Cosinus-cosinus arah bidang tersebut adalah cos =
√ + + −
=
√
= √ cos =
√ + + −
=
√
= √ cos =
− √ + + −
= −
√
= √ Persamaan normal Hesse bidang tersebut adalah
√ + √
+ √ − √ =
Setelah kita memahami persamaan garis dan persamaan bidang, maka selanjutnya kita akan mempelajari transformasi sistem koordinat. Transformasi
sistem koordinat yang dibahas adalah transformasi di ℝ , namun selanjutnya
diperumum menjadi transformasi sistem koordinat dalam ℝ . Berikut adalah
pembahasan transformasi sistem koordinat.
D. Transformasi Sistem Koordinat
Menurut Fuller Tarwater 1986:90 transformasi sistem koordinat adalah proses perubahan sistem koordinat yang lama ke sistem koordinat yang baru. Dalam
skripsi ini akan dibahas transformasi sistem koordinat berupa translasi salib sumbu dan rotasi salib sumbu.
1. Translasi Pergeseran Salib Sumbu
Menurut Charles Irving 1980:75, translasi salib sumbu adalah proses pergeseran titik asal O ke sebarang titik A dengan salib-salib sumbu
yang baru tetap sejajar dengan salib-salib sumbu awal. Berikut ini akan
dibahas teorema yang berkaitan dengan translasi salib sumbu yang akan digunakan untuk pembahasan dalam skripsi ini.
Teorema 2.14 Charles Irving, 1980:75
Jika titik asal ′ dari sumbu-sumbu
′
′ memiliki koordinat , pada
sumbu-sumbu , maka relasi antara koordinat titik
, pada sumbu- sumbu
dengan koordinat titik ′ ′, ′ pada sumbu-sumbu ′ ′
dinyatakan dalam persamaan .
x x
a a
y y
b
atau
. x
x a b
y y b
Gambar 2.10 Translasi Salib Sumbu pada ℝ
Gambar 2.10 merupakan ilustrasi dari translasi salib sumbu pada ℝ .
Dari gambar tersebut, titik , ditranslasikan ke sebuah titik yang
memiliki koordinat , sehingga terbentuklah sumbu-sumbu baru yaitu
′ dan ′ yang sejajar dengan sumbu dan . Berdasarkan teorema 2.13 maka persamaan translasi salib sumbu akan
diperumum untuk sebarang titik di ℝ . Jika titik asal
, , dari sumbu- sumbu
′ ′ ′ memiliki koordinat , , pada sumbu-sumbu
, maka
relasi antara koordinat titik , , pada sumbu-sumbu
dengan koordinat titik
′ ′, ′, ′ pada sumbu-sumbu ′ ′ ′ dinyatakan dalam persamaan
=
′
+
′
= − =
′
+ atau
′
= − =
′
+
′
= −
Gambar 2.11 Translasi Salib Sumbu pada ℝ
Gambar 2.11 merupakan ilustrasi dari translasi salib sumbu pada ℝ .
Titik asal , , ditranslasikan ke titik
, , sehingga terbentuklah sistem koordinat baru yaitu
′Y ′ yang sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu-sumbu pada sistem koordinat
.
2. Rotasi Perputaran Salib Sumbu
Menurut Fuller Tarwater 1986:140 rotasi salib sumbu adalah proses perputaran salib-salib sumbu-sumbu terhadap satu porospusat dengan sudut
rotasi tertentu. Berikut ini akan dibahas teorema yang berkaitan dengan rotasi salib sumbu yang akan digunakan untuk pembahasan dalam skripsi ini.
Teorema 2.15 Charles Irving, 1980:87
Jika sumbu-sumbu dan dirotasikan terhadap titik asal , dengan
sudut rotasi � terhadap sumbu
+
sehingga menghasilkan sumbu-sumbu baru yaitu sumbu-sumbu
ℝ , maka relasi antara koordinat titik , pada
sumbu-sumbu dengan koordinat titik
′ ′, ′ pada sumbu-sumbu ℝ dinyatakan dalam persamaan
=
′
� − ′ �
=
′
� + ′ �
atau
′
= � +
�
′
= − � +
�
Gambar 2.12 Rotasi ℝ
Berdasarkan teorema 2.15 maka persamaan rotasi salib sumbu akan diperumum untuk
ℝ , sehingga dalam ℝ terdapat tiga macam rotasi salib sumbu yaitu rotasi salib sumbu terhadap sumbu
, rotasi salib sumbu terhadap sumbu , dan rotasi salib sumbu terhadap sumbu .
a. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu
Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu , sumbu-sumbu
dirotasikan dengan sudut rotasi � terhadap sumbu
+
, maka komponen
pada sebarang titik di ℝ tetap sedangkan komponen dan komponen
nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan
′
= cos � + sin �
′
= − sin � + cos �
Gambar 2.13 Rotasi ℝ terhadap sumbu X
Jika suatu titik memiliki koordinat , , dan salib-salib
sumbunya dirotasikan terhadap sumbu sejauh dengan sudut rotasi �
terhadap sumbu , maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu yang baru dapat dicari dengan persamaan
′
=
′
= cos � + sin �
′
= − sin � + cos � Jadi koordinat titik tersebut adalah
, cos � + sin � , − sin � + cos � terhadap salib sumbu yang baru.
b. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu
Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu , sumbu-sumbu
dirotasikan dengan sudut rotasi � terhadap sumbu
+
, maka komponen
pada sebarang titik di ℝ tetap sedangkan komponen dan komponen
nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan
′
= − � +
�
′
= � +
�
Gambar 2.14 Rotasi ℝ terhadap sumbu
Jika suatu titik memiliki koordinat , , dan salib-salib
sumbunya dirotasikan terhadap sumbu sejauh dengan sudut rotasi �
terhadap sumbu , maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu yang baru dapat dicari dengan persamaan
′
= � −
�
′
=
′
= � +
� Jadi koordinat titik tersebut adalah
� − �, ,
� + � terhadap salib sumbu yang baru.
c. Rotasi Salib Sumbu Terhadap Sumbu
Pada rotasi salib sumbu terhadap sumbu , sumbu-sumbu
dirotasikan dengan sudut rotasi � terhadap sumbu
+
, maka komponen
pada sebarang titik di ℝ tetap sedangkan komponen dan komponen
nya berubah dan dapat dinyatakan dalam persamaan
′
= � +
�
′
= − � +
�
Gambar 2.15 Rotasi ℝ terhadap sumbu
Jika suatu titik memiliki koordinat
, , x y z
dan salib-salib sumbunya dirotasikan terhadap sumbu sejauh dengan sudut rotasi
� terhadap sumbu
+
, maka koordinat titik tersebut terhadap salib sumbu yang baru dapat dicari dengan persamaan
′
= � +
�
′
= − � +
�
′
= Jadi koordinat titik tersebut adalah
� + �, −
� + �, terhadap salib sumbu yang baru.
Setelah kita memahami transformasi sistem koordinat yang berupa translasi salib sumbu dan rotasi salib sumbu, maka selanjutnya kita akan mempelajari
mengenai proyeksi. Pada bagian awal akan disajikan definisi umum dari proyeksi, namun selanjutnya akan dibahas proyeksi perspektif yang merupakan topik utama
dari skripsi ini.
E. Proyeksi