BAB IV APLIKASI INTEGRAL GANDA
4.1 Aplikasi Integral Ganda Dua
Integral ganda rangkap dua yang bentuk umumnya :
R
dA y
x f
,
dapat diaplikasikan untuk beberapa persoalan, diantaranya adalah:
a. Luas suatu Luasan Bidang
Luas bidang dapat dipandang sebagai integral ganda dua jika fx,y = 1 , sehingga integral ganda dua menjadi :
R
dA A
dydx
2 1
2 1
y y
b x
a x
x y
x y
A atau
dxdy
2 1
2 1
x x
b y
a y
y x
y x
A
Dalam koordinat polar, bentuk di atas dinyatakan dengan:
2 1
2 1
d d
R
dA A
Contoh : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + 4
Jawab : Sebelum ditentukan luasnya, daerah tersebut digambar terlebih
dahulu
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
75 Y
4 2
x y
2 ,
2 2
2 2
2 y
- 2
4 -
2y 2
y -
2 4
- 2y
6 6
12 2
3 -
6y 3
6 4
2 2
x dxdy
y dy
y dy
y y
dy d A
A
R
2. Gunakan integral ganda dua untuk menentukan luas suatu luasan yang dibatasi oleh:
3x + 4y = 24, x = 0, y = 0 Jawab
Luas luasan di atas adalah AR =
R
dA
=
6
3 4
24 y
dxdy
=
dy x
y 3
4 24
6
=
dy y
6
4 24
3 1
=
6 2
2 24
3 1
y y
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
76
6 ,0
P
, 8
Q
R
24 3
4
y
x
X
4
y
x
, 2
, 2
R
X
2 2
2 2
2
cos 8
dtdy t
y r
=
. 2
. 24
6 .
2 6
. 24
3 1
2 2
=
72 144
3 1
= 24 satuan luas
b. Pusat Luasan
Misal R adalah suatu luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva, maka luasan tersebut mempunyai pusat luasan dan dinyatakan
dengan
y x,
dengan hubungan
R R
dA dA
x x
dan
R R
dA dA
y y
dengan
R
dA
adalah luas dari luasan dimaksud. Contoh
1 Tentukan pusat luasan berikut dengan menggunakan integral ganda dua.y = 2x, y = x, x = 0, dan x = 2
Pusat suatu luasan dinyatakan dengan
y x,
, dengan
R R
dA dA
x x
dan
R R
dA dA
y y
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
77 X
2
x
x y
2
Y x
y
R
Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:
R
dA R
A
2 2
1
2 2
2 2
2 2
2
x dx
x dx
y dydx
x x
x x
dan
R
dA y
2 9
2 1
4 2
1 2
1
2 3
2 2
2 2
2 2
2 2
x dx
x x
dx y
dydx y
x x
x x
R
dA x
2 9
3 1
2
2 3
2 2
2 2
2 2
2
x dx
x x
dx xy
dydx x
x x
x x
sehingga
9 2
9
x
dan
9 2
9
y
diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh y = 2x, y = x, x = 0, dan x = 2
adalah
2 1
, 2
1
2 Tentukan pusat luasan dengan batasan
4
2 2
y x
pada kuadra I.
Pusat suatu luasan dinyatakan dengan
y x,
, dengan
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
78 X
Y
4
2 2
y x
R
R R
dA dA
x x
dan
R R
dA dA
y y
Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:
R
dA R
A
2 2
2 2
4 2
4
cos 2
. cos
2 4
2 2
dt t
t dx
x dx
y dydx
x x
4 4
2 1
2 cos
sin 4
2
t t
t
dan
R
dA y
4 2
1 4
2 1
2 1
2 3
2 2
2 4
2 2
4
2 2
x x
dx x
dx y
dydx y
x x
x
R
dA x
2 2
2 2
4 2
4
cos 2
cos 2
sin 2
4
2 2
tdt t
t dx
x x
dx xy
dydx x
x x
3 8
cos 3
8 cos
cos 8
cos sin
8
2 3
2 2
2 2
t t
d t
tdt t
sehingga
3 8
x
dan
y
diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh
4
2 2
y x
pada kuadra I. adalah
, 3
8
c. Luas Permukaan Lengkung
Kategori