Dewi Permata Sari : Analisis Kinerja Modulasi Discrete Multitone DMT Pada Jaringan Very High Data Rate Digital Subscriber Line VDSL, 2009.
Pada algoritma FFT ini banyaknya komputasi yang terjadi adalah N2log
2
N, dimana N adalah banyaknya jumlah subcarrier. Perbandingan jumlah komputasi
yang dilakukan oleh DFT dan FFT dapat dilihat pada Tabel 3.3[10]. Tabel 3.3 Perbandingan Jumlah Komputasi antara DFT dan Algoritma FFT
Jumlah Stage
V Jumlah
Titik N
Perkalian Langsung
N
2
Algoritma FFT
N2log
2
N Perbandingan
Kecepatan R=N
2
N2log
2
N
2 4
16 4
4 3
8 64
12 5,333
4 16
256 32
8 5
32 1024
80 12,8
6 64
4096 192
21,33 7
128 16384
448 36,57
8 256
65536 1024
64 9
512 262144
2304 113,77
10 1024
1048576 5120
204,8
3.4.1 Formula DFT
DFT Discrete Fourier Transform dari deretan N-titik sinyal waktu diskrit x[n] dimana
1 −
≤ ≤
N n
didefinisikan sebagai[10]
:
∑
− =
− =
=
1
1 ,..,
1 ,
; ]
[
N n
kn N
N k
W n
x k
X 3.13
Dimana W
N
didefenisikan sebagai:
N j
N
e W
π 2
−
= 3.14
Sehingga faktor twiddle dari
kn N
W
dapat ditulis sebagai:
kn N
j kn
N
e W
π 2
−
= 3.15
Dewi Permata Sari : Analisis Kinerja Modulasi Discrete Multitone DMT Pada Jaringan Very High Data Rate Digital Subscriber Line VDSL, 2009.
Maka persamaan 3.12 dapat ditulis menjadi persamaan 3.10 Dari persamaan 3.12 di atas terlihat bahwa DFT Xk merupakan suatu
fungsi diskrit pada variabel integer k. DFT pada Xk selengkapnya dispesifikasikan oleh nilai N pada X0, X1, X2,..., XN-1. Secara umum nilai ini merupakan
bentuk kompleks, sehingga Xk dapat dinyatakan dalam bentuk polar maupun rectangular. Dalam bentuk polar dinyatakan sebagai:
1 ...,
2 ,
1 ,
; exp[
− =
∠ =
N k
k X
j k
X k
X
Dimana
k X
adalah magnitudo dari Xk dan k
X ∠
adalah fasa dari Xk. Dalam bentuk rectangular dapat ditulis sebagai:
1 ,...,
2 ,
1 ,
; −
= +
= N
k JI
R k
X
k k
Dimana R
k
adalah bagian real dari Xk dan dirumuskan sebagai:
N kn
n x
x R
N n
k
π 2
cos ]
[ ]
[
1 1
∑
− =
+ =
3.16 Dan I
k
merupakan bagian imajiner dari Xk dan dirumuskan sebagai:
∑
− =
− =
1 1
2 sin
] [
N n
k
N kn
n x
I π
3.17
3.4.2 Formula IDFT
IDFT Inverse DFT dari deretan N-titik Xk, dimana
1 −
≤ ≤
N k
didefinisikan sebagai: 1
,..., 1
, ;
1 ]
[
1
− =
=
∑
− =
−
N n
W k
X N
n x
N k
kn N
3.18
Dewi Permata Sari : Analisis Kinerja Modulasi Discrete Multitone DMT Pada Jaringan Very High Data Rate Digital Subscriber Line VDSL, 2009.
Atau dapat ditulis sebagai sebagai persamaan 3.11. Deretan x[n] mengandung N sampling didalam domain waktu dan deretan Xk mengandung N sampling didalam
domain frekuensi. Titik-titik sampling didalam domain frekuensi terjadi pada N jarak frekuensi yang sama w
k
= 2 kN, k = 0, 1, 2,..., N-1. Dengan titik-titik sampling ini, Xk secara khusus menggambarkan deretan x[n] didalam domain frekuensi.
Beberapa sifat yang penting dari DFT dapat dimanfaatkan didalam perhitungan. Sifat ini dapat dilihat bahwa
kn N
W
adalah periodik didalam periode N. Ketika x[n] adalah deretan dengan nilai real, output DFT adalah simetris.
DFT dari deretan yang real memiliki sifat-sifat: a.
X0 = X0 b.
XN-k = Xk, k = 1, 2, ..., N-1 Dimana “” menyatakan kompleks konjugat. IDFT dari Xk akan menghasilkan
deretan real. Sifat ini dapat dimanfaatkan untuk menghasilkanmembangkitkan sinyal real.
3.4.3 Fast Fourier Transform FFT dan Inverse FFT
