18.
dx x
x
2 5
sin 2
sin
19.
dx x
x
4 5
sin 3
2 cos
20.
dx x
x
6 5
cos 4
3 cos
2.3 Metode Substitusi Fungsi Trigonometri
Metode substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
1.
real a
x a
,
2 2
2.
real a
x a
a x
,
2 2
2 2
3.
real a
a x
,
2 2
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya 1.
2 2
2 2
2
x b
a x
b a
2.
2 2
2 2
x b
a x
b a
3.
2 2
2 2
2
a
b x
b x
a
4.
c bx
ax
2
yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Untuk memudahkan memahami, dalam bab ini dibahas tiap-tiap kasus yang ada.
1. Integrannya memuat
2 2
x a
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi sejenisnya.
Selesaiannya menggunakan substitusi
a x
t t
a x
sin
sin
dengan
2 2
t
. Karena
dt t
a dx
t a
x cos
sin
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
54
Selanjutnya perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.
Karena
t a
x sin
maka
2 2
2 2
sin t
a a
x a
sin
1
2 2
t a
t a cos
Selanjutnya bentuk
t c
x a
cos
2 2
dan
tdt a
dx cos
substitusikan ke dalam integral semula, sehingga dapat ditentukan antiturunannya.
Contoh: Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
dx
x
2
4
Jawab substitusi
2 sin
sin 2
x t
t x
dt t
a dx
cos
t t
x cos
2 sin
4 4
4
2 2
Sehingga
dt t
t dx
x cos
2 cos
2 4
2
dt
t t cos
cos 4
dt
t dt
t 2
2 cos
1 4
cos 4
2
dt t
dt
2 cos
2 2
c t
t t
cos
sin 2
2
c x
x x
2 4
2 2
2 arcsin
2
2
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
55
t
x a
2 2
x a
t
x
2
2
4 x
Sehingga
c x
x x
dx x
2 4
2 arcsin
2 4
2 2
Atau
c t
t tdt
2 1
2 sin
cot 4
cos 4
2
c t
t t
2
sin cos
2
c x
x x
2 arcsin
2 2
4 2
2
2
C x
x x
2 arcsin
2 2
4
2
2.
2
4 x
x dx
Jawab
2 2
2 4
4 x
dx x
x dx
Substitusikan
t x
sin 2
2
2 2
sin
x
t
dt t
dx cos
2
t x
cos 2
2 4
2
, sehingga
t
dt t
x dx
cos 2
cos 2
2 4
2
dt
c t
c x
2 2
arcsin
Sehingga
c x
x x
dx
2 2
arcsin 4
2
3.
2
6 16
x x
dx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
56
2
x
2
4 x
x
2
t
Jawab
2 2
3 25
6 16
x dx
x x
dx
Substitusikan
t x
sin 5
3
5 3
sin
x
t
dan
dt t
dx cos
5
t x
cos 5
3 25
2
dt
t t
x x
dx cos
5 cos
5 6
16
2
dt
c t
c x
5
3 arcsin
4.
dx
x x
2 2
3
Jawab Substitusi
t x
sin 3
3 sin
x t
s
dt t
dx cos
3
2 2
sin 3
3 3
A x
A
cos 3
, sehingga
dt t
t dx
x x
cot 3
cos 3
sin 3
3
2 2
2
dt
t t
2 2
cos sin
9
dt
t t
2 2
cos 1
2 2
cos 1
9 dt
t 2
cos 1
4 9
2
dt
t 2
4 cos
1 1
4 9
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
57
5
2
6 16
x x
3
x
t
x
t
3
2
3 x
dt
t dt
dt 4
cos 8
9 8
9 1
4 9
c t
t t
4 sin
32 9
8 9
4 9
c t
x
4 sin
32 9
3 arcsin
8 9
c t
t t
t x
sin cos
cos sin
4 32
9 3
arcsin 8
9
2 2
c t
t t
t x
2 2
sin cos
cos sin
3 arcsin
8 9
c x
x x
x x
arc
3 3
3 3
3 3
3 8
9
2 2
2
c x
x x
x arc
27
3 3
3 8
9
2 2
3
Soal-soal
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca 1.
2 2
1 1
x x
dx
2.
dx
x x
2
25
3.
2 2
9 x x
dx
4.
2 3
2
4 x
x dx
5.
2
2 2
x x
dx
6.
dx
x
2
2
7.
dx x
x
2
2 1
8.
2
3 5
x xdx
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
58
9.
2
4 x
x dx
2. Integrannya memuat
