45
BAB III MATRIK PERSPEKTIF DAN SIFAT GARIS DALAM GAMBAR
PERSPEKTIF
Setelah mempelajari teori-teori pada bab II, maka pada bab III kita akan mempelajari matrik perspektif dan sifat garis dalam gambar perspektif. Perspektif
merupakan suatu konsep yang setiap hari kita alami, contohnya adalah ketika kita melihat, pembentukan bayangan ketika proses pengelihatan kita menggunakan
konsep perspektif. Hal yang sama terjadi ketika kita menggambil gambar dari kamera. Teknik menggambar construzione legittima juga menggunakan konsep
perspektif.
A. Koordinat Gambar Perspektif
Sebelum kita mencari matrik perspektif dari suatu titik, mari kita terlebih dahulu mencari koordinat hasil proyeksi perspektif dari suatu titik. Koordinat hasil
proyeksi perspektif merupakan koordinat titik tembus dari garis yang menghubungkan titik proyeksi dengan objek.
1. Koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi =
Gambar 3.1 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil proyeksi perspektif titik
A , , dengan titik proyeksi P , , dan persamaan bidang proyeksinya
= . Pada gambar 3.1, A , , merupakan
titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan A′ ′, ′, ′
merupakan koordinat hasil proyeksi perspektif titik A , , . Pada gambar 3.1
terlihat bahwa A′ terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan =
, sehingga komponen pertama dari koordinat titik A′ sama dengan . Dengan
kata lain koordinat dari titik A′ berbentuk A′ , ′, ′ .
Gambar 3.1 Bidang proyeksi = dan titik proyeksi , ,
Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A PA
̅̅̅̅ . Persamaan garis yang melalui titik
P , , dan titik A , ,
adalah:
−
�
=
−
�
−
=
−
�
−
= ⟹
−
� �
=
�
=
�
= atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:
{ = . − +
= . = .
titik tembus PA
⃡⃗⃗⃗ dengan bidang x = k adalah: − +
= − = −
=
−
� �
−
�
=
�
−
�
−
�
Subtitusi =
�
−
�
−
�
ke persamaan garis, maka diperoleh:
=
= . =
�
−
�
−
�
.
=
� �
−
�
−
�
= .
=
�
−
�
−
�
. =
� �
−
�
−
�
Jadi jika bidang proyeksinya berjarak satuan dari bidang YOZ dan
koordinat titik proyeksi adalah P , , , maka hasil proyeksi perspektif titik
A , , adalah titik A′ dengan koordinat ,
�
−
�
−
,
�
−
�
−
. Untuk lebih memahami koordinat hasil proyeksi perspektif jika koordinat
titik proyeksi adalah P , , dan bidang proyeksi memiliki persamaan =
, maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.1 :
Akan ditentukan koordinat hasil proyeksi perspektif titik A − , , − jika
koordinat titik proyeksi adalah P , , dan bidang proyeksinya adalah = .
Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik A − , , − adalah:
,
− − −
,
− −
− −
= ,
.
,
− .
= , , −
Pada contoh 3.2 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif sumbu
Y. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.2 akan digunakan untuk mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu
Z.
Contoh 3.2:
Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu Y jika koordinat titik
proyeksi berada di P
, , , serta bidang proyeksi adalah bidang = dan x ≠ k. Titik yang melalui sumbu Y memiliki koordinat , , , akibatnya
berdasarkan rumus yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik tersebut adalah
,
�
−
�
−
,
�
−
�
−
= , −
�
, . Karena ∈ ℝ, ∈ ℝ dan ∈ ℝ, maka −
�
∈ ℝ . Akibatnya himpunan titik , −
�
, juga merupakan sumbu Y pada bidang proyeksi yang sejajar dengan sumbu
Y dalam ruang dan berjarak k satuan dari sumbu Y di ruang. Begitu pula dengan sumbu
z pada bidang proyeksi akan berjarak satuan dengan sumbu
Z pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan koordinat kartesius dengan sumbu
Z′ sejajar dengan sumbu Z dalam ℝ dan
sumbu Y′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif sumbu Y dalam ℝ . Gambar
3.2 mengilustrasikan gambar proyeksi dari salib sumbu Y dan Z.
Gambar 3.2 Hasil Proyeksi Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi x=k
2. Koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi = .
Gambar 3.3 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik
A , , dengan titik proyeksi P , , dan persamaan bidang proyeksinya
= . Pada gambar 3.4, A , , merupakan titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan
A′ ′, ′, ′ merupakan koordinat hasil proyeksi dari titik
, , . Pada gambar terlihat bahwa
A′ terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan = , sehingga komponen kedua dari koordinat titik
A′ sama dengan . Dengan kata lain koordinat dari titik
A′ berbentuk A′ ′, , ′ .
Gambar 3.3 Bidang proyeksi = dan titik proyeksi P , ,
Perhatikan segmen
garis yang
melalui titik
P dan A PA
⃗⃗⃗⃗⃗ . Persamaan garis yang melalui titik P , , dan titik A , , adalah:
−
�
−
=
−
� �
−
�
=
−
�
−
= ⇒
�
=
−
� �
−
�
=
�
= atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:
{ = .
= . − + = .
Titik tembus PA
⃡⃗⃗⃗ dengan bidang = adalah: . − +
= . − = −
=
−
� �
−
�
=
�
−
�
−
�
Subtitusi =
�
−
�
−
�
ke persamaan garis, maka diperoleh:
= . =
�
−
�
−
�
.
=
� �
−
�
−
�
=
= .
=
�
−
�
−
�
.
=
� �
−
�
−
�
Jadi jika bidang proyeksinya berjarak k satuan dari bidang
XOZ dan koordinat titik proyeksi adalah
P , , , maka hasil proyeksi perspektif titik A , , adalah titik A′ dengan koordinat
�
−
�
−
, ,
�
−
�
−
. Untuk lebih memahami koordinat hasil proyeksi perspektif jika koordinat
titik proyeksi adalah P , y , dan bidang proyeksi memiliki persamaan =
maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.3 :
Akan dicari koordinat hasil proyeksi perspektif titik A , − , jika
koordinat titik proyeksi adalah , , dan bidang proyeksinya adalah = .
Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik A , − , adalah:
− − −
, ,
− −
− −
=
.
, ,
− .
= , ,
−
Pada contoh 3.4 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif sumbu
X. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.4 akan digunakan untuk mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu
Z.
Contoh 3.4:
Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu X jika koordinat titik
proyeksi berada di P , , serta bidang proyeksi adalah bidang = . Ingat
bahwa sumbu X berada di sisi lain dari bidang proyeksi yang tidak memuat
koordinat titik proyeksi. Titik yang melalui sumbu X memiliki koordinat
, , , akibatnya berdasarkan rumus yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik tersebut adalah
�
−
�
−
, ,
�
−
�
−
= −
�
, , .
Karena ∈ ℝ, ∈ ℝ dan ∈ ℝ, maka −
�
∈ ℝ Akibatnya himpunan
titik −
�
, , juga merupakan sumbu x pada bidang proyeksi yang sejajar dengan sumbu
X dalam ruang dan berjarak satuan dari sumbu X di ruang.
Begitu pula dengan sumbu Z pada bidang proyeksi akan berjarak satuan
dengan sumbu Z pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan
koordinat kartesius dengan sumbu Z′ sejajar dengan sumbu Z dalam ℝ dan
sumbu X′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif sumbu X dalam ℝ . Dalam
kasus seperti ini, Z′ akan menjadi sumbu X di bidang gambar. Sedangkan X′ akan
menjadi sumbu Y pada bidang gambar. Gambar 3.4 mengilustrasikan gambar
proyeksi dari salib sumbu Y dan Z.
Gambar 3.4 Hasil Proyeksi Perspektif Salib-Salib Sumbu di Bidang Proyeksi y=k
3. Koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi = .
Gambar 3.6 yang merupakan ilustrasi untuk mencari koordinat hasil proyeksi perspektif titik
A , , dengan persamaan bidang proyeksinya = . Pada gambar 3.5,
A , , merupakan titik yang terletak pada objek yang akan digambar sedangkan
A′ ′, ′, ′ merupakan koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik
A , , . Pada gambar terlihat bahwa A′ terletak pada bidang proyeksi yang memiliki persamaan
= , sehingga komponen kedua dari koordinat titik
A′ sama dengan k. Dengan kata lain ′ = Akibatnya koordinat dari titik
A′ berbentuk A′ ′, ′, ′ .
Gambar 3.5 Bidang Proyeksi = dan Titik Proyeksi P , ,
Perhatikan segmen garis yang melalui titik P dan A PA
⃗⃗⃗⃗⃗ . Persamaan garis yang melalui titik
P , , dan titik A , ,
adalah:
−
�
−
=
−
�
−
=
−
� �
−
�
= ⟹
�
=
�
=
−
� �
−
�
= atau dapat ditulis menjadi persamaan parametrik yaitu:
{ = .
= . = .
− +
Titik tembus garis ⃡⃗⃗⃗⃗ dengan bidang = adalah:
. −
+ =
. −
= − =
−
� �
−
�
=
�
−
�
−
�
Subtitusi =
�
−
�
−
�
ke persamaan garis, maka diperoleh:
= . =
− −
.
= . −
−
= . =
− −
.
= . −
−
=
Jadi jika bidang proyeksinya berjarak satuan dari bidang
XOY dan koordinat titik proyeksi adalah
P , , , maka hasil proyeksi perspektif titik A x, y, z adalah titik A′ dengan koordinat
�
−
�
−
,
�
−
�
−
, .
Untuk lebih memahami mengenai koordinat gambar perspektif jika koordinat titik proyeksi adalah
P , , z dan bidang proyeksi memiliki persamaan
= , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.5 :
Akan dicari koordinat hasil proyeksi perspektif titik A , , − jika
koordinat titik proyeksi adalah P , , dan bidang proyeksinya adalah = .
Dari rumus yang telah diperoleh, maka koordinat hasil proyeksi perspektif titik A , , − adalah:
− − − ,
− − − ,
= .
, .
,
= , ,
Pada contoh 3.6 berikut ini kita akan mencari hasil proyeksi perspektif sumbu
X. Hasil yang diperoleh pada contoh 3.6 akan digunakan untuk mengambil kesimpulan hasil proyeksi perspektif sumbu
Y.
Contoh 3.6:
Akan ditentukan hasil proyeksi perspektif sumbu X jika koordinat titik
proyeksi berada di P , , , serta bidang proyeksi adalah bidang = . Titik
yang melalui sumbu X memiliki koordinat , , , akibatnya berdasarkan rumus
yang telah diperoleh, hasil proyeksi perspektif untuk titik tersebut adalah
�
−
�
−
,
�
−
�
−
, = −
�
, , .Karena ∈ ℝ, ∈ ℝ, dan ∈ ℝ ,
maka −
�
∈ ℝ. Akibatnya himpunan titik −
z
�
, juga merupakan sumbu pada bidang proyeksi yang sejajar dengan sumbu
X dalam ruang dan berjarak satuan dari sumbu
X di ruang. Begitu pula dengan sumbu pada bidang proyeksi akan berjarak satuan
dengan sumbu Y pada ruang. Akibatnya pada bidang proyeksi akan digunakan
koordinat kartesius dengan sumbu Y′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif
sumbu Y dalam ℝ dan sumbu X′ yang merupakan hasil proyeksi perspektif
sumbu Y dalam ℝ . Dalam kasus seperti ini, X′ akan menjadi sumbu X di bidang
gambar. Sedangkan Y′ akan menjadi sumbu Y pada bidang gambar. Gambar 3.6
mengilustrasikan gambar proyeksi dari salib sumbu X dan Y.
Gambar 3.6 Gambar Perspektif salib-salib sumbu di bidang proyeksi =
Setelah kita memperoleh koordinat-koordinat titik proyeksi, maka selanjutnya kita akan mencari matrik translasi salib-salib sumbu dan matrik rotasi
salib-salib sumbu dalam ℝ . Pertama-tama akan kita pelajari terlebih dahulu matrik
translasi salib sumbu.
B. Matrik Translasi Salib Sumbu