w
p y
γ φ
− =
2.81 dimana: y = posisi vertikal vertical position
p = tegangan air pori stress in the pore fluid, negatif untuk tekan =
w
γ berat isi air pori
Untuk aliran tunak syarat kontinuitas dipakai:
= ∂
∂ +
∂ ∂
y q
x q
y x
2.82 Persamaan 2.82 menyatakan bahwa tidak ada aliran masuk atau keluar, seperti
diilustrasikan pada Gambar 2.24.
Gambar 2.24 Ilustrasi syarat kontinuitas
2.7.6. Diskritisasi elemen hingga Finite Element Discretisation
Tinggi tekan air tanah didalam suatu posisi dengan suatu elemen dapat dinyatakan dalam harga-harga pada titik buhul nodes elemen itu:
e
N φ
η ξ
φ =
, 2.83
x k
K q
x r
x
∂ ∂
− =
φ y
k K
q
y r
y
∂ ∂
− =
φ 2.84
dimana: φ = tinggi tekan air tanah groundwater head
η ξ, = koordinat lokal local coordinat
q
x
q
y
q
x
+ dx
x q
∂ ∂
q
y
+ dy
y q
∂ ∂
N
= vector with interpolation function
K
r
= fungsi reduksi reduction function, ditetapkan sebagai berikut:
Tekanan pori tarik: K
r
= α
Tekanan pori mampat K
r
= 1 Zona transisi K
r
=
β γ
δ γ
α α
w w
p −
− + 1
2.85
Gambar: 2.25 Penyesuaian permeabilitas antara zona jenuh dengan yang tidak jenuh Didalam perumusan numerik, debit spesifik, q ditulis seperti:
e r
B R
K q
φ η
ξ −
= ,
2.86 dimana:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
=
y x
q q
q
dan
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
=
y x
k k
R
2.87 q
= debit spesifik specific discharge
R = matrik permebilitas
permeability matrix B =
strain interpolation matrix Dari debit spesifik didalam titik integrasi
, q
debit nodal
e
Q dapat diintegrasi menurut:
dV B
R B
K -
1 -
dV B
dV q
B Q
T R
T e
φ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
− =
∫ ∫
∫
B R
T
2.88
e e
e
K Q
φ =
dengan
dV B
R B
K
T e
∫
=
2.89
φ
K Q
=
2.90
1 1
.
− −
=
j j
r K
φ δ
;
dV q
B r
j T
j
1 1
− −
∫
=
;
j j
j
φ φ
φ
+ =
−1
2.91 dimana:
e
Q = debit nodal nodal discharge j = nomor iterasi iteration number
r
= unbalance vector
2.7.7. Teori konsolidasi
2.7.7.1 Persamaan dasar konsolidasi
excess steady
p p
m +
+ =
σ σ
2.92 dimana:
σ = vector with total stress σ = vector with effective stress
m
= a vector containing unity terms for normal stress components and zero terms for the shear stress components
p
excess
= excess pore pressure
steady
p =
steady state solution at the end of the consolidation process
T zx
yz xy
zz yy
xx
σ σ
σ σ
σ σ
σ = dan
T
m 1
1 1
=
2.93
input weight
steady
p M
p .
∑
− =
∑
−
weight
M
= total multipliers weight
input
p =
pore pressure generated in the input program based plastic lines on a grounwater flow calculation
Persamaan konstitutif adalah: ε
σ M
= 2.94
dimana: σ
= effective stress increment
M = material stiffnes matrix
ε =
strain increment
T zx
yz xy
zz yy
xx
ε ε
ε ε
ε ε
ε = 2.95
2.7.7.2 Diskritisasi elemen hingga Memakai pendekatan elemen hingga kita memakai notasi standar:
ν
N u
= v
N p
= v
B =
ε
2.96 dimana:
u
= vector with displacement components
N = matrix with shape function
ν = vector with nodal displacement
p = body force vector
ε = vector with strain components
B = strain interpolation matrix
Memulai dari persamaan keseimbangan pertambahan dan menggunakan pendekatan elemen hingga kita peroleh:
o T
T T
r ds
t d
N dV
f d
N dV
d B
+ +
=
∫ ∫
∫
σ 2.97
dV B
ds t
N dV
f N
r
o T
o T
o T
o
σ
∫ ∫
∫
− +
=
2.98 dimana: f = body force due to self wight
t
= surface traction
o
r = residual force vector =
integration over the volume of the body
dV
= surface integral
ds
Memecah tegangan total menjadi tegangan pori dan tegangan efektif,
Persamaan keseimbangan nodal adalah:
n n
f d
p d
L v
d K
= +
2.99 dimana: K = stiffness matrix
L = coupling matrix
n
f d
= incremental load vector
dV B
M B
K
T
∫
=
2.100
dV N
m B
L
T
∫
=
2.101
ds t
d N
dV f
d N
f d
T T
n
∫ ∫
+ =
2.102 Merumuskan masalah aliran, persamaan kontinuitas dipakai bentuk berikut:
= ∂
∂ +
∂ ∂
− −
− ∇
∇
t p
K n
t m
p p
R
w T
w steady
w T
ε γ
γ γ
2.103
dimana: n = porositas porosity K
w
= bulk modulus of the pore fluid
w
γ = unit weight of the pore fluid
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
=
y x
k k
R
2.104 Penyelesaian steady state ditetapkan dengan persamaan:
= −
∇ ∇
w steady
w T
p R
γ γ
γ 2.105
dimana: = del operator gradient transpose
T
∇
Persamaan kontinuitas menjadi bentuk berikut: =
∂ ∂
+ ∂
∂ −
∇ ∇
t p
K n
t m
p R
w T
w T
ε γ
2.106
Penerapan diskritisasi elemen hingga menggunakan prosedur Galerkin dan syarat-syarat batas yang seharusnya, kita memperoleh:
q dt
p d
S dt
v d
L p
H
n T
n
= −
+ −
, dimana: 2.107
dV N
R N
H
w T
γ
∇ ∇
=
∫
dV N
N K
n S
T w
∫
= 2.108
Untuk meminimasi masukan untuk analisis konsolidasi dipakai bentuk:
ν
2 1
3 100
100 −
= =
E K
n K
skeleton w
2.109 Keseimbangan dan persamaan kontinuitas dapat dikompres ke dalam
suatu persamaan matriks blok:
⎥ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ =
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
−
n n
n n
T
q dt
f d
p H
dt p
d dt
d S
L L
K ν
ν 2.110
Secara sederhana prosedur mengintegrasi tahap demi tahap digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini, yaitu:
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
Δ Δ
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ Δ
= ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ Δ
Δ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ −
n n
n n
T
q t
f p
H t
p S
L L
K ν
ν 2.111
dimana: Δ = finite increment
ν = vektor perpindahan kondisi awal
o n
p = body force vector at the begining of a time step
α = time integration coefficient 0-1
S H
t S
+ Δ
= α
n n
n
q q
q Δ
+ =
α 2.112
α = time integration coefficient 0 sd 1, pada program Plaxis = 1
2.7.8 .Perumusan-perumusan elemen
