Mengintegrasi secara mutlak model-model plastisitas difrensial

Dengan membagi ruas kiri dan ruas kanan dengan T ν δ , maka persamaan ditulis menjadi: dV B dS t N dV p N dV B i T i T i T T 1 − ∫ ∫ ∫ ∫ − + = Δ σ σ 2.66 Persamaan di atas adalah kondisi mengembangkan kesetimbangan dalam bentuk diskritisi. Bentuk pertama yang sebelah kanan bersama-sama dengan bentuk kedua menunjukkan vektor gaya luar dan bentuk terakhir menunjukkan vektor reaksi dalam dari tahapan step sebelumnya. Perbedaan antara vektor gaya luar dan vektor reaksi dalam akan diseimbangkan oleh suatu penambahan tegangan. Hubungan diantara penambahan tegangan dan penambahan regangan biasanya adalah non-linier. Akibatnya penambahan regangan secara umum tidak dapat dihitung dengan langsung, dan prosedur iterasi global diperlukan untuk memenuhi kondisi keseimbangan untuk semua titik marerial.

2.7.3. Mengintegrasi secara mutlak model-model plastisitas difrensial

Implicit integration of Diffrential Plastisity Models Penambahan tegangan σ Δ diperoleh dengan mengintegrasi kecepatan tegangan menurut Persamaan 2.60. Untuk model-model plastisitas difrensial diffrential plastisity dapat ditulis seperti: p e D ε ε σ Δ − Δ = Δ 2.67 dimana: e D = matriks material elastis untuk penambahan tegangan elastic material stiffness martrix representing Hooke’s low ε Δ = penambahan regangan strain increment p ε Δ = penambahan regangan plastis plastic strain increment Untuk perilaku material elastis, penambahan regangan plastis = Δ p ε . Untuk perilaku material plastis, penambahan regangan plastis dapat ditulis menurut Vermeer 1997, seperti: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − Δ = Δ − σ ω σ ω λ ε g g i p 1 1 2.68 dimana: λ Δ = penambahan multiplier plastic increment of the plastic multyplier ω = Suatu parameter yang menunjukkan tipe integrasi waktu a prameter indicating the type of time integra tion g = plastic potensial function Untuk ω = 0 disebut integrasi eksplisit dan untuk ω = 1 disebut integrasi implisit. Karena itu, untuk ω = 1 Persamaan 2.68 berubah menjadi: i p g ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ = Δ σ λ ε 2.69 Substitusi Persamaan 2.68 kedalam Persamaan 2.67 dan secara berturut-turut kedalam kedalam persamaan 2.60 akan memberikan: ε σ σ σ λ σ σ Δ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ − = − e i tr i e tr i D dengan g D 1 2.70 dimana: tr σ = vektor tegangan tambahan elastic streses or trial streses Penambahan multiplier plastis λ Δ , seperti yang digunakan pada Persamaan 2.70 , dapat diselesaikan dari kondisi bahwa keadaan tegangan baru harus memenuhi kondisi leleh yield condition = f σ i 2.71 dimana: f = yield function Untuk plastis sempurna perfecly-plastic dan linear hardening models penambahan plastic multiplier dapat ditulis seperti: h d f tr + = Δ σ λ 2.72 dimana: h = hardening parameter i e g D f d tr ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = σ σ σ 2.73 i e tr tr i g D h d f ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + 〉 〈 − = σ σ σ σ 2.74 dimana: = kurung Mc Cauley, yang mempunyai perjanjian tanda sebagai berikut: 〉 〈 〉 = 〉 〈 ≤ = 〉 〈 x untuk x x dan x untuk x

2.7.4. Prosedur iterasi global Global Iterative Procedure