16
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA
RUMUS JARAK SISTEM
TANGAN KANAN SISTEM
TANGAN KIRI
, , , ,
| |
17
Contoh : Carilah jarak antara titik
, , dan
, , .
Solusi :
| |
√ ,
Persamaan baku sebuah bola
Jika , , pada bola dengan radius berpusat pada , , , maka :
atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai
Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :
Solusi :
Pusat bola , , ; radius
GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Contoh : Gambarkanlah grafik dari
Solusi : Perpotongan dengan sumbu ambil
, , Perpotongan dengan sumbu
ambil
18
, , Perpotongan dengan sumbu
, ,
2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA , ,
, , adalah vektor satuan baku disebut vektor basis. Panjang , diberikan sbb:
| |
Bila
, ,
dan
, ,
; maka
.
dan
. | || |
, ,
, , , ,
Bidang
19
Contoh : Cari sudut ABC jika
, , ,
, ,
dan
, ,
Vektor Vektor
, ,
, ,
, ,
, ,
. | || |
√ √
, ,
SUDUT DAN KOSINUS ARAH
Sudut antara vektor yang tak nol dengan vektor satuan , , disebut sudut-
sudut arah vektor Jika
, maka :
. | || |
| |
;
| |
;
| |
, ,
, ,
, ,
20
Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor Solusi :
| | √
√ √
; √
; √
, ,
Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai ,
Solusi :
, ,
Vektor yang memenuhi persyaratan :
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
dan
, ,
, ,
,
BIDANG
Bila , , adalah sebuah vektor tak nol tetap dan
, ,
adalah titik tetap. Himpunan semua titik
, , yang memenuhi .
adalah BIDANG yang melalui
dan tegak lurus .
, ,
Maka,
.
setara terhadap
Persamaan ini paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol disebut bentuk baku persamaan bidang.
21
Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :
,
Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui
, ,
tegak lurus terhadap , , . Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya
Solusi :
Vektor terhadap bidang kedua adalah
, , . Sudut antara dua
bidang tersebut adalah :
. | || |
√ √
, ,
3. HASIL KALI SILANG
Hasil kali silang hasil kali vektor atau cross product, untuk
, ,
dan
, ,
didefinisikan sebagai
, ,
Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan
22
Dengan determinan,
hukum anti komutatif Contoh : Andaikan
, ,
dan , ,
Hitunglah dan menggunakan definisi determinan
Solusi :
Teorema :
Andaikan dan vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan sudut antara mereka, Maka :
1.
. .
terhadap , 2.
| | | || |
3. Dua vektor dan dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika
Kategori