Menerapkan teori Green untuk integrasi parsial pada bentuk pertama persamaan 2.57 menjadi:
dS t
u dV
p u
dV
T T
T
∫ ∫
∫
+ =
δ δ
σ ε
δ 2.58
Dimana: σ =
vector with stress components
t
= traksi batas boundary traction Memperkenalkan Integral batas.Tiga komponen traksi batas disusun dalam Vektor
t
Pengembangan keadaan tegangan stress state σ dapat dipandang sebagai suatu
proses yang berkaitan dengan pertambahan incremental: σ
σ σ
Δ +
=
−1 i
i
2.59 ,
dt
∫
= Δ
σ σ
2.60 dimana:
i
σ
= menunjukkan keadaan tegangan aktual actual state of stress which is unknown
1 −
i
σ = menunjukkan keadaan tegangan sebelumnya yang sudah diketahui. σ
Δ
= penambahan tegangan stress increment pada penambahan waktu yang kecil
Jika Persamaan 2.57 dianggap untuk keadaan aktual i, tegangan yang tidak
diketahui
i
σ dapat dieliminasi menggunakan Persamaan 2.60 : dV
dS t
u dV
p u
dV
i T
i T
i T
T
1 −
∫ ∫
∫ ∫
− +
= Δ
σ ε
δ δ
δ σ
ε δ
2.61
2.7.2. Diskritisasi Elemen Hingga Finite Element Discretisation
Menurut metode elemen hingga suatu kesatuan atau rangkaian dibagi kedalam sejumlah volume elemene-elemen.masing-masing elemen terdiri dari sejumlah titik
buhul nodes. Tiap-tiap node mempunyai sejumlah derajat kebebasan degrees of
freedom yang bersesuaian dengan harga-harga diskrit yang belum diketahui didalam persoalan harga batas yang akan dipecahkan. Didalam hal ini teori deformasi derajat
kebebasan yang bersesuaian dengan komponen-komponen perpindahan. Didalam suatu elemen perpindahan
u
diperoleh dari harga-harga nodal diskrit didalam suatu vektor
v
menggunakan fungsi-fungsi interpolasi yang disusun dalam matriks N : N
u =
2.62 dimana:
u
= vector with displacement components N = matrik fungsi bentuk matrix with shape functions
ν = vector with nodal displacement Substitusi Persamaan 2.62 relasi kinematik Persamaan 2.51 akan memberikan:
ν ν
ε B
N L
= =
; 2.63
dimana: B = matriks interpolasi regangan strain interpolation matrix Sekarang Persamaan 2.61 dapat dirumuskan kembali dalam bentuk yang diskritisi
sebagai berikut: dV
B dS
t N
dV p
N dV
B
i T
i T
i T
T 1
−
∫ ∫
∫ ∫
− +
= Δ
σ ν
δ ν
δ ν
δ σ
ν δ
2.64 dimana:
T
ν δ
= perpindahan diskrit discrete displacements Perpindahan diskrit dapat ditempatkan diluar integral:
dV B
dS t
N dV
p N
dV B
i T
T i
T T
i T
T T
T 1
−
∫ ∫
∫ ∫
− +
= Δ
σ ν
δ ν
δ ν
δ σ
ν δ
2.65
Dengan membagi ruas kiri dan ruas kanan dengan
T
ν δ
, maka persamaan ditulis menjadi:
dV B
dS t
N dV
p N
dV B
i T
i T
i T
T 1
−
∫ ∫
∫ ∫
− +
= Δ
σ σ
2.66 Persamaan di atas adalah kondisi mengembangkan kesetimbangan dalam bentuk
diskritisi. Bentuk pertama yang sebelah kanan bersama-sama dengan bentuk kedua menunjukkan vektor gaya luar dan bentuk terakhir menunjukkan vektor reaksi dalam
dari tahapan step sebelumnya. Perbedaan antara vektor gaya luar dan vektor reaksi dalam akan diseimbangkan oleh suatu penambahan tegangan.
Hubungan diantara penambahan tegangan dan penambahan regangan biasanya adalah non-linier. Akibatnya penambahan regangan secara umum tidak dapat
dihitung dengan langsung, dan prosedur iterasi global diperlukan untuk memenuhi kondisi keseimbangan untuk semua titik marerial.
2.7.3. Mengintegrasi secara mutlak model-model plastisitas difrensial
