Bentuk Integral Fungsi Trigonometri

15.      dx e e e e x x x x 2 2 2 2 16. dt e e t t   6 3 4 17.   dx x x 4 4 2 18.   4 4 x xdx 19.   dx x x cos 2 1 sin 20.   dx x xdx 2 2 1 21.       dx x x x 3 2 2 1 1

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah: 1 c x dx x     cos sin 2 c x dx x    sin cos 3    c x dx x sec ln tan c x    cos ln 4     c x dx x csc ln cot c x   sin ln 5     c x x dx x tan sec ln sec 6     c x x dx x cot csc ln csc Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas, selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing- masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas adalah:

1. Bentuk

dx x dx x m m   cos , sin Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 38 Integral fungsi trigonometri berbentuk dx x dx x m m   cos , sin dibedakan dalam dua kasus, yaitu: Kasus 1: m adalah bilangan ganjil Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi m-1 + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas 1 cos sin 2 2   x x dan diferensial xdx x d cos sin  atau xdx x d sin cos   . Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah diselesaikan. Contoh: Tentukan integral berikut: 1.  xdx 3 sin Jawab      xdx xdx 1 1 3 3 sin sin xdx x sin sin 2       cos cos 1 2 x d x      cos cos cos 1 2 x d x d c x x     3 cos 3 1 cos Sehingga c x x xdx      3 3 cos 3 1 cos sin 2. dx x  5 cos Jawab dx x dx x      1 1 5 5 cos cos xdx x cos cos 4      sin sin 1 2 2 x d x sin sin sin 2 1 4 2 x d x x     Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 39       sin sin sin sin 2 sin 1 4 2 x xd x xd x d c x x x     5 3 sin 5 1 sin 3 2 sin Sehingga c x x x dx x      5 3 5 sin 5 1 sin 3 2 sin cos 3.  dx x 2 sin 5 Jawab: Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka gunakan substitusi terlebih dahulu. Substitusikan x u 2  dan dx du 2  atau 2 du dx  sehingga    2 sin 2 sin 5 5 du u dx x   udu 5 sin 2 1   udu u sin sin 2 1 4     cos cos 1 2 1 2 2 u d u      cos cos cos 2 1 2 1 4 2 u d u u c u u u      5 3 sin 10 1 sin 3 1 cos 2 1 c x x x      2 sin 10 1 2 sin 3 1 2 cos 2 1 5 3 Sehingga       c x x x dx x 2 sin 10 1 2 sin 3 1 2 cos 2 1 2 sin 5 3 5 Kasus 2: m adalah bilangan genap Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut x x x 2 2 sin cos 2 cos   sehingga 2 2 cos 1 sin 2 x x   atau 2 2 cos 1 cos 2 x x   Contoh: Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 40 Tentukan pengintegralan berikut ini. 1.  xdx 2 sin Jawab           dx x xdx 2 2 cos 2 1 sin 2     xdx dx 2 cos 2 1 2 1 c x x    4 2 sin 2 Sehingga c x x xdx     4 2 sin 2 sin 2 2.  xdx 4 cos Jawab      dx x xdx 2 2 4 cos cos          dx x 2 2 2 cos 1          dx x x 4 2 cos _ 2 2 cos 4 1       xdx dx x dx 2 cos 4 1 2 2 cos 4 1 2 dx x x x            2 4 cos 1 4 1 4 2 sin 4 c x x x x      32 4 sin 8 4 2 sin 4 c x x x     32 4 sin 4 2 sin 84 3 Sehingga c x x x xdx      32 4 sin 4 2 sin 8 3 cos 4 3.  xdx 2 sin 4 Jawab Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 41 Substitusikan Misal x u 2  diperoleh dx du 2  atau 2 du dx  , sehingga 2 sin 2 sin 4 4 du xdx        2 sin 2 2 du u          du u 2 2 2 cos 1 2 1     du u u 2 cos 2 cos 2 1 4 1 2 1 2       udu udu du 2 cos 8 1 2 cos 4 1 8 1 2              du u udu du 2 4 cos 1 8 1 2 cos 4 1 8 1         udu du udu du 4 cos 16 1 16 1 2 cos 4 1 8 1 c u u u u      4 sin 64 1 16 1 2 sin 8 1 8 1 Sehingga c x x x x xdx       2 4 sin 64 1 2 16 1 2 2 sin 8 1 2 8 1 2 sin 4 c x x x     8 sin 64 1 4 sin 8 1 4 3 Soal-soal Tentukan pengintegralan berikut ini. 1  dx x 4 sin 3 2        dx x 2 sin 4 3        dx x 3 cos 4 4        dx x 5 2 cos 3 Kalkulus Integral:Dwi Purnomo- 42 5    dx x 3 cos 4 6     dx x 2 1 cos 4 7     dx x 3 1 sin 4 8         dx x 5 2 1 cos 2 9         dx x 5 2 3 sin 3 10         dx x 2 4 1 cos 2

b. Bentuk