BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Pendahuluan
Pada bab ini akan dibahas tentang travelling salesman problem TSP, metode- metode yang digunakan dalam penyelesaian TSP. Khusus penggunaan metode
algoritma genetika akan dipaparkan secara teoritis mengenai tahap-tahap yang dilakukan dalam penggunaan metode algoritma mulai dari representasi
kromosom, fungsi fitness, seleksi, crossover, mutasi.
2.2. Travelling Salesman Problem TSP
Travelling Salesman Problem TSP merupakan sebuah permasalahan optimasi yang dapat diterapkan pada berbagai kegiatan seperti routing. Masalah optimasi
TSP terkenal dan telah menjadi standar untuk mencoba algoritma yang komputational. Pokok permasalahan dari TSP adalah seorang salesman harus
mengunjungi sejumlah kota yang diketahui jaraknya satu dengan yang lainnya. Menurut Arora 2000, pada traveling Salesman Problem TSP kita
diberikan n buah simpul dan untuk setiap pair { i, j}, sebuah jarak d
ij
. Kita menginginkan sebuah path tertutup yang mengunjungi setiap simpul tepat sekali
dan mencari biaya minimum, yang merupakan penjumlahan dari jarak-jarak yang ada pada path tersebut.
2.2.1. Sejarah Permasalahan TSP
Permasalahan matematika tentang Traveling Salesman Problem dikemukakan pada tahun 1800 oleh matematikawan Irlandia William Rowan Hamilton dan
matematikawan Inggris Thomas Penyngton.
Universitas Sumatera Utara
Bentuk umum dari TSP pertama dipelajari oleh para matematikawan mulai tahun 1930. Diawali oleh Karl Menger di Vienna dan Harvard. Setelah itu
permasalahan TSP dipublikasikan oleh Hassler Whitney dan Merrill Flood di Princeton. Penelitian secara detail dari hubungan antara Menger dan Whitney, dan
perkembangan TSP sebagai sebuah topik studi dapat ditemukan di makalah Alexander Schrijver’s “On the history of combinatorial optimization till 1960”
2.2.2. Perkembangan Pemecahan TSP
Untuk menilai apakah kita melakukan perkembangan dalam menyelesaikan permasalahan TSP, kita pasti menilai dari jumlah waktu yang makin berkurang.
Misal kita memiliki metode baru A yang lebih cepat menyelesaikan permasalahan TSP dibanding metode B, kita akan menilai bahwa kita telah menemukan solusi
lebih baik. Tetapi masalah perangkingan untuk metode ini akan sangat sulit dilakukan, karena metode-metode yang sangat berkaitan erat satu sama lain tidak
dapat dinilai hanya melalui perbandingan yang sederhana permasalahan- permasalahan TSP yang ringan.
Oleh karena itu, untuk memutuskan apakah metode A lebih baik dibandingkan metode B, Kita harus mengesampingkan hasil dari contoh-contoh
kasus yang sederhana dan dapat diselesaikan oleh hampir semua metode pemecahan permasalahan TSP. Saat ini kita seharusnya berkonsentrasi pada
permasalahan-permasalahan yang benar-benar sulit yang sangat sulit terpecahkan sampai saat ini. Dari permasalahan-permasalahan yang sangat sulit ini, kita
gunakan metode A dan metode B untuk menyelesaikannya. Setelah itu kita dapat memutuskan metode A lebih baik dari metode B jika untuk setiap permasalahan
n-kota dengan n bilangan yang besar, metode A lebih cepat dalam menyelesaikan permasalahan dibanding metode B.
Agar perbandingan metode-metode TSP ini dapat diaplikasikan, kita dapat menganalisis solusi-solusi dari sebuah metode dan menjamin bahwa setiap n akan
memakan sejumlah waktu fn. Jadi fn fungsi waktu dari sebuah metode terhadap jumlah kota n. Untuk membandingkan dua buah metode, kita cukup
Universitas Sumatera Utara
membandingkan fungsi fn dari masing-masing metode. Hal ini tentu saja dapat menghasilkan perhitungan yang salah ketika ada metode yang baik tapi dianalisis
dengan buruk sehingga menghasilkan fn yang buruk. Dalam banyak permasalahan komputasional, studi tentang algoritma+fungsi telah menghasilkan
solusi matematika yang sangat bagus, yang penting dalam pengembangan untuk penyelesaian permasalahan praktis. Hal ini telah menjadi subjek studi yang utama
dalam sains komputer. Untuk setiap permasalahan TSP akan sangat mudah kita katakan bahwa
fungsi fn-nya adalah n-1=n-1 x n-2 x n-3 x ...x 3 x 2 x 1 dan jumlah jalur yang mungkin terjadi adalah n-12. Hasil yang lebih baik ditemukan pada tahun 1962
oleh Michael Held dan Richard Karp, yang menemukan algoritma dan fungsi yang mempunyai proporsi n22n, yaitu n x n x2 x 2 x … x 2, dimana ada sebanyak
n perkalian dua. Untuk setiap n bernilai besar, fungsi fn Held-Karp akan selalu lebih kecil dibandingkan n-1.
Untuk setiap orang yang tertarik untuk menyelesaikan permasalahan TSP dalam jumlah besar, ada sebuah berita buruk bahwa selama 43 tahun sejak Held
dan Karp menemukan fungsi fn= n22n ternyata tidak ditemukan fungsi fn yang lebih baik lagi. Hal ini tentu saja sangat mengecewakan karena dengan n=30
fungsi fn Held-Karp menghasilkan nilai yang sangat besar, dan untuk n=100 merupakan sesuatu yang mustahil untuk diselesaikan oleh kemampuan komputer
saat ini. Perkembangan fungsi fn dalam TSP yang sangat lambat ini mungkin
memang tidak dapat kita hindari; dengan komputer saat ini bisa jadi memang tidak ada metode yang menghasilkan fn yang mempunyai performansi yang baik,
misal nc dimana c adalah sebuah angka konstanta, oleh karena itu, n x n x n x … x n dimana n muncul sebanyak c kali.
TSP secara sederhana dapat didefinisikan sebagai proses pencarian lintasan terefisien dan terpendek dari beberapa kota yang dipresentasikan, melewati setiap
kota tersebut dan kembali ke kota awal. Setiap kota hanya bisa sekali disinggahi. Persoalan yang dihadapi TSP ialah bagaimana merencanakan total jarak yang
Universitas Sumatera Utara
minimum. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, tidak mudah dilakukan karena terdapat ruang pencarian dari sekumpulan permutasi sejumlah kota. Maka TSP
kemudian dikenal dengan persoalan Non Polinomial. Gambaran sederhana dari pengertian TSP adalah sebagai berikut:
Gambar 2.1. Posisi kota-kota yang akan dilewati
Kota-kota pada gambar 1., masing-masing mempunyai koordinat x,y, sehingga jarak antar kedua kota dapat dihitung dengan rumus:
2 2
1 2
2 1
12
y y
x x
d −
+ −
=
................................................... 2.1
Setelah jarak-jarak yang menghubungkan tiap kota diketahui, maka dicari rute terpendek dari jalur yang akan dilewati untuk kembali ke kota awal.
Gambar 2.2. Rute optimal yang telah dicari
Pencarian Lintasan Terpendek dapat dinyatakan dengan persamaan:
∑∑
− −
n k
n m
m k
d Min
1 1
,
.................................................................................... 2.2
Universitas Sumatera Utara
2.3. Metode-metode Penyelesaian TSP
Kategori