BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 3 2

BAB II

VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA

RUMUS JARAK

&

 

SISTEM TANGAN KANAN   

 

SISTEM TANGAN KIRI 

 

 

 

, ,  

, ,  

| |  

Contoh : Carilah jarak antara titik , , dan , , .

Solusi : | | √ ,

Persamaan baku sebuah bola

Jika , , pada bola dengan radius berpusat pada , , , maka :

atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai

Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :

Solusi :

Pusat bola , , ; radius

GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Contoh : Gambarkanlah grafik dari

Solusi : Perpotongan dengan sumbu ambil & 0

, ,

, ,

Perpotongan dengan sumbu

, ,

2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

, ,

, , adalah vektor satuan baku disebut vektor basis. Panjang , diberikan sbb:

| |

Bila , , dan , , ; maka

.

dan

. | || |

, ,

, ,

, ,

Contoh :

Cari sudut ABC jika , , , , , dan , ,

Vektor

Vektor

, , , ,

, , , ,

.

| || | √ √ ,

,

™

SUDUT DAN KOSINUS ARAH

Sudut antara vektor yang tak nol dengan vektor satuan , , disebut sudut-sudut arah vektor

Jika , maka :

.

| || | | | ; | | ; | |

, ,  

, ,  

, ,  

 

   

   

 

 

   

Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor

Solusi : | | √

√ √

; √ ; √

, ,

Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai ,

Solusi : ,

,

Vektor yang memenuhi persyaratan :

, , , , , , ,

, , , , , dan

, , , , ,

™

BIDANG

Bila , , adalah sebuah vektor tak nol tetap dan , , adalah

titik tetap. Himpunan semua titik , , yang memenuhi . adalah

BIDANG yang melalui dan tegak lurus .

, ,

Maka, . setara terhadap

Persamaan ini (paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol) disebut bentuk baku persamaan bidang.

Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

,

Contoh:

Cari persamaan bidang yang melalui , , tegak lurus terhadap

, , . Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya

Solusi :

Vektor terhadap bidang kedua adalah , , . Sudut antara dua

bidang tersebut adalah :

.

| || | √ √ ,

,

3. HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang (hasil kali vektor atau cross product), untuk , ,

dan , , didefinisikan sebagai

, ,

Dengan determinan,

hukum anti komutatif

Contoh : Andaikan , , dan , ,

Hitunglah dan menggunakan definisi determinan Solusi :

Teorema :

Andaikan dan vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan sudut antara mereka, Maka :

1. . . terhadap ,

2. | | | || |

3. Dua vektor dan dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika

Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik

, , , , , , , ,

Solusi :

, , dan , ,

Maka,

Bidang yang melalui , , dengan normal mempunyai

persamaan :

atau

™

SIFAT-SIFAT ALJABAR

TEOREMA :

Jika , dan adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan skalar, maka :

1.

2.

3.

4.

5. (

4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga

Suatu kurva ruang ditentukan oleh suatu tiga persamaan parameter,

, , ,

, , kontinue pada selang I Suatu kurva dinyatakan dengan cara

memberikan vektor posisi dari

suatu titik .

, ,

™

GARIS

garis ditentukan oleh suatu titik tetap

dan suatu vector .

Garis adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga adalah sejajar terhadap ,

; bilangan riil

dan

Bila , , dan , ,

, ,

Merupakan persamaan parameter dari garis melalui , , dan sejajar

, , ; , , bilangan-bilangan arah

 

 

   

 

 

   

   

Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui , , dan

, ,

Solusi :

, , , ,

Pilih , , sebagai , , , maka persamaan parameter :

, ,

, ,

, ,

Persamaan simetris garis yang melalui , , dengan bilangan arah a,b,c yakni :

Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan

dan

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor , , dan melalui , ,

Solusi :

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

dan

Solusi : pilih garis menembus bidang dan

dan

Menghasilkan titik (0,4,2)

vektornya adalah :

, , , ,

Dengan menggunakan (3,0,4) untuk

, , diperoleh :

Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui (1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis

Solusi : Sumbu x dan garis yang diberikan arah , , dan , ,

Suatu vektor yang tegak lurus terhadap dan v :

Garis yang disyaratkan adalah sejajar terhadap , , Persamaan parameter :

, ,

™

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

vektor posisi

, , dan adalah

bilangan-bilangan singgung pada

, ,  

, ,  

   

 

     

Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada

di , , ⁄ Solusi :

Garis singgung mempunyai arah , , . Persamaan simetriknya adalah :

™

KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN

Bila

_. adalah vektor posisi untuk titik yang menjelajahi kurva selama bertambah besar.

Misalkan

ada dan kontinu dan kurva mulus. Panjang busur

dari ke diberikan oleh

| |

Jika waktu Kecepatan Percepatan

Laju | | | |

Contoh :

Suatu titik bergerak sedemikian hingga vector posisinya pada saat adalah

 

   

heliks melingkar • Cari panjang busur untuk

• Hitung percepatan pada Solusi :

• Panjang busur

•

™ KELENGKUNGAN

Vektor singgung satuan pada adalah

_{| |}

laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva

| |

Kelengkungan dari suatu kurva ruang

|_{| |}|

Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar

Solusi :

_|

| √

|_{| |}| | |

™ KOMPONEN PERCEPATAN

Vektor normal satuan utama N di P : ⁄

| ⁄ |

adalah normal ( ) terhadap kurva diperoleh dari diferensial . ; sehingga .

tegak lurus pada T.

. .

.

| |

Jika hasil kali silang

. | |

Sehingga

| | | | | || |

atau

| | |_{| |}|

Karena ⁄ | | ; maka :

|_{| |} |

Contoh : pada titik , , , cari , , , , dan Untuk gerak :

Solusi :

Pada

_{| | √}

| | √

| |

| | _{√ √} | | √

√ √

| | | |⁄ _{| |} √

√ √ √

Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui , , dan

, ,

Solusi :

, , , ,

Pilih , , sebagai , , , maka persamaan parameter :

, ,

, ,

, ,

Persamaan simetris garis yang melalui , , dengan bilangan arah a,b,c yakni :

Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan

dan

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor , , dan melalui , ,

Solusi :

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

dan

Solusi : pilih garis menembus bidang dan

dan

Menghasilkan titik (0,4,2)

vektornya adalah :

, , , ,

Dengan menggunakan (3,0,4) untuk

, , diperoleh :

Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui (1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis

Solusi : Sumbu x dan garis yang diberikan arah , , dan , , Suatu vektor yang tegak lurus terhadap dan v :

Garis yang disyaratkan adalah sejajar terhadap , , Persamaan parameter :

, ,

™

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

vektor posisi

, , dan adalah bilangan-bilangan singgung pada

, ,   , ,  

   

 

     

Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada

di , , ⁄ Solusi :

Garis singgung mempunyai arah , , . Persamaan simetriknya adalah :

™

KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN

Bila

_. adalah vektor posisi untuk titik yang menjelajahi kurva selama bertambah besar.

Misalkan

ada dan kontinu dan kurva mulus. Panjang busur dari ke diberikan oleh

| |

Jika waktu Kecepatan Percepatan

Laju | | | |

Contoh :

Suatu titik bergerak sedemikian hingga vector posisinya pada saat adalah

 

 

 

heliks melingkar

• Cari panjang busur untuk

• Hitung percepatan pada Solusi :

• Panjang busur

•

™ KELENGKUNGAN

Vektor singgung satuan pada adalah

_{| |}

laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva

| |

Kelengkungan dari suatu kurva ruang

|_{| |}|

Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar

Solusi :

_|

| √

|_{| |}| | |

™ KOMPONEN PERCEPATAN

Vektor normal satuan utama N di P : ⁄

| ⁄ |

adalah normal ( ) terhadap kurva diperoleh dari diferensial . ; sehingga .

tegak lurus pada T.

. .

.

| |

Jika hasil kali silang

. | |

Sehingga

| | | | | || |

atau

| | |_{| |}|

Karena ⁄ | | ; maka :

|_{| |} |

Contoh : pada titik , , , cari , , , , dan Untuk gerak :

Solusi :

Pada

| | √

| |

| | _{√ √} | | √

√ √

| | | |⁄ _{| |} √

√ √ √