sama arah P’B’ miring terhadap PB dengan sudut kecil j
u j
y. Dari sini dapat dilihat bahwa sudut awal APB yaitu sudut antara kedua elemen PA dan PB
berkurang sebesar j
v j
x + j
u j
y. Sudut ini adalah regangan geser shearing strain antara bidang xz dan yz. Regangan geser antara bidang xy dan xz dan
bidang yx dan yz dapat diperoleh dengan cara yang sama. Selanjutnya kita menggunakan huruf Є untuk satuan perpanjangan dan
huruf γ untuk regangan geser. Untuk menunjukkan arah regangan digunakan
subskrip yang sama terhadap huruf ini sama seperti untuk komponen tegangan. Kemudian diperoleh dari pembahasan di atas beberapa besaran berikut :
x u
x
∂ ∂
= ∈
y v
y
∂ ∂
= ∈
z w
z
∂ ∂
= ∈
x v
y u
yx xy
∂ ∂
+ ∂
∂ =
=
γ γ
x w
z u
zx xz
∂ ∂
+ ∂
∂ =
=
γ γ
y w
z v
zy yz
∂ ∂
+ ∂
∂ =
=
γ γ
2.4 Keenam besaran ini disebut sebagai komponen regangan geser.
II.1.3. Hubungan Tegangan dan Regangan Hukum Hooke
Hubungan linier antara komponen tegangan dan komponen regangan umumnya dikenal sebagai hukum Hooke. Satuan perpanjangan elemen hingga
batas proporsional diberikan oleh
E
x x
σ =
∈
2.5
dimana E adalah modulus elastisitas dalam tarik modulus of elasticity in tension. Bahan yang digunakan di dalam struktur biasanya memiliki modulus yang sangat
besar dibandingkan dengan tegangan izin, dan besarnya perpanjangan sangat
Universitas Sumatera Utara
kecil. Perpanjangan elemen dalam arah x ini akan diikuti dengan pengecilan pada komponen melintang yaitu
E
x y
σ ϑ
− =
∈ E
x z
σ ϑ
− =
∈
2.6
dimana adalah suatu konstanta yang disebut dengan ratio Poisson Poisson’s Ratio. Untuk sebagian besar bahan, ratio poisson dapat diambil sama dengan
0,25. Untuk baja struktur biasanya diambil sama dengan 0,3. Apabila elemen di atas mengalami kerja tegangan normal σ
x
, σ
y
, σ
z
secara serempak, terbagi rata di sepanjang sisinya, komponen resultante regangan dapat
diperoleh dari persamaan 2.5 dan 2.6 yaitu :
[ ]
z y
x x
E
σ σ
ϑ σ
+ −
= ∈
1
[ ]
z x
y y
E
σ σ
ϑ σ
+ −
= ∈
1
2.7
[ ]
y x
z z
E
σ σ
ϑ σ
+ −
= ∈
1
Pada persamaan 2.7, hubungan antara perpanjangan dan tegangan sepenuhnya didefinisikan oleh konstanta fisik yaitu E dan . Konstanta yang sama
dapat juga digunakan untuk mendefinisikan hubungan antara regangan geser dan tegangan geser.
Universitas Sumatera Utara
sumber : Theory of elasticity, S. Timoshenko Tinjaulah kasus khusus yaitu perubahan bentuk segi empat paralelogram
di mana σ
z
= σ, σ
y
= –σ , dan σ
x
= 0. Potonglah sebuah elemen abcd dengan bidang yang sejajar dengan sumbu x dan terletak 45˚ terhadap sumbu y dan z
Gambar.2.9. Dengan menjumlah gaya sepanjang dan tegak lurus bc, bahwa tegangan normal pada sisi elemen ini nol dan tegangan geser pada sisi adalah :
τ
= ½ σ
z
– σ
y
= σ
2.8
Kondisi tegangan seperti itu disebut geser murni pure shear. Pertambahan panjang elemen tegak Ob sama dengan berkurangnya panjang elemen mendatar
Oa dan Oc, dan dengan mengabaikan besaran kecil dari orde kedua, kita bisa menyimpulkan bahwa panjang elemen ab dan bc tidak berubah selama terjadinya
perubahan bentuk. Sudut antara sisi ab dan bc berubah dan besar regangan geser yang bersangkutan
γ bisa diperoleh dari segi tiga Obc. Sedudah perbuahan bentuk akan didapatkan :
b y
z
d a
c
45°
o b
c o
σ σ
τ τ
τ τ
τ
Gambar.2.9.Perubahan Bentuk Segi Empat Paralellogram
Universitas Sumatera Utara
z y
y Ob
Oc ∈
+ ∈
+ =
−
= 1
1 2
4 tan π
Untuk γ yang kecil, tan
γ 2
≈
γ 2
, maka :
z y
y y
y y
y Ob
Oc ∈
+ ∈
+ =
+ −
= +
− =
−
= 1
1 2
1 2
1 2
tan 4
tan 1
2 tan
4 tan
2 4
tan π
π π
Maka diperoleh :
2 y
y
− =
∈
dan
2 y
z
= ∈
Sedangkan jika nilai-nilai σ
z
= σ, σ
y
= –σ , dan σ
x
= 0 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.7 maka akan diperoleh :
2 1
1 y
E E
y
− =
+ −
= −
− =
∈
σ ϑ
ϑσ σ
[ ]
2 1
1 y
E E
z
= +
− =
− −
− =
∈
σ ϑ
σ ϑ
σ
Maka diperoleh hubungan antara regangan dengan regangan geser :
2 y
∈=
2.9
Hubungan antara regangan dan tegangan geser didefinisikan oleh konstanta E dan v yaitu :
E E
τ ϑ
σ ϑ
γ
+ =
+ =
1 2
1 2
2.10
Jika digunakan notasi : ϑ
+ =
1 2
E G
2.11
Maka persamaan 2.10 akan menjadi :
Universitas Sumatera Utara
G
τ γ
=
2.12
dimana konstanta G didenisikan oleh 2.11, dan disebut modulus elastisitas dalam geser modulus of elasticity in shear atau modulus kekakuan modulus of
rigidity. Apabila tegangan geser bekerja ke semua sisi elemen, seperti terlihat
pada Gambar.2.5, pelentingan sudut antara dua sisi yang berpotongan hanya tergantung kepada komponen tegangan geser yang bersangkutan dan diperoleh :
G
xy xy
τ γ =
G
yz yz
τ γ =
G
xz xz
τ γ =
II.2. Analisa Pelat Lentur
