15.
dx e
e e
e
x x
x x
2 2
2 2
16.
dt e
e
t t
6 3
4
17.
dx
x x
4
4 2
18.
4
4
x xdx
19.
dx
x x
cos 2
1 sin
20.
dx
x xdx
2
2 1
21.
dx
x x
x
3 2
2 1
1
2.2 Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas metode integrasi pada fungsi trigonometri secara lebih mendetail, berikut ini diberikan beberapa integral dasar fungsi trigonometri yang
menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan yang akan ditentukan antiturunannya. Bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri adalah:
1
c x
dx x
cos sin
2
c x
dx x
sin cos
3
c x
dx x
sec ln
tan
c x
cos ln
4
c
x dx
x csc
ln cot
c x
sin
ln
5
c
x x
dx x
tan sec
ln sec
6
c
x x
dx x
cot csc
ln csc
Berdasarkan bentuk-bentuk dasar integral fungsi trigonometri di atas, selanjutnya diberikan beberapa metode integrasi fungsi trigonometri yang masing-
masing berbeda cara menyelesaikan. Bentuk integral fungsi trigonometri yang di bahas adalah:
1. Bentuk
dx x
dx x
m m
cos ,
sin
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
38
Integral fungsi trigonometri berbentuk
dx x
dx x
m m
cos ,
sin
dibedakan dalam dua kasus, yaitu:
Kasus 1: m adalah bilangan ganjil
Jika m bilangan bulat positip ganjil, maka m diubah menjadi m-1 + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan
kesamaan identitas
1 cos
sin
2 2
x x
dan diferensial
xdx x
d cos
sin
atau
xdx x
d sin
cos
. Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga pengintegralan mudah
diselesaikan. Contoh:
Tentukan integral berikut: 1.
xdx
3
sin
Jawab
xdx
xdx
1 1
3 3
sin sin
xdx x sin
sin
2
cos
cos 1
2
x d
x
cos
cos cos
1
2
x d
x d
c x
x
3
cos 3
1 cos
Sehingga
c x
x xdx
3 3
cos 3
1 cos
sin
2.
dx x
5
cos
Jawab
dx x
dx x
1 1
5 5
cos cos
xdx x cos
cos
4
sin sin
1
2 2
x d
x sin
sin sin
2 1
4 2
x d
x x
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
39
sin
sin sin
sin 2
sin 1
4 2
x xd
x xd
x d
c x
x x
5 3
sin 5
1 sin
3 2
sin
Sehingga
c x
x x
dx x
5 3
5
sin 5
1 sin
3 2
sin cos
3.
dx x
2 sin
5
Jawab: Karena tanda integrasinya belum sama dengan vaiabel integral maka
gunakan substitusi terlebih dahulu. Substitusikan
x u
2
dan
dx du
2
atau
2 du
dx
sehingga
2
sin 2
sin
5 5
du u
dx x
udu
5
sin 2
1
udu
u sin sin
2 1
4
cos
cos 1
2 1
2 2
u d
u
cos cos
cos 2
1 2
1
4 2
u d
u u
c u
u u
5 3
sin 10
1 sin
3 1
cos 2
1
c x
x x
2
sin 10
1 2
sin 3
1 2
cos 2
1
5 3
Sehingga
c
x x
x dx
x 2
sin 10
1 2
sin 3
1 2
cos 2
1 2
sin
5 3
5
Kasus 2: m adalah bilangan genap
Jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
x x
x
2 2
sin cos
2 cos
sehingga
2 2
cos 1
sin
2
x x
atau
2 2
cos 1
cos
2
x x
Contoh:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
40
Tentukan pengintegralan berikut ini. 1.
xdx
2
sin
Jawab
dx x
xdx 2
2 cos
2 1
sin
2
xdx dx
2 cos
2 1
2 1
c x
x
4 2
sin 2
Sehingga
c x
x xdx
4 2
sin 2
sin
2
2.
xdx
4
cos
Jawab
dx
x xdx
2 2
4
cos cos
dx
x
2
2 2
cos 1
dx x
x 4
2 cos
_ 2
2 cos
4 1
xdx
dx x
dx 2
cos 4
1 2
2 cos
4 1
2
dx x
x x
2
4 cos
1 4
1 4
2 sin
4 c
x x
x x
32
4 sin
8 4
2 sin
4 c
x x
x
32
4 sin
4 2
sin 84
3
Sehingga
c x
x x
xdx
32 4
sin 4
2 sin
8 3
cos
4
3.
xdx 2
sin
4
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
41
Substitusikan Misal
x u
2
diperoleh
dx du
2
atau
2 du
dx
, sehingga
2 sin
2 sin
4 4
du xdx
2
sin
2 2
du u
du
u
2
2 2
cos 1
2 1
du
u u
2 cos
2 cos
2 1
4 1
2 1
2
udu
udu du
2 cos
8 1
2 cos
4 1
8 1
2
du
u udu
du 2
4 cos
1 8
1 2
cos 4
1 8
1
udu du
udu du
4 cos
16 1
16 1
2 cos
4 1
8 1
c u
u u
u
4 sin
64 1
16 1
2 sin
8 1
8 1
Sehingga
c x
x x
x xdx
2 4
sin 64
1 2
16 1
2 2
sin 8
1 2
8 1
2 sin
4
c x
x x
8 sin
64 1
4 sin
8 1
4 3
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut ini. 1
dx x
4 sin
3
2
dx x
2 sin
4
3
dx x
3 cos
4
4
dx x
5 2
cos
3
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
42
5
dx x
3 cos
4
6
dx
x 2
1 cos
4
7
dx
x 3
1 sin
4
8
dx
x 5
2 1
cos
2
9
dx x
5 2
3 sin
3
10
dx x
2 4
1 cos
2
b. Bentuk
