Luas Permukaan Lengkung Volume Bangun Ruang

   R R dA dA x x dan    R R dA dA y y Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:   R dA R A               2 2 2 2 4 2 4 cos 2 . cos 2 4 2 2  dt t t dx x dx y dydx x x                    4 4 2 1 2 cos sin 4 2 t t t dan  R dA y     4 2 1 4 2 1 2 1 2 3 2 2 2 4 2 2 4 2 2                  x x dx x dx y dydx y x x x  R dA x                 2 2 2 2 4 2 4 cos 2 cos 2 sin 2 4 2 2  tdt t t dx x x dx xy dydx x x x   3 8 cos 3 8 cos cos 8 cos sin 8 2 3 2 2 2 2            t t d t tdt t sehingga  3 8  x dan   y diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh 4 2 2   y x pada kuadra I. adalah       , 3 8 

c. Luas Permukaan Lengkung

Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 79 Jika S adalah bagian dari permukaan R’ dengan persamaan z=fx,y. R’ dapat diproyeksikan pada bidang koordinat yang cocok sehingga menghasilkan suatu daerah R pada bidang dalam ruang. Dengan demikian fungsinya terintegralkan pada R. 1. Jika R’ diproyeksikan pada XOY maka                     R dA y z x z S 2 2 1 2. Jika R’ diproyeksikan pada YOZ maka                     R dA z x y x S 2 2 1 3. Jika R’ diproyeksikan pada XOZ maka                     R dA z y x y S 2 2 1 tanda integrasi urutannya menyesuaikan dengan bidang proyeksi, Jika bidang proyeksinya XY maka dA berubah menjadi dxdy atau dx. Contoh Carilah luas permukaan silinder 16 2 2   z x didalam silinder 16 2 2   y x Jawab Perpotongan kedua selinder menghasilkan bangun Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 80 X Z Y 16 2 2   z x 16 2 2   y x Z dengan mengganggap bidang XOY sebagai bidang proyksi, maka                     R dA y z x z S 2 2 1 , 16 2          y z dan z x x z sehingga x z sehingga             2 16 2 2 1 8 x dydx z x S      4 16 2 2 16 4 8 x dydx x     4 128 4 32 32 luas satuan dx

d. Volume Bangun Ruang

Volume bangun suatu ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan integral ganda dua dan dituliskan dengan   R dA y x f V , dydx y fx, 2 1 2 1 y y         b x a x x y x y A atau dxdy y fx, 2 1 2 1 x x         b y a y y x y x A Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 81 Y X Contoh 1. Cari volume irisan 36 36 4 9 2 2    z y x oleh bidang z = 0 Jawab Gambar bangun yang pembatasnya 36 36 4 9 2 2    z y x adalah ` `   R dA y x f V , Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh dydx y x V x       2 4 9 36 2 2 2 36 4 9 36 4 dydx y x x       2 4 9 36 2 2 2 4 9 36 36 4            2 9 36 2 1 3 2 2 3 4 9 36 9 1 dx y y x y x              2 3 2 2 2 2 36 2 1 3 4 9 36 2 1 9 9 36 2 1 36 9 1 dx x x x x         2 2 2 2 2 2 9 36 9 36 8 1 . 3 4 9 36 2 9 9 36 18 9 1 dx x x x x x dx x x x x x 2 2 2 2 2 2 9 36 9 36 6 1 9 36 2 9 9 36 18 9 1         Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 82 Y Z X , , 2 A 36 36 4 9 2 2    z y x , 3 , B 36 4 9 2 2   y x 1 , , C dx x x x x x 2 2 2 2 2 2 9 36 2 3 9 36 2 9 9 36 6 18 9 1         dx x x x 2 2 2 2 9 36 6 9 2 9 9 36 12 9 1             dx x x x      2 2 2 2 ] 9 36 3 9 36 12 [ 9 1 dx x x x      2 2 2 2 4 9 3 4 9 12 [ 9 1 dx x x x      2 2 2 2 4 9 4 36 [ 9 1 Dengan metode substitusi x = 2 sin t didapat dx = 2 cos t dx Untuk x = 2 maka t = 2  Untuk x = 0 maka t = 0 Sehingga dx x x x      2 2 2 2 4 9 4 36 [ 9 1 cos 2 sin 4 4 sin 4 9 sin 4 4 36 [ 9 1 2 2 2 2 tdt t t t       dt t t t t cos 2 ] cos 2 cos 1 36 cos 2 36 [ 9 1 2 2      dt t t t t cos 2 ] cos 2 cos 1 cos 2 [ 4 2 2         2 2 2 2 2 cos 8  dtdy t y r dt t 4 2 cos 16    Karena        dx x m m m x x dx x m m m 1 1 cos 1 cos sin cos Maka dt t 4 2 cos 16    Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 83 2 3 2 1 2 cos sin 4 3 4 cos sin 16                 t t t t t = 16         4 4 3  -16        . 2 1 = 3  satuan isi Volume bangun di atas dapat juga dilakukan dengan mengubah urutan tanda integrasi dxdy. Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh dxdy y x V y       3 9 4 36 2 2 2 36 4 9 36 4 dxdy y x y       3 9 4 36 2 2 2 4 9 36 36 4        3 4 36 3 1 2 3 2 4 3 36 9 1 dy x y x x y              3 2 2 3 2 2 4 36 3 1 4 4 36 3 1 3 4 36 3 1 36 9 1 dy y y y y         3 2 2 2 2 2 4 36 3 4 4 36 4 36 9 1 4 36 12 9 1 dx y y y y y dx y y y y y y 2 2 2 2 2 2 3 4 36 3 4 4 36 9 4 4 36 4 4 36 12 9 1          dx y y y y 2 2 2 2 3 4 36 3 4 9 4 4 36 4 12 9 1        dx y y y 9 4 9 8 9 4 8 9 1 2 2 2 3      dx y y y 2 2 2 3 9 9 16 9 16 9 1      Dengan metode substitusi y = 3 sin t didapat dx = 3 cos t dx Untuk x = 3 maka t = 2  Untuk x = 0 maka t = 0 Sehingga Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 84 dx y y y 2 2 2 3 9 9 16 9 16 9 1     dt t t t t cos 3 ] sin 9 9 sin 3 9 16 sin 9 9 16 [ 9 1 2 2 2 2       cos 3 ] sin 1 9 sin 9 9 16 sin 1 9 16 [ 9 1 2 2 2 2 dt t t t t       dt t t t t cos ] cos 3 cos 1 16 cos 3 16 [ 9 3 2 2      dt t t t t cos ] cos 48 cos 48 cos 48 [ 3 1 2 3      dt t] cos 48 3 1 4 2    dt t   2 4 cos 16  Karena        dx x m m m x x dx x m m m 1 1 cos 1 cos sin cos Maka dt t  2 4 cos 16  2 3 2 1 2 cos sin 4 3 4 cos sin 16                 t t t t t   4 4 3 16            = 3  2. Carilah volume persekutuan silinder 16 2 2   y x dan 16 2 2   z x Jawab Gambar silinder persekutuannya adalah: Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 85 Z ` Gambar di oktan I persekutuan silinder di atas adalah   R dA y x f V ,         4 4 16 16 2 2 2 16 2 dydx x x x      4 16 2 2 16 8 dydx x x       4 16 2 2 16 8 dx x y x Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 86 X X Y Y , , 4 A , , 4 A , 4 , B Y Z 04 , C      4 2 16 8 dx x 4 3 3 1 16 8         x x = 8[16.4- 3 4 3 1 -16.0- 3 1 = 81283 = isi satuan 3 1024 3. Dengan menggunakan integral ganda dua, tentukan volume bangun ruang yang dibatasi oleh bidang z = 0, x + y = 4 dan y + z = 4 Jawab Bangun persekutuan bidang seperti gambar berikut `   R dA y x f V ,     4 4 4 y dxdy y   dy yx x y     4 4 4 dy y y y      4 4 4 4 Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 87 X Z Y 4   z y 4   y x , , 4 , 4 , dy y y y      4 2 4 4 16 dy y y     4 2 8 16 4 3 2 3 1 3 8 16          y y y                   3 2 3 2 . 3 1 . 3 8 . 16 4 . 3 1 4 . 3 8 4 . 16 3 64 3 128 64    4. Tentukan volume bola 25 2 2 2    z y x menggunakan integral ganda dua. Jawab Dengan integral ganda dua diperoleh       r y r dxdy y x r V 2 2 2 2 2 8 dxdy x y r y r       2 2 2 2 2 2 8 Dengan menggunakan substitusi fungsi trigonometri diperoleh Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 88 X Z Y x = t y r cos 2 2  dan dx = t y r sin 2 2  untuk x = 0 didapat t = dan untuk x = 2 2 y r  didapat t = 2  , sehingga dxdy x y r y r      2 2 2 2 2 2 8 dy t y r t y r y r       2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 8     2 2 2 2 2 cos 8  dtdy t y r dy t t t y r           2 2 2 2 2 1 2 cos sin 8     r dy y r 2 2 4 . 8  r y y r 3 2 3 1 2                  3 2 3 1 2 r r r  3 3 4 r   5. Gambar kurva ruang x y x 4 2 2   Jawab x y x 4 2 2   4 2 2     y x x 4 2 2 2     y x Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 89 Z

4.2 Aplikasi Integral Ganda Tiga