yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi dimaksud adalah:
1 Metode substitusi, 2 Integral fungsi trigonometri,
3 Metode subtitusi fungsi trigonometri, 4 Integral parsial
5 Integral fungsi rasional, dan 6 Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri
2.1 Metode Substitusi
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada umumnya digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi
sehingga bentuk selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu dan rumus dasar yabg diperumum yaitu;
a.
, 1
1
c n
x dx
x
n n
asalkan n
-1 b.
,
1
c n
x f
dx x
f x
f
n n
asalkan n
-1 Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan
jika integrannya berbentuk fungsi berpangkat yaitu
1 ,
n x
f
n
atau bentuk lain yaitu variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya atau tanda
integrasinya. Misalnya
dx x
2 sin
, variabelnya 2x sedangkan tanda integrasinya dx.
dx
x 1
2 tan
variabelnya 2x-1 sedangkan tanda diferensialnya dx dan jenis yang lainnya.
Jika integrannya berbentuk
,
n
x f
n bilangan bulat maka yang disubstitusi adalah
x f
selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing bagian dan lakukan substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya
,
n
x f
n bilangan rasional maka yang disubstitusi adalah
.
n
x f
Selanjutnya ubah pangkat
x f
menjadi bulat dan gunakan diferensial sebagaimana dijelaskan di atas. Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
31
didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umum seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah
ini. Tentukan integran berikut ini:
1.
dx x
1
Jawab Substitusikan
x u
1
x u
1
2
1
2
x d
u d
dx du
u
2
Substitusi bentuk terakhir ke
dx x
1
, diperoleh
du
u du
u u
2
2 2
Dengan rumus integral dasar di dapat
du
u dx
x
2
2 1
c u
3
2
3
Karena
x u
1
Sehingga
c x
dx x
3
1 3
2 1
2.
dx x
3
2 1
Jawab Substitusi
2 3
2 1
x E
3 2
2 1
x E
3 2
2 1
x d
E d
dx x
dE E
2 2
1 3
2
2
2
2 1
3 x
dE E
dx
Sehingga
2 3
2 1
3 2
1 x
EdE E
dx x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
32
4 3
2
3E dE
E
dE E
4 5
3 1
c E
9 4
3 1
4 9
c E
4 9
4 3
Karena
2 3
2 1
x E
Sehingga
c x
dx x
4 9
2 3
3
2 1
4 3
2 1
c x
8 27
2 1
4 3
3.
dx
x
11
12 3
Substitusi
12 3
x A
12 3
x
d A
d
dx dA 3
3 dA
dx
Sehingga
3 12
3
11 11
dA A
dx x
dA
A
11
3 1
c A
12 3
1
12
c A
12
36 1
Karena
12 3
x A
Sehingga
c x
dx x
12 12
3 12
3
12 11
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
33
4.
dx x
2 cos
2
Jawab Substitusikan
x A
2
dx dA 2
2 dA
dx
Sehingga
2
cos 2
cos
2 2
dA A
dx x
AdA
2
cos 2
1
dA A
2 2
cos 1
2 1
AdA dA
2 cos
4 1
4 1
c A
A
8 2
sin 4
Karena
x A
2
c x
x x
8 4
sin 4
2 2
cos
2
Sehingga
c x
x dx
x
4 sin
2 1
2 cos
2
5.
dx x
x x
4 4
2 4
2
Jawab Substitusikan
x x
A 4
4
2
x x
A 4
4
2 2
x x
d A
d 4
4
2 2
dx x
AdA 4
8 2
dx
x AdA
2 4
Sehingga
dA
A A
dx x
x x
. 4
4 2
4
2
dA
A
2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
34
c A
3
3 1
Karena
x x
A 4
4
2
Sehingga
c x
dx x
x x
3 2
2
4 4
3 1
4 4
2 4
6.
4
3t dt
t
Jawab Substitusi Misal
4 3
t
P
4 3
2
t
P
4 3
2
t
d P
d
dt PdP 3
2
3
2PdP dt
Sehingga
P
dP P
P t
tdt 3
2 3
4 4
3
2
dP P
8 2
9 1
2
c P
P
9 8
27 2
3
Karena
4 3
t
P
Sehingga
c t
t t
t tdt
4 3
9 8
4 3
4 3
27 2
4 3
7.
2 2
16 x
dx x
Jawab Substitusi
2
16 x
w
2 2
16 x w
xdx
wdw 2
2
dw x
w dx
Sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
35
dw x
w w
w x
dx x
2 2
2
16 16
dw x
w
2
16
dw
w x
16 1
2
c x
w x
w
3
16
3
Karena
2
16 x
w
Sehingga
c x
x x
x x
dx x
x
3 16
16 16
16 16
2 2
2 2
2
c x
x x
x
3
16 16
16
2 3
2 2
1 2
Akhirnya diperoleh
c x
x x
x x
dx x
3 16
16 16
16
2 3
2 2
1 2
2 2
8.
dt
t t
2 3
2
Jawab Substitusikan
2 3
2
t
s
3 2
2
t s
dt t
sds
2
2 3
2
ds t
s dt
2
2 3
2
Sehingga
ds t
s s
t dt
t t
2 2
3
2 3
2 .
. 2
ds s
t t
2 2
2 3
2
c s
t t
3 2
3 1
2 3
2
c t
t t
2 9
2
2 2
9 2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
36
c t
t
9 2
2
2 5
Sehinggga c
t t
dt t
t
9 2
2 2
2 5
2 3
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini: 1.
dx x
x
sin
2.
1
2 3
t dt
3.
dx
x x
2 sin
2 cos
1
2
4.
dt
t t
t t
t 1
3 1
3 sin
1 6
2 2
5.
9
2
2
x xdx
6.
dx
x x
2 3
2 3
7.
dx
x x
16
2
8.
dx x
3 sin
9.
x
xdx
2
cos 16
sin
10.
dx
x 4
2 cos
11.
dx
x x
1 sin
2
12.
dx
x x
1 cos
3 2
13.
dx
x x
7 12
2
3
14.
dx
x x
x 1
3 2
2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
37
15.
dx e
e e
e
x x
x x
2 2
2 2
16.
dt e
e
t t
6 3
4
17.
dx
x x
4
4 2
18.
4
4
x xdx
19.
dx
x x
cos 2
1 sin
20.
dx
x xdx
2
2 1
21.
dx
x x
x
3 2
2 1
1
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
