Matrik Rotasi Salib Sumbu

C. Matrik Rotasi Salib Sumbu

Matrik rotasi salib sumbu adalah suatu matrik yang berguna untuk mendapatkan hasil rotasi salib sumbu jika salib sumbu dirotasikan dengan sudut rotasi �. Pada tulisan ini akan digunakan rotasi salib sumbu terhadap sumbu Y dan rotasi salib sumbu terhadap sumbu Z untuk memperoleh matrik perspektif. Hasil rotasi salib sumbu diperoleh dengan cara mengalikan matrik rotasi dengan titik A , , . 1. Matrik Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu Y Pada bab II subbab D diperoleh persamaan ′ = cos � − sin� ′ = ′ = sin � + cos� Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk operasi matrik maka diperoleh [ ′ ′ ′ ] = [ cos� −sin� sin� cos� ] . [ ] Maka matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu adalah = [ cos� −sin� sin� cos� ] Karena pada tulisan ini akan digunakan koordinat homogen, maka matrik rotasi dari koordinat homogen ℎ , , , adalah = [ cos� −sin� sin� cos� ] Untuk lebih memahami matrik rotasi salib sumbu dengan sumbu Y sebagai porosnya, maka perhatikanlah contoh berikut ini. Contoh 3.8: Akan dicari koordinat titik ′ jika koordinat titik A , , dan salib-salib sumbu dirotasikan sejauh ° diukur dari sumbu Z + dengan sumbu Y sebagai sumbu rotasinya. Koordinat homogen dari titik A , , adalah A h , , , . Karena salib-salib sumbu dirotasikan sejauh ° diukur dari sumbu Z + dengan sumbu Y sebagai sumbu rotasinya, maka matrik rotasi dari salib-salib sumbunya adalah = [ cos ° − sin ° sin ° cos ° ] = [ √ ⁄ − ⁄ ⁄ √ ⁄ ] Andaikan A′ ′ , ′ , ′ adalah koordinat titik A , , terhadap salib sumbu yang telah dirotasikan sejauh ° diukur dari sumbu Z + dengan sumbu Y sebagai sumbu rotasinya. Maka koordinat A h ′ adalah: [ ′ ′ ′ ] = [ √ ⁄ − ⁄ ⁄ √ ⁄ ] [ ] = [ √ − − √ ] Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik A h ′ adalah A h ′ √ − , , − √ , dan merupakan koordinat homogen dari titik A′ √ − , , − √ . 2. Matrik Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu Z Pada bab II subbab D diperoleh persamaan ′ = cos � + sin� ′ = − sin � + cos� ′ = Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk operasi matrik maka diperoleh [ ′ ′ ′ ] = [ cos� sin� −sin� cos� ] . [ ] Maka matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu adalah = [ cos� sin� −sin� cos� ] Karena pada tulisan ini akan digunakan koordinat homogen, maka matrik rotasi dari koordinat homogen dari titik A h , , , adalah = [ cos� sin� −sin� cos� ] Untuk lebih memahami matrik rotasi salib sumbu dengan sumbu Y sebagai porosnya, maka perhatikanlah contoh berikut ini. Contoh 3.9: Akan dicari koordinat titik ′ jika koordinat titik A , − , − dan salib- salib sumbu dirotasikan sejauh ° diukur dari sumbu X + dengan sumbu Z sebagai sumbu rotasinya. Koordinat homogen dari titik A , − , − adalah A h , − , − , . Karena salib-salib sumbu dirotasikan sejauh ° diukur dari sumbu X + dengan sumbu Z sebagai sumbu rotasinya, maka matrik rotasi dari salib-salib sumbunya adalah = [ cos ° sin ° −sin ° cos ° ] = [− ] Andaikan A′ ′ , ′ , ′ adalah koordinat titik A , − , − terhadap salib sumbu yang telah dirotasikan sejauh ° diukur dari sumbu X + dengan sumbu Z sebagai sumbu rotasinya. Maka A h ′ adalah: [ ′ ′ ′ ] = [− ] [− − ] = [− − ] Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik A h ′ adalah A h ′ , − , − , dan merupakan koordinat homogen dari titik A′ , , − . Setelah kita memahami tentang koordinat hasil proyeksi perspektif dan transformasi salib sumbu yang berupa translasi, rotasi dengan sumbu Z sebagai poros, dan rotasi dengan sumbu Y, maka kita akan mempelajari matrik perspektif. Dalam pembahasan mengenai matrik perspektif, akan dibagi dalam beberapa kasus. Berikut ini merupakan pembahasan mengenai matrik perspektif.

D. Matrik Perspektif