bab 2 metode integrasi

BAB II

METODE INTEGRASI Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami metode-metode dalam integrasi dan sifat-sifat dari masing-masing metode integrasi tersebut.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan metode substitusi.

2. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi-fungsi trigonometri.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode substitusi fungsi trigonometri.

4. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode integral parsial.

5. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode integral fungsi rasional.

6. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan metode integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

Bab II dalam buku ini membahas enam hal pokok tentang metode integrasi fungsi, antara lain: (1) metode substitusi, (2) integral fungsi trigonometri, (3) metode substitusi fungsi trigonometri, (4) integral parsial (5) integral fungsi rasional (6) integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri.

Antiturunan suatu fungsi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Metode-metode yang digunakan tersebut bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan antiturunan fungsi yang diketahui yang dalam hal ini adalah integran dari bentuk integral yang diberikan. Selanjutnya dalam bab ini disajikan 6 metode

yang digunakan untuk menentukan integral fungsi dan masing metode mempunyati ciri-ciri tertentu. Metode dalam integrasi dimaksud adalah:

1) Metode substitusi,

2) Integral fungsi trigonometri,

3) Metode subtitusi fungsi trigonometri, 4) Integral parsial

5) Integral fungsi rasional, dan

6) Integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

2.1 Metode Substitusi

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Metode ini pada umumnya digunakan untuk memudahkan menentukan antiturunan fungsi sehingga bentuk selesaiannya diubah dalam bentuk rumus dasar integral tak tentu dan rumus dasar yabg diperumum yaitu;

a. ,

1 1

c n

x dx x

n

n _

 





asalkan n



-1

b.



( )



'( )



( )



,

1

c n

x f dx x f x f

n n

 





asalkan n



-1

Secara lebih khusus dapat dijelaskan bahwa metode substitusi digunakan jika integrannya berbentuk fungsi berpangkat yaitu



f(x)



n,n 1 atau bentuk lain yaitu variabel yang tidak sejenis dengan tanda diferensialnya atau tanda

integrasinya. Misalnya

_

sin(2x)dx_{, variabelnya 2x sedangkan tanda}

integrasinya dx.

_

tan(2x 1)dx_{variabelnya (2x-1) sedangkan tanda}

diferensialnya dx dan jenis yang lainnya.

Jika integrannya berbentuk



_f(_x)



n, _{n bilangan bulat maka yang}

disubstitusi adalah f(x) _{selanjutnya gunakan diferensial pada masing-masing}

bagian dan lakukan substitusi pada persoalan yang diberikan. Jika integrannya



f(x)



n, n bilangan rasional maka yang disubstitusi adalah



f(x)



n. Selanjutnya ubah pangkat f(x) _{menjadi bulat dan gunakan diferensial sebagaimana} dijelaskan di atas. Setelah substitusi dilakukan selanjutnya masing-masing bagian

didiferensialkan dan akhirnya dapat digunakan rumus umum seperti yang telah disebutkan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

Tentukan integran berikut ini:

1.

_

1 x dx

Jawab

Substitusikan u  1 x

x u    2 1

) 1 ( )

(_u2 _{d x}

d  



dx du u   2

Substitusi bentuk terakhir ke

_

1 x dx_{, diperoleh}





u₍₂u₎du ₂ u2du

Dengan rumus integral dasar di dapat





₁ xdx₂ u2du

c u

        

3 2

3

Karena u  1 x

Sehingga

_

 x dx (1 x)3 c

3 2

1

2.

_

₍₁₂x₎3dx

Jawab

Substitusi

_

_

2

3

2

1 x

E 





3 2 _{1 2x}

E   

 

_E2 _d



_{1 2x}



3

d   



x



dx dE

E 31 2 (2)

2   2



2 ) 2 1 (

3 x

dE E dx

  

Sehingga

_

 3 

_

_{ 2}

) 2 1 ( 3 )

2 1 (

x EdE E

dx x





4 3 2

3E dE E

dE E



 4

5

3 1

c E

             

9 4 3

1 4

9

c E 

 4

9

4 3

Karena _E

_

_12x

_

₂3

Sehingga x dx



x



 c

  

  _  



4

9 2 3

3 _{1 2}

4 3 )

2 1

(



x



_c

  



 _

 8

27 2 1 4 3 3.

_

₍₃x₁₂₎11dx

Substitusi A(3x12) ) 12 3 ( )

(  

 d A d x

dx dA3



3 dA dx 

Sehingga





 

3 )

12 3

( _x 11_{dx A}11 dA



 A11dA 3

1

c A



 )

12 ( 3 1 12

c A 

 12

36 1

Karena A(3x12)

Sehingga

_

x dx x c

12 ) 12 3 ( )

12 3 (

12 11

4. cos22x dx



Jawab

Substitusikan A2x

dx dA2



2 dA dx 

Sehingga







2 cos 2

cos2 _{x dx} 2 _A dA



 _cos2 AdA 2

1





 AdA

2 2 cos 1 2 1







 dA cos2AdA 4

1 4

1

c A A

 



8 2 sin 4

Karena A2x

c x x

x  



cos22 2₄ sin₈4

Sehingga x dx x xc

  

 

 



cos22 ₂1 sin₄

5.

_

4x2 4x2 4x dx

Jawab

Substitusikan A_ 4x2_4x



x x



A2 _4 2 _4





x x



d A

d( 2)_ 4 2_4



dx x

AdA (8 4)

2  



dx x AdA(4 2)



Sehingga

 



4x2 4x2 4x dx



A.AdA



c A 

 3

3 1

Karena A_ 4x2 _4x

Sehingga

_



x



x2 x dx 3 4x24c

3 1 4

4 2

4

6.



_3ttdt_4

Jawab

Substitusi Misal P 3t4

4 3 2 _{ }  P t

) 4 3 ( ) ( 2

 

 d P d t

dt PdP 3

2 



3 2PdP dt 



Sehingga





         

   

 P

dP P P

t

tdt 3

2 3

4

4 3

2





 (2P 8)dP 9

1 2

c P

P  



9 8 27

2 3

Karena P 3t4

Sehingga



t



t t c

t tdt

  

 

 



3 4

9 8 4 3 4 3 27

2 4

3

7.



_ 2

2 16 x

dx x Jawab

Substitusi _{w 16 x}2



2



2 _{16 x} w   

xdx

wdw 2

2 



dw x w dx 





_dw

x w w

w x

dx x

         







2 2

2 ₁₆

16

dw x

w





 

2 16







 w dw

x (16 )

1 ₂

c x w x

w

  



3

16 3

Karena _{w 16 x}2

 

Sehingga c

x x x

x x dx

x x

  

  

 



16 16 (16 ) 16₃

16

2 2

2 2

2

c

x x x

x

 

 

 

3 ) 16 ( ) 16 (

16 2 1/2 2 3/2

Akhirnya diperoleh c

x x x

x x

dx x

 

 

  



₁₆ 16(16 ) (16 ₃ ) 2 / 3 2 2

/ 1 2 2

2

8.

_

t₍t₂₎3/2dt

Jawab

Substitusikan _s

_

_t2

_

₂3





3 2_{ 2}

 s t



t



dt sds 3 22

2  





t



ds s

dt ₂

2 3

2

  

Sehingga



t



ds s s t dt t

t

_



 3/2  _{ 2}

2 3

2 . . )

2

(





 s ds

t

t 2

2 ) 2 ( 3

2

c s t

t

 



 ₂ 3

3 1 ) 2 ( 3

2



t



c t

t

  

 2

9 2 2

) 2 ( 9

c t

t

  

9 ) 2 (

2 2

5

Sehinggga _{t t dt } t t _c



( 2) 2 ( ₉ 2)2 5 2

/ 3

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1. dx

x x



sin

2.

_

1 2 3 t dt

3.

_

 dx

x x

2 sin

2 cos 1

2

4.

_

 

  

dt t

t

t t t

1 3

1 3

sin ) 1 6 (

2 2

5.

_

 9 2

2 x

xdx

6.

_

x₍₃x₂₎3/2dx

7.

_

 dx

x x

16 2

8.

_

x dx

3 sin

9.

_

 x

xdx

2

cos 16

sin

10.

_

cos(2x 4)dx

11.

_

xsin(x2 1)dx

12.

_

x2cos(x31)dx

13.

_

_x(x2 _3)12/7_dx

14.

_

  

dx x

x x

1 3 2 2

15.

_

_



 

dx e e

e e

x x

x x

2 2

2 2

16. dt

e e

t t



 6 3 4

17.

_

 dx

x x

4

4 2

18.

_

4

4

x xdx

19.

_

sinx 1 2cosxdx

20.

_

 x dx xdx

2

2 1

21.

_

x₁3 ₁₂xx2dx

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:

1)

_

sinxdx cosxc

2)

_

cosxdxsinxc

3)

_

tanx dxlnsecx c  lncosx c

4)

_

cotxdx lncscx c lnsinx c

5)

_

secxdxlnsecxtanx c

6)

_

cscx dxlncscx cotx c

Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas, selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas adalah:

1. Bentuk m x dx m xdx





sin , cos

Integral fungsi trigonometri berbentuk m xdx m x dx





sin , cos dibedakan dalam dua kasus, yaitu:

Kasus 1: m adalah bilangan ganjil

Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas sin2_xcos2_x1 _{dan diferensial d(sinx)cosxdxatau}

xdx x

d(cos ) sin _{. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan}

antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan.

Contoh:

Tentukan integral berikut:

1.

_

_sin3 xdx

Jawab





_sin3_{xdx sin}(31)1_xdx

xdx xsin sin2







 

 (1 cos2_x)_d( cos_x)



 



 1_d( cos_x) cos2_d(cos_x) c

x

x 



 cos3

3 1 cos

Sehingga

_

3xdx x cos3xc

3 1 cos sin

2.

_

_cos5 xdx

Jawab

dx x dx

x

_



_cos5 _{ cos}(51)1

xdx xcos cos4









 (1 sin2_x)2_d(sin_x)

) (sin ) sin sin

2 1

( _ 2_x 4_{x d x}











 1_d(sin_x) 2 sin2_xd(sin_x) sin4_xd(sin_x) c

x x

x  

 3 sin5

5 1 sin 3 2

sin

Sehingga

_

5 xdx x 3x sin5xc

5 1 sin 3 2 sin cos

3.

_

sin5(2x)dx

Jawab:

Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan substitusi terlebih dahulu.

Substitusikan u 2x dan du2dx atau

2 du dx

sehingga

_



_

2 sin )

2 (

sin5 _{x dx} 5_udu



 _sin5udu 2

1



 sin usinudu 2

1 4



 

 (1 cos ) ( cos ) 2

1 2_u 2_{d u}



  

 (1 2cos cos ) ( cos ) 2

1 2_u 4_{u d u}

c u u

u  



 3 sin5

10 1 sin 3 1 cos 2 1

c x x

x  



 sin 2

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2

1 3 5

Sehingga

_

x dx x x sin 2xc

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2 1 )

2 (

sin5 3 5

Kasus 2: m adalah bilangan genap

Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

x x

x _cos2 _sin2 2

cos   sehingga

2 2 cos 1

sin2_{x }  x atau

2 2 cos 1

cos2_x  x Contoh:

Tentukan pengintegralan berikut ini.

1.

_

_sin2xdx

Jawab







  

 



 x dx

xdx

2 2 cos 2 1 sin2







 dx cos2xdx 2

1 2

1

c x x

 



4 2 sin 2

Sehingga

_

xdxx  x c

4 2 sin 2 sin2

2.

_

_cos4 xdx

Jawab









_cos4xdx _cos2x2dx





  

  

 x dx

2 2

2 cos 1





  

 



 x x dx

4 2 cos _ 2

2 cos 4 1











 dx xdx cos 2xdx

4 1 2

2 cos 4

1 2

dx x x

x





  

   

 

2 4 cos 1 4 1 4

2 sin 4

c x x

x x

 

 



32 4 sin 8 4

2 sin 4

c x x

x

 

 

32 4 sin 4

2 sin 84 3

Sehingga

_

xdx x x  xc

32 4 sin 4

2 sin 8 3 cos4

3.

_

sin42xdx

Substitusikan Misal u 2x diperoleh du 2dx atau

2 du

dx _{, sehingga}

2 sin 2

sin4 _xdx 4du















2 sin2_u 2du





  

  

 u du

2 2

2 cos 1 2 1



 

 (1 2cos2u cos 2u)du 4

1 2

1 2







 

 du udu cos 2udu

8 1 2

cos 4 1 8

1 2









  

   



 du udu u du

2 4 cos 1 8 1 2

cos 4 1 8

1









  

 du udu du cos4udu

16 1 16

1 2

cos 4 1 8

1

 u u u sin4uc

64 1 16

1 2 sin 8 1 8 1

Sehingga

c x x

x x

xdx    



sin4(2 )

64 1 ) 2 ( 16

1 ) 2 ( 2 sin 8 1 ) 2 ( 8 1 2

sin4

 x  x sin8xc 64

1 4 sin 8 1 4 3

Soal-soal

Tentukan pengintegralan berikut ini. 1)

_

sin3(4x)dx

2)

_



    

dx x 2 sin4

3)

_



    

dx x 3 cos4

4)

_



   

 x _dx

5 2 cos3

5)

_

cos43xdx

6)

_

cos41 2xdx

7)

_

sin413xdx

8)

_



  

 

 x dx 5 2 1 cos2

9)

_



  

  

dx x 5

2 3 sin3

10)

_



  

  

dx x 2

4 1 cos2

b. Bentuk

_

_sinmx_cosnxdx

Integral fungsi trigonometri berbentuk

_

_sinmx_cosnxdx

dibedakan dalam dua kasus, yaitu:

Kasus 1 : m atau n ganjil

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, pilih yang ganjil m atau n. Jika dipilih m, ubah m menjadi (m-1)+1 demikian pula jika yang dipilih n, ubah n menjadi (n-1)+1. Pemilihan tidak boleh sekaligus. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas sin2 _xcos2 _x1 _{dan sifat diferensial d(sinx)cosxdxdan}

dx x x

d(cos )  sin _{dan akhirnya pengintegralan dapat dilakukan dengan cara}

sebelumnya. Contoh

Tentukan integral berikut ini.

1.

_

_sin3x_cos2xdx

Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh





_sin3_xcos2_{xdx sin}(31)1_xcos2_xdx



 _sin2x_sinx_cos2xdx





) cos ( ) cos

(cos2_x 4_{x d  x}



_



 





 cos2_xd( cos_x) cos4_xd( cos_x)









 cos2_xd(cos_x) cos4_xd(cos_x) c

x

x 



 3 cos5

5 1 cos 3 1

c x

x 

  

 

 

3 1 cos 5 1

cos3 2

Sehingga x xdx x x c

  

 

 



cos ₃1

5 1 cos cos

sin3 2 3 2

2. _sin2x_cos3xdx



Jawab

Karena salah satu pangkatnya 3 (ganjil), pilih yang ganjil dan ubah menjadi (3-1)+1, dan gunakan kesamaan identitas diperoleh





sin2xcos3xdx sin2xcos2xcosxdx





 sin2x(1 sin2x)cosxdx





 sin2_x(1 sin2_x)_d(sin_x)







 sin2_xd(sin_x) sin4_xd(sin_x) c

x

x 

 3 sin5

5 1 sin 3 1

Sehingga

_

2x 3xdx 3x sin5xc

5 1 sin 3 1 cos

sin

3.

_

_sin3x_cos3xdx

Jawab

Karena kedua pangkatnya 3 (ganjil), pilih salah satu pangkat dan diubah menjadi (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas diperoleh





sin3xcos3x dx sin3xcos2xcosxdx





 sin3_x(1 sin2_x)_d(sin_x)







c x

x 

 4 _sin6

6 1 sin 4 1

Atau

dx x x x xdx

x

_



_sin3 _cos3  _sin2 _{sin cos}3



 

 (1 cos2_x)cos3_xd( cos_x)



 

 (cos3 cos5 ) ( cos )

x d

x x

c x

x 



 4 _cos6

6 1 cos 4 1

Sehingga

_

3x 3xdx 4 x _cos6 xc

6 1 cos 4 1 cos

sin

Kasus 2 : m dan n genap sekaligus.

Jika m dan n genap sekaligus, digunakan kesamaan setengah sudut 2

2 cos 1

sin2_{x }  x dan

2 2 cos 1

cos2 _x  x

. Selanjutnya substitusikan kesamaan pada integran dan akhirnya diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

Tentukan integral berikut ini: 1.

_

_cos2 x_sin2x dx

Jawab

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:







  

      

  

 x x dx

xdx x

2 2 cos 1 2

2 cos 1 sin

cos2 2





 (1 cos 2x)dx 4

1 2





  



 



 x dx

2 4 cos 1 1 4 1





  

 



 x dx

2 4 cos 2 1 4 1

c x x

    

 

 

8 4 cos 2 4 1

c x x

 



32 4 cos 8

Sehingga

_

x xdxx  x c

32 4 cos 8 sin

cos2 2

2.

_

_sin4x_cos4x dx

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut

2 2 cos 1

sin2 _x  x

dan

2 2 cos 1

cos2_x  x_.



 







_sin4x_cos4xdx _sin2x 2 _cos2x 2dx





  

      

  

 x x dx

2 2

2 2 cos 1 2

2 cos 1



   

 (1 2cos2x cos 2x)(1 2cos2x cos 2x)dx 16

1 2 2



 

 (1 2cos 2x cos 2x)dx 16

1 2 4











 dx xdx cos 2xdx

16 1 2

cos 8 1 16

1 2 4









  

   

 

 dx x x dx

2 2

4 cos 1 16

1 2

4 cos 1 8 1 16

1







 



 

 dx x _{(1 2cos4}x _cos2₄x₎2dx 64

1 2

4 cos 1 8 1 16

1













  

   

 

 

 dx x dx xdx x dx

2 8 cos 1 64

1 4

cos 32

1 64

1 2

4 cos 1 8 1 16

1







 















 dx x dx xdx dx cos8xdx

128 1 128

1 4

cos 32

1 64

1 2

4 cos 1 8 1 16

1



























 dx dx xdx dx xdx dx cos8xdx

128 1 128

1 4

cos 32

1 64

1 4

cos 16

1 16

1 16

1











 dx xdx cos8xdx

128 1 4

cos 32

1 128

c x x

x

 



 sin8

1024 1 4

sin 128

1 128

3

Sehingga

_

x xdx x  x  x c

1024 8 sin 128 sin 128

3 cos

sin4 4

c. n xdx dan nxdx





tan , cot

Integral fungsi trigonometri berbentuk nxdx dan nxdx





tan , cot dibedakan dalam dua kasus.

Kasus 1: n bilangan ganjil

Jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan x

x 2

2 _sec tan

1  atau _1cot2x_csc2x _{dan sifat diferensial d x} 2_xdx

sec ) (tan 

atau d_(cotx_{) csc}2xdx

 

Contoh

Tentukan integral berikut ini

1.

_

_tan3 xdx

Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas _1tan2x_sec2x_{dand(tanx) sec}2_xdx

 Sehingga diperoleh





tan3xdx tan2xtanxdx dx x x 1)tan (sec2













 sec2xtanxdx tanxdx







 tanxsec2xdx tanxdx

 







 tanxd tanx tanxdx

c x

x 

 tan lnsec 2

1 2

Sehingga

_

xdx tan x lnsecx c

2 1

2.

_

3 xdx

cot Jawab

Karena pangkat integran ganjil maka ubah 3 = (3-1)+1, selanjutnya gunakan kesamaan identitas _1cot2x_csc2x_{dand( cotx)csc}2_xdx diperoleh





cot3xdx cot2xcotdx dx x 1)cot (csc2













 csc2xcotxdx cotxdx







 cotxcsc2xdx cotxdx

 



 



 cotxd cotx cotxdx

c x

x 



 cot lncsc 2

1 2

Sehingga

_

xdx cot xlncscx c

2 1

cot3 2

Kasus 2: n bilangan genap

Jika n bilangan genap, maka digunakan kesamaan identitas _1tan2x_sec2 x _dan

x

x 2

2 _csc cot

1  . Selanjutnya dengan menggunakan sifat diferensial

xdx x

d_{(tan ) sec}2

 atau d_(cotx_{) csc}2xdx

  Contoh

Tentukan integral berikut ini

1.

_

_cot4 xdx

Jawab









_cot4xdx _cot2x 2dx





 _(csc2 x ₁₎2dx

dx x x 2csc 1)

(csc4 2



 

dx x x

xcsc 2csc 1)

(csc2 2 2



 





  

 (1 cot2_x)csc2 _x 2csc2_x 1_dx`



  



 



 (1 cot2x)d( cotx) 2 d( cotx) dx

c x x x

x    



 cot 2cot

3 1 ) cot

( 3

c x x

x  



 cot cot 3

1 3

Sehingga

_

xdx cot xcotxxc

3 1

cot4 3

2.

_

_tan2xdx

Jawab









tan2xdx sec2x 1dx







 sec2xdx 1dx







 d(tanx) 1dx c

x x 

tan

Sehingga

_

tan2 xdxtanx xc

d.

_

_tanm x_secnxdx

, dan

_

_cotmx_cscnxdx

Integral fungsi trigonometri berbentuk

_

_tanm x_secnxdx

dan



_cotm x_cscnxdx

dibedakan menjadi dua kasus.

Kasus 1: m atau n genap

Jika m atau n genap, pilih salah satu yang genap dan selanjutnya digunakan kesamaan_1tan2x_sec2x _{atau 1cot}2_xcsc2 _{x dan sifat diferensial}

x x

d 2

sec )

(tan  atau d 2x

csc cot) (  Contoh

Tentukan integral berikut ini 1.

_

_tan5x_sec4xdx

Jawab

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x_sec2x_{, sehingga diperoleh}

` sec sec tan sec

tan5_x 4 _xdx 5 _x 2_x 2_xdx







dx x x

x





 tan5 (1 tan2 )sec2

) (tan ) tan

(tan5 _x 7 _{x d x}







c x

x 

 6 tan8

8 1 tan 6 1

Sehingga

_

5x 4 xdx 6 x tan8 xc

8 1 tan 6 1 sec

tan 2.

_

_cot4x_csc4xdx

Jawab

Karena keduanya genap, pilih salah satu pangkat bilangan genap dan digunakan kesamaan_1tan2x_sec2x _{atau 1cot}2 _xcsc2_{x dan sifat}

diferensial d x 2x

sec )

(tan  atau d 2x

csc cot)

(  , sehingga diperoleh





cot4xcsc4xdx cot4x(csc2x)(csc2x)dx

) cot ( ) 1 (cot cot4 2

x d

x  



_

) cot ( ) cot

(cot6_x 4_{x d  x}



_

c x

x 



 7 cot5

5 1 cot 7 1

Sehingga

_

4 x 4 xdx 7 x cot5xc

5 1 cot 7 1 csc

cot

Kasus 2: m atau n ganjil

Dalam kasus ini pilih yang ganjil dan gunakan d(secx)secxtanx _atau x

x x

d( csc )csc cot _{dan digunakan kesamaan1tan}2_xsec2_{x atau}

x

x 2

2 _csc cot

1  .

Contoh:

Tentukan integral berikut ini. 1.

_

_tan3 x_sec3 xdx

Jawab

xdx x

x x xdx

xsec tan tan sec sec

tan3 3 2 2









 tan2_xsec2_d(sec_x) ) (sec sec

) 1

(sec2_x 2_{xd x}







) (sec ) sec

(sec4_x 2_{x d x}

 



c x

x 



 7 cot5

5 1 cot 7 1

Sehingga

_

3x 3 xdx 7 x cot5xc

5 1 cot 7 1 sec

tan

2.

_

3 _x 1/2 _xdx

sec tan Jawab

xdx x

x x xdx

xsec tan tan sec sec

tan3 1/2 2 32







) (sec sec

) 1

(sec2_x 32_{xd x}



_

c x

x 

 _sec3/2 _2sec1/2 3

2

Sehingga x  xdx x  xc



3 1/2 _sec3/2 _2sec 1/2

3 2 sec

tan

e.

_

sinmxcosnxdx_,

_

sinmxsinnxdx,

_

cosmxcosnxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:



m n x m n x



nx

mx sin( ) sin( )

2 1 cos

sin    



m n x m n x



nx

mx cos( ) cos( )

2 1 sin

sin    



m n x m n x



nx

mx cos( ) cos( )

2 1 cos

cos    

Contoh

1.

_

sin3xcos4xdx

Jawab









x xdx sin(34)xsin(3 4)x dx

2 1 4

cos 3 sin







 

 sin7x sin( x) dx 2

1







 xdx sinxdx

2 1 7

sin 2 1

c x

x 



 cos

2 1 7 cos 14

1

Sehingga

_

x xdx x cosxc

2 1 7 cos 14

1 4

cos 3 sin

2.

_

sin3xsin2x dx

Jawab









x xdx  cos(32)x cos(3 2)x dx

2 1 2

sin 3 sin











 cos5x cosx dx 2

1









 xdx cosxdx

2 1 5

cos 2 1

c x

x 



 sin

2 1 5 sin 10

1

Sehingga

_

x xdx x sinxc

2 1 5 sin 10

1 2

sin 3 sin

3.

_

_



y ydy  cos(14)y cos(1 4)y dy

2 1 4

cos cos Jawab







y ydy  cos(14)y cos(1 4)y dy

2 1 4

cos cos







 

 cos(5y) cos( 3y) dy 2

1









 ydy cos( 3y)dy 2

1 5

cos 2 1

 y sin3yc 6

1 5 sin 10

1

Sehingga

_

y ydy y sin3yc

6 1 5 sin 10

1 4

cos cos

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini. 1.

_

sin2(2x)cos4(2x)dx

2.

_

x xdx

          

5 cos 5

sin3 3

3. sin23xcos33xdx

1



4.

_

(sin32t) cos2tdt

5.

_

_tan6 xdx

6. cot4(3x)dx



7.

_

_cotx_csc4 xdx

8.

_

tan2xsec22xdx

9.

_

_(tanx_cotx₎2dx

10.



sin3xsinxdx

11.

_

csc4 4ydy

12.

_

4_q 2_qdq

sec tan

13.

_

cos2xsin3xdx

14.

_



    

dx x 3 cot4

15. 2_z 3 _zdz

1 cos sin



16.

_

_tan5_xsec3/2_xdx

18.

_

x xdx

          

2 5 sin 2 sin

19.

_

x xdx

          

4 5 sin 3 2 cos

20.

_

x xdx

          

6 5 cos 4 3 cos

2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

1. a2 x2,areal

2. x2a2  a2x2,areal

3. x2 a2,areal

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

1. 2

2 2

2

2 _x

b a x

b

a  

      

2. 2

2 2

2 _x

b a x b

a  

      

3.

2 2

2 2 2

        

a b x b x a

4. ax2 bxc yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.

1. Integrannya memuat _a2_{ x}2 atau bentuk lain yang dapat diubah

menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi

a x t t

a

x sin  sin 

dengan

2 2

 

 

 t _.

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena xasint _{maka a}2_{ x}2 _{ a}2_{ (asint)}2

_a2(1 sin2_t) 

 acost

Selanjutnya bentuk a2 _ x2 _ccostdan dx_acostdtsubstitusikan ke dalam

integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

_

₄ x2dx

Jawab substitusi

2 sin sin

2 t t x

x  

dt t a

dx cos

t t

x 4 4sin 2cos 4_ 2 _{ } 2 _

Sehingga

 





4 x2 dx 2cost 2cost dt



4 costcost dt



_

tdt 

_

 t dt

2 ) 2 cos 1 ( 4 cos

4 2

dt t

dt

_





2 2 cos2

c t t t  2 2sin cos

c x x

x

     

   _              

2 4 2 2 2 arcsin

2 2

t

x

a

2

2 _x

a 

t

x

2

2

Sehingga x dx x x x c

    

 

 _

       





4 2 2arcsin ₂ 4₂ 2

Atau tdt t tc

  

 

 



cos 4 cot₂sin ₂1

4 2

c t t t  

2cos sin 2

c x x

x

       

    

 

 _

      

2 arcsin 2 2

4 2

2 2

C x x

x

       

 

2 arcsin 2 2

4 2

2.



 2

4x x dx Jawab



_{4 } 2 



_{4 (x 2)}2

dx x

x dx

Substitusikan (x 2)2sint

2 ) 2 ( sint x dx2costdt

4 (x 2)2 2cost

 

 , sehingga









 t

dt t x

dx

cos 2

cos 2 )

2 (

4 2



_

dt

tc

x c

      

2 2

arcsin

Sehingga x c

x x

dx

        





arcsin ₂2

4 2

3.



 6 2

16 x x

dx

2



x

2

4x x

2

Jawab





  



6 2 25 ( 3)2

16 x

dx x

x dx

Substitusikan (x 3)5sint

5 3

sint x _dan dx5costdt t

x 3) 5cos (

25_{ } 2 _









 tdt

t x

x dx

cos 5

cos 5 6

16 2





dt

tc

x c

      

5 3

arcsin

4.

_

x2 ₃ x2dx

Jawab

Substitusi x 3sint

3 sint  x _s

dx 3costdt

_{3 x}2 _{ 3 ( 3sinA)}2

 3cosA, sehingga

x2 3 x2dx 3sin2t 3cost 3cotdt





 

₉

_

_sin2t_cos2t dt

_



  

      

  

 t t dt

2 2 cos 1 2

2 cos 1 9

(1 cos 2t)dt 4

9 2









_

  t)dt

2 4 cos 1 ( 1 4 9

5

2

6 16 x x

3



x

t

x

t 3

2



_

dt 

_

dt 

_

cos4tdt 8

9 8

9 1 4 9

 t t sin4tc 32

9 8 9 4 9

x  tc

    

 sin4

32 9 3 arcsin 8 9

c t t

t t x

 

      

 (4sin cos )(cos sin )

32 9 3 arcsin 8

9 2 2



t t





t t



c x

    

 

 

     

 sin cos cos2 sin2

3 arcsin 8

9

c x x x

x x

arc 

    

  

         

       

   _              

3 3

) 3 ( 3 3 3 3

8

9 2 2 2

c x x

x x

arc 

    

 

 _{ }

       

27 3 ) 3 ( 3 8

9 3 2 2

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1.



_

_

  2 1 2

1 x x

dx

2.

_

 dx

x x2 25

3.

_

_x2 _{9 x}2

dx

 4.







 2

3 2

4x x

dx

5.

_

 ₂ 2

2 x x

dx

6.

_

₂ x2dx

7.

_

₁ ₂x x2 dx

8.



 3 2

5 x

9.

_

 2

4x x dx

2. Integrannya memuat _a2 _x2 _x2 _a2

 

 atau bentuk lain yang dapat

diubah menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi xatant atau

a x t 

tan sehingga

didapatkan dan dx_a_sec2tdt_{, dengan}

2 2

 

 

 t

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena xtant maka _a2_x2 _{ a}2_(atant)2

_{ a}2(1_tan2_t) asect

Selanjutnya bentuk a2 x2 asect



 dan dxasec2tdtsubstitusikan ke

dalam integral semula dan akhirnya dapat ditentukan selesaian integral yang diketahui.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1.



 2

9 x dx Jawab

Substitusikan x 3tant

dx_3sec2tdt

9_x2 _3sect , sehingga

2

9x

x

3 t

t

x

2

2 _a

x 

_



_

 t

dt t x

dx

sec 3 sec 3 9

2 2



_

sectdt

lnsecttant c

 x  x c

3 3

9

ln 2

_{ln 9}x2 xc

2.

_

 



5 4

) 1 2 (

2 _x x

dx x

Jawab

dx

x x x

x x dx

x x

dx

x ₎

5 4 1 5

4 2 ( 5

4 ) 1 2 (

2 2

2





 _{ }

  

 







  

  

1 ) 2 ( 1 ) 2 (

2

2

2 _x

dx x

xdx

Substitusikan (x2)tant xtant 2

dx_sec2tdt

(_x2)2 _1 _{= sec t,} sehingga





  



2) 1 ( 2) 1 (

2

2

2 _x

dx x

xdx



_

 

_

t tdt t

tdt t

sec sec sec

sec ). 2 (tan

2 2 2

2

_

tantsectdt 4

_

sectdt

_

sectdt

2sect 5lnsecttant c

 x24x5 5ln x24x5(x2)c

Soal-soal

Kerjakan soal berikut sebagai latihan

5 4

2_{ x}

x

1 t

2



1.



_

_

 2 2

9 x dx

2.

_

₃x2dx

3.

_

 dx

x x2 1

4.

_

  4 13 2 _x x

dx

5.

_

 2 5 3

2 _x x

xdx

6. dt

t t



4 2

7.

_

₂ y2dy

3. Integrannya memuat _x2_{ a}2 atau bentuk lain yang dapat diubah

menjadi sejenisnya.

Selesaiannya menggunakan substitusi xasectsehingga dxasect tant dt

, dengan

2 2

 

 

 t _.

Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

Karena xasect maka 2 2 2 2

) sec (a t a a

x   

) 1 (sec2 2



 a t

t atan



Selanjutnya bentuk x2_ a2 _atantdan dx_asecttantdt disubtitsusikan ke

dalam integral semula sehingga dapat ditentukan antiturunannya.

t

2

2 _a

x 

x

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.

_

 dx

x x2 9 Jawab

Substitusikan x3sect dx3secttantdt

x2 9 (3sect)2 9 3tant

  

 sehingga

t tdt

t t dx

x x

tan sec 3 sec 3

tan 3 9

2





 

₃

_

_tan2tdt

3

_

(sec2t 1)dt

3

_

sec2tdt 3

_

dt

3tant  3tc

 x   arc xc

3 sec 3 3

9 3

2

x arc xc

     

 

3 sec 3 9 2

2.



  2 8 2 _x x

dx Jawab





  



 2 8 ( 1)2 9

2 _x

dx x

x dx

Substitusikan (x 1)3sect dx3secttantdt

(x_ 1)2 _ 9 _3tant

Sehingga

9

2 _

x

8 2

2 _{ x}

x

1



x

x









 t

tdt t

x dx

sec tan sec 3 9 ) 1

( 2



_

sectdt

lnsecttant c

 x  x  x c

3 8 2 3

1 ln

2

Sehingga x x x c

x x

dx

       



ln ₃1 ₃2 8

` 8 2

2 2

Soal-soal

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1.

_

x2 1dx

2.

_

 25 2

2 x

dx x

3. dt

t t



3 2 ₄

4.

_

 16 65

2 _x

x dx

5.



 6 2 x x

dx

6.



1 2 2

t t

dt

7.



 2 24 2 _z z

zdt

8.

_

y2  3dy

2.4 Integral Parsial

Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi

uv

dan

) ( ),

(x v g x f

u  

t

Karena yuv_{, maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi} yuv diperoleh

) (uv d dy

vdu udv dy 

vdu udv uv

d( ) 

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh



d(uv)



udv



vdu



_

udv

_

d(uv)

_

vdu 

_

udvuv

_

vdu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih

sulit dibandingkan dengan

_

udv _tersebut.

Contoh

Tentukan integral persial berikut ini

1.

_

xcosxdx

Jawab

Bentuk

_

xcosxdx _{diubah menjadi}

_

udv

misal

u



x

dan dvcosxdxsehingga dx

du 1 dan v

_

cosxdxsinx

Akibatnya

_

xcosxdx 

_

xd(sinx) Dengan rumus integral parsial



udvuv



vdu_{, diperoleh}



xd(sinx)x(sinx)



sinxd(x)





x(sinx) sinxdx



x

(sin

x

)



cos

x



c

Sehingga

_

xcosxdxxsinxcosxc

2.

_

x 1xdx

Bentuk

_

x 1xdx _{diubah menjadi}

_

udv

misal

u



x

dan dv 1x sehingga

dx

du 1 dan









2





3

3 2

1

1 2 1 1

2 1 1

1 xdx x dx x x

v

_

 

_

    

Sehingga

_

x 1x _{dx =}

_

1 )

3 2

( 3 _x

xd Berdasarkan rumus integral parsial



udvuv



vdu_{, diperoleh}







  

 

 

 3 ₁

3 2

1 x xd x

x

) ( 1 3 2 1 1 3

2x3 3 _{xd x}





  





 

 x3 3₁ x dx

3 2 1 1 3 2

c x x

x

  



 1 )

5 2 ( 3 2 1

3

2 _{3 5}

c x x

  



 3 5 ₁

15 4 1 1 3 2

Sehingga

_

x xdx x3   5 ₁xc

15 4 1 1 3 2 1

3. xexdx



sin Jawab

Pilih usinx maka dud(sinx)cosxdx dx

e

dv_ x _{, v e}x_{dx e}x _c  



_

_{, sehingga:}





sin_xex_dx  sin_{x d}(_ex)





exsinx exd(sinx)





ex_sinx ex_cosxdx

Diperoleh bentuk

_

ex_cosxdx

yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Pilih

u



cos

x

maka dud(cosx) sinx dx

e

dv_ x _{, v e}x_{dx e}x _c  





cos_xex_dx cos_xd(_ex)





excosx exd(cosx)



 

ex_cosx ex_{( sin}x₎dx





excosx exsinxdx, Akhirnya diperoleh





_sinxexdxex_sinx ex_cosxdx





ex_sinxdxex_sinx ex_cosx ex_sinxdx x

e x e dx e

x x x_sin x_cos sin

2

_

 



e x e x



dx e

x x x_sin x_cos

2 1

sin  



4.

_

_cosn xdx

Jawab





_cosn _{xdx cos}n1_xcosxdx

Pilih u _cosn1x _{maka du d(cos}n1 _{x)(n 1)cos}n2 _{x( sinx)dx} dx

dvcos , v

_

cosxdxsinxc_{, sehingga:}





_cosn _{xdx cos}n1_xd(sinx)





 _

sin_xcosn 1_x (sin_x)_d(cosn 1_x)

 



 



_sinxcosn1_{x sinx n 1 cos}n2_{x( sinx)dx}





 _{ }

_sinx_cosn 1 x ₍n _{1) sin}2 x_cosn 2 xdx





 _{  }

_sinx_cosn 1x ₍n _{1) (1 cos}2x_)cosn 2xdx



 



 

 _x n _{x n} n _{xdx n} n _xdx

cos ) 1 ( cos

) 1 ( cos

sin 1 2

Selanjutnya diperoleh







_cosn_xdx _sinxcosn1_x_(n _{1) cos}n2_xdx _(n _{1) cos}n _xdx





_  _{ } 

 n _cosn xdx _sinx_cosn 1 x ₍n _{1) cos}n 2 xdx







 _



 xdx

n n n

x x

xdx n n

n sin cos 1 1 _cos 2

cos

5.

_

_sinn xdx

Fungsi , ( ) 0, ( ) ( ) )

( ) ( )

( g x f x dang x

x g

x f x

F   _{mememuat fungsi}

trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x)sinx_dan

x x

f( )cos _{tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial.}

Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x)sinx_atau f(x)cosx

1.

x x x

F

cos sin 1 )

(  

2.

x x x

F

sin cos sin 2 1 )

(   

3.

x x x

F

cos 2 sin 5 )

(  

4.

x x

F

sin 2 3

1 ` ) (

  5.

x x

x F

cos sin

1

2 `

) (

  

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

_



 x x

dx cos sin

1

2.

_

 x

dx cos 2

3.

_



 x x

dx cos sin

1

4.

_

  dx

x x x

sin cos sin

2 1

5.

_

 2sinxdx 3

1

z

x2arctan sehingga dz z

dx ₂

1 2 

 .

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x2arctanz maka diperoleh xz

    

2 tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 

            

2 sec 2 tan

1 2 x 2 x

        

2 sec

1 _z2 2 x

2 2

1 1 2 cos

z x

        

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

1 cos

sin2 _x 2_x

1 2 cos 2

sin2 2 _

            

 x x _{, sehingga didapat}

2 2

1 1 1 2 sin

z x

        

₂ 2 1 z

z  

Dengan rumus jumlah cosinus didapat: x

x x _cos2 _sin2

2

cos  

              

2 sin 2 cos

cos_x 2 x 2 x

2 2 2 ₁ 1

1 cos

z z z x

    

₂2

1 1

z z   

Dengan rumus jumlah sinus didapat: x

x x 2sin cos 2

sin 

             

2 cos 2 sin 2

2 _{2 2}

1 1 1

2

z z

z

 



₁ 2 2

z z  

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

z

x2arctan , ₁ 2

2 sin

z z x



 , ₂

2 1 1 cos

z z x

  

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Contoh

Tentukan integral berikut ini. 1.



_1sindx_xcosx Jawab

dz z z z

z dz z x

x dx





    

 

 

2 2 2

2

1 1 1

2 1

1 2 cos

sin 1



      

 

2 2 2

2 2

2

1 1 1

2 1

1 1

2

z z z

z z

z z

dz



_ 

z dz

2 2

2



_ 

z dz 1

c z   ln1

c x

 



2 tan 1 ln

Didapat x c

x x

dx _{  }

 



ln1 tan₂ cos

sin 1

2.



_2dx_cosx Jawab





  

  

2 2 2

1 1 2

1 2 cos

2

z z dz z x

dx



   

  

2 2 2

2 2

1 1 1

) 1 (

2 1

2

z z z

z z dz

_



 ₂

3 1

2 z dz



_

      

2 2

3 1 3 2

z dz

z c

  

  

3 / 1 arctan 3 3 2

 3arctanz 3c

3 2

x c

    

 3

2 tan arctan 3 3 2

Didapat x c

x dx

       





3

2 tan arctan 3 3 2 cos 2

3.



_35dx_sinx Jawab





 

  

2 2

1 2 5 3

1 2 sin

5 3

z z z dz x

dx



_{ } 

z z

dz 10 3

3 2

2



_{ }



) 3 )( 1 3 (

2 z z

dz



 _



 dz

z B z

A

) 3 ( ) 1 3 (

dz z z B A z B A



 _  _   ) 3 )( 1 3 ( ) ( ) 3 (



 _   dz z

z ( 3)

1 ) 1 3 ( 3 c z

z   

3ln3 1 ln 3

c x

x _{   }

 3 2 tan ln 1 2 tan 3 ln 3

Didapat x x c

x dx      



3 2 tan ln 1 2 tan 3 ln 3 sin 5 3 Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. c x x x dx                   



3 2 2 tan 3 2 2 tan ln 3 3 sin 2 1 2. c x x dx                      



₃ 1 2 tan 2 arctan 2 sin 2 3. c x x dx                      



₄ 3 2 tan 5 arctan 2 1 sin 3 5 4. c x x x x dx                 



2 tan 1 2 tan ln cos sin 1 5. c x x dx                      



₃ 4 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5

6. x c

x dx           



tan₂

3 3 arctan 3 3 2 cos 2

7. x c

x dx               



arctan 5 tan ₂

5 5 2 sin 2 3

8. C u

u u

u

xudu

 

 



ln 1_coscos )

cos 1 ( cos

sin 2

2

9. x x c

x xdx x

    



 

 

 





arctan 2tan₃ 1

3 2 tan 1 ln tan

1

sec ) tan 2 (

2 2 2

10.

_

tanxdxlnsecx c 11.

_

cotxdx lncscx c