R R
dA dA
x x
dan
R R
dA dA
y y
Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:
R
dA R
A
2 2
2 2
4 2
4
cos 2
. cos
2 4
2 2
dt t
t dx
x dx
y dydx
x x
4 4
2 1
2 cos
sin 4
2
t t
t
dan
R
dA y
4 2
1 4
2 1
2 1
2 3
2 2
2 4
2 2
4
2 2
x x
dx x
dx y
dydx y
x x
x
R
dA x
2 2
2 2
4 2
4
cos 2
cos 2
sin 2
4
2 2
tdt t
t dx
x x
dx xy
dydx x
x x
3 8
cos 3
8 cos
cos 8
cos sin
8
2 3
2 2
2 2
t t
d t
tdt t
sehingga
3 8
x
dan
y
diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh
4
2 2
y x
pada kuadra I. adalah
, 3
8
c. Luas Permukaan Lengkung
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
79
Jika S adalah bagian dari permukaan R’ dengan persamaan z=fx,y. R’ dapat diproyeksikan pada bidang koordinat yang cocok
sehingga menghasilkan suatu daerah R pada bidang dalam ruang. Dengan demikian fungsinya terintegralkan pada R.
1. Jika R’ diproyeksikan pada XOY maka
R
dA y
z x
z S
2 2
1
2. Jika R’ diproyeksikan pada YOZ maka
R
dA z
x y
x S
2 2
1
3. Jika R’ diproyeksikan pada XOZ maka
R
dA z
y x
y S
2 2
1
tanda integrasi urutannya menyesuaikan dengan bidang proyeksi, Jika bidang proyeksinya XY maka dA berubah menjadi dxdy atau dx.
Contoh Carilah luas permukaan silinder
16
2 2
z x
didalam silinder
16
2 2
y x
Jawab
Perpotongan kedua selinder menghasilkan bangun
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
80 X
Z
Y
16
2 2
z x
16
2 2
y x
Z
dengan mengganggap bidang XOY sebagai bidang proyksi, maka
R
dA y
z x
z S
2 2
1 ,
16
2
y
z dan
z x
x z
sehingga x
z
sehingga
2 16
2
2
1 8
x
dydx z
x S
4 16
2
2
16 4
8
x
dydx x
4
128 4
32 32
luas satuan
dx
d. Volume Bangun Ruang
Volume bangun suatu ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan integral ganda dua dan dituliskan dengan
R
dA y
x f
V ,
dydx y
fx,
2 1
2 1
y y
b x
a x
x y
x y
A atau
dxdy y
fx,
2 1
2 1
x x
b y
a y
y x
y x
A
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
81 Y
X
Contoh 1. Cari volume irisan
36 36
4 9
2 2
z
y x
oleh bidang z = 0 Jawab
Gambar bangun yang pembatasnya
36 36
4 9
2 2
z
y x
adalah
`
`
R
dA y
x f
V ,
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
dydx y
x V
x
2 4
9 36
2 2
2
36 4
9 36
4
dydx y
x
x
2 4
9 36
2 2
2
4 9
36 36
4
2 9
36 2
1 3
2
2
3 4
9 36
9 1
dx y
y x
y
x
2 3
2 2
2 2
36 2
1 3
4 9
36 2
1 9
9 36
2 1
36 9
1 dx
x x
x x
2 2
2 2
2 2
9 36
9 36
8 1
. 3
4 9
36 2
9 9
36 18
9 1
dx x
x x
x x
dx x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
9 36
9 36
6 1
9 36
2 9
9 36
18 9
1
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
82
Y
Z
X
, ,
2 A
36 36
4 9
2 2
z
y x
, 3
, B
36 4
9
2 2
y x
1 ,
, C
dx x
x x
x x
2 2
2 2
2 2
9 36
2 3
9 36
2 9
9 36
6 18
9 1
dx x
x x
2 2
2 2
9 36
6 9
2 9
9 36
12 9
1
dx x
x x
2 2
2 2
] 9
36 3
9 36
12 [
9 1
dx x
x x
2 2
2 2
4 9
3 4
9 12
[ 9
1
dx x
x x
2 2
2 2
4 9
4 36
[ 9
1
Dengan metode substitusi x = 2 sin t didapat dx = 2 cos t dx
Untuk x = 2 maka t =
2
Untuk x = 0 maka t = 0 Sehingga
dx x
x x
2 2
2 2
4 9
4 36
[ 9
1
cos 2
sin 4
4 sin
4 9
sin 4
4 36
[ 9
1
2 2
2 2
tdt t
t t
dt t
t t
t cos
2 ]
cos 2
cos 1
36 cos
2 36
[ 9
1
2 2
dt t
t t
t cos
2 ]
cos 2
cos 1
cos 2
[ 4
2 2
2 2
2 2
2
cos 8
dtdy t
y r
dt t
4 2
cos 16
Karena
dx
x m
m m
x x
dx x
m m
m 1
1
cos 1
cos sin
cos
Maka
dt t
4 2
cos 16
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
83
2 3
2 1
2 cos
sin 4
3 4
cos sin
16
t
t t
t t
= 16
4 4
3
-16
.
2 1
= 3
satuan isi
Volume bangun di atas dapat juga dilakukan dengan mengubah urutan tanda integrasi dxdy.
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
dxdy y
x V
y
3 9
4 36
2 2
2
36 4
9 36
4
dxdy y
x
y
3 9
4 36
2 2
2
4 9
36 36
4
3 4
36 3
1 2
3
2
4 3
36 9
1 dy
x y
x x
y
3 2
2 3
2 2
4 36
3 1
4 4
36 3
1 3
4 36
3 1
36 9
1 dy
y y
y y
3 2
2 2
2 2
4 36
3 4
4 36
4 36
9 1
4 36
12 9
1 dx
y y
y y
y dx
y y
y y
y y
2 2
2 2
2 2
3
4 36
3 4
4 36
9 4
4 36
4 4
36 12
9 1
dx y
y y
y
2 2
2 2
3
4 36
3 4
9 4
4 36
4 12
9 1
dx y
y y
9 4
9 8
9 4
8 9
1
2 2
2 3
dx y
y y
2 2
2 3
9 9
16 9
16 9
1
Dengan metode substitusi y = 3 sin t didapat dx = 3 cos t dx
Untuk x = 3 maka t =
2
Untuk x = 0 maka t = 0 Sehingga
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
84
dx y
y y
2 2
2 3
9 9
16 9
16 9
1
dt t
t t
t cos
3 ]
sin 9
9 sin
3 9
16 sin
9 9
16 [
9 1
2 2
2 2
cos 3
] sin
1 9
sin 9
9 16
sin 1
9 16
[ 9
1
2 2
2 2
dt t
t t
t
dt t
t t
t cos
] cos
3 cos
1 16
cos 3
16 [
9 3
2 2
dt t
t t
t cos
] cos
48 cos
48 cos
48 [
3 1
2 3
dt t]
cos 48
3 1
4 2
dt t
2 4
cos 16
Karena
dx
x m
m m
x x
dx x
m m
m 1
1
cos 1
cos sin
cos
Maka
dt t
2 4
cos 16
2 3
2 1
2 cos
sin 4
3 4
cos sin
16
t
t t
t t
4 4
3 16
= 3
2. Carilah volume persekutuan silinder
16
2 2
y x
dan
16
2 2
z x
Jawab Gambar silinder persekutuannya adalah:
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
85 Z
`
Gambar di oktan I persekutuan silinder di atas adalah
R
dA y
x f
V ,
4 4
16 16
2
2 2
16 2
dydx x
x x
4 16
2
2
16 8
dydx x
x
4 16
2
2
16 8
dx x
y
x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
86 X
X Y
Y
, ,
4 A
, ,
4 A
, 4
, B
Y Z
04 ,
C
4 2
16 8
dx x
4 3
3 1
16 8
x x
= 8[16.4-
3
4 3
1
-16.0-
3 1
= 81283 =
isi satuan
3 1024
3. Dengan menggunakan integral ganda dua, tentukan volume bangun ruang yang dibatasi oleh bidang z = 0, x + y = 4 dan y + z
= 4 Jawab
Bangun persekutuan bidang seperti gambar berikut
`
R
dA y
x f
V ,
4 4
4
y
dxdy y
dy yx
x
y
4 4
4 dy
y y
y
4
4 4
4
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
87 X
Z
Y
4
z
y
4
y
x
, ,
4
, 4
,
dy y
y y
4 2
4 4
16 dy
y y
4 2
8 16
4 3
2
3 1
3 8
16
y y
y
3 2
3 2
. 3
1 .
3 8
. 16
4 .
3 1
4 .
3 8
4 .
16 3
64 3
128 64
4. Tentukan volume bola
25
2 2
2
z
y x
menggunakan integral ganda dua.
Jawab
Dengan integral ganda dua diperoleh
r y
r
dxdy y
x r
V
2 2
2
2 2
8 dxdy
x y
r
y r
2 2
2 2
2 2
8
Dengan menggunakan substitusi fungsi trigonometri diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
88 X
Z
Y
x =
t y
r cos
2 2
dan dx =
t y
r sin
2 2
untuk x = 0 didapat t = dan untuk x =
2 2
y r
didapat t =
2
, sehingga
dxdy x
y r
y r
2 2
2 2
2 2
8
dy t
y r
t y
r y
r
2 2
2 2
2 2
2 2
2
cos sin
8
2 2
2 2
2
cos 8
dtdy t
y r
dy t
t t
y r
2 2
2 2
2 1
2 cos
sin 8
r
dy y
r
2 2
4 .
8
r
y y
r
3 2
3 1
2
3 2
3 1
2 r
r r
3
3 4
r
5. Gambar kurva ruang
x y
x 4
2 2
Jawab
x y
x 4
2 2
4
2 2
y x
x 4
2
2 2
y x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
89 Z
4.2 Aplikasi Integral Ganda Tiga