t
tdt t
x dx
sec tan
sec 3
9 1
2
tdt
sec
c t
t
tan sec
ln c
x x
x
3
8 2
3 1
ln
2
Sehingga
c x
x x
x x
dx
3 8
2 3
1 ln
` 8
2
2 2
Soal-soal
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan. 1.
dx
x 1
2
2.
25
2 2
x dx
x
3.
dt t
t
3 2
4
4.
65 16
2
x x
dx
5.
6
2
x x
dx
6.
1
2 2
t t
dt
7.
24 2
2
z z
zdt
8.
dy
y 3
2
2.4 Integral Parsial
Integral parsial secara umum digunakan untuk menentukan selesaian integral fungsi yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi
uv
dan
, x
g v
x f
u
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
63
t
3
Karena uv
y , maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi
uv y
diperoleh
uv d
dy vdu
udv dy
vdu udv
uv d
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
vdu udv
uv d
vdu uv
d udv
vdu uv
udv
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi
udv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan
udv
tersebut. Contoh
Tentukan integral persial berikut ini 1.
xdx x cos
Jawab Bentuk
xdx x cos
diubah menjadi
udv
misal
x u
dan
xdx dv
cos
sehingga
dx du
1
dan
x xdx
v sin
cos
Akibatnya
sin
cos x
xd xdx
x
Dengan rumus integral parsial
vdu uv
udv
, diperoleh
sin sin
sin x
xd x
x x
xd
xdx x
x sin
sin
c x
x x
cos
sin
Sehingga
c x
x x
xdx x
cos sin
cos
2.
dx x
x
1
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
64
Bentuk
dx
x x 1
diubah menjadi
udv
misal
x u
dan
x dv
1
sehingga
dx du
1
dan
3 2
3 2
1
1 2
1 1
2 1
1 1
x x
dx x
xdx v
Sehingga
x
x 1
dx =
1
3 2
3
x xd
Berdasarkan rumus integral parsial
vdu uv
udv
, diperoleh
3
1 3
2 1
x xd
x x
1 3
2 1
1 3
2
3 3
x d
x x
dx x
x
3 3
1 3
2 1
1 3
2
c x
x x
1
5 2
3 2
1 3
2
5 3
c x
x
5 3
1 15
4 1
1 3
2
Sehingga
c x
x dx
x x
5 3
1 15
4 1
1 3
2 1
3.
dx e
x
x
sin
Jawab Pilih
x u
sin
maka
dx x
x d
du cos
sin
dx e
dv
x
,
c e
dx e
v
x x
, sehingga:
sin
sin
x x
e d
x dx
e x
sin sin
x d
e x
e
x x
xdx e
x e
x x
cos sin
Diperoleh bentuk
xdx e
x
cos
yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih
x u cos
maka
x x
d du
sin cos
dx e
dv
x
,
c e
dx e
v
x x
, sehingga:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
65
cos
cos
x x
e d
x dx
e x
cos cos
x d
e x
e
x x
dx
x e
x e
x x
sin cos
, sin
cos dx
x e
x e
x x
Akhirnya diperoleh
xdx e
x e
dx e
x
x x
x
cos sin
sin
xdx
e x
e x
e xdx
e
x x
x x
sin cos
sin sin
x e
x e
dx e
x
x x
x
cos sin
sin 2
x e
x e
dx e
x
x x
x
cos sin
2 1
sin
4.
xdx
n
cos
Jawab
dx
x x
xdx
n n
cos cos
cos
1
Pilih
x u
n 1
cos
maka
dx x
x n
x d
du
n n
sin cos
1 cos
2 1
dx dv
cos
,
c x
xdx v
sin cos
, sehingga:
sin
cos cos
1
x xd
xdx
n n
cos sin
cos sin
1 1
x d
x x
x
n n
dx x
x n
x x
x
n n
sin cos
1 sin
cos sin
2 1
xdx
x n
x x
n n
2 2
1
cos sin
1 cos
sin
xdx x
n x
x
n n
2 2
1
cos cos
1 1
cos sin
xdx n
xdx n
x x
n n
n
cos 1
cos 1
cos sin
2 1
Selanjutnya diperoleh
xdx n
xdx n
x x
xdx
n n
n n
cos 1
cos 1
cos sin
cos
2 1
xdx n
x x
xdx n
n n
n 2
1
cos 1
cos sin
cos
xdx
n n
n x
x xdx
n n
n 2
1
cos 1
cos sin
cos
5.
xdx
n
sin
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
66
dx
x x
xdx
n n
sin sin
sin
1
Pilih
x u
n 1
sin
maka
dx x
x n
x d
du
n n
cos sin
1 sin
2 1
dx dv
sin
,
c x
xdx v
cos sin
, sehingga:
cos sin
sin
1
x xd
xdx
n n
sin cos
sin cos
1 1
x d
x x
x
n n
dx x
x n
x x
x
n n
cos sin
1 cos
sin cos
2 1
xdx x
n x
x
n n
2 2
1
sin cos
1 sin
cos
xdx
x n
x x
n n
2 2
1
sin sin
1 1
sin cos
xdx n
xdx n
x x
n n
n
sin 1
sin 1
sin cos
2 1
Selanjutnya diperoleh
xdx n
xdx n
x x
xdx
n n
n 2
2 1
sin 1
sin 1
sin cos
sin
xdx
n x
x xdx
n
n n
n 2
1
sin 1
sin cos
sin
xdx n
n n
x x
xdx
n n
n 2
1
sin 1
sin cos
sin
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan. 1.
dx x
x
2
sec
2.
dx x
x
tan sec
3.
dx x
3
sin
4.
dx x
x tan
5.
dx x
arc tan
6.
dx x
x ln
7.
3
7 2x
x
dx 8.
dx x
arc 2
cos
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
67
9.
dx e
x
x 2
2
10.
dx x
xdx
2
1
11.
dx x
x
3 sin
3 cos
12.
dx
x e
x
1
13.
xdx x
2 5
sec tan
14.
dx x
x 2
cos 2
15.
dx xe
x
2
16.
dx e
x
x 3
1 2
17.
dx x
3
sec
18.
dx x
x
2 3
4
19.
dx x
3 ln
20.
dx x
x
sin
2
21.
dx x
x
1
2
22.
dx x
x
2 2
sec
2.5 Integral Fungsi Rasional.
