4.2 Aplikasi Integral Ganda Tiga
Integral ganda tiga sebagai perluasan integral ganda dua dinyatakan dalam bentuk umum
R
dv V
Sebagaimana telah dinyatakan pada bab III, bahwa integral ganda tiga dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat Cartesius, koordinat
silider, dan koordinat bola. Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Cartesius maka
R
dv z
y x
f V
, ,
R b
z a
z z
y y
z y
y z
y x
x z
y x
x
dxdydz z
y x
f dv
z y
x f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
, ,
b y
a y
y z
z y
z z
y z
x x
y z
x x
dxdzdy z
y x
f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
atau
R b
z a
z z
x x
z x
x z
x y
y z
x y
y
dydxdz z
y x
f dv
z y
x f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
, ,
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
90 X
Y
b x
a x
x z
z x
z z
x z
y y
x z
x y
dydzdx z
y x
f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
atau
R b
x a
x x
y y
x y
y x
y z
z x
y z
z
dzdydx z
y x
f dv
z y
x f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
, ,
b y
a y
y x
x y
x x
y x
z z
y x
z z
dzdxdy z
y x
f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Tabung maka
R
dv z
y x
f V
, ,
R r
r r
z z
r z
z
rdzdrd z
r f
dv z
r f
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
, ,
Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Bola maka
R
dv z
y x
f V
, ,
R
d d
d f
dv f
2 1
2 1
2 1
, ,
2
sin ,
, ,
, Selanjutnya integral ganda tiga dapat digunakan untuk menentukan
volume isi bendan dan secara umum volume benda dengan menggunakan integal ganda tiga adalah
R
dv V
dengan menganggap bahwa fx,y,z=1 Untuk perhitungan selanjutan dapat menggunakan koordinat
Cartesius, koordinat tabung, atau koordinat bola. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
6. Dengan menggunakan integral ganda tiga tentukan Volume bangun yang dibatasi oleh
12 3
4 6
z
y x
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
91 Z
4 ,
,
Volume Limas =
tinggi x
alas Luas
3 1
=
z y
x . .
2 1
3 1
= 4 SI Dengan integral ganda tiga didapat
R
dv V
3 6
4 12
3 4
6 12
y y
x
dzdxdy
3 6
4 12
4 6
12 3
1
y
dxdy y
x
3 6
4 12
2
4 3
12 3
1 dy
yx x
x
y
3 2
6 4
12 4
6 4
12 3
6 4
12 12
3 1
dy y
y y
y
dy y
y y
y y
3 2
2
3 8
8 16
96 144
12 1
4 12
2 3
1
dy y
y
3 2
3 4
8 12
3 1
3 3
2
9 4
4 12
3 1
y
y y
3 2
3 9
4 3
4 3
12 3
1
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo-
92 X
, ,
2
, 3
,
Y
4 12
36 36
3 1
4.3 Soal-soal