Fixed Effects Model FEM
menggunakan suatu pendekatan variabel instrumen. Sebagai contoh, akan
digunakan sebagai instrumen. Di sini, berkorelasi dengan
tetapi tidak berkorelasi dengan dan
tidak berkorelasi serial. Dalam hal ini, penduga variabel instrumen bagi
disajikan sebagai berikut:
∑ ∑
∑ ∑
3.16 Syarat perlu agar penduga ini konsisten adalah:
∑ ∑
3.17 Selain penduga diatas juga diajukan penduga alternatif di mana
digunakan sebagai instrumen. Penduga variabel instrumen disajikan sebagai berikut:
∑ ∑
∑ ∑
3.18 Syarat perlu agar penduga ini konsisten adalah:
∑ ∑
3.19 Perhatikan bahwa penduga variabel instrumen yang kedua IV2
memerlukan tambahan lag variabel untuk membentuk instrumen, sehingga jumlah amatan efektif yang digunakan untuk melakukan pendugaan menjadi berkurang
satu periode sampel hilang. Dalam hal ini pendekatan metode momen dapat menyatukan penduga dan mengeliminasi kerugian dari pengurangan ukuran
sampel. Langkah pertama dari pendekatan metode ini adalah mencatat bahwa:
∑ ∑
[ ]
3.20 yang merupakan moment condition. Dengan cara yang sama dapat diperoleh:
∑ ∑
[ ]
3.21 yang juga merupakan kondisi momen. Kedua estimator IV dan IV2 selanjutnya
dikenakan kondisi momen dalam pendugaan. Sebagaimana diketahui penggunaan lebih banyak kondisi momen meningkatkan efisiensi dari penduga. Arellano dan
Bond 1991 dalam Verbeek 2000, menyatakan bahwa daftar instrumen dapat dikembangkan dengan cara menambah kondisi momen dan membiarkan jumlahnya
bervariasi berdasarkan t. Untuk itu, Arellano dan Bond dalam Verbeek 2000 mempertahankan T tetap. Sebagai contoh, ketika T=4 diperoleh:
[ ] untuk t = 2
[ ] dan [
] untuk t = 3 [
] [ ] dan [
] untuk t = 4
Semua kondisi momen dapat diperluas ke dalam GMM. Selanjutnya, untuk memperkenalkan penduga GMM, misalkan didefinisikan ukuran sampel yang lebih
umum sebanyak T, sehingga dapat dituliskan: [
] 3.22
Sebagai vektor transformasi error, dan
[ [
] [
] [
]] 3.23
sebagai matriks instrumen. Setiap baris pada matriks berisi instrumen yang
valid untuk setiap periode yang diberikan. Konsekuensinya, himpunan seluruh kondisi momen dapat dituliskan secara ringkas sebagai:
[ ]
3.24 yang merupakan
kondisi bagi 1+2+… +T-1. Untuk menurunkan penduga GMM, tuliskan persamaan sebagai:
[ ]
3.25 Karena jumlah kondisi momen umumnya akan melebihi jumlah koefisien yang
belum diketahui, akan diduga dengan meminimumkan kuadrat momen sampel
yang bersesuaian, yakni: ∑
∑ 3.26
Dengan adalah matriks penimbang definit positif yang simetris. Dengan
mendifferensiasikan terhadap akan diperoleh penduga GMM sebagai:
∑ ∑
∑ ∑
3.27 Sifat dari penduga GMM 3.25 bergantung pada pemilihan
yang konsisten selama
definit positif, sebagai contoh yang merupakan
matriks identitas. Penduga AB-GMM dapat terkendala oleh bias karena sampel terbatas,
terutama ketika jumlah periode amatan yang tersedia relatif kecil. Hal ini menekankan perlunya perhatian sebelum menerapkan metode ini untuk mengatasi
model autoregresif dengan jumlah deret waktu yang relatif kecil. Keberadaan bias sampel terbatas dapat dideteksi dengan mengkomparasi hasil AB-GMM dengan
penduga alternatif dari parameter autoregresif. Dalam AR1, least square akan