BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 3 2

1 6

&

૛

BAB II

VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA

૛

SISTEM TANGAN KANAN

૛

૛

SISTEM TANGAN KIRI

૛

૛ ૛

RUMUS JARAK

૛

૛ _૛ ՜ ሺ૛_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ሻ

૛_૛ ՜ ሺ૛_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ሻ

૛_૛ |૛૛ ૛૛ | ൌൌൌ

ඥሺ૛_૛ ൌൌ ૛_૛ ሻ

૛ ሺ૛_૛ ൌൌ ૛_૛

ሻ૛

૛ ሺ૛_૛ ൌൌ ૛_૛

ሻ૛

૛_૛

૛ ૛

Contoh : Carilah jarak antara titik ૛ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻdan ૛ ሺൌൌ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ.

Solusi : |૛૛| ൌൌൌ ඥሺൌൌ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ _{૛ ሺ૛ ૛ ૛ሻ}૛ _{૛ ሺൌൌ૛ ൌൌ ૛ሻ}૛ _{ൌൌൌ √૛૛૛ ൌൌൌ ૛૛, ૛૛}

Persamaan baku sebuah bola

Jika ሺ૛,૛ ,૛ሻpada bola dengan radius ૛ berpusat pada ሺ૛,૛ ,૛ሻ, maka :

ฮሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ _{૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ}૛ _{૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ}૛ _{ൌൌൌ ૛}૛ _ฮ

atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai

૛૛ _{૛ ૛}૛ _{૛ ૛}૛ _{૛ ૛} ૛

૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛

Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :

૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌ ૛૛૛ ൌൌ ૡ૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛ૡൌൌൌ ૛

Solusi :

ሺ૛૛ _{ൌൌ ૛૛૛ ૛ ڮ ሻ ૛ ሺ૛}૛ _{ൌൌ ૡ૛ ૛ ڮ ሻ ૛ ሺ૛}૛ _{ൌൌ ૛૛૛ ૛ ڮ ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ૡ} ሺ૛૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ ૛ ሺ૛૛ ൌൌ ૡ૛ ૛ ૛૛ሻ ૛ ሺ૛૛ ൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ૡ ૛

૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ ૛ ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ૛ ൌൌൌ ൌૢ

૛ Pusat bola ሺ૛, ૛, ૛ሻ ; radius ൌൌൌ ૛

GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Contoh : Gambarkanlah grafik dari ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛

Solusi : Perpotongan dengan sumbu ૛ ՜ ambil ݖ&૛ ൌൌൌ 0 ૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

Perpotongan dengan sumbu ૛

૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

૛ ૛ሺ, ૛, ૛ሻ

Bidang ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛

૛ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

૛ ሺ૛, ૛, ૛ሻ

2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛ , ૛_૛ۄ ൌൌൌ ૛_૛૛ ૛ ૛_૛ ૛ ૛ ૛_૛ ૛

૛, ૛, ૛ adalah vektor satuan baku ՜ disebut vektor basis. Panjang ૛, diberikan sbb:

ቛ|૛| ൌൌൌ ඥ૛_૛ ૛ _{૛ ૛}

૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ቛ

Bila ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛, ૛_૛ , ૛_૛ۄ dan ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ۄ ; maka

ԡ૛.૛ ൌൌൌ ૛_૛ ૛_૛ ૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛ ૛_૛૛_૛ԡ

dan

1 9

૛

Contoh :

Cari sudut ABC jika ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ, ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻdan ૛ ൌൌൌ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ

૛ ൌൌൌ ሺ૛,

ൌൌ૛, ૛ሻ Vektor _{ൌൌൌ ૛}૛ ሬ૛ሬԦ

Vektor ૛ ൌൌൌ ૛ _ሬ૛ሬԦ

૛ ൌൌൌ ሺ૛, ૛,

ൌൌ૛ሻ _ൌൌ૛ ൌൌൌ૛, ૛ሻሺ૛,

૛ ൌൌൌ ۃ૛ ൌൌ ૛, ൌൌ૛ ൌൌ ૛, ૛ ૛ ૛ۄ ൌൌൌ ۃൌൌ૛, ൌൌ૛, ൌૢۄ

૛ ൌൌൌ ۃ૛ ൌൌ ૛, ൌൌ૛ ൌൌ ૛, ૛ ૛ ૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛,

ൌൌૠ, ૡۄ

૛૛૛

૛ ൌൌൌ ૛.૛_{|૛||૛|ൌൌൌ}ሺ ൌି ૛ሻሺ ૛ሻ ൌାሺ ൌି૛ሻሺൌିૠሻൌାሺ ૛ሻሺ ૡሻ _{ൌൌൌ ૛, ૛ൌૢ૛૛}

√૛૛ ૛ൌା ૛ൌାૡ૛ ૛ √ൌૢൌାൌૢൌା૛ ૛૛

૛ ൌൌൌ ૛૛, ૛૛૛

૛

SUDUT DAN KOSINUS ARAH

Sudut antara vektor ૛ yang tak nol dengan vektor satuan ૛, ૛, ૛ disebut sudut-sudut arah vektor ૛

Jika ૛ ൌൌൌ ૛_૛ ૛ ૛ ૛_૛ ૛ ૛ ૛_૛ ૛ , maka :

૛૛૛

૛ ൌൌൌ ૛.૛_{|૛||૛|ൌൌൌ} ૛૛

|૛|

; ૛૛૛૛

ൌൌൌ ૛૛

|૛|

; ૛૛૛૛ ൌൌൌ_|૛| ૛૛

૛

૛૛

૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛

૛ ૛

૛ ૛

2 0

૛

૛ ૛ ૛

2 0

Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛

Solusi : |૛| ൌൌൌ ඥ૛૛ _{૛ ሺൌൌ૛ሻ}૛ _{૛ ૛}૛ _{ൌൌൌ ૛√૛}

૛ ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛√૛ ૛√૛ ൌൌൌ_૛ ; ૛ ૛૛૛ ൌൌൌ ൌൌ√ ૛ ૛ ; ૛ ૛૛૛ ൌൌൌ ૛√૛ ૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛, ૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛, ൌૢ૛૛

Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai ૛ ൌൌൌ ૛૛૛ _{, ૛ ൌൌൌ}

૛૛૛૛

Solusi : ૛૛૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ ૛૛૛૛ ૛૛૛ ൌൌ ૛૛૛૛ ૛૛૛૛ ൌൌൌ ૛, ૛૛૛૛૛ ૛

૛ ૛

૛ ൌൌൌ േൌ૛, ૛૛૛૛૛

Vektor yang memenuhi persyaratan :

૛ۄ૛૛૛૛ ,૛૛૛૛,૛ ૛૛૛ۃ _ൌൌൌ ૛ۃ૛, ૛ૡ ૡ૛૛ , ൌൌ૛, ૛૛ ૛૛૛ , േൌ૛, ૛૛૛૛૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛, ૛૛૛૛ , ൌൌ૛, ૛૛ૡ૛ , ૛,

૛૛૛૛ۄ dan

ۃ૛, ૛૛૛૛ , ൌൌ૛, ૡ૛ૡ૛ , ൌൌ૛, ૛૛૛૛ۄ

૛

BIDANG

Bila ૛ ൌൌൌ ۄ૛ ,૛,૛ۃ adalah sebuah vektor tak nol tetap dan ૛_૛ ሺ૛_૛, ૛_૛, ૛_૛ ሻ

adalah titik tetap. Himpunan semua titik ૛ሺ૛ , ૛, ૛ሻyang memenuhi ሬ૛ሬ_૛ሬ૛ሬԦ. ૛

ൌൌൌ ૛ adalah

BIDANG yang melalui ૛૛ dan tegak lurus ૛. ሬ૛ሬ_૛ሬ૛ሬԦ ൌൌൌ ૛ۃ ൌൌ ૛_૛, ૛ ൌൌ ૛_૛ , ૛ ൌൌ ૛_૛ ۄ

Maka, ሬ૛ሬ_૛ሬ૛ሬԦ. ૛ ൌൌൌ ૛ setara terhadap

ԡ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ ሻ ൌൌൌ ૛ԡ

2 1

ቚ

Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :

૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛_૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛ ,૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌ് ૛

Contoh:

Cari persamaan bidang yang melalui ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ tegak lurus terhadap ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ૛, ૛ۄ. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya

૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૠ૛ ൌൌൌ ૛

Solusi : ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૡ

Vektor ٣ ૛ terhadap bidang kedua adalah ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌ૛, ૠۄ. Sudut ૛

antara dua bidang tersebut adalah :

૛૛૛

૛ ൌൌൌ ૛_|૛||૛|૛. ሺ ૛ሻ ሺ ૛ሻ ൌାሺൌିሻሺ૛ ૛ሻൌାሺ ૠሻሺ ૛ሻ

ൌൌൌ ൌൌൌ ૛, ૛૛ૠ૛

√ൌૢൌା૛૛ ૛૛ ൌା ൌૢ ૛ √૛૛ൌା૛૛૛ ૛ൌା ൌૢ ૛ ൌൌൌ ૛ૠ,

૛૛૛

3. HASIL KALI SILANG

Hasil kali silang (hasil kali vektor atau cross product), ૛૛૛untuk ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛ , ૛_૛, ૛_૛ۄ

dan ૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ۄ didefinisikan sebagai

ԡ૛૛૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛૛_૛ ൌൌ ૛_૛૛_૛ , ૛_૛૛_૛ ൌൌ ૛_૛૛_૛ , ૛_૛૛_૛ ൌൌ ૛_૛૛_૛ ۄԡ

Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan

૛ ૛ ૛

૛_૛ ૛_૛

૛_૛ ૛_૛૛ ૛૛ ૛

૛_૛ ૛_૛ ૛_૛

อ૛૛ ૛૛ ૛૛ อ ൌൌൌ ૛_૛ อ૛૛ ૛૛ ૛૛ อൌൌ ૛_૛ อ૛૛ ૛૛ ૛૛ อ ૛ ૛_૛ อ૛૛ ૛૛ ૛૛ อ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛૛ ૛૛

ൌൌൌ ૛૛ ฬ _૛

૛ ૛૛ ฬ ൌൌ ૛૛ ฬ૛૛ ૛૛ ฬ ૛ ૛૛ ฬ૛૛ ૛૛ ฬ

Dengan determinan, ૛ ૛ ૛ ૛_૛૛ ૛ ૛_૛ ૛_૛ ૛૛ ૛૛ ૛ ૛

૛ ൌൌൌ อ૛_૛ ૛_૛ ૛૛ อ ൌൌൌ ቚ_૛

૛ ૛૛ ቚ૛ ൌൌቚ૛૛ ૛૛ ቚ૛ ૛ ቚ૛૛ ૛૛ ቚ૛

૛_૛ ૛_૛ ૛_૛

ԡ૛૛૛ൌൌൌ ൌൌሺ૛૛ ૛ሻԡ ՜ hukum anti komutatif Contoh : Andaikan ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌ૛, ൌൌ૛ۄdan ૛ ൌൌൌ ۃൌൌ૛, ૛, ૛ۄ

Hitunglah ૛ ૛ ૛ dan ૛ ૛ ૛ menggunakan definisi determinan Solusi :

૛ ૛

૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛

૛ ૛

૛ ൌൌൌ อൌൌ૛ ૛ ૛ อ ൌൌൌ ૛ ቚ ૛

૛

ቚൌൌ ૛ ቚ ቚ

૛ ૛ ቚ ቚ

૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ૛

૛ ൌൌൌ อ ૛ ൌൌ૛ ൌൌ૛อ ൌൌൌ ૛ ቚ

૛ ૛ ቚൌൌ ૛ ቚ

ቚ ૛ ૛ ቚ ቚ ൌൌ૛ ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌ૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛

Teorema :

Andaikan ૛ dan ૛ vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan ૛ sudut antara mereka, Maka :

2. |૛૛૛| ൌൌൌ |૛૛૛૛|૛||૛

3. Dua vektor ૛ dan ૛ dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika

૛ ૛

Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik

૛_૛ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ, ૛_૛ ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ, ૛_૛ ሺൌൌ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ

Solusi :

૛ ൌൌൌ ሬ૛ ሬ_૛ ሬ

૛

ሬ_૛Ԧ _{ൌൌൌ ۃൌൌ}૛, ൌൌ૛, ૛ۄ

dan ૛ ൌൌൌ ሬ૛

ሬ_૛ ሬ

૛

ሬ_૛Ԧ _{ൌൌൌ ۃൌൌ}૛, ൌൌ૛, ૛ۄ

Maka,

૛ ૛ ૛

૛ ૛

૛ ൌൌൌ

อൌൌ૛ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌ

૛อ ൌൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛૛

ൌൌ ૛૛ ૛

Bidang yang melalui ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ dengan normal ૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ൌൌ ૛૛

mempunyai persamaan :

૛૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻ ૛ ૛૛ሺ૛ ൌൌ ૛ሻൌൌ ૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ૛

atau

૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ൌൌ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛

૛

SIFAT-SIFAT ALJABAR

TEOREMA :

Jika ૛, ૛ dan ૛ adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan ૛ skalar, maka : 1. ૛૛૛ൌൌൌ ൌൌሺ૛૛૛ሻ

2. ૛ ૛ ሺ૛ ૛ ૛ሻ ൌൌൌ ሺ૛૛૛ሻ ૛ ሺ૛૛૛ሻ

3. ૛ሺ૛૛ ૛ሻ ൌൌൌ ሺ૛૛ሻ૛ ૛ ൌൌൌ ૛૛ ሺ૛૛ሻ

4. ૛ ૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛

5. (૛ ૛ ૛ሻ ૛૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛૛૛ሻ

4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga

Suatu kurva ruang ditentukan oleh suatu tiga persamaan parameter,

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ, ૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ, ૛

ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ, ૛ ૛૛ ૛

૛ , ,૛

૛ ՜ kontinue pada selang I Suatu kurva dinyatakan dengan cara

memberikan vektor posisi ૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ

dari

suatu titik ૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ. ૛

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ۃሺ૛ሻ, ૛ሺ૛ሻ, ૛ሺ૛ሻۄ ൌൌൌ

૛ሺ૛ሻ૛ ૛

૛

૛ ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ሺ૛ሻ૛

૛ ૛

૛

GARIS

૛

૛

garis ditentukan oleh suatu titik tetap ૛_૛

dan suatu vector ૛ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛.

Garis adalah himpunan semua titik ૛ ૛ sedemikian

sehingga ૛

terhadap ૛, ૛_૛

ሬ_૛ሬ૛ሬԦ adalah sejajar

૛

૛_૛ ૛

ሬ૛ሬ_૛ሬ૛ሬԦ ൌൌൌ ૛ ; ૛૛ ൌൌൌ bilangan riil

૛ ൌൌൌ ૛ ሬ૛ሬԦ dan ૛_૛

ൌൌൌ ૛

ሬ૛ሬ_૛Ԧ ՜ ૛ ൌൌൌ ૛_૛ ૛ ૛ ૛

૛

ԡ૛ ൌൌൌ ૛_૛ ૛ ૛,૛૛ ൌൌൌ ૛_૛ ૛ ૛,૛૛

ൌൌൌ ૛_૛ ૛ ૛૛ԡ

Bila ૛ ൌൌൌ ۄ૛,૛ ,૛ۃ dan ૛_૛ ൌൌൌ ૛ۃ_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ۄ

Merupakan p e r s amaan parameter dari garis melalui ሺ૛_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ሻdan sejajar

Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui ሺ૛, ૛ ૛, ૛ሻdan

ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ

Solusi :

૛ ൌൌൌ ۃ૛ ൌൌ ૛, ૛ ૛ ૛, ൌൌ૛ ൌൌ ૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛, ૡ, ൌൌ૛ۄ

Pilih ሺ૛_૛, ૛_૛, ૛_૛ሻ sebagai ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ, maka persamaan parameter :

૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ,૛ൌൌൌ ൌൌ ૛ ૛ ૡ૛ ,૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ

૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ሺ૛, ૛, ൌൌሻ૛

Pe

r s amaan simetr i s garis yang melalui ሺ૛_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ሻdengan bilangan arah a,b,c ՜

yakni :

ቛ૛ ൌൌ

૛_૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ ૛_૛ ૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ ૛_૛ ቛ ૛

Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan

૛ ૛ ൌି૛

ൌൌൌ ૛ ૛૛

ൌି ૛ dan

૛ ૛૛

ൌି ૛

ൌൌൌൌି ૛ିିି૛ିିିିିିି૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor ሺ૛, ൌൌ૛, ૛ሻ

dan melalui ሺ૛, ૛, ൌൌ૛ሻ

Solusi : ൌି ૛૛_{૛ ૛} ૛ ൌൌൌ_ൌିൌି ૛૛૛ ൌൌൌ _૛ ૛ ૛ൌା

Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

૛૛ ൌൌ ૛ ൌൌ ૛૛ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ dan ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛ૡ

Solusi : pilih garis menembus bidang ૛ ૛ dan ૛૛

૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ൌൌ૛ ൌൌ ૛૛ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ dan ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛ૡ

Menghasilkan titik (0,4,2)

૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ૛૛ ൌൌ ૛૛ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ൌൌൌ

૛ૡ

૛

ሺ૛, ૛, ૛ሻ

ሺ૛, ૛, ૛ሻ

vektornya adalah :

ۃ૛ ൌൌ ૛, ૛ ൌൌ ૛, ૛ ൌൌ ૛ۄ ൌൌൌ ۃ૛,

ൌൌ૛, ૛ۄDengan menggunakan (3,0,4) untuk ሺ૛_૛ , ૛_૛ , ૛_૛ ሻ diperoleh :

૛ ൌൌ ૛ ൌൌൌ ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌ ૛ ൌൌൌ_૛ ૛

Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui (1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis

૛ ൌൌ ૛ ૛ ૛ ൌൌ ૛ ૛ ൌൌൌ ൌൌൌ ൌൌ૛ ૛

Solusi : Sumbu x dan garis yang diberikan arah ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ૛, ૛ۄ dan ૛ ൌൌൌ ۃ૛, ൌൌ૛, ૛

ۄ

Suatu vektor yang tegak lurus terhadap ૛ dan v :

૛ ૛ ૛

૛ ૛ ૛

ൌൌൌ อ૛

૛ ૛

ൌൌ

૛

૛อ ൌൌൌ ૛૛ ൌൌ ૛૛

ൌൌ ૛ ૛

Garis yang disyaratkan adalah sejajar terhadap ۃ૛, ൌൌ૛, ൌൌ૛ۄ

Persamaan parameter :

૛ ൌൌൌ ૛ , ૛ ൌൌൌ ൌൌ૛ ૛ ૛૛, ૛ൌൌൌ ૛ ૛ ૛

૛

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

૛

૛ሺ૛ ૛ ૛ሻ ૛ሺ૛ሻ

૛ᇱ ሺ૛ሻ

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ሺ૛ሻ૛

૛ ൌൌൌ vektor posisi

૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ᇱ ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ᇱ ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ᇱ ሺ૛ሻ૛ ૛ᇱ ሺ૛ሻ, ૛ᇱ ሺ૛ሻ, dan ૛ᇱ ሺ૛ሻadalah bilangan-bilangan singgung pada ૛ ૛

૛ሺ૛ ૛ ૛ሻൌൌ ૛ሺ૛ሻ

26 ૛

2 7

Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada ૛ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ _૛ ૛ ૛૛ ૛

di ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ሺ૛, ૛,

ૡ⁄૛ሻ

Solusi : ૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛_૛

૛ᇱ ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛

Garis singgung mempunyai arah ۃ૛, ૛, ૛ۄ.

ૡ

Persamaan simetriknya adalah : ൌି૛૛૛ ൌൌൌ_{૛ ૛}ൌି ૛૛૛ ൌൌൌൌି ିିି ିିି૛ ૛ ൌൌ૛ ૛

૛

KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN

Bila

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ሺ૛ሻ૛ ૛ ૛ሺ૛ሻ૛ .૛ ૛ ૛ ૛ ૛ adalah vektor posisi untuk titik

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻyang menjelajahi kurva selama ૛ bertambah besar.

Misalkan

૛ᇱ ሺ૛ሻada dan kontinu dan ૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌ് ૛ ՜ kurva mulus. Panjang busur

૛ dari ૛ሺ૛ሻke ૛ሺ૛ሻ diberikan oleh

૛

૛

૛ ൌൌൌ න|૛ᇱ ሺ૛ሻ|૛૛

૛

૛ሺ૛ሻ ૛ሺ૛ሻ

૛

ൌൌൌ න ඥሾ૛ᇱ ሺ૛ሻሿ૛ _{૛ ሾ૛}ᇱ _ሺ૛ሻሿ૛ _{૛ ሾ૛}ᇱ _ሺ૛ሻሿ૛

૛૛

૛

૛

૛ሺ૛ሻ

૛

Jika ૛ ൌൌൌ waktu

૛ _{Kecepatan ૛ሺ૛ሻ} ൌൌൌ ૛ᇱ ሺ૛ሻ

2 8

Laju ૛૛ ൌൌൌ |૛ᇱ ሺ૛ሻ| _ൌൌൌ |૛ሺ૛ሻ|

૛૛

Contoh :

૛

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛૛૛૛ ૛ ૛૛૛૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ՜heliks melingkar

• Cari panjang busur untuk ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛ • Hitung percepatan ૛ pada ૛ ൌൌൌ ૛૛

Solusi :

• Panjang busur ՜ ૛ ൌൌൌ ૛૛ ඥሺൌൌ૛ ૛૛૛૛ሻ૛ _{૛ ሺ૛૛૛૛ ૛ሻ}૛ _{૛ ૛}૛ _૛૛ ૛૛

૛ ൌൌൌ න ඥ૛૛ _{૛ ૛}૛ _{૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ඥ૛}૛ _{૛ ૛}૛ ૛

• ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ᇱᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ ૛૛૛ ૛ൌൌ ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ሺ૛૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛૛

૛ KELENGKUNGAN V

e ktor si n ggung sat u a n pada ૛ሺ૛ሻ adalah

૛ሺ૛ሻ

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

|૛ሺ૛ሻ|

૛૛

ൌൌൌ laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva

૛૛

૛૛

ൌൌൌ ૛૛૛૛ ൌൌൌ ૛

ᇲ ሺ ૛ ሻ

૛૛ ૛૛ ૛૛ |૛ሺ૛ሻ|

Kel en gku ngan ૛ dari suatu kurva ruang

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ

ൌൌൌ ฬ

૛૛ ૛૛ ฬ

ൌൌൌ

|૛ᇱ ሺ૛ሻ| |૛ሺ૛ሻ|

Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛૛૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛

૛

Solusi : ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ሺ૛ሻ ૛

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

|૛ሺ૛ሻ| ൌൌൌ _√૛૛ _{૛ ૛}૛ ሺൌൌ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ

|૛ᇱ ሺ૛ሻ| ૛ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

|૛ሺ૛ሻ| ൌൌൌ ૛૛ _{૛ ૛}૛ |ൌൌ૛૛૛૛૛ ૛ൌൌ ૛૛૛૛૛૛|

ൌൌൌ

૛ ൌൌൌ

૛ KOMPONEN PERCEPATAN

Vektor normal satuan utama N di P :

૛ ൌൌൌ ૛૛_{|૛૛⁄૛૛|}૛૛⁄ ൌൌൌ_{૛ ૛૛} ૛ ૛૛

૛ adalah normal (٣) terhadap kurva diperoleh dari diferensial ૛.૛ ൌൌൌ ૛ ; sehingga ૛૛૛._૛૛૛ ൌൌൌ ૛

૛૛

tegak lurus pada T.

૛૛

૛ _૛૛

૛ ૛

૛૛ ૛ ૛ ቀ

ቁ _૛૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛૛

૛ .

૛ ൌൌൌ ૛.૛_૛૛ ૛ ૛૛_૛૛

ൌൌൌ ૛_૛

૛ᇲ_࢘ᇲᇲ ቛ_૛ ૛ൌൌൌ ૛. ૛ ൌൌൌ

Jika hasil kali silang

|૛ᇲ | ቛ

૛ .

૛ ൌൌൌ ૛_૛ ሺ૛૛૛ሻ ૛ ૛૛૛|_૛૛| ൌൌൌ ૛_૛ ሺ૛૛૛ሻ

Sehingga

|૛૛૛| ൌൌൌ ૛૛૛|_૛૛| ൌൌൌ ૛૛૛૛|૛||૛|_૛૛ ൌൌൌ ૛_૛

atau

ብ_૛ ૛ ൌൌൌ | ૛૛ ૛| ൌൌൌ

|૛ᇱ _࢘ᇱᇱ | |૛ᇱ | ብ

Karena _૛ ૛ ൌൌൌ ሺ૛૛⁄૛૛ሻ૛ _{૛ ൌൌൌ |૛}ᇱ _|૛_{૛ ; maka :}

|૛ᇱ ૛ᇱᇱ |

ብ૛ ൌൌൌ |૛

ᇱ |૛ ብ

Contoh : pada titik ሺ૛, ૛, ૛ሻ, cari ,૛,૛

૛ _૛ , ૛ , dan ૛

૛ ૛

Untuk gerak : ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ _{૛ ૛} ૛ _૛૛_૛ ૛

Solusi : ૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛

ᇲ

૛ᇱᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛ ૛૛

Pada ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ૛ᇱ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ᇱᇱ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛

૛

૛ᇲ ૛ᇲᇲ ૛

૛

૛

ൌൌൌ |૛ᇲ | ൌൌൌ √૛

|૛ᇱ ૛ᇱᇱ | ૛

૛ ૛

૛ _૛ ૛

૛

ൌൌൌ |૛ᇱ | ൌൌൌ √૛ ૛ อ૛ ૛ ૛อ ൌൌൌ |૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૛| ൌൌൌ √૛ ૛ ૛ ૛ √૛

૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ

૛

૛

૛

ൌൌൌ_૛

૛

ሺ૛૛ ૛ ૛૛ሻ ൌൌ ሺ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ሻ

√૛

૛ ૛ ૛

ൌൌൌ √૛

૛ ൌൌൌ |૛ᇱ ૛ᇱᇱ |⁄|૛ᇱ _|૛ _ൌൌൌ ૛૛_ൌൌ

ൌൌൌ √૛ _|૛ᇱ _|૛ ૛ ൌൌൌ √૛૛

2 8 Laju ૛૛ ൌൌൌ |૛ᇱ ሺ૛ሻ| _ൌൌൌ |૛ሺ૛ሻ|

૛૛

Contoh :

૛

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ ૛૛૛૛૛ ૛ ૛૛૛૛૛૛ ૛ ૛૛૛ ՜heliks melingkar

• Cari panjang busur untuk ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛

• Hitung percepatan ૛ pada ૛ ൌൌൌ ૛૛

Solusi :

• Panjang busur ՜ ૛ ൌൌൌ ૛૛ ඥሺൌൌ૛ ૛૛૛૛ሻ૛ _{૛ ሺ૛૛૛૛ ૛ሻ}૛ _{૛ ૛}૛ _૛૛ ૛૛

૛ ൌൌൌ න ඥ૛૛ _{૛ ૛}૛ _{૛૛ ൌൌൌ ૛૛ ඥ૛}૛ _{૛ ૛}૛ ૛

• ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛ᇱᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛૛ ૛૛૛ ૛ ൌൌ ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ሺ૛૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛૛

૛ KELENGKUNGAN V

e ktor si n ggung sat u a n pada ૛ሺ૛ሻ adalah

૛ሺ૛ሻ ૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ

ൌൌൌ |૛ሺ૛ሻ|

૛૛

ൌൌൌ laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva ૛૛

૛૛

ൌൌൌ ૛૛૛૛ ൌൌൌ ૛

ᇲ

ሺ ૛ ሻ

૛૛ ૛૛ ૛૛ |૛ሺ૛ሻ|

Kel en gku ngan ૛ dari suatu kurva ruang

૛ ൌൌൌ ૛ሺ૛ሻ

ൌൌൌ ฬ

૛૛ ૛૛ ฬ ൌൌൌ

|૛ᇱ ሺ૛ሻ| |૛ሺ૛ሻ|

Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛૛૛૛૛ ૛ ૛ ૛ ૛૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛

૛

Solusi : ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ൌൌ૛ ૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ሺ૛ሻ ૛

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

|૛ሺ૛ሻ| ൌൌൌ _√૛૛ _{૛ ૛}૛ ሺൌൌ૛૛ ૛૛૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛૛૛૛ ૛ ૛૛ሻ

|૛ᇱ ሺ૛ሻ| ૛

૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ

|૛ሺ૛ሻ| ൌൌൌ ૛૛ _{૛ ૛}૛ |ൌൌ૛૛૛૛૛ ૛ൌൌ ૛૛૛૛૛૛|

ൌൌൌ

૛ ൌൌൌ

૛ KOMPONEN PERCEPATAN

Vektor normal satuan utama N di P :

૛ ൌൌൌ ૛૛_{|૛૛⁄૛૛|}૛૛⁄ ൌൌൌ _{૛ ૛૛} ૛ ૛૛

૛ adalah normal (٣) terhadap kurva diperoleh dari diferensial ૛.૛ ൌൌൌ ૛ ; sehingga ૛૛૛._૛૛૛ ൌൌൌ ૛

૛૛

tegak lurus pada T. ૛૛

૛ _૛૛ ૛

૛

૛૛ ૛ ૛ ቀ

ቁ _૛૛ ૛૛ ൌൌൌ ૛૛૛ ૛ ૛૛૛

૛ .

૛ ൌൌൌ ૛.૛_૛૛ ૛ ૛૛_૛૛ ൌൌൌ ૛_૛

૛ᇲ_࢘ᇲᇲ ቛ_૛ ૛ൌൌൌ ૛. ૛ ൌൌൌ

Jika hasil kali silang |૛ᇲ | ቛ

૛ .

૛ ൌൌൌ ૛_૛ ሺ૛૛૛ሻ ૛ ૛૛૛|_૛૛| ൌൌൌ ૛_૛ ሺ૛૛૛ሻ

Sehingga

|૛૛૛| ൌൌൌ ૛૛૛|_૛૛| ൌൌൌ ૛૛૛૛|૛||૛|_૛૛ ൌൌൌ ૛_૛

atau

ብ_૛ ૛ ൌൌൌ | ૛૛ ૛| ൌൌൌ

|૛ᇱ _࢘ᇱᇱ | |૛ᇱ | ብ

Karena _૛ ૛ ൌൌൌ ሺ૛૛⁄૛૛ሻ૛ _{૛ ൌൌൌ |૛}ᇱ _|૛_{૛ ; maka :}

|૛ᇱ ૛ᇱᇱ |

ብ૛ ൌൌൌ

|૛

ᇱ |૛ ብ

Contoh : pada titik ሺ૛, ૛, ૛ሻ, cari ,૛,૛

૛ _૛ , ૛ , dan ૛

૛ ૛

Untuk gerak : ૛ሺ૛ሻ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ _{૛ ૛} ૛ _૛૛_૛ ૛

Solusi : ૛ᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛

ᇲ

૛ᇱᇱ ሺ૛ ሻ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛ ૛૛

Pada ૛ ൌൌൌ ૛ ՜ ૛ᇱ ൌൌൌ ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ ૛ᇱᇱ ൌൌൌ ૛૛ ૛ ૛૛ ૛ ൌൌൌ ૛

૛

૛ᇲ ૛ᇲᇲ ૛

૛

૛

ൌൌൌ |૛ᇲ | ൌൌൌ

√૛

|૛ᇱ ૛ᇱᇱ | ૛

૛ ૛

૛ _૛

૛

૛

ൌൌൌ |૛ᇱ | ൌൌൌ √૛ ૛ อ૛ ૛ ૛อ ൌൌൌ |૛૛ ൌൌ ૛૛ ૛ ૛| ൌൌൌ √૛ ૛ ૛ ૛ √૛

૛ ൌൌൌ ૛ ൌൌ

૛

૛

૛

ൌൌൌ_૛

૛

ሺ૛૛ ૛ ૛૛ሻ ൌൌ ሺ૛ ૛ ૛૛ ૛ ૛ሻ

√૛

૛ ૛ ૛ ൌൌൌ

√૛ ૛ ൌൌൌ |૛ᇱ ૛ᇱᇱ |⁄|૛ᇱ _|૛ _ൌൌൌ ૛૛_ൌൌ

ൌൌൌ √૛ _|૛ᇱ _|૛ ૛ ൌൌൌ √૛૛