memodelkan waktu sampai kegagalan time of failure dari suatu sistem fisika. Ilustrasi yang khas yaitu pada sistem dimana jumlah kegagalan meningkat dengan
berjalannya waktu misalnya daya hantar beberapa semikonduktor atau kegagalan yang terjadi oleh suatu shock pada sisem.
Dalam hal ini Distribusi weibull digunakan untuk meramalkan terjadinya gempa pada suatu daerah. Terdapat dua macam distribusi weibull yang dapat
digunakan yaitu distribusi weibull untuk 2 parameter dan distribusi weibull untuk 3 parameter.
2.7.1 Distribusi Weibull dua Parameter
Sesuai dengan namanya distribusi weibull dua paramater mempunyai dua buah parameter, yaitu :
a Parameter bentuk α
Merupakan parameter yang menggambarkan bentuk dari distribusi kerusakan. b
Parameter skala β Merupakan parameter yang menggambarkan umur karakteristik dari
alatkomponen.
Periode kerusakan yang terjadi yaitu periode awal early failure, periode normal dan periode pengausan wear out tergantung dari nilai parameter bentuk
fungsi distribusi weibull. Distribusi weibull mempunyai laju kerusakan menurun untuk α 1, laju kerusakan konstan untuk α =1 dan laju kerusakan naik untuk α 1.
Jika sebuah Variabel acak kontinu X memiliki distribusi Weibull dengan parameter bentuk α dan faktor skala β, dimana α 0 dan β 0, maka fungsi kepadatan
probabilitas dari X adalah :
F
W
x; α, β = �
� �
�
�
�−1
�
−
� �
�
�≥0
���� ���� 2.1
Universitas Sumatera Utara
Fungsi diatas mudah untuk diintegralkan, sehingga diperoleh fungsi kumulatif Weibull :
�
�
�; �, � = � � ≤ � = ∫
� �
�
�
�−1 �
�
−
1 �
�
= 1 − �
−
� �
�
2.2 Mean Nilai harapan:
�
�
= �� = �� 1 +
1 �
2.3 Varians :
�
� 2
= �
2
= �� �1 +
2 �
� − [�1 +
1 �
]
2
� 2.4 Kemencengan skewness :
�
1
= �
3 2
= ��1 +
3 �
− 3� �1 +
1 �
� � �1 +
2 �
� + 2 ��1 +
3 �
]
3
}
2
2.5 Keruncingan kurtosis:
�
2
= �
4
= � �1 +
4 �
� − 4� �1 +
1 �
� � �1 +
3 �
� + 6 �� �1 +
1 �
��
2
2.6 � �1 +
2 �
� − 3 ��1 +
1 �
}]
4
Distribusi Weibull secara luas digunakan untuk berbagai masalah keteknikan karena kegunaannya yang bermacam-macam. Pada dasarnya distribusi weibull ini
dimaksudkan untuk menggambarkan keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbaikannya ataupun komponen komponennya.
2.7.2 Distribusi Weibull Tiga Parameter
Sesuai dengan namanya distribusi weibull tiga paramater mempunyai tiga buah parameter, yaitu :
a Parameter bentuk α
Parameter yang menggambarkan bentuk dari distribusi kerusakan. b
Parameter skala β Parameter yang menggambarkan umur karakteristik dari alatkomponen.
c Parameter Lokasi μ
Parameter yang menggambarkan lokasi distribusi kerusakan tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Distribusi weibull tiga parameter digunakan apabila terdapat umur minimum dari sistem sehingga tidak akan terdapat kerusakan sebelum selang waktu t
. Waktu sampai terjadinya gempa dinyatakan dengan peubah acak kontiniu x dimana x μ
dan x
≤ μ., maka fungsi kepadatan probabilitas dari x adalah :
F
W
x; α, β = � �
� β
�
�−� �
�−1
�
−
�−� �
�
��
0 Untuk x ≤ μ
2.7
�� = � − �
�−1
�
−
�−� �
�
2.8 Jadi, Mean Nilai rata-rata untuk 3 parameter adalah :
�
�
= �� = � + �� 1 +
1 �
2.9 Jika parameter μ = 0 maka fungsi densitas dikenal sebagai fungsi weibull dengan 2
parameter. Grafik distribusi Weibull digambarkan sebagai berikut.
Sumber : https:commons.wikimedia.org
Gambar 2.5 Grafik distribusi Weibull
Contoh Penggunaan Distribusi Weibull yaitu Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek dalam jam pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik
sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan α = 0,5 dan β = 5000 jam. Berapakah
waktu sampai gagal rata-rata pelat gesek tersebut dan berapakah probabilitas pelat gesek tersebut mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam.
Rata-rata waktu sampai gagal :
Universitas Sumatera Utara
1 1
1 5000
1 5000
3 5000 2
10000 jam 0.5
x
E X
µ β
α
= = Γ +
= Γ +
= Γ
= =
− −
= −
= − −
= =
=
0.5
6000 5000 1.095
6000 1 6000;0,5,5000
1 1
0,334 33,4
W
P X F
e e
Jadi, hanya 33.4 dari seluruh pelat gesek yang dapat bekerja 6000 jam atau lebih .
2.7.3 Estimasi Nilai Parameter pada Distribusi Weibull
