Untuk plastis sempurna perfecly-plastic dan linear hardening models penambahan
plastic multiplier dapat ditulis seperti:
h d
f
tr
+ =
Δ σ
λ 2.72
dimana: h = hardening parameter
i e
g D
f d
tr
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
=
σ σ
σ
2.73
i e
tr tr
i
g D
h d
f ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
〉 〈
− =
σ σ
σ σ
2.74 dimana:
= kurung Mc Cauley, yang mempunyai perjanjian tanda sebagai berikut:
〉 〈
〉 =
〉 〈
≤ =
〉 〈
x untuk
x x
dan x
untuk x
2.7.4. Prosedur iterasi global Global Iterative Procedure
Substitusi hubungan antara penambahan tegangan dan penambahan regangan, ,
ε σ
Δ =
Δ M
kedalam persamaan keseimbangan 2.66 menjadi:
1 −
− =
Δ
i in
i ex
i i
f f
K
ν 2.75
dimana: K = matriks kekakuan stiffness matrix ν
Δ
= vektor penambahan perpindahan incremental displacement vector
ex
f
= Vektor gaya luar external porce
in
f
= vektor reaksi dalam internal reaction vector
Superskrip i = nomor tahapan step number i
Proses iterasi global dapat ditulis seperti:
1 −
− =
i in
i ex
j j
f f
K
ν δ
2.76 dimana: Superskrip j = nomor iterasi iteration number
ν δ = suatu vektor yang berisi perpindahan dengan penambahan
kecil vector containing sub-incremental displacement
∑
=
= Δ
n j
j i
1
ν δ
ν 2.77
dimana: n = jumlah iterasi dengan tahapan i
dV B
D B
K
e T
∫
=
2.78 dimana: B = matriks intervolasi regangan
e
D = matriks material elastis menurut hukum Hooke
2.7.5. Teori aliran air tanah Groundwater Flow Theory
Didalam bagian ini kita akan meninjau kembali teori aliran air tanah yang digunakan dalam plaxis. Uraian aliran air tanah, perhatian difokuskan pada
perumusan elemen hingga. Juga aliran melalui iterfaces dibahas pada bagian ini. 2.7.5.1. Persamaan dasar aliran tunak Basic Equations of Steady Flow
Aliran didalam suatu media porous dapat diuraikan dengan hukum Darcy. Menganggap aliran didalam suatu bidang vertikal x-y dipakai persamaan berikut:
x k
q
x x
∂ ∂
− =
φ ;
2.79 y
k q
y y
∂ ∂
− =
φ 2.80
dimana: q = debit khusus specific discharge k = permeabilitas
φ = tinggi tekan, yang ditetapkan sebagai berikut:
w
p y
γ φ
− =
2.81 dimana: y = posisi vertikal vertical position
p = tegangan air pori stress in the pore fluid, negatif untuk tekan =
w
γ berat isi air pori
Untuk aliran tunak syarat kontinuitas dipakai:
= ∂
∂ +
∂ ∂
y q
x q
y x
2.82 Persamaan 2.82 menyatakan bahwa tidak ada aliran masuk atau keluar, seperti
diilustrasikan pada Gambar 2.24.
Gambar 2.24 Ilustrasi syarat kontinuitas
2.7.6. Diskritisasi elemen hingga Finite Element Discretisation
