Studi Tentang Goal Programming Dengan Pendekatan Optimisasi Robust

(1)

STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN

PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST

SKRIPSI

DESI VINSENSIA

050803023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2009

(2)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar sarjana sains

DESI VINSENSIA

050803023

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2009

(3)

PERSETUJUAN

Judul : STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST

Kategori : SKRIPSI

Nama : DESI VINSENSIA

Nomor Induk Mahasiswa : 050803023

Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Oktober 2009

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Esther S.M Nababan Prof.Dr. Herman Mawengkang NIP: 196103181987112001 NIP: 194611281974031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP: 194601091988031004

(4)

PERNYATAAN

STUDI TENTANG GOAL PROGRAMMING DENGAN PENDEKATAN OPTIMISASI ROBUST

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Oktober 2009

Desi Vinsensia NIM: 050803023

(5)

ABSTRAK

Goal programming memiliki tujuan atau target yang diperingkatkan oleh pembuat keputusan menurut skala prioritasnya. Dalam kasus yang mengandung ketidak pastian, optimisasi robust memberikan solusi layak untuk semua parameter yang tidak pasti. Dalam hal ini, goal programming yang mengandung ketidak pastian diaplikasikan dalam pendekatan optimisasi robust yang biasanya hanya digunakan pada linear programming. Solusi robust memberikan nilai optimal worst deviasi dari total deviasi dengan mengganti parameter yang bersifat bulat pada setiap kendalanya dan tidak mengubah kendalanya.

iv iii

(6)

ABSTRACT

Goal prgramming have ranked goals by decision maker according that priority. In uncertainty case, robust optimimization give a feasible solution for all uncertain parameters. In this case, uncertainty goal programming presented robust optimization approach wich is this approach using only the linear programming methods. The robust solution give the worst optimal value of the total deviation by changing the integer parameters in every constraint and not changes that the constraint.

(7)

PENGHARGAAN

Segala Puji dan Syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang merupakan salah satu syarat untuk menempuh ujian sarjana di departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang ”Studi tentang Goal Programming dengan Pendekatan Optimisasi Robust”.

Dalam kesempatan ini, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Prof.Dr. Herman Mawengkang selaku dosen dan pembimbing I yang telah memberikan banyak bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini. 2. Dra.Esther S.M Nababan, M.Sc selaku dosen dan pembimbing II atas

bantuan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini.

3. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si dan Bapak Drs. Djakaria Sebayang selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc selaku ketua jurusan departemen matematika FMIPA USU.

5. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto M.Sc selaku Dekan FMIPA USU.

6. Semua Dosen Departemen Matematika FMIPA USU dan Pegawai FMIPA USU.

7. Buat keluarga terkasih bapak dan mama tercinta Sarman Dani, S.Pd dan B. Gurning serta abang dan adik terkasih, Fransiskus Surya Dani, dan Nopita Agustina atas segala cinta, pengorbanan, motivasi sertya doa yang sangat berarti dalam hidup penulis.

8. Buat sahabat-sahabat Evalina, Ade Nofe, Elisabet, dan wonderful gift yang sangat banyak membantu, selalu menyemangati, dan mendukung selama proses pengerjaan skripsi ini.

(8)

9. Seluruh rekan-rekan Matematika stambuk 2005 seperjuangan, d’Da, k’Mala, Happy, Udur, Elis dan lain-lain, serta seluruh teman-teman yang tidak dapat disebutkan nama-namanya satu persatu yang selalu mendukung penulis selama penyelesaian skripsi ini, Tuhan Yesus memberkati.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan masukan dan kritikan yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.

Medan, Desember 2009

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Abstrak iv

Abstract v

Penghargaan vi

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 3

1.3 Tujuan dan manfaat Penelitian 3

1.4 Metodologi Penelitian 3

1.5 Tinjauan Pustaka 4

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Goal programming 6

2.2 Optimisasi Robust 16

2.3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming 19 BAB III PEMBAHASAN

3.1 Solusi Robust dari Masalah Goal Programming dengan Possible Varians Negatif pada sisi Sebelah Kiri Tujuan

(Goal) 22

3.2 Kriteria Single Linear Programming terhadap Solusi

M-Robust Goal Programming 23

3.3 Studi Kasus Masalah Perusahaan dengan 3 tipe Produksi 25

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 33

4.2 Saran 33

(10)

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN 34

(11)

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1 Tabel awal Simpleks 11

2 Tabel iterasi 1 12

3 Tabel iterasi 2 13

4 Tabel iterasi 3 14

5 Tabel iterasi 4 15

6 Tabel jumlah kendala probuksi 25

7 Tabel jumlah kendala dengan varians 26

(12)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Goal programming merupakan perluasan dari linear programming untuk mencapai tujuan atau target yang diinginkan. Formulasi awal goal programming pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming. Variabel keputusan harus didefinisikan terlebih dahulu. Selanjutnya tujuan-tujuan manajerial harus dispesifikasikan berikut tingkat kepentingannya. Kemudian mencari solusi yang meminimumkan total penyimpangan tujuan-tujuan tersebut dari target-targetnya, atau dengan kata lain goal programming merupakan alat analisis untuk meminimumkan deviasi (penyimpangan) berbagai tujuan, sasaran, atau target yang telah ditetapkan, sehingga memenuhi target (mendekati target) yang telah ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

Karakteristik yang membedakan goal programming dan linear programing adalah: tujuan-tujuan itu diperingkatkan oleh pembuat keputusan sesuai dengan peringkat ordinalnya melalui prosedur goal programming. Walaupun ada kemungkinan bahwa tidak seluruh tujuan bisa dicapai, namun untuk solusi persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati target-target yang telah menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi penyimpangan maka penyimpangan-penyimpangan itu minimum .

Awal aplikasi goal programming dilakukan oleh Charnes dan Cooper (1981). Charnes dan Cooper mengembangkan pendekatan program tujuan untuk memperoleh solusi yang memuaskan, yang tidak bisa diperoleh dengan pendekatan linear programming karena adanya konflik atau penyimpangan antar tujuan. Secara matematis dapat dituliskan dengan situasi sebagai berikut:

(13)

cjk = koefisien xj (j = 1, 2, 3, ..., n) pada fungsi obyektif dalam setiap tujuan-k pada fungsi obyektif dalam setiap tujuan-k (k = 1, ,2, ..., k),

bk = target untuk tujuan-k.

/ k

d = variabel penyimpangan yang merepresentasikan tingkat pencapaian melebihi target dan pencapaian di bawah target.

Formula umum goal programming dapat dituliskan secara lengkap sebagai: Zmin = ( )

1 K k

k d

d kendala:

n j

k k k j

jkx d d b

) (

0 , _k/

j d

Goal Programming saat ini dalam prakteknya sudah banyak dipakai dalam menyelesaikan berbagai permasalahan linear programming. Namun beberapa kasus model teknik optimisasi, goal programming ini menghadapai bebagai permasalahan dimana hasil yang diperoleh berada pada situasi yang tidak pasti (uncertainty). Kemudian dikembangkan beberapa pendekatan untuk model yang tidak pasti yaitu melalui pendekatan stochastik dan pendekatan robust optimisasi.

Pada tulisan ini penulis menggunakan suatu pendekatan pada goal programming yaitu dengan “Pendekatan τptimisasi Robust” yang selama ini diaplikasikan pada tujuan tunggal pada linier programming. Optimisasi robust merupakan suatu masalah model optimisasi dengan data yang mengandung ketidak pastian (uncertainty) untuk memperoleh solusi yang baik untuk semua parameter yang tidak pasti . Optimisasi robust merupakan metode pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan program stokastik dimana beberapa parameternya adalah variabel acak, kecuali kelayakan (feasibility) untuk semua realisasi yang mungkin (scenario) diganti dengan fungsi penalty pada fungsi objektifnya.

(14)

Dengan pendekatan ini dimaksudkan untuk menemukan solusi layak solusi yang tidak pasti, mengaplikasikan pendekatan yang disebut pendekatan robust pada goal programming dan multicriteria pada umumnya.

1.2 Identifikasi Masalah

Goal programming merupakan suatu teknik optimisasi untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan yang memiliki banyak tujuan dengan mendekati target-target yang menjadi tujuan sedekat mungkin dan meminimumkan penyimpangan-penyimpangan yang ada. Masalah yang diangkat dalam tulisan ini adalah: Bagaimana goal programming dapat diselesaikan dengan pendekatan optimisasi robust, sehingga penyimpangan yang diperoleh menjadi layak dalam situasi yang tidak pasti.

1.3Tujuan dan Manfaat Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan solusi dari total penyimpangan terburuk dari goal (tujuan) dalam situasi yang tidak pasti, jika salah satu parameter dari tujuan yang ada diubah dan dengan kendala yang sama, sehingga penyimpangan yang ada dapat diminimumkan. Manfaat dari penelitian ini adalah melalui pendekatan robust solusi ini dapat memudahkan pengambilan keputusan dari suatu permasalahan yang mengandung ketidak pastian.

1.4Metodologi Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah-langkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Meninjau tentang goal programming dan mendefinisikan situasi yang tidak pasti tesebut dalam goal programming.

(15)

b. Menjelaskan tentang pendekatan robust dalam literatur.

c. Mengaplikasikan pendekatan robust pada goal programming dalam situasi yang tidak pasti.

d. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil yang diperoleh dan memberi saran-saran jika ada.

1.5 Tinjauan Pustaka

A. Ben-Tal, A. Goryashko, E. Guslitzer, A. Nemirovski dalam papernya yang berjudul “Adjustable Robust Solutions of Uncertain Linier Program” menyatakan bahwa optimisasi robust adalah suatu metode atau pendekatan yang berhubungan permasalahan optimisasi yang tidak pasti (uncertain).

Bernard Taylor III (1996) dalam bukunya yang berjudul “Sains Manajemen” menyatakan bahwa program tujuan merupakan variasi program linier untuk masalah-masalah dimana terdapat lebih dari satu tujuan, yang secara khusus berguna untuk organisasi yang tidak mempunyai satu tujuan yang dapat didefinisikan secara jelas seperti memaksimalkan keuntungan dan meminimumkan kerugian.

B. D. Nasendi, Affendi Anwar (1985) dalam bukunya “Program Linier Dan Variannsnya”, menyatakan bahwa goal programing merupakan alat analisis untuk meminimumkan deviasi (penyimpangan) berbagai tujuan, sasaran, atau target yang telah ditetapkan, sehingga memenuhi target (mendekati target) yang telah ditentukan menurut skala prioritasnya masing-masing.

David G, Dannenbring, Marthin K.Starr (1981) dalam bukunya yang berjudul “Management Science An Introduction”, mengatakan bahwa goal programming adalah suatu metode untuk memaksimalkan sasaran dari beberapa multitujuan atau target yang ada dengan mengurutkan tujuan berdasarkan prioritasnya.

(16)

Dorota Kuchta (2004) dalam papernya “ Robust Goal Programming”, menyatakan solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal jika terdapat perubahan pada parameter dari keputusannya.

Ricard I.Levin, dkk (1992) dalam bukunya yang berjudul “Quantitative

Approaches to Management” menyatakan bahwa goal programing adalah variasi algoritma simpleks dimana pembuat keputusan mengijinkan untuk menentukan multiobjective dan target dari tujuannya yang kemudian diurutkan berdasarkan tingkat kepentinganya.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1Goal Programming

Dalam memformulasikan dan solusi persoalan dalam program linier, proses pemodelannya difokuskan pada tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Sehingga para pembuat keputusan berusaha agar berbagai tujuan perusahaan menjadi satu tujuan tunggal. Padahal dalam berbagai proses pembuatan keputusan dalam dunia nyata, pengintegrasian berbagai tujuan menjadi sebuah tujuan tunggal saja sebenarnya tidak selalu tepat. Misalnya suatu perusahaan tidak sekedar bertujuan memaksimumkan keuntungan saja, tetapi secara bersamaan juga bertujuan untuk menjaga kestabilan penggunaan tenaga kerja, meningkatkan pangsa pasar atau membatasi peningkatan harga jual.

Untuk menganalisis dan membuat solusi persoalan untuk melibatkan berbagai tujuan digunakan teknik goal programming. Goal programming merupakan suatu metode yang melibatkan berbagai tujuan yang bahkan saling konflik ke dalam proses formulasinya, berikut prioritas tujuannya. Formulasi goal programming pada dasarnya mirip dengan formulasi dalam linear programming. Perbedaan antara goal programming dan linear programming adalah terletak pada struktur dan penggunaan fungsi tujuan. Dalam linear programming fungsi tujuaannya hanya mengandung satu tujuan, sementara dalam goal programming semua tujuan digabungkan dalam sebuah fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan dengan mengekpresikan tujuan itu dalam bentuk suatu kendala (constraint), memasukkan suatu variabel simpangan (variable deviation) dalam kendala untuk mencerminkan seberapa jauh tujuan itu dicapai, dan menggabungkan variabel simpangan dalam fungsi tujuan.

Dalam linear programming tujuannya bisa maksimasi atau minimasi, sementara dalam goal programming tujuannya adalah meminumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan tertentu. sehingga hal ini berarti semua masalah goal programming adalah masalah minimasi. Karena

(18)

penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan itu diminimumkan, goal programming dapat menangani tujuan yang saling konflik. Jika terdapat banyak tujuan, prioritas atau urutan ordinalnya dapat ditentukan, dan proses penyelesaian goal programming dapat berjalan sedemikian rupa sehingga tujuan dengan prioritas tertinggi dipenuhi sedekat mungkin sebelum memikirkan tujuan-tujuan dengan prioritas yang lebih rendah. Jika linear programming berusaha mengidentifikasi solusi optimum dari suatu himpunan solusi yang layak, goal programming ingin meminumkan penyimpangan-penyimpangan dari tujuan-tujuan dengan mempertimbangkan hirarki prioritas.

Secara matematis goal programming dapat dituliskan situasi sebagai berikut: x1, x2, ..., xn = variabel keputusan

m = banyaknya tujuan yg dipertimbangkan

cjk = koefisien xj ( j= 1, 2, 3, ..., n) pada fungsi objektif dalam setiap tujuan-k (k=1, 2, 3, ..., m),

bk = target untuk tujuan-k.

Solusi untuk persoalan goal programming adalah bagaimana mendekati target-target yang telah menjadi tujuan itu sedekat mungkin, dan jika terjadi penyimpangan maka penyimpangan-penyimpangan itu minimum.

n j

j x b

1 1

n j

j b

x c

2 2

. . . . . .

n j

k j jkx b

Karena tidak mungkin dapat mencapai seluruh target, maka perlu didefinisikan sebuah fungsi objektif menyeluruh untuk goal programming yang kompromistis dengan tujuan mencapai berbagai target. Dengan asumsi bahwa penyimpangan itu bisa bernilai positif dan negatif, maka fungsi objektif menyeluruh untuk persoalan goal programming dapat ditulis sebagai berikut:

(19)

m k n j k j jkx b

c Z

1 1

min

Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai preferensi atau fungsi pencapaian (achievement function) terbatas kepada penyimpangan target.

Dengan membuat variabel baru pada fungsi obyektif yang dapat didefinisikan sebagai: n j k j jk

k c x b

,untuk k = 1, 2, ..., m Seghingga fungsi objektif goal programming menjadi:

m k k d Z 1 min

Karena dk bisa bernilai positif atau negatif, maka variabel ini dapat diganti dengan dua variabel non negatif baru, sehingga dk= dk+ - dk-, dimana dk+ dan dk- ≥0.

k k k k

k d d d d

dk+ dan dk- merupakan variabel penyimpangan (deviational variables) yang merepresentasikan tingkat pencapaian melebihi target (over achievement) dan pencapaian di bawah target (under achievement). Secara bersamaan, tidak mungkin terjadi kelebihan target, maka berlaku hubungan: dk+ x dk- = 0.

Formula umum goal progaramming dapat dituliskan sebagai berikut:

m k k k d d Z 1 min kendala: n j k k k j

jkx d d b

c 1 0 ) , ( / k j d x

Dalam formulasi goal progamming ini setiap target dimasukkan dalam kendala-kendala dalam persamaan. Fungsi kendala semacam ini disebut sebagai kendala tujuan (goal constraint), di mana di dalam persamaannya telah melibatkan variabel deviasi, dk+ dan dk- dimana dalam program linier kedua peubah tersebut adalah slek dan surplus. Sehingga yang dinilai dan dianalisis dalam goal programming bukanlah tingkat kegiatannya, tetapi deviasi dari tujuan, sasaran atau target yang ditimbulkan oleh adanya nilai penyelesaian tersebut. Dalam mencapai deviasi plus dan deviasi minus dari tujuan atau target tidak dapat diperoleh secara

(20)

sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah dari peubah deviasional atau kedua-duanya akan menjadi nol.

Pada beberapa situasi, deviasi (penyimpangan) dari suatu target tertentu menjadi lebih penting bagi pembuat keputusan dibanding penyimpangan target lainnya. Demikian pula, pada sebuah target tertentu, bisa saja penyimpangannya jauh lebih penting dari penyimpangan target lainnya dengan arah yang berlawanan. Pada situasi seperti ini, maka bisa dimasukkan bobot yang berbeda (differential weight), wk+ dan wk- pada setiap penyimpangannya:

m k

k k k

kd w d

w Z

1 min

kendala:

n j

k k k j

jkx d d b

) (

0 , _k/_

j d

Contoh:

Sebuah perusahaan perabot rumah tangga yang bergerak dalam bidang produksi mabel, memiliki dua produk yang paling disenangi, yaitu perabot tipe I (dibuat dengan bahan kayu jati) dan perabot tipe II ( dibuat dengan kayu meranti).

Perabot tipe I Perabot tipe II Waktu departemen I 4 jam 3 jam Waktu departemen II 2 jam 1 jam

Dengan tersedia 240 jam kerja pada departemen I tiap minggunya dan 100 jam kerja pada departemen II. Keutungan bersih perabot tipe I adalah Rp 50.000/set, sedangkan perabot tipe II adalah Rp 70.000/set. Pemilik perusahaan menginginkan untuk mendapatkan keuntungan sebesar Rp 700.000 dari seluruh tipe dengan jumlah perabot tipe I ingin dijual 7 set, dan penjualan tipe II ditargetkan harus terjual sebanyak 9 set.

Penyelesaian:

Andaikan : x1 = Perabot tipe I

(21)

x2 = Perabot tipe II

Dari kasus di atas dapat dirumuskan dengan menambahkan tiga peubah deviasional, di mana untuk setiap tujuan atau target harus memiliki pasangan (deviasi plus dan deviasi minus).

dengan:

d1- = jumlah Rp di mana target keuntungan yang ditetapkan tidak tercapai atau di bawah target.

d1+ = jumlah Rp dimana target keuntungan yang ditetapkan melebihi target yang ditentukan.

d2- = jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan tidak mencapai target. d2+ = jumlah penjualan perabot tipe II yang ditetapkan melebihi target. d3- = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan tidak mencapai target. d3+ = jumlah penjualan perabot tipe I yang ditetapkan melebihi target. Maka model persoalan di atas menjadi:

Minimumkan Z d₁ d₂ d₃ kendala:

000 . 700 000

. 70 000

50 x₁ x₂ d₁ d₁_ x2 + d2+ - d2- = 9 x1 + d3+ - d3- = 7 4x1 + 3x2 ≤ 240 2x1 + x2 ≤ 100 dan ( x1, x2, d1-, d1+, d2-, d2+, d3-, d3+) ≥ 0

Pada masalah perusahaan tersebut pemilik perusahaan telah memiliki target yang ingin dicapai yaitu keuntungan yaitu sebesar Rp 700.000, dengan penjualan tipe mebel yang telah diterapkan. Untuk itu sang pemilik mengurutkan atau memberi prioritas terhadap target yang ingin dicapainya.

No Target Prioritas

1 Mengahasilkan total keuntungan paling sedikit 1

(22)

2 Penjualan x2 minimal 9 unit 2 3 Penjualan x1 minimal 7 unit 3

Maka formulasi goal programming kasus di atas dapat ditulis dengan:

1 1 2 2 3 3

1 2 1 1

2 2 2

1 3 3

1 2 1

1 2 2

( ) ( ) ( )

min :

50 70 700

9 7

4 3 240

2 100

( , , ) 0; 1, 2, 3

i i i

Z P d P d P d

kendala

x x d d

x d d

x x s

x d s i

Dengan metode simplex, formulasi dapat diselesaikan sebagai berikut: Tabel 1. Tabel Awal.

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

-d1+ D2- d2+ d3- d3+ s1 S2

0 s1 4 3 0 0 0 0 0 0 1 0 240

0 s2 2 1 3 0 0 0 0 0 0 1 100

P1 d1- 50 70 1 -1 0 0 0 0 0 0 700

P2 d2- 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

P3 d3- 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

zj 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

Cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

P2 zj 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

Cj-zj 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 0

P1 zj 50 70 1 -1 0 0 0 0 0 0 700

(23)

Keterangan:

Sel zj pada kolom dengan cj=Pi diberi nilai =1. Contoh: Pada P3, baris zj untuk kolom d3- ( dengan koefisien cj = P3) diberi nilai =1.

Pengerjaan dilakukan mulai dari Prioritas-1:

1. kolom kunci adalah kolom x2, ditentukan: Max {cj- zj}<0. Kolom ini adalah negatif terbesar adalah (= -70) menjadi variabel masuk.

2. Baris kunci ditentukan dengan Min { = XB/aj} Maka untuk baris:

a. s1 = 80 3 240

b. s2 100 1

100

700

10

70 d

9

1 d

7 ~ (

)

0 d

diabaikan

Tabel 2. iterasi 1

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 X2 d1

-d1+ d2- d2+ d3- d3+ s1 s2

0 s1 4 0 0 0 -3 3 0 0 1 0 204

0 s2 2 0 0 0 -1 1 0 0 0 1 91

P1 d1- 50 0 1 -1 -70 70 0 0 0 0 70

P2 x2 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

P3 d3- 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

P3 zj 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

(24)

cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 P2

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

P1 zj 50 0 1 -1 -70 70 0 0 0 0 70

cj-zj -50 0 0 -1 70 -70 0 0 0 0

Keterangan :

1. kolom kunci adalah kolom d2+, ditentukan: Max {cj-zj<0. Kolom ini negatif terbesar adalah (-70) menjadi variabel masuk.

2. Baris kunci ditentukan dengan Min { = XB/aj }. Maka untuk baris:

a. 68

3 204

b. 91 1 91

c. 1

70 70

_ 1

d (leaving variable)

d. 9

1 9

x (diabaikan)

e. 3

( )

d diabaikan

Tabel 3. Iterasi 2

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

-d1+ d2- d2+ d3- d3+ s1 s2 0 s1 13/7 0

-3/70 3/70 0 0 0 0 1 0 201

0 s2 9/7 0

-1/70 1/70 0 0 0 0 0 1 91

P1 d2+ 5/7 0 1/70

(25)

P2 x2 5/7 1 1/70 -/70 0 0 0 -1 0 0 10

P3 d3- 1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 7

P3 zj 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 7

Cj-zj -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P2 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Keterangan:

Pada tabel 3 ini telah optimal untuk prioritas 1 dan prioritas 2. Karena keduanya telah memenuhi syarat (c_j z_j) 0

1. kolom kunci adalah kolom x1, ditentukan : Max {cj-zj<0}. Kolom ini negatif terbesar dengan (-1) sehingga x1 menjadi variabel masuk. 2. Baris kunci ditentukan dengan Min { =XB/aj}

Maka untuk baris:

a. s1 = 108,.. 7

13 201

b. s2 = 70 7 9 90

c. d2+ =

5 7 7 5

leaving variable

d. x2 = 14 7 5 10

e. d3- = 7 1 7

(26)

Tabel 4. Iterasi- 3.

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

-d1+ d2- d2+ d3- d3+ s1 s2

0 S1 0 0

-2/25 2/25 13/5

-13/5 0 0 1 0 992/5

0 S2 0 0

-1/25 1/25 9/5 -9/5 0 0 0 1 441/5

P1 X1 1 0 1/50

-1/50 -7/5 7/5 0 0 0 0 7/5

P2 X2 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9

P3 D3- 0 0

-1/50 1/50 7/5 -7/5 1 -1 0 0 28/5

zj 0 0

-1/50 1/50 7/5 -7/5 1 1 0 0 28/5

Cj-zj 0 0 1/50

-1/50 -7/5 7/5 0 0 0 0

zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Keterangan:

1. kolom kunci adalah kolom d2-, ditentukan : Max {cj-zj<0}. Kolom ini negatif terbesar dengan (-7/5) sehingga d2- menjadi variabel masuk. 2. Baris kunci ditentukan dengan Min { =XB/aj}

Maka untuk baris:

a. s1 = 76,.. 5

13 : 5 992

b. s2 = 49 5 9 : 5 441

c. x1 = 1

5 7 : 5 7

(diabaikan) d. x2 = 9

1 9

(27)

c. d3- = 4 5 7 : 5 28

(leaving variable) Tabel 5. Iterasi 4

Cj 0 0 P1 0 P2 0 P3 0 0 0

XB Basic

Variabel x1 x2 d1

-d1+ d2- d2+ d3- d3+ s1 s2 0 S1 0 0

-99/1400 99/1400 0 0 -13/1400 0 1 0 197

0 S2 0 0

-47/1400 47/1400 0 0 -9/1400 0 0 1 81

P1 X1 1 0 7/200 -7/200 0 0 1/200 0 0 0 7

P2 X2 0 1 1/280 -1/280 0 0 -5/28 5/28 0 0 5

P3 D2- 0 0 -1/280 1/280 1 -1 5/28 -5/28 0 0 4

zj 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P2 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P1 zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Pada iterasi 4 ini telah optimal untuk Prioritas-3, karena (c_j z_j) 0. Solusi optimal menunjukkan bahwa: x1*= 7 dan x2* = 5.

a. s1 adalah slack variabel untuk departemen type I = 197 jam.

Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 240 – (4x7jam + 5x3jam) =197 jam

b. s2 adalah slack variabel untuk departemen II = 81 jam.

Dimana: kapasitas jam proses –total penggunaan jam = 100 – ( 2 x 7jam + 5 jam) = 81 jam.

c. d2- adalah pencapaian di bawah target ( underavhievement target) dengan penjualan tipe II = 4.

Dimana: jumlah tipe II – jumlah target penjualan yang ditetapkan = (5 – 9) = -4. ( underachievement target).

Sehingga pada Prioritas -2 mengalami pencapaian dibawah target penjualan sebesar 4 unit untuk tipe II, tetapi pencapaian target keuntungan sebesar Rp

(28)

700.000,00 rupiah telah tercapai dan penjualan untuk tipe I (Prioritas-3) minimal 7 telah tercapai.

Dalam kasus tidak pasti pada goal programming, terdapat perbedaan yaitu andaikan koefisien cij, i = 1, ..., k; j = 1, ..., n mungkin dapat berubah-ubah, mempengaruhi hasil yang dicapai goal dalam daerah negatif. Koefisien variabel ke-j dalam kendala ke- i akan diambil dari nilai asumsi c (i = 1, ..., k; j = 1, ..., n). _ij Tetapi juga mungkin akan terjadi pengambilan nilai dari interval c ,_ij cij , ( i = 1,

..., k; j = 1, ..., n). Dan andaikan _ij c ( i = 1, ..., k; j = 1, ..., n). _ij

2.2Optimisasi Robust

Data tidak pasti saat ini banyak dijumpai dalam masalah optimisasi. Misalnya dalam optimisasi rangkaian supply, keaktualan permintaan untuk suatu produk, keuntungan finansial, keaktualan keperluan material dan lain-lain adalah tidak tepat diketahui dimana keputusan kritis diperlukan untuk diputuskan. Dalam teknik dan science, data adalah suatu ukuran error, dimana juga merupakan sumber data yang tidak pasti dalam model optimisasi.

Dalam optimisasi matematika, umumnya diasumsikan bahwa data adalah tepat (pasti) diketahu. Kemudian dianalisis untuk meminimumkan (atau maksimumkan) fungsi objektif dengan :

Minimumkan f0 (x, D0)

kendala fi ( x, Di ) ≥ 0 i I

Dimana x adalah vektor dari variabel keputusan dan Di, i I {0} adalah data yang merupakan bagian masukan dari maslah optimisasi.

Ketika parameter dalam fungsi objektif adalah tidak pasti , tidak mungkin keinginan untuk nilai optimal diperoleh. Bagaimanapun tingkat penyimpangan yang merugikan sering kali menjadi alasan untuk diperhatikan. Banyak model ingin mengoptimalkan imbal balik (tradeoff) untuk mendapatkan solusi yang lebih dipercaya dalam mencapai tujuan yang diinginkan.

(29)

Jika parameter tidak pasti menjadi kendala, kemudian diimplementasikan pada solusi, mungkin kendala menjadi ganguan dalam realisasi dari aktualisasi data. Dalam banyak praktek masalah optimisasi, gangguan (pelanggaran) kendala akan mempengaruhi ketidakmampuan solusi yang diperoleh.

Metode klasik yang termasuk parameter tidak pasti adalah analisis sensitivitas dan stochastik. Dalam bentuk pendekatannya, penggunanya mengabaikan pengaruh data yang tidakpasti dalam model mereka dan berikutnya analisis sensitifitas memberikan solusinya. Bagaimanapun analisis sensitifitas hanya alat untuk menganalisis kebaikan atau kebenaran dari solusi. Dalam pendekatan stochastik untuk memperoleh solusi yang layak dengan menggunakan perubahan pada kendala.

Optimisasi robust memmberikan pendekatan yang berbeda dalam menangani data yang tidak pasti. Dalam matematika, robust optimisasi adalah suatu metode pendekatan dalam optimisasi yang berhubungan dengan ketidakpastian. Dalam model optimisasi memiliki dua komponen yang berbeda yaitu komponen struktural dan komponen kontrol. Untuk mendefinisikan kedua komponen tersebut, akan diperlihatkan dua variabel himpunan sebagai berikut:

1 n

x R , merupakan vektor variabel keputusan yang memiliki nilai optimal

dengan parameter yang tidak pasti yang disebut design variable. Variabel design ini tidak dapat menjadi suatu realisasi data yang spesifik

2 n

y R , merupakan vektor variabel keputusan kendali dimana memperhatikan penyesuaian terhadap suatu parameter yang tidak pasti. Nilai optimal variabel ini bergantung pada realisasi parameter tidak pasti dan nilai optimal dari design variable.

Istilah design variable dan control variable diambil dari analisis fleksibilitas produksi dan proses distribusi. Variabel design menentukan struktur proses dan ukuran dari modul produksi. Variabel kendali digunakan untuk mengatur cara dan mutu (level) dari produksi dalam merespon gangguan dalam proses, mengubah permintaan hasil produksi, dan sebagainya.

(30)

Model optimisasi dapat dituliskan sebagai berikut: Linear Programming

Minimumkan cT x + dT y (1)

_x _Rn1_,_y _Rn2 kendala:

Ax = b (2)

Bx + Cy = e, (3)

x, y ≥ 0. (4)

Persamaan 2 merupakan kendala dalam matematika programming dan persamaan 3 merupakan kendala kontrol.

Untuk medefinisikan masalah optimisasi robust, andaikan terdapat himpunan scenario = { 1, 2, 3, ..., S}. Dengan tiap skenario s 鉛 yang kemudian dihubungkan pada himpunan {ds, Bs, Cs, es} untuk koefisien variabel kendali dan peluang skenario ps

S s

) 1

( . Solusi optimal dari persamaan (1)s/d(4) akan menjadi robust yang optimal jika sisanya “close” pada optimal untuk beberapa realisasi skenario s 鉛 yang kemudian disebut dengan istilah solusi robust. model robust adalah solusi robust yang mungkin terjadi bila “hampir” layak untuk beberapa skenario s.

Hal ini tidak mungkin bahwa untuk persamaan (1)s/d(4) akan layak dan optimal untuk semua skenario s 鉛 . Jika sistem tersebut adalah dibangun model substansial redundan , maka hal itu mungkin memperoleh solusi layak dan optimal. Sebaliknya, suatu model diperlukan untuk memenuhi tindakan imbal-beli (tradeoff) diantara solusi robust dan model robust.

Andaikan terdapat himpunan { y1, y2, ..., ys} variabel kendali untuk setiap skenario s 鉛 . Andaikan terdapat himpunan { z1, z2, ... , zs} merupakan vektor error dari kendala kontrol pada scenario. Maka dapat diformulasikan robust model sebagai berikut:

(31)

kendala: Ax = b (6)

Bs x + Csys + zs = es, untuk semua s 鉛 (7)

x ≥ 0, ys ≥ 0, untuk semua s 鉛 (8)

Dengan mengalikan skenario, fungsi objektif = cT x + dT y menjadi variabel acak dengan nilai s = cT x + dTs ys, dengan probabilitas ps. Oleh karena itu, terdapat pilihan tunggal untuk jumlah nilai objektifnya.

Dengan menggunakan nilai rata-rata : (.) =

s s s

p , (9)

dimana fungsi tersebut biasanya digunakan dalam formulasi stokastik linear programming. Dalam analisis pada kasus buruk (worst) model maximin di definisikan :

max

(.) , (10)

2. 3 Formulasi Robust Mixed Integer Programming (MIP)

Andaikan c, l, u merupakan n-vektor, andaikan A merupakan matriks m x n dan b adalah m-vektor.

Minimumkan c’x

kendala Ax ≤ b

l ≤ x ≤ u

xi鉛 Z, i = 1, ..., k (1) Model data yang tidak pasti U:

a. tidak pasti (uncertain) untuk Matriks A : Andikan N = { 1, 2, ..., n}. Tiap entry aij, j 鉛 N adalah model independent, simetris dan dibatasi variabel random ( tetapi dengan distribusi yang tidak diketahui)

,j N

a_ij yang diambil dalam nilai [a_ij aˆ_ij,a_ij aˆ_ij]. b. tidak pasti (untuk cost vektor c). Tiap entri cj, j

鉛

N nilai

diambil dalm [cj, cj + dj], dimana dj mewakili deviasi dari nominal cost koefisien cj.

(32)

Untuk setiap i, terdapat bilangan i, i = 0, 1, ..., m yang diambil nilai dalam interval [0, J_i ], dimana Ji = {j,aˆij 0}. 0 diasumsikan bulat, ketika i, i =

1,2,...,m tidak harus selalu integer. Tugas parameter i dalam kendala adalah menyesuaikan metode sifat robust terhadap solusi yang konservatif. Terdapat ke-i kendala darke-i persoalan nomke-inal aix bi. Andaikan Ji adalah himpunan koefisien aij, j

鉛

J_iindependent mengambil nilai sesuai pada distribusi simetrik dengan rata-rata sama dengan nilai nominal aij dalam interval [a_ij aˆ_ij,a_ij aˆ_ij]. Berbicara dengan intuisi, tidak mungkin bahwa semua aij, j

鉛

Ji, akan diubah. Tujuan hal ini adalah semua kasus mulai dari koefisien _i diganti, dan satu koefisien ait diganti dengan ( i i )aˆit..

Dengan kata lain bahwa menetapkan wilayah terlarang dalam perhitungan dan hanya koefisien himpunan bagian yang digantikan dalam urutan yang menimbulkan solusi yang berlawanan. Kemudian akan dijamin bahwa jika dilakukan sifat alami maka solusi robust akan layak.

Lemma

Minimumkan

0 max

j S _j

c x d x

kendala: max ˆ ( )ˆ

i i i

j a x_ij _j _{j S} a_ij x_j _i _i a_it x_t b_i i

l x u

xi , i 1,...,k. (2)

Bukti :

Akan ditunjukkan bagaimana kendala (2) menjadi kendala linear. Diberikan vektor x*, didefinisikan :

i(x*) =

max ˆ ( )ˆ

i _i _i

j S a_ij x _j _i _i a_it x _t (3)

Sama dengan :

i(x*) = maksimumkan

i J j

ij j ij x z

(33)

kendala i J j

i ij

z (4)

0 z_ij 1 i,j J_i

Persamaan ini equivalen{S_i {t_i}S_i J_i,S_i _i ,t_i J_i \S_i} dengan fungsi cost

i i S

t it i i j

ij x a x

aˆ ( )ˆ * .

Maka dual dari persoalan (4) adalah: Minimumkan

i J j

i i

ij z

kendala

0 0

i ij

j ij ij i

z p

x a p z

i J j

J j

i i

(5)

Dari aturan dualitas, karena persamaan (4) feasible dan terbatas untuk semua

i [0, Ji], maka dual persamaan (6) juga layak dan terbatas i [0, Ji].

Sehingga diperoleh bahwa i(x*) adalah sama dengan nilai fungsi objektif pada

persamaan (5).

(34)

3.1Solusi robust dari masalah goal programming dengan posible varians negatif pada sisi sebelah kiri tujuan.

Ada 3 ide yang berhubungan dengan konsep solusi robust optimal yaitu:

a. Solusi robust optimal adalah suatu solusi yang mana akan optimal untuk kemungkinan nilai terburuk (worst) dari koefisien yang diasumsikan dalam intarval variansnya (penyimpangan). Terburuk maksudnya adalah minimal untuk maksimum fungsi objektif dan untuk kendala lebih besar atau sama dan maksimal dalam kasus lainnya.

b. Dengan mengaplikasikan definisi di atas , diperoleh kasus “pessimistic”, dimana akan direduksi dalam menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan koefisien himpunan pada kemungkinan nilai terburuk. Suatu solusi robust dapat sangat mudah diperoleh, tetapi kualitas ( nilai fungsi objektif) mungkin sangat buruk. Dalam banyak kasus terdapat pendekatan yang terlalu pesimistik, dengan segala asumsi yang bisa saja salah, dan bahwa semua koefisien mungkin berubah-ubah pada arah negatif secara simultan. c. Pada pendekatan dengan sifat alami (nature), diasumsikan bahwa hanya

beberapa koefisien yang akan benar-benar diganti (misalnya hanya harga beberapa produk akan turun, tidak semua produk). Tentu tidak dapat diketahui koefisien yang mana diganti dan dalam pendekatan hal itu tidak perlu memilih koefisien yang diduga akan di ganti. Hanya hal yang dibutuhkan adalah perkiraan untuk fungsi objektif dan tiap kendala itu masing-masing, apakah opini memaksimalkan koefisien dapat diganti dengan nilai yang relatif normal.

(35)

Dengan mengaplikasikan pendekatan ini pada persamaan n j j j

ijx d i k

c 1 ) ,..., 1 ( ,

ˆ dengan c_ij c_ij,cij , ( i = 1, ..., k; j = 1, ..., n),

c akan menjadi nilai normal. Solusi M-robust dimana M = (mi)ki= 1 dan mi ( i= 1, ..., k) adalah bilangan bulat dipilih oleh si pembuat keputusan yang tidak melebihi n, yang mana menerangkan berapa banyak koefisien dalam kendala ke-i dapat diganti. Apabila mi = n (i = 1,...,k) diasumsikan tidak ada yang akan salah maka diperoleh solusi normal optimal.

3.2 Kriteria single linear programming terhadap solusi M-robust goal programming

Sesuai model formulasi MIP , maka solusi M- robust dapat ditulis:

1 max ˆ ( 1, ..., )

( )

j n

j c x_j j S _ijx_j d_i i k

A x B

(*)

Dengan formulasikan kembali dengan cara yang sama ke dalam model goal programming, maka diperoleh:

0 , , 0 ) ( ) ,..., 1 ( , max ) (

1 {1,...,} 1

min

i i n

j j S

i i i j ij m S n S j ij k j i i i i d d x B x A k i b d d x x c d w d w Z j i i i (**)

Nilai optimal dari fungsi objektif yang diperoleh dalam cara ini akan menjadi nilai opimal terburuk dari total deviasi dimana dalam tiap goal i (i= 1,...,k), koefisien m_i mengijinkan untuk mengambil paling sedikit nilai baik ( maksimal).

(36)

Dengan mengubah nilai m_i, akan dilihat bagaimana pengaruh nilai optimal total deviasi.

Lemma : andaikan

1 2

( , , ..., ) max ( 1, ..., ). j

j S

i x x xn ijxj i k Untuk

tiap vektor (x1, x2,..., xn) dan i= 1,2,...,k, i ( x1, x2, ..., xn), adalah nilai fungsi objektif pada masalah linear programming

Minimumkan

n j

i i ij mz

p 1 0 ), ,..., 1 ( , 0 ) ,..., 1 ( 1 1 i ij j ij z n j p n j x p z (***) Formulasi linear programming di atas, kemudian diapilkasikan pada solusi M-robust: ) ,..., 1 ( ; 0 , , 0 ) ( ) ,..., 1 ( ; 0 ), ,..., 1 ( ; 0 ) ,..., 1 ( ); ,..., 1 ( ; ) ,..., 1 ( ; ) ( 1 1 1 min k i d d x B x A k i z n j p k i n j x p z k i bi d d z m p x c d w d w Z i i i ij j ij ij i n j n j i i i i ij j ij k j i i i i (****)

Bukti: Jika (xj)nj 1,

k i i i d

d , ) ₁

( adalah solusi feasible persamaan (**), tentu saja juga (sesuai bersama dengan nilai pij (j= 1, ..., n), zi) solusi layak persamaan (****). Telah ditunjukkan bahwa nilai fungsi objektif (****) tidak melebihi nilai fungsi objektif (**).

Dengan kata lain untuk menentukan (x_j)n_j ₁, dari relasi

1 1

max , 1, ..., , 0, 0,

n n

n ij

j _j j S_j _ij _j j ij _j j _ij _i _i _ij _i

c x x c x p m z i k p z

bahwa untuk tiap solusi layak (x_j)n_j ₁, (di,0,di,0)ik1 persamaan (**) dan

untuk tiap solusi layak (xj)nj 1,

k i i i d

d_,₁, _,₁) ₁

(37)

) ,..., 1 ( );

(di,0 di,1 i n . Dari penjelasan diatas bahwa nilai fungsi optimal

(**) tidak melebihi nilai fungsi optimal (****).

3.3 Studi Kasus Masalah Perusahaan dengan 3 tipe Produksi

Sebuah perusahaan memproduksi 3 tipe produk dimana perusahaan tersebut memiliki target yang ingin dicapai yakni, jumlah total penggunaan bahan-bahan material adalah 120, jumlah total penggunaan para pekerja adalah 200, jumlah total waktu penggunaan mesin adalah 300, sedangkan total penggantian harga penjualan produk yang bernilai negatif adalah -1500, dimana:

1. c₁_j( j= 1,...,3) menunjukkan jumlah material paling banyak yang dibutuhkan untuk memproduksi produk ke-j.

2. c₂_j( j= 1,...,3) menunjukkan jumlah pekerja paling banyak yang dibutuhkan untuk memproduksi produk ke-j.

3. c₃_j( j= 1,...,3) menunjukkan paling banyak jumlah waktu mesin untuk memproduksi produk ke-j.

4. c₄_j( j= 1,...,3) menunjukkan paling banyak harga penjualan produk ke-j dikalikan dengan -1.

Tabel 5. Jumlah kendala produksi

Produk 1 Produk 2 Produk 3

4 6 3

7 5 6

3 5 7

-32 -28 -40

Maka model goal programmingnya adalah:

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄

(38)

kendala: 1500 40 28 32 300 7 5 3 200 6 5 7 120 3 6 4 4 4 3 2 1 3 3 3 2 1 2 2 3 2 1 1 1 3 2 1 d d x x x d d x x x d d x x x d d x x x

x₁,x₂,x₃ 0;d_i ,d_i 0;(i 1,2,3,4)

Dengan menggunakan software LINDO diperoleh (lihat lampiran 1):

Solusi optimal dari masalah tersebut adalah : x1= 0; x2 = 1,9; x3 = 36,1; d2+ =26, 5; d3- = 37,3.; d1- = d1+ = d2- = d3+ = d4- = d4+ = 0.

Kemudian asumsikan bahwa kemungkinan (possible) varians dari koefisienc₁_jadalah kurang lebih sama dengan 10 % dari nilai normal. Maka:

Tabel 6. Kendala produksi dengan nilai varians. Produk 1 Produk 2 Produk 3

4.4 6.6 3.3

0,4 0,6 0,3

7.7 5.5 6.6

0,7 0,5 0,6

3.3 5.5 7.7

0,3 0,5 0,7

-28.8 -25.2 -36

3,2 2,8 4

Dalam kasus penggunaan material, mungkin saja terjadi penyimpangan kualitas bahan material yang digunakan sehingga mempengaruhi kualitas produk

(39)

yang akan dihasilkan. Dalam kasus para pekerja, nilai yang normal dapat berubah karena kurangnya pengalaman atau motivasi serta waktu yang diperlukan mesin dalam memproduksi 1 produk mungkin berpengaruh pada tingkat kelayakan (gagal) mesin. Harga per unit mungkin dapat turun ( maksudnya kenaikan dari pergantian nilai dikalikan -1) karena situasi pasar yang tidak pasti.

Karena adanya penyimpangan-penyimpangan maka masalah goal programming tersebut akan didekati dengan solusi optimal robust, dengan _ij ( i =1, ...,k; j = 1, ...,n) di sisi sebelah kiri goal (left-hand sides).

Dengan mengaplikasikan masalah (****) pada model goal programming, maka bentuknya menjadi:

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala : 1500 40 28 32 300 7 5 3 200 6 5 7 120 3 6 4 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z m p p p x x x d d z m p p p x x x d d z m p p p x x x d d z m p p p x x x

z₁ p₁₁ 0 x.4 ₁; z₁ p₁₂ 0 x.6 ₂; z1 p13 0 x.3 3

z₂ p₂₁ 0 x.7 ₁; z₂ p₂₁ 0 x.5 ₂; z₂ p₂₃ 0 x.6 ₃ z3 p31 0 x.3 1; z3 p32 0 x.5 2; z3 p33 0 x.7 3

z₄ p₄₁ 3 x.2 ₁; z₄ p₄₂ 2 x.8 ₂; z4 p43 4x3

xi, zi, di-/+,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dimana m1,m2, m3, m4 adalah parameter , bilangan integer. Dan pada kasus ini diambil bilangan bulatnya lebih kecil atau sama dengan 3 (0,1,2,3), yang kemudian akan diseleksi oleh pemimpin perusahaan untuk menentukan tingkat pesimistik tiap target. Untuk goal ke-i, mi menunjukkan berapa banyak koefisien goal dari sisi sebelah kiri (left hand side) yang dapat dijangkau dari nilai yang diijinkan.

(40)

a) Untuk Parameter mi ( 0, 0, 0, 0). Maka formulasinya:

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala: 1500 0 40 28 32 300 0 7 5 3 200 0 6 5 7 120 0 3 6 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x

z1 p11 0 x.4 1; z1 p12 0 x.6 2; z1 p13 0 x.3 3

z₂ p₂₁ 0 x.7 ₁; z₂ p₂₁ 0 x.5 ₂; z2 p23 0 x.6 3

z₃ p₃₁ 0 x.3 ₁; z₃ p₃₂ 0 x.5 ₂; z₃ p₃₃ 0 x.7 ₃ z4 p41 3 x.2 1; z4 p42 2 x.8 2; z4 p43 4x3

xi, zi, di-/+,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 0) . Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:

Hasil optimal deviasinya adalah:

x1= 0; x2 = 0; x3=37,5; p11=0; p12 = 0; p13=7,5; z1=3,34; p21=0; p22=0; p23=0; z2= 21,69; p31= 37,5; p32=0; p33=0; z3=23,29; p41=0; p42=0; p43=0; z4=144,60 d2+ =25 ; d1- = d1+ = d2- = d3+ = d3- = d4- = d4+ = 0.

Hasil optimal total worst deviasinya dengan parameter (0, 0, 0, 0) adalah 25.

b). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 0, 0, 0, 3)

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala: 1500 3 40 28 32 300 0 7 5 3 200 0 6 5 7 120 0 3 6 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x

(41)

z₂ p₂₁ 0 x.7 ₁; z₂ p₂₁ 0 x.5 ₂; z₂ p₂₃ 0 x.6 ₃ z3 p31 0 x.3 1; z3 p32 0 x.5 2; z3 p33 0 x.7 3

z₄ p₄₁ 3 x.2 ₁; z₄ p₄₂ 2 x.8 ₂; z₄ p₄₃ 4x₃ xi, zi, di-/+,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 3) . Dengan aplikasi program LINDO diperoleh (lihat lampiran):

Hasil optimal deviasinya adalah:

x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23 = 0; z2= 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 11,25; z3 = 12,04; p41 = 0; p42 = 5,37; p43 = 144,60; z4 = 0

d1+ = 3,74; d2+ = 47,49 ; d1- = d2- = d3+ = d3- = d4- = d4+ = 0.

Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (0, 0, 0, 3) adalah 51,23.

c). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 1, 1, 1, 1)

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala: 1500 1 40 28 32 300 1 7 5 3 200 1 6 5 7 120 1 3 6 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x

z₁ p₁₁ 0 x.4 ₁; z₁ p₁₂ 0 x.6 ₂; z₁ p₁₃ 0 x.3 ₃ z2 p21 0 x.7 1; z2 p21 0 x.5 2; z2 p23 0 x.6 3

z3 p31 0 x.3 1; z3 p32 0 x.5 2; z3 p33 0 x.7 3

z₄ p₄₁ 3 x.2 ₁; z₄ p₄₂ 2 x.8 ₂; z₄ p₄₃ 4x₃ xi, zi, di-/+,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 1) . Dengan aplikasi program LINDO diperoleh ( lihat lampiran):

(42)

Hasil optimal deviasinya adalah:

x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,11; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23 = 0; z2 = 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p4 2= 0; p43 = 139,22; z4 = 5,37;

d1+ = 14,18; d2+ = 68,37 ; d3+ = 11,10; d1- = d2- = d3- = d4- = d4+ = 0. Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 1) adalah 93,67.

d). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 1, 1, 1, 3)

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala: 1500 3 40 28 32 300 1 7 5 3 200 1 6 5 7 120 1 3 6 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x

z₁ p₁₁ 0 x.4 ₁; z₁ p₁₂ 0 x.6 ₂; z1 p13 0 x.3 3

z₂ p₂₁ 0 x.7 ₁; z₂ p₂₁ 0 x.5 ₂; z₂ p₂₃ 0 x.6 ₃ z3 p31 0 x.3 1; z3 p32 0 x.5 2; z3 p33 0 x.7 3

z₄ p₄₁ 3 x.2 ₁; z₄ p₄₂ 2 x.8 ₂; z4 p43 4x3

xi, zi, di-/+,pij ≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (1, 1, 1, 3) . Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:

Hasil optimal deviasinya adalah (lihat lampiran):

x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 0; z1 = 10,84; p21 = 0; p22 = 0; p23 = 0; z2 = 21,69; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p42 = 5,37; p43 = 144,60; z4 = 0;

d1+ = 14,58; d2+ = 69,18 ; d3+ = 12,04; d1- = d2- = d3- = d4- = d4+ = 0

(43)

e). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 2,2,2,2)

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala: 1500 2 40 28 32 300 2 7 5 3 200 2 6 5 7 120 2 3 6 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x

z1 p11 0 x.4 1; z1 p12 0 x.6 2; z1 p13 0 x.3 3

z₂ p₂₁ 0 x.7 ₁; z₂ p₂₁ 0 x.5 ₂; z2 p23 0 x.6 3

z₃ p₃₁ 0 x.3 ₁; z₃ p₃₂ 0 x.5 ₂; z₃ p₃₃ 0 x.7 ₃ z4 p41 3 x.2 1; z4 p42 2 x.8 2; z4 p43 4x3

xi, zi, di-/+,pij≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (2, 2, 2, 2) . Dengan aplikasi program LINDO diperoleh (lihat lampiran):

Hasil optimal deviasinya adalah:

x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 0; p13 = 9,69; z1 = 1,15; p21 = 0; p22 = 0; p23 = 20,73; z2 = 0,96; p31 = 0; p32 = 0; p33 = 22,34; z3 = 0,96; p41 = 0; p42 = 5,37; p43 = 144,60; z4 = 0;

d1+ = 15,73; d2+ = 70,14 ; ; d1- = d2- = d3+ = d3- = d4- = d4+ = 0

Total worst deviasi dengan parameter m1, m2, m3, m4 (2, 2, 2, 2) adalah 98,88.

f). Untuk parameter m1, m2, m3, m4 ( 3,3,3,3)

Minimumkan d₁ d₁ d₂ d₂ d₃ d₃ d₄ d₄ kendala: 1500 3 40 28 32 300 3 7 5 3 200 3 6 5 7 120 3 3 6 4 4 4 4 43 42 41 3 2 1 3 3 3 33 32 31 3 2 1 2 2 2 23 22 21 3 2 1 1 1 1 13 12 11 3 2 1 d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x d d z p p p x x x 32

(44)

z₁ p₁₁ 0 x.4 ₁; z₁ p₁₂ 0 x.6 ₂; z₁ p₁₃ 0 x.3 ₃ z2 p21 0 x.7 1; z2 p21 0 x.5 2; z2 p23 0 x.6 3

z₃ p₃₁ 0 x.3 ₁; z₃ p₃₂ 0 x.5 ₂; z₃ p₃₃ 0 x.7 ₃ z₄ p₄₁ 3 x.2 ₁; z₄ p₄₂ 2 x.8 ₂; z₄ p₄₃ 4x₃

xi, zi, di-/+,pij≥ 0 ( i = 1,2, 3, 4; j = 1, 2, 3)

Dengan mensubstitusi nilai parameter – parameter m1, m2, m3, m4 (3, 3, 3, 3) . Dengan aplikasi program LINDO diperoleh:

Hasil optimal deviasinya adalah:

x1= 0; x2 = 0; x3 = 41,24; p11 = 0; p12 = 1,15; p13 = 10,84; z1 = 0; p21 = 0; p22 = 0,96; p23 = 21,69; z2 = 0; p31 = 0; p32 = 0,96; p33 = 23,29; z3 = 0; p41 = 0; p42 = 5,37; p43 = 144,60; z4 = 0;

d1+ = 15,73; d2+ = 70,14 ; ; d1- = d2- = d3+ = d3- = d4- = d4+ = 0

(45)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab-bab sebelumnya, maka dapat dibuat beberapa kesimpulan yaitu: a. Pendekatan robust optimisasi pada goal programming ini memberikan

suatu solusi pada pembuat keputusan dalam menentukan nilai optimal yang paling buruk (worst value) dari total deviasi pada target (goal), dengan memberikan parameter yang bersifat integer.

b. Dengan mengganti koefisien parameter pada setiap kendala dalam kerangka kerja goal programming dan tidak mengubah kendalanya diperoleh nilai total worst deviasi yang berbeda.

c. Untuk beberapa nilai parameter m1, m2, m3, m4 dikombinasikan dengan nilai yang lebih dari 1 misalnya (2, 2, 2, 2) dan (3, 3, 3, 3) diperoleh total worst deviasi yang sama.

4.2 Saran

1. Disarankan untuk adanya penelitian lebih lanjut tentang Optimisasi robust pada goal programming.

2. Disarankan untuk adanya kajian lebih lanjut dalam penetapan nilai parameter integer, dan bagaimana pengaruhnya jika penetapan parameter integer lebih dari 4 terhadap total worst deviasinya.

3. Disarankan adanya kajian lebih lanjut bagaimana pengaruhnya jika parameternya tidak integer.

(46)

(47)

2. Penghitungan Software LINDO untuk Parameter (0, 0, 0, 0)

(48)

(49)

4. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (1, 1, 1, 1)

(50)

(51)

6. Penghitungan dengan Software LINDO untuk Parameter (2, 2, 2,2)

(52)

(53)

DAFTAR PUSTAKA

Bertsimas, D. and Sim, M, 2002. “Robust Discrete Optimization and Network Flows. Math. Program. Ser. B 98, 49-71.

G, David, Danenbring, Starr, Marthin. K, 1981. “Management Science An

Introduction”. Mc Graw Hill Book Company: USA.

Kuchta, D, 2004. “ Robust Goal Programming”, Institute of Industrial Engineering, Vol. 33, No. 3, University of Technology Smoluchowsklego 25, 50-371, Poland.

Levin, Richard. I, Rubin, David. S, Stinson, Joel. P, S. Everette, Jr. Gardner, 1992. “Quantitative Approach to Management eight Edition. McGraw-Hill Inc: Singapore.

Mulvey, Jhon. and Vanderbei, Robert, 1994. “Robust Optimization of Large Scale Systems. Princeton University, New Jersey.

Nasendi, B.D, Anwar, affendi, 1985. “Program Linier dan Variansnya”. PT. Gramedia: Jakarta.

Taylor, Bernard. III, 1996. “Sains Manajemen”. Salemba Empat: Jakarta.

Tutorial, http: // www.springerlink.com/index/680Q669B92VYOFNY8.pdf, “Adjustable Robust Solutions of uncertain Linear Program”, tanggal 17 Juli 2009.

Tutorial, http: //en.wikipedia.org/wiki/Goal Programming “Goal Programming”, tanggal 2 Juni 2009.

Tutorial, http: //en.wikipedia.org/wiki/Robust optimization, “Robust Optimization”, tanggal 5 Mei 2009.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Flows. Math. Program. Ser. B 98, 49-71.

G, David, Danenbring, Starr, Marthin. K, 1981. “Management Science An Introduction”. Mc Graw Hill Book Company: USA.