Contoh 2.1:
Jika diketahui titik dengan koordinat , , − maka koordinat homogen dari
titik , , − adalah
ℎ
, , − , atau
ℎ
, , − , . Kedua koordinat A
ℎ
dan A
ℎ
merepresentasikan satu titik yang sama yaitu titik , , − .
Setelah mempelajari garis dan bidang secara aksiomatik, maka pada subab ini akan membahas garis dan bidang secara analitik sehingga menghasilkan persamaan
garis dan persamaan bidang. Berikut ini adalah pembahasan tentang persamaan garis dan persamaan bidang datar dalam
ℝ .
C. Persamaan Garis dan Bidang Datar Dalam ℝ
�
Sebelum kita mempelajari persamaan garis dan persamaan bidang, kita akan mempelajari terlebih dahulu sudut arah dan cosinus arah dari suatu garis dalam
ℝ .
Definisi 2.10 Charles Irving, 1980:148:
Sudut Arah dari suatu sinar garis yang berpangkal di titik asal adalah sudut-sudut , , dan yang dibentuk oleh sinar garis tersebut terhadap sumbu positif, sumbu
positif dan sumbu positif, sedemikian sehingga ° ≤ ≤
°, ° ≤ ≤ °, dan ° ≤ ≤
°. Gambar 2.5 merupakan ilustrasi dari sudut-sudut arah suatu sinar garis yang
berpangkal di titik asal. Sudut-sudut , , dan merupakan sudut-sudut arah dari .
Gambar 2.7 Sudut Arah Sudut arah dari sebarang garis di
ℝ adalah sudut arah dari sinar garis yang berpangkal di titik asal dan sejajar dengan garis tersebut. Gambar 2.7 merupakan
ilustrasi dari sudut arah sebarang sinar garis yang pangkalnya tidak terletak di titik asal. merupakan sebarang sinar garis yang titik pangkalnya tidak terletak pada
titik asal, sedangkan merupakan sinar garis yang sejajar dengan . Sudut-sudut , , dan merupakan sudut-sudut arah dari yang juga merupakan sudut-sudut
arah dari sinar garis .
Gambar 2.8 Sudut Arah Garis Sebarang Definisi 2.11 Charles Irving, 1980:148:
Cosinus arah dari suatu garis adalah nilai cosinus dari masing-masing sudut arahnya.
l
l n
Setelah memahami sudut arah dan cosinus arah, selanjutnya akan dipelajari teorema mengenai jarak antara dua buah titik dalam
ℝ .
Teorema 2.7 F. Riddle, 1996:318:
Jarak antara dua buah titik berbeda , ,
dan , ,
adalah = √
− +
− +
− Bukti lihat di buku Analytic Geometry karangan Douglas F Riddle halaman 318
Teorema 2.8 Charles Irving, 1980:149:
Jika d adalah jarak antara titik
, , dan
, , , maka cosinus arah
dari garis yang melalui titik dan
adalah cos =
−
, cos =
−
, cos =
−
Teorema 2.8 merupakan teorema mengenai cosinus-cosinus arah dari suatu garis yang melalui dua titik tertentu. Gambar 2.9 merupakan ilustrasi dari sudut-
sudut arah suatu garis yang melalui titik , ,
dan titik , ,
.
Gambar 2.9 Cosinus Arah Suatu Garis yang melalui dua buah titik
2 2
2 2
, ,
A x y z
1 1
1 1
, ,
A x y z
d
Untuk membantu memahami sudut arah dan cosinus arah suatu garis, maka perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.2:
Jika suatu garis yang melalui titik , , dan
, , , maka cosinus-cosinus arahnya adalah
= √ −
+ −
+ −
= √ − +
− +
− = √ + +
= √ cos =
− =
− √
= √
cos = −
= −
√ = −
√ cos =
− =
− √
= − √
Setelah pembahasan sudut arah dan cosinus arah dari suatu garis, sekarang akan dibahas mengenai bilangan arah dari suatu garis serta hubungan antara cosinus
arah dan bilangan arah suatu garis.
Definisi 2.12 Charles Irving, 1980:150:
Bilangan arah [ , , ] dari suatu garis adalah tiga bilangan berurutan dari hasil kali
antara cosinus arah garis tersebut dengan sebarang konstanta yang tidak sama dengan nol.
Definisi 2.12 merupakan definisi dari bilangan-bilangan arah suatu garis, di mana bilangan arah suatu garis merupakan hasil kali dari cosinus-cosinus arah
dengan sebarang konstanta k di mana ∈ ℝ dan ≠ . Untuk lebih memahami
bilangan-bilangan arah suatu garis jika cosinus-cosinus arahnya diketahui, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 2.3:
Jika cosinus arah dari suatu garis adalah cos = ,
cos = − , cos = ,
Di mana untuk sebarang k
, maka [ , − , ]
Juga merupakan bilangan arah garis tersebut. Untuk k = − , bilangan arahnya
adalah [− , , − ]; untuk = − , bilangan arahnya adalah [− , , − ].
Teorema 2.9 Charles Irving, 1980:151:
Jika suatu garis melalui titik , ,
dan , ,
, maka untuk setiap bilangan arah
[ , , ], ada sebarang bilangan real ≠ sedemikian sehingga =
− ,
= −
, =
− Bukti:
Berdasarkan teorema 2.8 diperoleh: cos =
−
, cos =
−
, cos =
−
Berdasarkan definisi 2.12, diperoleh: = . cos ,
= . cos , = . cos
Akibatnya:
= .
−
, = .
−
, = .
−
atau =
− ,
= −
, =
− Dengan memisalkan
= , maka diperoleh =
− ,
= −
, =
− ∎
Teorema 2.9 menjelaskan bahwa bilangan arah dari suatu garis yang melalui titik
, , dan
, , adalah
[ −
, −
, −
]. Jika kita ambil nilai
1 k
, maka bilangan arah dari suatu garis yang melalui titik , ,
dan , ,
adalah [ − , − , − ]. Bilangan arah
[ − , − , − ] merupakan bilangan arah paling sederhana dari suatu garis yang melalui dua titik yang diketahui. Untuk lebih memahami bilangan-
bilangan arah dari suatu garis yang melalui dua buah titik yang diketahui, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 2.4:
Jika suatu garis melalui titik , , dan
− , , , maka bilangan arah dari suatu garis yang melalui titik
dan adalah
[ − − , − ,
− ] atau bisa ditulis sebagai berikut
[− , , − ] Untuk nilai
= − , maka bilangan arah A A ⃡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah [ , , − ].
Untuk nilai = − , maka bilangan arah A A
⃡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah [ , − , ].
Teorema 2.10 Charles Irving 1980:151:
Jika [ , , ] adalah himpunan dari bilangan arah suatu garis, maka cosinus arahnya
adalah cos =
√ + +
, cos =
√ + +
, cos =
√ + +
Setelah dibahas sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari suatu garis, maka selanjutnya akan dibahas persamaan garis. Ada berbagai macam bentuk untuk
menyatakan persamaan garis dalam ℝ , tetapi dalam skripsi ini akan digunakan
persamaan parametrik dari suatu garis.
Teorema 2.11 Charles Irving, 1980:158:
Jika suatu garis melalui titik , ,
dan a
Jika bilangan arah garis tersebut [ , , ] dan tidak ada bilangan arah yang nol,
maka persamaan garisnya adalah:
−
=
−
=
−
b Jika bilangan arah garis tersebut
[ , , ] dan salah satu bilangan arahnya nol, maka persamaan garisnya adalah
i. Jika = , maka = dan
−
=
−
; ii.
Jika = , maka = dan
−
=
−
;
iii. Jika = , maka = dan
−
=
−
c Jika bilangan arah garis tersebut
[ , , ] dan dua dari bilangan arahnya nol, maka persamaan garisnya adalah
i. Jika = = , maka = dan =
ii. Jika = = , maka = dan =
iii. Jika = = , maka = dan =
Bukti: buku Analytic Geometry karangan Charles C. Carico dan Irving Drooyan halaman158
Teorema 2.10 a merupakan persamaan kanonik atau persamaan umum dari suatu garis dalam
ℝ di mana garis teresebut memiliki bilangan arah [ , , ]. Selain dalam bentuk persamaan kanonik, suatu garis juga dapat ditulis dalam bentuk
parameter: −
= −
= −
= Persamaan di atas dikenal dengan persamaan parameter garis lurus dengan
∈ ℝ. Telah kita ketahui bahwa kedudukan dua garis dalam
ℝ adalah sejajar, berpotongan dan bersilangan. Kedua garis yang sejajar, berpotongan dan
bersilangan memiliki sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut.. Berikut ini adalah pembahasan sudut antara dua garis pada
ℝ .
Definisi 2.13 Douglas F. Riddle, 1996:323:
Sudut antara dua garis dalam ℝ didefinisikan sebagai sudut terkecil yang dibentuk
oleh dua sinar garis yang memiliki satu titik pangkal dan sejajar dengan dua garis yang diberikan.
Definisi 2.13 menjelaskan bahwa walaupun kedua garis dalam ℝ tidak
berpotongan maupun tidak sejajar, kedua garis tersebut tetap memiliki sudut antara dua garis tersebut. Sudut antara dua garis tersebut merupakan sudut yang dibentuk
oleh dua buah sinar garis yang sejajar dengan garis-garis tersebut dan berpotongan di satu titik
Teorema 2.12 Charles Irving, 1980:156:
Dua buah garis yang memiliki bilangan arah [ , , ] dan [ , , ] akan:
a Sejajar jika dan hanya jika untuk sebarang ∈ ℝ dan ≠ berlaku
= ,
= , dan
= b
Tegak lurus jika dan hanya jika +
+ =
Teorema 2.11 a mengatakan bahwa dua buah garis yang memiliki bilangan arah
[ , , ] dan [ , , ] dikatakan sejajar jika dan hanya jika bilangan arah dari salah satu garis merupakan perkalian bilangan arah garis yang lain dengan
suatu konstanta yang tidak sama dengan nol. Sedangkan Teorema 2.11 b mengatakan bahwa dua buah garis yang memiliki bilangan arah
[ , , ] dan [ , , ] dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika jumlah dari perkalian
bilangan-bilangan arah yang seletak sama dengan nol.
Teorema 2.13 F. Riddle, 1996:358:
Jarak antara titik , ,
dengan bidang +
+ + = adalah
=
| +
+ |
√ + +
Setelah kita mempelajari sudut antara dua garis dalam ℝ , maka kita akan
mempelajari persamaan bidang datar dalam ℝ . Andaikan suatu garis yang melalui
titik asal memiliki bilangan arah [ , , ]. Maka persamaan suatu bidang datar yang
melalui titik , ,
dan tegak lurus dengan garis tersebut adalah: +
+ =
+ +
atau dapat dinyatakan juga dalam bentuk +
+ −
− −
= atau
+ +
+ = di mana = − −
− Persamaan ini disebut dengan persamaan umum bidang datar dengan bilangan arah
[ , , ]dan melalui titik , , .
Selanjutnya akan dibahas sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari suatu bidang datar. Sebelum membahas ketiga hal tersebut, perhatikanlah definisi
berikut ini.
Definisi 2.14 Charles Irving, 1980:
Suatu garis yang tegak lurus dengan bidang datar disebut normal dari bidang datar tersebut garis normal bidang.
Berdasarkan definisi 2.14 maka sudut arah, cosinus arah, dan bilangan arah dari suatu bidang datar adalah sudut arah, cosinus arah dan bilangan arah dari garis
normalnya. Jika suatu bidang datar memiliki persamaan:
+ +
+ = Maka
[ , , ] adalah bilangan-bilangan arah dari garis normal bidang atau bilangan-bilangan arah bidang tersebut dan
cos =
√ + +
cos =
√ + +
cos =
√ + +
adalah cosinus-cosinus arah bidang tersebut. Sedangkan , dan adalah sudut-
sudut arah bidang tersebut. Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu persamaan bidang datar, salah
satunya dengan persamaan bidang datar bentuk normal dari Hesse. Persamaan dari suatu bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk
cos + cos + cos + = dengan =
√ + +
Persamaan di atas dapat disebut dengan persamaan bidang datar bentuk normal dari Hesse di mana
, dan adalah sudut-sudut arah dari bidang datar dan n merupakan jarak bidang datar tersebut dari titik pangkal O. Untuk lebih
memahami persamaan bidang, maka perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.6
Jika ⃡ memiliki bilangan arah [ , , − ]. Maka persamaan bidang datar yang tegak
lurus dengan garis ⃡ dan melalui titik , , adalah
+ − − . − . + . =
+ + − =
Cosinus-cosinus arah bidang tersebut adalah cos =
√ + + −
=
√
= √ cos =
√ + + −
=
√
= √ cos =
− √ + + −
= −
√
= √ Persamaan normal Hesse bidang tersebut adalah
√ + √
+ √ − √ =
Setelah kita memahami persamaan garis dan persamaan bidang, maka selanjutnya kita akan mempelajari transformasi sistem koordinat. Transformasi
sistem koordinat yang dibahas adalah transformasi di ℝ , namun selanjutnya
diperumum menjadi transformasi sistem koordinat dalam ℝ . Berikut adalah
pembahasan transformasi sistem koordinat.
D. Transformasi Sistem Koordinat
