwa
i
x adalah sama dengan nilai fungsi objektif pada
persamaan 5. 22
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
BAB 3 PEMBAHASAN
3.1
Solusi robust dari masalah goal programming dengan posible varians negatif pada sisi sebelah kiri tujuan.
Ada 3 ide yang berhubungan dengan konsep solusi robust optimal yaitu: a. Solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal untuk
kemungkinan nilai terburuk worst dari koefisien yang diasumsikan dalam intarval variansnya penyimpangan. Terburuk maksudnya adalah
minimal untuk maksimum fungsi objektif dan untuk kendala lebih besar atau sama dan maksimal dalam kasus lainnya.
b. Dengan mengaplikasikan definisi di a tas , diperoleh kasus “pessimistic”,
dimana akan direduksi dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan koefisien himpunan pada kemungkinan nilai terburuk. Suatu solusi
robust dapat sangat mudah diperoleh, tetapi kualitas nilai fungsi objektif mungkin sangat buruk. Dalam banyak kasus terdapat pendekatan yang
terlalu pesimistik, dengan segala asumsi yang bisa saja salah, dan bahwa semua koefisien mungkin berubah-ubah pada arah negatif secara simultan.
c. Pada pendekatan dengan sifat alami nature, diasumsikan bahwa hanya beberapa koefisien yang akan benar-benar diganti misalnya hanya harga
beberapa produk akan turun, tidak semua produk. Tentu tidak dapat diketahui koefisien yang mana diganti dan dalam pendekatan hal itu tidak
perlu memilih koefisien yang diduga akan di ganti. Hanya hal yang dibutuhkan adalah perkiraan untuk fungsi objektif dan tiap kendala itu
masing-masing, apakah opini memaksimalkan koefisien dapat diganti dengan nilai yang relatif normal.
Desi Vinsensia : Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust, 2009.
