dilakukan dengan memaksimalkan fungsi likelihood. Dengan metode maksimum likelihood, estimasi dari setiap parameter distribusi gumbel adalah sebagai berikut:
Untuk mencari nilai parameter dari β yang merupakan parameter bentuk yaitu : �̂ = �̅ –
∑ �
�
exp
−�� ��
� �=1
∑ exp
−�� ��
� �=1
2.19 Untuk mencari nilai parameter dari α yang merupakan parameter skala yaitu :
� � = - �̂ log �
1 �
∑ exp
−�
�
�� �
�=1
� 2.20
Grafik distribusi Gumbel digambarkan sebagai berikut.
Sumber : www.wikipedia.org
Gambar 2.6 Kurva distribusi Gumbel
2.9 Distribusi Eksponential
Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu tunggu atau teori antrian. Distribusi eksponensial merupakan model waktu atau panjang atau area
antara kejadian Poisson. Distribusi yang menggambarkan suatu kerusakan dari mesin yang disebabkan oleh kerusakan pada salah satu komponen dari mesin atau peralatan
yang menyebabkan mesin terhenti. Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah
teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi eksponensial dan Gamma
Universitas Sumatera Utara
lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.
Fungsi Gamma didefinisikan oleh:
1 -
1 -
1
α α
α
α
Γ =
= Γ
∫
∞ −
−
dx e
x
x
Bila n
=
α
, maka
1 −
= Γ
n n
. Distribusi gamma dengan
α = 1 disebut distribusi eksponensial. Fungsi distribusi probabilitas :
�� = �
1 �
�
−� �
; � ≥ 0 , � ≥ 0
0 ; � �������
2.21
Parameter : � 0 2.22
Dengan � ∶ ���� − ����
Rerataan dari distribusi Eksponensial diperoleh dengan cara sebagai berikut : �� = � � ����
∞
= � �
1 �
∞
�
−� �
��
= 1
� � �
∞
�
−� �
��
Misal � =
� �
, maka �� =
1 �
�� , dengan batas integral sebagai berikut : X = 0 maka u = 0 dan x =
∞ maka u = ∞ sehingga : �� =
1 �
∫ ��
−
� �
��
∞
=
1 �
∫ ���
−�
�
∞
=
1 �
�
2
∫ ��
−�
��
∞
= βГ2 EX = β
Rataan :
Universitas Sumatera Utara
�
�
= � 2.23
Variansi dari distribusi Eksponensial diperoleh dengan cara sebagai berikut : Var X = EX
2
– [EX]
2
Dengan E
� = ∫ �
2
����
∞
= ∫ �
2
�
−
� �
��
∞
=
1 �
∫ �
2
e
−
x β
dx
∞
Dengan cara yang serupa seperti penentuan rerata, diperoleh : EX
2
= 2 β
2
Sehingga Var X = EX
2
– [EX]
2
= 2 β
2
– β
2
Var X = β
2
Variansi : σ
x 2
= β
2
2.24 Fungsi distribusi Probabilitas kumulatif yaitu :
Fx = �
1 − e
−x β
; x 0 0 ; x lainnya
2.25 Grafik distribusi Eksponensial dapat digambarkan sebagai berikut.
Sumber : www.paulbourke.net
Gambar 2.7 Kurva distribusi eksponensial
Universitas Sumatera Utara
BAB III
ANALISIS MASALAH DAN METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Analisa Masalah