Aplikasi Integral Ganda Tiga

4.2 Aplikasi Integral Ganda Tiga

Integral ganda tiga sebagai perluasan integral ganda dua dinyatakan dalam bentuk umum   R dv V Sebagaimana telah dinyatakan pada bab III, bahwa integral ganda tiga dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat Cartesius, koordinat silider, dan koordinat bola. Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Cartesius maka   R dv z y x f V , ,            R b z a z z y y z y y z y x x z y x x dxdydz z y x f dv z y x f 2 1 2 1 2 1 , , , , , ,           b y a y y z z y z z y z x x y z x x dxdzdy z y x f 2 1 2 1 2 1 , , , , atau            R b z a z z x x z x x z x y y z x y y dydxdz z y x f dv z y x f 2 1 2 1 2 1 , , , , , , Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 90 X Y           b x a x x z z x z z x z y y x z x y dydzdx z y x f 2 1 2 1 2 1 , , , , atau            R b x a x x y y x y y x y z z x y z z dzdydx z y x f dv z y x f 2 1 2 1 2 1 , , , , , ,           b y a y y x x y x x y x z z y x z z dzdxdy z y x f 2 1 2 1 2 1 , , , , Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Tabung maka   R dv z y x f V , ,            R r r r z z r z z rdzdrd z r f dv z r f              2 1 2 1 2 1 , , , , , , Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Bola maka   R dv z y x f V , ,            R d d d f dv f                              2 1 2 1 2 1 , , 2 sin , , , , Selanjutnya integral ganda tiga dapat digunakan untuk menentukan volume isi bendan dan secara umum volume benda dengan menggunakan integal ganda tiga adalah   R dv V dengan menganggap bahwa fx,y,z=1 Untuk perhitungan selanjutan dapat menggunakan koordinat Cartesius, koordinat tabung, atau koordinat bola. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 6. Dengan menggunakan integral ganda tiga tentukan Volume bangun yang dibatasi oleh 12 3 4 6    z y x Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 91 Z 4 , , Volume Limas = tinggi x alas Luas 3 1 = z y x . . 2 1 3 1 = 4 SI Dengan integral ganda tiga didapat   R dv V        3 6 4 12 3 4 6 12 y y x dzdxdy       3 6 4 12 4 6 12 3 1 y dxdy y x        3 6 4 12 2 4 3 12 3 1 dy yx x x y                                  3 2 6 4 12 4 6 4 12 3 6 4 12 12 3 1 dy y y y y dy y y y y y               3 2 2 3 8 8 16 96 144 12 1 4 12 2 3 1 dy y y           3 2 3 4 8 12 3 1 3 3 2 9 4 4 12 3 1          y y y          3 2 3 9 4 3 4 3 12 3 1 Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 92 X , , 2 , 3 , Y   4 12 36 36 3 1    

4.3 Soal-soal