Dari perhitungan di atas diperoleh koordinat titik A
h ′
adalah A
h ′
, − , − , dan merupakan koordinat homogen dari titik A′ , , − .
Setelah kita memahami tentang koordinat hasil proyeksi perspektif dan transformasi salib sumbu yang berupa translasi, rotasi dengan sumbu
Z sebagai poros, dan rotasi dengan sumbu
Y, maka kita akan mempelajari matrik perspektif. Dalam pembahasan mengenai matrik perspektif, akan dibagi dalam beberapa kasus.
Berikut ini merupakan pembahasan mengenai matrik perspektif.
D. Matrik Perspektif
Matrik perspektif adalah suatu matrik yang berguna untuk mendapatkan titik hasil proyeksi perspektif dari suatu titik yang diketahui. Titik hasil proyeksi
perspektif A′ ′, ′, ′ diperoleh dengan cara mengalikan matrik perspektif dengan
titik A , , .
1. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi
= Ambil sembarang titik
A , , , maka koordinat homogen dari titik tersebut adalah
A , , , . Koordinat yang merupakan hasil proyeksi perspektif titik
A adalah A′ ,
�
−
�
−
,
�
−
�
−
. Koordinat homogen dari A′
adalah A
h ′
,
�
−
�
−
,
�
−
�
−
, ∼ A
h ′
− , − , − , − Jika dipandang sebagai matrik, maka A′ dapat diperoleh dari perkalian
suatu matrik berordo × dengan titik A. Misalkan matrik tersebut adalah
matrik = [
]. Maka
[ −
− −
− ] = [
] . [ ]
[ −
− −
− ]
= [ .
+ . + .
+ . + .
+ . + . + . + . +
. + .
+ . +
]
Kemudian diperoleh: = − ;
= ; = ;
= = ;
= − ;
= ; =
= ; = ; = − ; =
= − ; = ;
= ; =
Jadi matrik perspektif dari titik A jika koordinat titik proyeksi P , ,
dan bidang proyeksi = adalah:
= [
− −
− −
] Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
P , , dan bidang proyeksi = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.10:
Suatu benda yang berbentuk segitiga jika titik-titik sudut dari benda tersebut memiliki koordinat
− , , , − , , dan − , , . Benda tersebut akan dilukiskan di bidang proyeksi jika koordinat titik proyeksinya berada di titik
, , dan persamaan bidang proyeksinya adalah = . Koordinat homogen dari titik-titik sudut benda tersebut adalah
A
h
− , , , , B
h
− , , , , C
h
− , , , . Karena koordinat titik proyeksinya adalah P , , dan persamaan bidang proyeksinya adalah
= , maka matrik perspektifnya adalah
= [ −
− ]
Koordinat homogen proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segi tiga ABC adalah.
A
h ′
= . A
h
= [ −
− ] . [
− ]
= [ ] ~ [ ] C
h ′
= . C
h
= [ −
− ] .
[ − ⁄
]
= [
⁄ ] ~
[ ⁄
⁄ ]
B
h ′
= . B
h
= [ −
− ] . [
− ]
= [ ] ~ [ ⁄ ]
Berdasaran perhitungan
di atas
diperoleh titik
A
h ′
, , , , B
h ′
, , , , C
h ′
, , , yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari
A
′
, , , B
′
, , , C′ , ,
. Jadi titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif dari segitiga
ABC memiliki koordinat A
′
, , , B
′
, , , C′ , ,
. Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari masing-masing
titik sudut segitiga, maka selanjutnya akan dilukiskan segitiga tersebut ke bidang proyeksi
= . Kita telah memperoleh titik-titik A
′
, , , B
′
, , ,
C′ , , merupakan hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga.
Karena bidang proyeksinya adalah = , maka komponen X pada setiap
koordinat hasil proyeksi perspektif dapat diabaikan, komponen y dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen x
dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen z dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang
proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah
A
′
, , B
′
, , C′
, . Gambar
3.7 merupakan hasil proyeksi perspektif dari segitiga ABC yang dilukiskan di
bidang proyeksi = .
Gambar 3.7 Hasil Proyeksi perspektif Segitiga ABC di Bidang Proyeksi =
Setelah kita memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi = , selanjutnya kita akan mempelajari mengenai
matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi =
. Berikut ini adalah pembahasan mengenai matrik perspektif jika koordinat koordinat titik proyeksi
P , , dan bidang proyeksi = .
2. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi
= Ambil sembarang titik
A , , , maka koordinat homogen dari titik tersebut adalah
A , , , . Koordinat hasil proyeksi perspektif titik A adalah
A′
�
−
�
−
, ,
�
−
�
−
. Koordinat homogen dari A′ adalah
A
h ′
�
−
�
−
, ,
�
−
�
−
, ∼ A
h ′
x − k, k − y, z − k, − y .
Jika dipandang sebagai matrik, maka ′ dapat diperoleh dari perkalian suatu
matrik berordo × dengan titik . Misalkan matrik tersebut adalah matrik
= [ ]. Maka
[ −
− −
− ] = [
] . [ ]
[ −
− −
− ] = [
. + .
+ . +
. + . + . +
. + . + . + .
+ . + .
+ ]
Kemudian diperoleh: =
− ; = ;
= ; =
= ; = − ;
= ; =
= ; = ; = − ; =
= ; = − ;
= ; =
Jadi matrik perspektif dari titik jika koordinat titik proyeksi P , , dan
bidang proyeksi = adalah:
= [
− −
− −
]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.11:
Suatu benda yang berbentuk segitiga yang titik-titik sudutnya memiliki koordinat
, , , − , , dan − , , . Akan dilukiskan benda tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik
, , dan persamaan bidang proyeksinya adalah
= . Koordinat homogen dari titik-titik sudut benda tersebut adalah
ℎ
, , , ,
ℎ
− , , , ,
ℎ
− , , , . Karena koordinat titik proyeksinya adalah
, , dan persamaan bidang proyeksinya adalah = , maka matrik perspektifnya adalah
= [ −
− ]
Koordinat homogen proyeksi perspektif titik-titik sudut dari segitiga ABC adalah.
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [ ]
= [ ] ~ [
⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [
− ]
= [ −
] ~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [
− ]
= [ −
] ~ [ −
⁄ ]
Dari perhitungan
di atas
diperoleh titik
ℎ ′
, , , ,
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , , , yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi segitiga
. Jadi titik-titik sudut hasil proyeksi dari segitiga
memiliki koordinat
′
, , ,
′
− , , , ′ − , , .
Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi dari masing-masing titik sudut segitiga, maka selanjutnya akan dilukiskan segitiga tersebut ke bidang proyeksi
= . Kita telah memperoleh titik-titik
′
, , ,
′
− , , , ′ − , , merupakan hasil proyeksi dari titik-titik sudut segitiga. Karena
bidang proyeksinya adalah = , maka komponen pada setiap koordinat hasil
proyeksi dapat diabaikan, komponen dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi suatu titik menjadi komponen dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen
dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil proyeksi dari
titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah
′
, ,
′
− , ,
′ − , . Gambar 3.8 merupakan hasil proyeksi dari segitiga yang
dilukiskan di bidang proyeksi = .
Gambar 3.8 Hasil Proyeksi Segitiga ABC di Bidang Proyeksi =
Setelah kita memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi P , , dan bidang proyeksi = , selanjutnya kita akan mempelajari matrik
perspektif jika koordinat titik proyeksi , , dan bidang proyeksi = .
Berikut ini pembahasan matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi adalah , , dan bidang proyeksi = .
3. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi , , dan bidang proyeksi
= . Ambil sembarang titik
, , , maka koordinat homogen dari titik tersebut adalah
ℎ
, , , . Koordinat hasil proyeksi dari titik adalah ′
�
−
�
−
,
�
−
�
−
, . Koordinat
homogen dari
′ adalah
A
h ′
�
−
�
−
,
�
−
�
−
, , ∼ A
h ′
− , − , − , − . Jika dipandang sebagai matrik, maka dapat diperoleh dari perkalian suatu
matrik berordo 4 x 4 dengan titik . Misalkan matrik tersebut adalah matrik
= [ ]. Maka
[ x − k
y − k k − z
− z ] = [
] . [ ]
[ x − k
y − k k − z
− z ] = [
. + .
+ . +
. + . + . +
. + . + . + .
+ . + .
+ ]
Kemudian diperoleh: =
− ; = ;
= ; =
= ; =
− ; = ;
= =
− ; = ; = − ; = = ;
= ; = − ;
= Jadi matrik perspektif dari titik jika koordinat titik proyeksi
, , dan bidang proyeksi
= adalah:
= [
− −
− −
] Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
, , dan bidang proyeksi = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.12:
Suatu benda yang berbentuk segiempat titik-titik sudut dari benda tersebut memiliki koordinat
− , , , , , , , − , − dan − , − , − . Akan dilihat lukisan dari benda tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik
, , dan persamaan bidang proyeksinya adalah = . Koordinat homogen dari titik-titik sudut benda adalah
A
h
− , , , , B
h
, , , , C
h
, − , − , , D
h
− , − , − , . Karena koordinat titik proyeksinya adalah P , , dan persamaan bidang proyeksinya adalah
= , maka matrik perspektifnya adalah
= [ −
− ]
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut segi empat ABCD adalah.
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [
− ]
= [ −
] ~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [−
− ]
= [− ] ~ [
⁄ − ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [ ]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− ] . [
− −
− ]
= [ ] ~ [
⁄ ⁄
] = [
− − ]~
[ − ⁄
− ⁄ ]
Dari perhitungan
di atas
diperoleh titik
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
, , , ,
ℎ ′
, − , , ,
ℎ ′
− , − , , yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif
segiempat . Jadi titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif dari segiempat
memiliki koordinat
′
− , , ,
′
, , ,
′
, − , ,
′ − , − , . Setelah diperoleh koordinat hasil proyeksi perspektif dari masing-masing
titik sudut segiempat, maka selanjutnya akan dilukiskan segiempat tersebut ke bidang proyeksi
= . Kita telah memperoleh titik-titik
′
− , , ,
′
, , ,
′
, − , , ′ − , − , merupakan hasil proyeksi
perspektif dari titik-titik sudut segiempat. Karena bidang proyeksinya adalah = , maka komponen pada setiap koordinat hasil proyeksi perspektif dapat
diabaikan, komponen dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen
dalam koordinat ruang dari hasil proyeksi perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat hasil
proyeksi perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah
′
− , ,
′
, ,
′
, − , ′ − , − . Gambar 3.9 merupakan hasil
proyeksi perspektif dari segi empat ABCD yang dilukiskan di bidang proyeksi
= .
Gambar 3.9 Gambar Perspektif Segitiga di Bidang Proyeksi
=
Selanjutnya kita akan menentukan matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi tidak berada pada sumbu , sumbu atau sumbu tetapi bidang proyeksi
memiliki persamaan = , = atau = . Ada beberapa langkah untuk
mencari matrik perspektif dari suatu titik jika titik proyeksi tidak berada pada sumbu , sumbu , atau sumbu . Langkah-langkah tersebut yaitu:
1. Tentukan matrik translasi salib sumbu dengan ketentuan
: a.
Jika bidang proyeksi memiliki persamaan = , maka salib sumbu ditranslasikan ke titik
, , . b.
Jika bidang proyeksi memiliki persamaan = , maka salib sumbu ditranslasikan ke titik
, , c.
Jika bidang proyeksi memiliki persamaan = , maka salib sumbu ditranslasikan ke titik
, ,
2. Kemudian dengan menggunakan salib-salib sumbu yang baru, tentukan
matrik perspektif berdasarkan persamaan bidangnya. 3.
Tentukan matrik perspektif dengan rumus
′
= .
. Berikut ini pembahasan tentang matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi
tidak berada pada sumbu , sumbu atau sumbu tetapi bidang proyeksi memiliki persamaan
= , = atau = .
4. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi , , dan bidang
proyeksi =
Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga koordinat
, , menjadi ′ , , . Maka salib sumbu ditranslasikan ke titik
, , sehingga matrik translasinya adalah
= [ −
− ]
Gambar 3.10 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi =
Perhatikan Gambar 3.10. Pada Gambar 3.10, titik asal , ,
ditranslasikan ke titik , ,
sehingga koordinat titik perspektif akan
berubah dari , , menjadi ′ , , akibat dari translasi salib sumbu
yang telah dilakukan. Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan
= , maka matrik perspektif yang bersesuian adalah:
= [
− −
− −
]
Matrik perspektifnya jika koordinat titik proyeksi , , dan bidang
proyeksi = adalah:
′
= [
− −
− −
] . [
− − ]
′
= [
− −
− − −
− − −
] Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
, , dan bidang proyeksi = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.13:
Suatu benda yang berbentuk segiempat titik-titik sudutnya memiliki koordinat
− , , , − , , , − , , dan − , , . Akan dilukiskan benda tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik
, , − dan
persamaan bidang proyeksinya adalah = . Koordinat homogen dari titik-titik
sudut benda tersebut adalah
ℎ
− , , , ,
ℎ
− , , , ,
ℎ
− , , , ,
ℎ
− , , , . Karena koordinat titik proyeksinya adalah , , − dan
persamaan bidang proyeksinya adalah = , maka matrik perspektifnya adalah
= [ −
− −
]
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut segi empat ABCD adalah.
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
] . [ −
]
= [ ] ~ [
⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
] . [ −
]
= [− ] ~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
] . [ −
]
= [− ] ~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
] . [ −
]
= [ ] ~ [
⁄ ⁄
] Dari
perhitungan di
atas diperoleh
titik
ℎ ′
, , , ,
ℎ ′
, − , , ,
ℎ ′
, − , , ,
ℎ ′
, − , , yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut gambar perspektif dari
segiempat . Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari segiempat
memiliki koordinat
′
, , ,
′
, − , ,
′
, − , , ′ , , . Setelah diperoleh koordinat gambar perspektif dari masing-masing titik
sudut segiempat, maka selanjutnya akan dilukiskan segiempat tersebut ke bidang proyeksi
= . Kita telah memperoleh titik-titik
′
, , ,
′
, − , ,
′
, − , , ′ , , merupakan gambar perspektif dari titik-titik sudut segiempat. Karena bidang proyeksinya adalah
= , maka komponen pada setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, komponen
dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen dalam
koordinat bidang proyeksi dan komponen dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi.
Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik sudut segitiga dalam bidang proyeksi adalah
′
, ,
′
− , ,
′
− , , ′ , . Gambar 3.11 merupakan gambar perspektif dari segiempat
yang dilukiskan di bidang proyeksi
= .
Gambar 3.11 Hasil Proyeksi Perspektif Segiempat di Bidang Proyeksi
=
5. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi , , dan bidang
proyeksi =
Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga koordinat
, , menjadi ′ , , . Maka salib sumbu ditranslasikan ke titik
, , sehingga matrik translasinya adalah:
= [ −
− ]
Gambar 3.12 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi =
Perhatikan Gambar 3.12. Pada Gambar 3.12, titik asal , ,
ditranslasikan ke titik , ,
sehingga koordinat titik perspektif akan berubah dari
, , menjadi ′ , , akibat dari translasi salib sumbu yang telah dilakukan.
Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan = , maka matrik
perspektif yang bersesuian adalah:
= [
− −
− −
]
Matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi , , dan bidang
proyeksi = adalah:
′
= [
− −
− −
] . [
− − ]
′
= [
− − −
− −
− − −
] Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
, , dan bidang proyeksi = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.14
Sebuah piramida di Mesir berbentuk limas segiempat dengan titik , , , , − , , , − , − , , , − merupakan titik-titik sudut alas
piramida dan titik , , merupakan puncak dari piramida. Akan dilukiskan
piramida tersebut jika koordinat titik proyeksinya berada di titik , , dan
persamaan bidang proyeksinya adalah = . Koordinat homogen dari titik-titik
sudut piramida
adalah
ℎ
, , , ,
ℎ
, − , , ,
ℎ
, − , − , ,
ℎ
, , − , dan
ℎ
, , , . Karena koordinat titik proyeksinya adalah , , dan persamaan bidang proyeksinya adalah = , maka matrik
perspektifnya adalah
= [ −
− −
− ]
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut piramida T.ABCD adalah:
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [ ]
= [ −
− ] ~ [
− ⁄ − ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [−
− ]
= [ −
− ] ~ [
− ⁄ − ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [− ]
= [ −
− ] ~ [
− ⁄ − ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [− ]
= [ −
− ] ~ [
− ⁄ −
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [ ]
= [− ]~ [
⁄ − ⁄
] Dari
perhitungan di
atas diperoleh
titik
ℎ ′
− , , − , ,
ℎ ′
− , , − , ,
ℎ ′
− , , − , ,
ℎ ′
− , , − , ,
ℎ ′
, , − ,
yang masing-masing merupakan koordinat homogen dari titik-titik sudut hasil proyeksi perspektif piramida. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari alas
piramida tersebut
adalah memiliki
koordinat
′
− , , − ,
′
− , , − ,
′
− , , − ,
′
− , , − dan titik puncak dari gambar perspektif piramida tersebut adalah
′ , , − . Selanjutnya akan dilukiskan piramida tersebut ke bidang proyeksi
= . Karena bidang proyeksinya adalah
= , maka komponen pada setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, komponen dalam koordinat
ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen dalam koordinat ruang dari gambar perspektif
suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik sudut alas piramida dalam
bidang proyeksi
adalah
′
− , − ,
′
− , − ,
′
− , − ,
′
− , − dan koordinat titik puncak gambar perspektif dari piramida adalah
′ − , . Gambar 3.13 merupakan gambar perspektif dari piramida yang dilukiskan di bidang proyeksi
= .
Gambar 3.13 Gambar Perspektif Piramida .
di Bidang Proyeksi =
6. Matrik Perspektif Jika Koordinat titik proyeksi , , dan bidang
proyeksi = .
Dalam kasus ini, diperlukan translasi salib sumbu sedemikian sehingga koordinat
, , menjadi ′ , , . Maka salib sumbu harus
ditranslasikan ke titik , , sehingga matrik translasinya adalah:
= [ −
− ]
Gambar 3.14 Translasi salib sumbu jika bidang proyeksi =
Perhatikan Gambar 3.14. Pada Gambar 3.14, titik asal , ,
ditranslasikan ke titik , , sehingga koordinat titik perspektif akan
berubah dari , , menjadi ′ , , akibat dari translasi salib sumbu
yang telah dilakukan. Karena bidang proyeksinya memiliki persamaan
= , maka matrik perspektif yang bersesuian adalah:
= [
− −
− −
]
Matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi , , dan bidang proyeksi
= adalah:
′
= [
− −
− −
] . [
− − ]
′
= [
− − −
− − −
− −
] Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi
, , dan bidang proyeksi = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.15
Sebuah prisma .
yang titik-titik sudutnya berada pada koordinat , , − ,
− , , − , , , − ,
, − , − , − , − , − ,
, − , − . Akan dilukiskan prisma .
jika koordinat titik proyeksi adalah
, , dan = merupakan persamaan bidang proyeksinya. Koordinat homogen dari titik-titik sudut prisma
. adalah
ℎ
, , − , ,
ℎ
− , , − , ,
ℎ
, , − , ,
ℎ
, − , − , ,
ℎ
− , − , − , ,
ℎ
, − , − , . Karena koordinat titik proyeksinya adalah , , dan
persamaan bidang proyeksinya adalah = , maka matrik perspektifnya adalah
= [ −
− −
− ]
Koordinat homogen hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut pada prisma dapat dicari dengan cara.
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [− ]
= [ −
] ~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [−
− ]
= [ −
− ]~ [
− ⁄ − ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [
− − ]
= [ −
] ~ [ −
⁄ ]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [
− −
− ]
= [ −
− ]~[ −
− ⁄ ]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [− ]
= [ −
] ~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [ −
− −
− ] . [−
− ]
= [ −
− ]~ [
− ⁄ − ⁄
] Dari perhitungan di atas diperoleh titik
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , − , , ,
ℎ ′
− , − , ,
ℎ ′
− , − , , yang masing-masing merupakan koordinat homogen hasil proyeksi perspektif
titik-titik sudut pada prisma. Jadi titik-titik sudut gambar perspektif dari prisma
tersebut memiliki koordinat
′
− , , ,
′
− , , ,
′
− , , ,
′
− , − , ,
′
− , − , , ′ − , − , .
Setelah diperoleh koordinat gambar perspektif dari masing-masing titik sudut prisma
. , maka selanjutnya akan dilukiskan prisma tersebut ke
bidang proyeksi = . Karena bidang proyeksinya adalah = , maka
komponen pada setiap koordinat gambar perspektif dapat diabaikan,
komponen dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen dalam koordinat
ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik
sudut prisma .
dalam bidang proyeksi adalah
′
− , ,
′
− , ,
′
− , ,
′
− , − ,
′
− , − , ′ − , − .
Gambar 3.15
merupakan gambar perspektif dari prisma yang dilukiskan di bidang proyeksi =
Gambar 3.15 Gambar Perspektif Prisma .
di Bidang Proyeksi =
Selanjutnya kita akan membahas matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi tidak berada pada sumbu , sumbu atau sumbu dan bidang proyeksi memiliki
persamaan +
+ + = . Ada beberapa langkah untuk mencari matrik
perspektif dari suatu titik jika titik proyeksi tidak berada pada sumbu , sumbu , atau sumbu
dan persamaan bidangnya berbentuk +
+ + = .
Langkah-langkah tersebut yaitu: 1.
Tentukan cosinus-cosinus arah dari bidang datar tersebut. Misalkan sudut- sudut arahnya adalah
, , dan . 2.
Tentukan sudut yang dibentuk oleh hasil proyeksi garis normal bidang datar tersebut di bidang
dengan sumbu
+
. �
3. Tentukan jarak titik asal ke bidang tersebut
. 4.
Rotasikan salib-salib sumbu terhadab sumbu dengan sudut rotasinya adalah sudut yang telah diperoleh pada langkah 2. Hal ini dilakukan agar
garis normal bidang berada pada bidang ′ .
5. Tentukan matrik rotasi dari langkah 3.
6. Rotasikan salib-salib sumbu terhadab sumbu ′ dengan sudut rotasi sebesar
dari sumbu
+
. Hal ini dilakukan agar garis normal bidang berada pada bidang berimpit pada sumbu
′, sehingga bidang datar tersebut memiliki persamaan
′
= . 7.
Tentukan matrik rotasi pada langkah 6. 8.
Tentukan matrik rotasi totalnya dengan rumus =
′
.
9. Tentukan koordinat homogen dari titik proyeksi pada salib-salib sumbu
yang telah dirotasikan pada langkah 4 dan langkah 6.
ℎ ′
′
,
′
,
′
, 10.
Rotasi-rotasi yang telah dilakukan tadi mengakibatkan sumbu X’ menuju ke bawah, akibatnya perlu dilakukan rotasi sejauh
° dengan poros sumbu Z’.
′
= [− ]
11. a Jika
′
= dan
′
= , maka matrik perspektifnya diperoleh dengan cara
′
=
′
. .
b Jika
′
≠ atau
′
≠ , maka diperlukan matrik translasi ke titik
′
,
′
, , sehingga matrik perspektifnya diperoleh dengan rumus
′
=
′
. .
Berikut ini pembahasan tentang matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi tidak berada pada sumbu , sumbu atau sumbu dan bidang proyeksi memiliki
persamaan +
+ + = .
7. Matrik Perspektif Jika Koordinat Titik Proyeksi , , dan Persamaan
Bidang Proyeksinya +
+ + =
Langkah-langkah menentukan matrik perspektif jika koordinat titik proyeksi
, , dan persamaan bidang proyeksi +
+ + = :
a. Bidang proyeksi memiliki persamaan
+ +
+ = . Berdasarkan Teorema 2.11, maka cosinus arah dari bidang tersebut adalah
cos = √ +
+ cos =
√ + +
cos = √ +
+
Gambar 3.16 Bilangan arah dan Sudut Arah dari Bidang Proyeksi Pada Gambar 3.16 terlihat bahwa
, , dan merupakan sudut-sudut arah dari bidang proyeksi. Sedangkan
[ , , ] merupakan bilangan- bilangan arah dari garis . merupakan jarak titik asal
, , ke bidang proyeksi.
b. Sudut yang dibentuk oleh proyeksi garis normal di bidang
dengan sumbu
+
adalah � = tan
−
c. Jarak titik asal
, , ke bidang proyeksi yang memiliki persamaan + +
+ = adalah: =
. + . + . + √ +
+ =
√ + +
d. Matrik
rotasi salib
sumbu terhadap
sumbu sejauh
� = tan
−
dari sumbu
+
adalah
= [
√ + √ +
− √ +
√ + ]
Gambar 3.17 Rotasi terhadap sumbu
Gambar 3.17 merupakan ilustrasi dari rotasi salib sumbu terhadap sumbu dengan besar sudut rotasinya adalah
� diukur dari sumbu
+
. Rotasi tersebut mengakibatkan garis berada pada bidang
′ ′. e.
Matrik rotasi salib sumbu terhadap sumbu ′ sejauh dari sumbu
+
adalah
M
Y
′
= [ cos
− sin sin
cos ]
= [
cos −
√a + √a + b + c
√a + √a + b + c
cos ]
Gambar 3.18 Rotasi terhadap sumbu Y’
Gambar 3.18 merupakan ilustrasi dari rotasi salib sumbu terhadap sumbu
′ dengan besar sudut rotasinya adalah diukur dari sumbu
+
. Rotasi tersebut mengakibatkan garis
berhimpit dengan bidang ′.
Akibatnya persamaan bidang proyeksinya menjadi
′
= . f.
Matrik rotasi totalnya adalah M
= M
Y
′
.
= [
a. cosγ √a +
b. cosγ √a +
− √a +
√a + b + c −
b √a +
a √a +
cos cosγ
] g.
Koordinat titik proyeksi terhadap salib sumbu yang baru:
[ ′
′ ′
] =
[ a. cosγ
√a + b. cosγ
√a + −
√a + √a + b + c
− b
√a + a
√a + cos
cosγ ]
. [ ]
=
[ a. .
√a + +
b. . √a +
− √a +
√a + b + c −
b. √a +
+ a.
√a + .
+ . +
] diperoleh:
′ = a. .
√a + +
b. . √a +
− √a +
√a + b + c ′ = −
b. √a +
+ a.
√a + ′ = .
+ . +
h. Jika
′
= dan
′
= , maka
= [
′ − ′ −
− . ′
− ′ ]
Gambar 3.19 Ilustrasi Titik Proyeksi berada di sumbu ′
sehingga matrik perspektifnya adalah
′
=
′
. .
=
[ −
′
− . b √a +
′
− . a √a +
−
′
− . a. cosγ √a +
′
− . b. cosγ √a +
′
− √a + √a + b + c
− . − . cos
−r. cosγ r.
′
− −cos
−cosγ
′
]
i. Jika
′
≠ atau
′
≠ , maka
. =
[
′
− −
′ ′
−
′
− −
′ ′
− −
.
′
−
′
]
Gambar 3.20 Ilustrasi Titik Proyeksi tidak berada di sumbu ′
sehingga matrik perspektifnya adalah
′
=
′
. .
=
[ −
′
− . b √a +
′
− . a √a +
−
′ ′
− −
′
− . a. cosγ √a +
−
′
− . b. cosγ √a +
′
− √a + √a + b + c
′ ′
− − .
− . cos −r. cosγ
r.
′
− −cos
−cosγ
′
]
Untuk lebih memahami matrik perspektif dengan koordinat titik proyeksi , , dan bidang proyeksi
+ +
+ = , maka perhatikanlah contoh berikut ini.
Contoh 3.16
Sebuah kubus .
yang titik-titik sudutnya berada pada koordinat , , ,
, , , , − , ,
, − , , , , − ,
, , − , , − , − ,
, − , − . Akan dilukiskan kubus tersebut jika titik , , merupakan titik proyeksinya dan
+ =
merupakan persamaan bidang proyeksinya. Koordinat homogen dari titik-titik tersebut adalah
ℎ
, , , ,
ℎ
, − , , ,
ℎ
− , − , , ,
ℎ
− , , , ,
ℎ
, , , ,
ℎ
, − , , ,
ℎ
− , − , , ,
ℎ
− , , , . Karena persamaan bidang proyeksinya adalah +
= , maka bilangan arah dari garis normal bidang proyeksi adalah
[ , , ] dan cosinus-cosinus arahnya adalah: cos =
√ + +
= cos =
√ + +
= cos =
√ + +
= Koordinat titik proyeksi setelah salib-salib sumbu dirotasikan adalah:
′
=
.
�
. �
√ +
+
.
�
. �
√ +
−
�
√ + √ + +
=
. . √ +
+
. . √ +
−
.√ + √ + +
= −
′
= −
.
�
√ +
+
.
�
√ +
= −
. √ +
+
. √ +
=
′
= . + .
+ = . + . + .
= Jarak titik asal
, , ke bidang proyeksi adalah: = |
. + . + . − √ +
+ |
= | −
√ |
= Jadi
persamaan bidang
proyeksi setelah
salib-salib sumbu
ditransformasikan adalah = . Karena
′
≠ dan
′
≠ , maka matrik perspektifnya adalah
= [
−
� ′
− . √ +
� ′
− . √ +
−
′ ′
− −
� ′
− . . γ
√ +
−
� ′
− . . γ
√ +
� ′
− √ + √ + +
′ ′
− − .
− . cos −r. cosγ
r.
′
− −cos
−cosγ
′
]
= [
−
− . √ +
− . √ +
− −
−
− . . √ +
−
− . . √ +
− √ + √ + +
− −
− . − .
− . .
− −
− ]
= [
− −
− −
− −
− ]
Koordinat homogen dari hasil proyeksi perspektif titik-titik sudut kubus .
adalah:
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [ ]
= [
− ⁄
− ⁄
⁄ ] ~
[ − ⁄
− ⁄ ]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [ ]
= [
− ⁄
⁄ ⁄ ]
~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [− ]
= [
− ⁄
− ⁄
⁄ ] ~
[ − ⁄
− ⁄ ]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [− ]
= [
− ⁄
⁄ ⁄ ]
~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [ −
− ]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [ −
− ]
= [
− ⁄
− ⁄
⁄ ] ~
[ − ⁄
− ⁄ ]
= [
− ⁄
⁄ ⁄ ]
~ [
− ⁄ ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [ −
]
= [
− ⁄ −
⁄ ⁄ ]
~ [
− ⁄ − ⁄
]
ℎ ′
= .
ℎ
= [
− −
− −
− −
− ]
. [ −
]
= [
− ⁄ ⁄
⁄ ] ~
[ − ⁄
⁄ ]
Dari perhitungan
di atas
diperoleh titik
ℎ ′
− , − , , ,
ℎ ′
− , − , , ,
ℎ ′
− , − , , ,
ℎ ′
− , − , , ,
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , , , ,
ℎ ′
− , , , yang masing-masing merupakan
koordinat homogen
dari titik
′
− , − , ,
′
− , − , ,
′
− , − , ,
′
− , − , ,
′
− , , ,
′
− , , ,
′
− , , ,
′
− , , dan merupakan hasil proyeksi perspektif dari titik-titik sudut kubus
. .
Selanjutnya akan dilukiskan kubus tersebut ke bidang proyeksi = .
Karena bidang proyeksinya adalah = , maka komponen pada setiap
koordinat gambar perspektif dapat diabaikan, dan sesuai kesepakatan, maka komponen dalam koordinat ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi
komponen dalam koordinat bidang proyeksi dan komponen dalam koordinat
ruang dari gambar perspektif suatu titik menjadi komponen y dalam koordinat bidang proyeksi. Maka diperoleh koordinat gambar perspektif dari titik-titik
sudut kubus
. dalam
bidang proyeksi
adalah
′
− , − ,
′
− , − ,
′
− , − ,
′
− , − ,
′
− , ,
′
− , ,
′
− , ,
′
− , . Gambar 3.21 merupakan gambar
perspektif dari kubus ABCD.EFGH yang dilukiskan di bidang proyeksi +
=
Gambar 3.21
Setelah kita memperoleh berbagai macam matrik perspektif sesuai dengan berbagai macam kondisi, maka selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat garis
dalam gambar perspektif. Terdapat tiga sifat garis dalam gambar perspektif yang akan diuraiakan dan dibuktikan pada subbab berikut ini.
E. Sifat Garis Dalam Gambar Perspektif
